2023年北京市石景山区中杉学校中考数学一模试卷

这是一份2023年北京市石景山区中杉学校中考数学一模试卷，共22页。试卷主要包含了因式分解等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）某个立体图形的侧面展开图如图所示，它的底面是正三角形，那么这个立体图形是（ ）
A．三棱柱B．四棱柱C．三棱锥
2．（2分）“两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山”．2023年8月29日，华为搭载自研麒麟芯片的mate60系列低调开售．据统计，截至2023年10月21日，华为mate60系列手机共售出约160万台，将数据1600000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.16×107B．1.6×106C．1.6×107D．16×106
3．（2分）苯分子的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．随着研究的不断深入，发现苯分子中的6个碳原子与6个氢原子均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等（如图1），组成了一个完美的六边形（正六边形），图2是其平面示意图，则∠1的度数为（ ）
A．130°B．120°C．110°D．60°
4．（2分）实数a在数轴上的位置如图所示，若|a|＞2，则下列说法不正确的是（ ）
A．a的相反数大于2B．﹣a＜2
C．|a﹣2|＝2﹣aD．a＜﹣2
5．（2分）如图所示的是反比例函数y1＝（x＞0）和一次函数y2＝mx+n的图象，则下列结论正确的是（ ）您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高
A．反比例函数的解析式是y1＝
B．一次函数的解析式为y2＝﹣x+6
C．当x＞6时，y1最大值为1
D．若y1＜y2，则1＜x＜6
6．（2分）甲、乙两人5次数学考试成绩如表：则以下判断中正确的是（ ）
A．＝，＞
B．＝，＜
C．＜，＜
D．＝，＝
7．（2分）用配方法解方程x2+x+1＝0时，正确的是（ ）
A．（x+）2＝，x＝﹣±
B．（x+）2＝﹣原方程无解
C．（x+）2＝，x＝﹣±
D．（x+）2＝﹣原方程无解
8．（2分）匀速地向如图所示的一个空瓶里注水，最后把空瓶注满，在这个注水过程中，水面高度h与注水时间t之间函数关系的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）二次根式中字母x的取值范围是 ．
10．（2分）因式分解：﹣3b2+12a2＝ ．
11．（2分）如图，已知▱ABCD，通过测量、计算得到▱ABCD的面积约为 cm2．（结果保留一位小数）
12．（2分）为庆祝南开中学84周年校庆，学校安排2位男老师和3位女老师筹备校庆晚会，并从中随机挑选出2位老师担任主持，则选出的2位老师恰好为一男一女的概率为 ．
13．（2分）列方程组解题：“今有马二、牛一，直金七两；马三、牛二，直金十二两．马、牛各直金几何？”其大意是：2匹马，1头牛，一共价值7两；3匹马，2头牛，一共价值12两，问每匹马、每头牛各价值多少两？设每匹马x两，每头牛y两．根据题意，可列方程组为 ．
14．（2分）在平面直角坐标系中有A，B，C三个点，点B的坐标是（2，3），点A，点C关于点B中心对称，若将点A往右平移4个单位，再往上10个单位，则与C重合，则点A的坐标是 ．
15．（2分）如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠A＝120°，则∠BOD等于 ．
16．（2分）如图，小明将﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．若a，b，c分别表示其中的一个数，则a﹣b﹣c的值为 ．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）计算：（﹣1）2019+（﹣）﹣2﹣|2﹣|+4sin60°．
18．（5分）解不等式组：．
19．（5分）已知实数a是x2﹣5x﹣17＝0的根，不解方程，求（a﹣1）（2a﹣1）﹣（a+1）2+1的值．
20．（5分）我们学习利用尺规作图平分任意一个角，而“利用尺规作图三等分任意一个角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具——三分角器．如图1是它的示意图，其中AB与半圆O的直径BC在同一直线上，且AB的长度与半圆的半径相等；DB与AC垂直于点B，DB足够长．三分角器的使用方法如图2所示，若要把∠MEN三等分，只需适当放置三分角器，使DB经过∠MEN的顶点E，点A落在边EM上，半圆O与另一边EN恰好相切，切点为F，则EB，EO就把∠MEN三等分了．
根据该操作过程，回答问题：
（1）直线DE与圆O的位置关系是 ，依据是 ；
（2）求证：∠1＝∠2＝∠3；
（3）若被测量的∠MEN＝3α，AB＝m，则DB的长度至少为 ，才保证该三分角器能够三等分该角．（用含有α，m的代数式表示）
21．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，延长DC到点E，使CE＝CD．过点E作EF∥AD交AC的延长线于点F，连接AE，DF．
（1）求证：四边形ADFE是平行四边形；
（2）过点E作EG⊥DF于点G，若BD＝2，AE＝5，求EG的长．
22．（5分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于A（2，n），B（﹣4，﹣2）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）直接写出关于x的不等式kx+b＞的解集．
23．（6分）如图①，⊙O是△ABC的外接圆，点O在AB上，延长AB至点D，使得∠DCB＝∠CAB．
（1）求证：DC为⊙O的切线；
（2）若∠ACB的角平分线CE交线段AB于点F，交于点E，连接BE，如图②，其中CD＝4，tan∠CEB＝，求CF•CE．
24．（6分）社会消费品零售总额按消费类型可划分为商品零售和餐饮收入，它是表现国内消费需求最直接的数据，也是研究国内零售市场变动情况、反映经济景气程度的重要指标．如图是我国2019年1﹣2月﹣2023年1﹣2月按消费类型分零售额同比增速以及社会消费品零售总额的统计图．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）2019年1﹣2月﹣2023年1﹣2月我国社会消费品零售总额的中位数是 亿元；
（2）根据国家统计局数据显示，2022年1﹣2月我国商品零售66708亿元，则2023年1﹣2月我国的餐饮收入为 亿元；（结果保留整数）
（3）写出一条关于我国2019年1﹣2月﹣2023年1﹣2月期间我国社会消费品零售总额变化趋势的信息．
25．（6分）如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24m，在距离D点6m的点E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．
（1）求桥拱顶部点O离水面的距离；
（2）如图2，桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m．
①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式；
②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，设其中一条彩带与支柱OH的水平距离为dm，当这条彩带的长度小于m时，求d的取值范围．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和点（3，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上．
（1）若m＝3，n＝15，求该抛物线的对称轴；
（2）已知点（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）在该抛物线上．若mn＜0，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．
27．（7分）综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），其中a，b满足，点C是第一象限内的点，∠ABC＝90°，AB＝BC．
（1）分别求出点A、B、C的坐标．
（2）如果在第二象限内有一点P（m，1），是否存在点P，使得△ABP的面积等于△ABC的面积？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
（3）在平面直角坐标系是否存在点E，使△ABE与△ABC全等，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，O为原点，对于两个图形X，Y和直线y＝m，若在图形X上存在点A，在图形Y上存在点B，使得点A和点B关于直线y＝m对称，就称图形X和Y互为m关联图形．
（1）已知点P的坐标为（0，3），
①点P与点Q互为﹣1关联图形，则点Q的坐标为 ；
②若⊙O的半径为1，点P与⊙O互为m关联图形，则m的值为 ；
（2）已知点A（3，4），射线OA与线段l：y＝﹣2（﹣1≤x≤2）互为t关联图形，求t的取值范围．
（3）已知⊙O的半径为2，直线与x轴，y轴分别交于C，D，若⊙O关于y＝m对称的图形S与点C互为2m关联图形，直接写出m的值及点D与图形S的位置关系．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1． 解：由底面是正三角形，侧面是三个矩形，因此这个立体图形为三棱柱，
故选：A．
2． 解：1600000＝1.6×106，
故选：B．
3． 解：如图2，∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AB＝AF＝EF，∠BAF＝＝120°，
∴∠ABF＝∠AFB＝＝30°，
同理∠EAF＝30°，
∴∠1＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
故选：B．
4． 解：由图得a＜0，且|a|＞2，
∴a＜﹣2，D正确，不符合题意；
∴a的相反数大于2，故A正确，不符合题意；
a的相反数大于2即是﹣a＞2，故B不正确，符合题意；
∵a＜2，
∴|a﹣2|＝2﹣a，故C正确，不符合题意；
故选：B．
5． 解：A、∵反比例函数y1＝（x＞0）的图象过点（1，5），
∴k＝1×5＝5，
∴反比例函数的解析式是y1＝，故结论错误；
B、把x＝6代入y1＝得，y＝，
∴反比例函数y1＝（x＞0）和一次函数y2＝mx+n的图象另一个交点为（6，），
把点（1，5），（6，）分别代入y2＝mx+n，
得，解得，
∴一次函数解析式为y＝﹣x+，故结论错误；
C、由图象可知当x＞6时，0＜y1＜，故结论错误；
D、由函数图象知，双曲线在直线下方时x的范围是1＜x＜6，
∴若y1＜y2，则1＜x＜6，故结论正确；
故选：D．
6． 解：＝（84+86+85+83+87）÷5＝85，＝（84+85+86+85+85）÷5＝85，＝，
S甲2＝[（84﹣85）2+（86﹣85）2+（85﹣85）2+（83﹣85）2+（87﹣85）2]＝2，
S乙2＝[（84﹣85）2+（85﹣85）2+（86﹣85）2+（85﹣85）2+（85﹣85）2]＝0.4．
S甲2＞S乙2．
故选：A．
7． 解：用配方法解方程x2+x+1＝0时，正确的是（x+）2＝﹣原方程无解．
故选：B．
8． 解：由题知，
因为匀速地向空瓶里注水，且空瓶的下半部分是直立圆锥的一部分，
所以在刚开始注水的时候，水面随着注水时间的增加，高度逐渐升高，且单位时间内升高的高度越来越高．
因为瓶子的上半部分是圆柱，
所以水面随着注水时间的增加，高度逐渐升高，且单位时间内升高的高度相同，即匀速上升．
故选：A．
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9． 解：要使二次根式有意义，必须﹣5x≥0，
解得：x≤0，
故答案为：x≤0．
10． 解：﹣3b2+12a2＝﹣3（b2﹣4a2）
＝﹣3（b+2a）（b﹣2a）．
故答案为：﹣3（b+2a）（b﹣2a）．
11． 解：如图所示，过点A作AE⊥BC于点E，
经测量AE≈0.7cm，BC≈1.1cm，
S▱ABCD＝BC•DE＝1.1×0.7≈0.8（cm2），
故答案为：0.8．
12． 解：根据题意画图如下：
共有20种等可能的情况数，选出的2位老师恰好为一男一女的有12种，
则最后确定的主持人是一男一女的概率为＝．
故答案为：．
13． 解：由题意得：，
故答案为：．
14． 解：设A，C关于原点O中心对称，则令A（x，y），则C为（﹣x，﹣y），
∵将点A往右平移4个单位，再往上10个单位，则与C重合，
∴x+4＝﹣x，y+10＝﹣y，
解得：x＝﹣2，y＝﹣5，
把中心点O平移到点B的位置，其操作为向右平移2个单位，再向上平移3个单位，
∴点A的坐标也随之变动，
∴点A的坐标变为：（﹣2+2，﹣5+3）即（0，﹣2）．
故答案为：（0，﹣2）．
15． 解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠C+∠A＝180°，
∵∠A＝120°，
∴∠C＝60°，
∴∠BOD＝2∠C＝120°，
故答案为：120°．
16． 解：∵﹣2+1+4＝3，
∴﹣2+a＝3，3+1+b＝3，﹣3+4+c＝3，
∴a＝5，b＝﹣1，c＝2，
∴a﹣b﹣c＝5+1﹣2＝4，
故答案为4．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17． 解：原式＝﹣1+2﹣（2﹣2）+4×
＝﹣1+2﹣2+2+2
＝3．
18． 解：解不等式2（x+1）≥3x﹣5，得：x≤7，
解不等式＞x，得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤7．
19． 解：∵实数a是x2﹣5x﹣17＝0的根，
∴a2﹣5a﹣17＝0，即a2﹣5a＝17，
（a﹣1）（2a﹣1）﹣（a+1）2+1
＝2a2﹣a﹣2a+1﹣（a2+2a+1）+1
＝2a2﹣3a+1﹣a2﹣2a﹣1+1
＝a2﹣5a+1
＝17+1
＝18．
20． （1）解：∵直线DE经过圆O的半径外端点B，且DB⊥AC于点B，
∴直线DE与圆O的位置关系是相切，依据是：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
故答案为：相切；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（2）如图2，连接OF，
∵AB＝BO，DB⊥AO于点B，
∴EA＝EO，
又∵AB＝BO，
∴∠1＝∠2，
∵EB，EF分别切圆O于B和F，
∴OB⊥EB于B，OF⊥EF于F，OB＝OF，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2＝∠3；
（3）∵DB⊥AO于点B，
∴∠ABE＝90°，
∵∠MEN＝3α，∠1＝∠2＝∠3，
∴∠1＝α，
在Rt△ABE中，∠1＝α，AB＝m，
tanα＝，
∴BE＝，
即DB的长度至少为．
故答案为：．
21． （1）证明：∵EF∥AD，
∴∠FEC＝∠ADC，
又∵CE＝CD，∠FCE＝∠ACD，
∴△FCE≌△ACD（ASA），
∴EF＝AD，
∴四边形ADFE是平行四边形；
（2）解：如图，
由（1）可知，四边形ADFE是平行四边形，
∴DF＝AE＝5，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴CD＝BD＝2，
∴CE＝CD＝2，
∴DE＝2CD＝4，
∵EF∥AD，
∴EF⊥BC，
∴∠DEF＝90°，
∴EF＝＝＝3，
∵EG⊥DF，
∴S△DEF＝DF•EG＝DE•EF，
∴EG＝＝＝，
即EG的长为．
22． 解：（1）∵反比例函数y＝的图象经过点B（﹣4，﹣2），
∴m＝﹣4×（﹣2）＝8．
∴反比例函数的表达式为y＝
又∵点A（2，n）在反比例函数y＝的图象上．
∴n＝＝4，即A（2，4）．
∵一次函数y＝kx+b的图象经过A（2，4）、B（﹣4，﹣2）两点．
∴，
解得，
∴一次函数的表达式为y＝x+2；
（2）观察图象，关于x的不等式kx+b＞的解集是﹣4＜x＜0或x＞2．
23． （1）证明：如图①，连接OC，则OC＝OA，
∴∠OCA＝∠CAB，
∵∠DCB＝∠CAB，
∴∠DCB＝∠OCA，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠OCD＝∠OCB+∠DCB＝∠OCB+∠OCA＝∠ACB＝90°，
∵OC是⊙O的半径，且DC⊥OC，
∴DC是⊙O的切线．
（2）解：如图②，作FH⊥AC于点H，则∠CHF＝∠AHF＝90°，
∵∠ACB＝90°，CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCE＝45°，
∴∠HCF＝∠HFC＝45°，
∴FH＝CH，
∵∠A＝∠CEB，
∴＝＝tanA＝tan∠CEB＝，
∴＝，HA＝2FH，
∵∠AHF＝∠ACB＝90°，
∴FH∥BC，
∴＝＝，
∴FA＝2BF，
∵∠DCB＝∠DAC，∠D＝∠D，
∴△DCB∽△DAC，
∴＝＝＝，
∴BD＝CD＝×4＝2，AD＝2CD＝2×4＝8，
∴AB＝AD﹣BD＝8﹣2＝6，
∴2BF+BF＝6，
∴BF＝2，FA＝4，
∴FH2+（2FH）2＝42，
∴CH＝FH＝，
∴CF＝＝＝，
∵∠E＝∠A，∠EFB＝∠AFC，
∴△EFB∽△AFC，
∴＝，
∴FE＝＝＝，
∴CE＝CF+FE＝+＝，
∴CF•CE＝×＝．
24． 解：（1）根据题意，这组数据按照从小到大排列为：
52130，66064，69737，74426，77067；
所以中位数为：69737亿元．
故答案为：69737．
（2）74426﹣66708＝7718（亿元），
7718×（1+9.2%）≈8428（亿元）．
故答案为：8428．
（3）从2021年起我国社会消费品零售总额逐年增加，到2023年社会消费品零售总额达到77067亿元．
25． 解：（1）根据题意可知点F的坐标为（6，﹣1.5），
可设拱桥侧面所在二次函数表达式为：y1＝a1x2，
将F（6，﹣1.5）代入y1＝a1x2有：﹣1.5＝36a1，
解得a1＝﹣，
∴y1＝﹣x2，
当x＝12时，y1＝﹣×122＝﹣6，
∴桥拱顶部离水面高度为6m；
（2）①由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为（6，1），可设其表达式为y2＝a2（x﹣6）2+1，
将H（0，4）代入其表达式有：4＝a2（0﹣6）2+1，求得a2＝，
∴右边钢缆所在抛物线表达式为：y2＝（x﹣6）2+1，
同理可得左边钢缆所在抛物线表达式为：y3＝（x+6）2+1，
②设彩带的长度为L m，
则L＝y2﹣y1＝（x﹣6）2+1﹣（﹣x2）＝x2﹣x+4＝（x﹣4）2+2，
∵这条彩带的长度小于m，
∴（x﹣4）2+2＜，
解得＜x＜．
∴d的取值范围＜d＜．
26． 解：（1）∵m＝3，n＝15，
∴点（1，3），（3，15）在抛物线上，
将（1，3），（3，15）代入y＝ax2+bx得：
，
解得，
∴y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1．
（2）∵y＝ax2+bx（a＞0），
∴抛物线开口向上且经过原点，
当b＝0时，抛物线顶点为原点，x＞0时y随x增大而增大，n＞m＞0不满足题意，
当b＞0时，抛物线对称轴在y轴左侧，同理，n＞m＞0不满足题意，
∴b＜0，抛物线对称轴在y轴右侧，x＝1时m＜0，x＝3时n＞0，
即抛物线和x轴的2个交点，一个为（0，0），另外一个在1和3之间，
∴抛物线对称轴在直线x＝与直线x＝之间，
即＜﹣＜，
∴点（2，y2）与对称轴距离2﹣（﹣）＜，
点（﹣1，y1）与对称轴距离＜﹣﹣（﹣1）＜，
点（4，y3）与对称轴距离＜4﹣（﹣）＜
∴y2＜y1＜y3．
解法二：∵点（1，m）和点（3，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上，
∴a+b＝m，9a+3b＝n，
∵mn＜0，
∴（a+b）（9a+3b）＜0，
∴a+b与3a+b异号，
∵a＞0，
∴3a+b＞a+b，
∴a+b＜0，3a+b＞0，
∵（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）在该抛物线上，
∴y1＝a﹣b，y2＝4a+2b，y3＝16a+4b，
∵y3﹣y1＝（16a+4b）﹣（a﹣b）＝5（3a+b）＞0，
∴y3＞y1，
∵y1﹣y2＝（a﹣b）﹣（4a+2b）＝﹣3（a+b）＞0，
∴y1＞y2，
∴y2＜y1＜y3．
27． 解：（1）∵，
∴|a﹣2|+|b﹣1|＝0，
∴a＝2，b＝1，
∴A（0，2），B（1，0），
∴OA＝2，OB＝1，
过点C作CD⊥x轴于点D，则∠BDC＝∠AOB＝90°，
∵∠1+∠2+∠ABC＝180°，∠ABC＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
在Rt△BCD中，∠3+∠2＝90°，
∴∠1＝∠3
∵AB＝BC，∠AOB＝∠BDC＝90°，
∴△BCD≌△ABO（AAS），
∴BD＝OA＝2，CD＝OB＝1，
∴OD＝2+1＝3，
∵点C在第一象限内，
∴C（3，1）；
（2）存在点P，使得△ABP的面积等于△ABC的面积，理由如下：
过点P作PM⊥x轴于点M，则∠PMO＝90°，
∵，
∴，
∵S△ABP＝S梯形APMO+S△AOB﹣S△PMB，
∴，
解得m＝﹣2，
∴P（﹣2，1）；
（3）E坐标为（﹣2，1）或（﹣1，﹣1）或（2，3），理由如下：
如图所示，
当△ABE1≌△ABC，且点E1在第一象限时，
同（1）可得E1（2，3）；
当△ABE2≌△ABC，且点E2在第二象限时，
点E1与点E2关于点A对称，
∴E2（﹣2，1）；
当△ABE3≌△ABC，且点E3在第二象限时，
点C与点E3关于点B对称，
∴E3（﹣1，﹣1），
综上所述，E（﹣2，1）或（﹣1，﹣1）或（2，3）．
28． 解：（1）①如图1，
∵2×（﹣1）﹣3＝﹣5，
∴Q（0，﹣5），
故答案是（0，﹣5）；
②如图2，
∵＝2，＝1，
∴m＝2或1，
故答案是1或2；
（2）如图3，
由题意得，
∵A（3，4），
∴直线OA的解析式是：y＝x，
∴当x＝2时，y＝，
∵＝﹣1，＝，
∴﹣1≤t≤；
（3）如图4，
圆心O关于y＝m的对称点是I（0，2m），设图形S上的点J与C点关于y＝2m对称，
设J（x，y），由IJ＝2得，
x2+（y﹣2m）2＝4，
由x﹣1＝0得，
x＝，
∴C（），
∴J（，4m），
∴（）2+（4m﹣2m）2＝4，
∴m＝±，
当m＝时，I（0，1），
∵D （0，﹣1），
∴DI＝2，
∴D在S上，
当m＝﹣时，I（0，﹣1），
∴DI＝0，
∴D在S内部．甲
84
86
85
83
87
乙
84
85
86
85
85