2024年湖南省湖南师大附中教育集团中考数学三检试卷

这是一份2024年湖南省湖南师大附中教育集团中考数学三检试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）如所示4个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）抛物线y＝（x﹣1）2+3的对称轴是（ ）
A．直线x＝1B．直线x＝3C．直线x＝﹣1D．直线x＝﹣3
3．（3分）在双曲线的任意一支上，y都随x的增大而减小，则k的值可以是（ ）
A．﹣2B．0C．2D．﹣1
4．（3分）县林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示：
根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为（精确到0.1）（ ）
A．0.905B．0.90C．0.9D．0.8
5．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内得到与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C的坐标为（ ）
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6．（3分）如图，在△ABC中，DE∥AB，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）已知反比例函数的图象上有点A（2，y1），B（1，y2），C（﹣3，y3），则关于y1，y2，y3大小关系正确的是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y1＞y3＞y2D．y3＞y1＞y2
8．（3分）如图，△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，且AD＝3，BE＝2，CF＝4，则△ABC的周长为（ ）
A．18B．17C．16D．15
9．（3分）元旦将至，九（1）班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有x名学生，那么所列方程为（ ）
A．x2＝1980B．x（x+1）＝1980
C．x（x﹣1）＝1980D．x（x﹣1）＝1980
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，OA＝OB＝3，点C为平面内一动点，BC＝，连接AC，点M是线段AC上的一点，且满足CM：MA＝1：2．当线段OM取最大值时，点M的坐标是（ ）
A．（，）B．（，）
C．（，）D．（，）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）已知点A（﹣2，b）与B（a，3）点关于原点对称，则a+b＝ ．
12．（3分）如图，四边形ABCD是圆内接四边形，∠C＝120°，求∠A的度数为 度．
13．（3分）已知扇形的半径为2cm，圆心角为120°，则此扇形的弧长是 cm．
14．（3分）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝20°，则这个正多边形的边数为 ．
15．（3分）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则sin∠ABC＝ ．
16．（3分）如图，平行于x轴的直线与函数y＝（k1＞0，x＞0）和y＝（k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点．点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为4，则k1﹣k2的值为 ．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分）
17．（6分）计算：．
18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于A（m，6），B（4，﹣3）两点，与y轴交于点C，连接OA，OB．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积．
19．（6分）如图，灯塔B位于港口A的北偏东58°方向，且A，B之间的距离为30km，灯塔C位于灯塔B的正东方向，且B，C之间的距离为10km．一艘轮船从港口A出发，沿正南方向航行到达D处，测得灯塔C在北偏东37°方向上，灯塔B到直线AD的距离为BE．
（1）求BE的长；
（2）求DE的长（结果精确到0.1）．
（参考数据：sin58°≈0.85，cs58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
20．（8分）为了丰富学生们的课余生活，学校准备开展第二课堂，有四类课程可供选择，分别是“A．书画类、B．文艺类、C．社会实践类、D．体育类”．现随机抽取了七年级部分学生对报名意向进行调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图表信息回答下列问题：
（1）本次被抽查的学生共有 名，扇形统计图中“A．书画类”所占扇形的圆心角的度数为 度；
（2）请你将条形统计图补全；
（3）若该校七年级共有600名学生，请根据上述调查结果估计该校学生选择“C．社会实践类”的学生共有多少名？
（4）本次调查中抽中了七（1）班王芳和小颖两名学生，请用列表法或画树状图法求她们选择同一个项目的概率．
21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．
（1）求证：△ADC∽△CDB；
（2）若AD＝2，BD＝8，求CD．
22．（9分）如图，AB，CD为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C的切线与AB的延长线交于点P，∠ABC＝2∠BCP，点E是的中点，弦CE，BD相交于点F．
（1）求∠OCB的度数；
（2）若EF＝3，求⊙O直径的长．
23．（9分）为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗．下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈端午节前在超市购买粽子的数量（单位：个）和付款金额（单位：元）．
（1）求豆沙粽和肉粽的单价；
（2）为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成A，B两种包装销售，每包都是40个粽子（包装成本忽略不计），每包的销售价格按其中每个粽子的单价合计．A，B两种包装中分别有m个豆沙粽，m个肉粽，A包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半．端午节当天统计发现，A，B两种包装的销量分别为（80﹣4m）包，（4m+8）包，A，B两种包装的销售总额为17280元，求m的值．
25．（10分）若两条抛物线相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，并满足y1﹣kx1＝y2﹣kx2，其中k为常数，我们不妨把k叫做这两条抛物线的“依赖系数”．
（1）若两条抛物线相交于A（﹣2，2），B（﹣4，4）两点，求这两条抛物线的“依赖系数”；
（2）若抛物线1：y＝2ax2+x+m与抛物线2：y＝ax2﹣x﹣n相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，其中a＞0，求抛物线1与抛物线2的“依赖系数”；
（3）如图，在（2）的条件下，设抛物线1和2分别与y轴交于C，D两点，AB所在的直线与y轴交于E点，若点A在x轴上，m≠0，DA＝DC，抛物线2与x轴的另一个交点为点F，以D为圆心，CD为半径画圆，连接EF，与圆相交于G点，求tan∠ECG．
参考答案与解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）如所示4个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是中心对称图形，故此选项合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
2．（3分）抛物线y＝（x﹣1）2+3的对称轴是（ ）
A．直线x＝1B．直线x＝3C．直线x＝﹣1D．直线x＝﹣3
【解答】解：抛物线y＝（x﹣1）2+3的对称轴是直线x＝1．
故选：A．
3．（3分）在双曲线的任意一支上，y都随x的增大而减小，则k的值可以是（ ）
A．﹣2B．0C．2D．﹣1
【解答】解：∵双曲线的每个分支上，y都随x的增大而减小，
∴k＞0，
选项中为正数的只有k＝2，
故选：C．
4．（3分）县林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示：
根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为（精确到0.1）（ ）
A．0.905B．0.90C．0.9D．0.8
【解答】解：由表格数据可得，随着样本数量不断增加，这种树苗移植成活的频率稳定在0.9左右，
故估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为0.9．
故选：C．
5．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内得到与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣1）B．（﹣，﹣1）C．（﹣1，﹣）D．（﹣2，﹣1）
【解答】解：作AH⊥x轴于H，CG⊥x轴于G，
∴△OCG∽△OAH，
∴，
∵A（4，3），
∴OH＝4，AH＝3，
∵△BOA∽△DOC，且OA：OC＝3，
∴OG＝，CG＝1，
∴C（﹣，﹣1），
故选：B．
6．（3分）如图，在△ABC中，DE∥AB，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵＝，
∴＝，
∵DE∥AB，
∴＝＝，
故选：A．
7．（3分）已知反比例函数的图象上有点A（2，y1），B（1，y2），C（﹣3，y3），则关于y1，y2，y3大小关系正确的是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y1＞y3＞y2D．y3＞y1＞y2
【解答】解：函数图象如下：
点A、B在y轴右侧且y随x的增大而增大，
故y1＞y2；
点C在y轴的左侧，函数值y为正，
故y3＞y1＞y2，
故选：D．
8．（3分）如图，△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，且AD＝3，BE＝2，CF＝4，则△ABC的周长为（ ）
A．18B．17C．16D．15
【解答】解：∵△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，
∴AD＝AF，BD＝BE，EC＝FC，
∵AD＝3，BE＝2，CF＝4，
∴AF＝3，BD＝2，CE＝4，
∴BC＝BE+EC＝6，AB＝AD+BD＝5，AC＝AF+FC＝7，
∴△ABC的周长＝BC+AB+AC＝18．
故选：A．
9．（3分）元旦将至，九（1）班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有x名学生，那么所列方程为（ ）
A．x2＝1980B．x（x+1）＝1980
C．x（x﹣1）＝1980D．x（x﹣1）＝1980
【解答】解：根据题意得：每人要赠送（x﹣1）张贺卡，有x个人，
∴全班共送：（x﹣1）x＝1980，
故选：D．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，OA＝OB＝3，点C为平面内一动点，BC＝，连接AC，点M是线段AC上的一点，且满足CM：MA＝1：2．当线段OM取最大值时，点M的坐标是（ ）
A．（，）B．（，）
C．（，）D．（，）
【解答】解：∵点C为平面内一动点，BD＝，
∴点C在以点B为圆心，为半径的OB上，
在x轴的负半轴上取点D（﹣，0），
连接BD，分别过C、M作CF⊥OA，ME⊥OA，垂足为F、E，
∵OA＝OB＝，
∴AD＝OD+OA＝，
∴＝，
∵CM：MA＝1：2，
∴＝＝，
∵∠OAM＝∠DAC，
∴△OAM∽△DAC，
∴＝＝，
∴当CD取得最大值时，OM取得最大值，结合图形可知当D，B，C三点共线，且点B在线段DC上时，CD取得最大值，
∵OA＝OB＝，OD＝，
∴BD＝＝，
∴CD＝BC+BD＝9，
∵＝，
∴OM＝6，
∵y轴⊥x轴，CF⊥OA，
∴∠DOB＝∠DFC＝90°，
∵∠BDO＝∠CDF，
∴△BDO∽△CDF，
∴＝，即＝，
解得CF＝，
同理可得，△AEM∽△AFC，
∴＝＝，即＝，
解得ME＝，
∴OE＝＝，
∴当线段OM取最大值时，点M的坐标是（，），
故选D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）已知点A（﹣2，b）与B（a，3）点关于原点对称，则a+b＝ ﹣1 ．
【解答】解：∵点A（﹣2，b）与B（a，3）点关于原点对称，
∴a＝2，b＝﹣3，
∴a+b＝﹣1．
故答案为：﹣1．
12．（3分）如图，四边形ABCD是圆内接四边形，∠C＝120°，求∠A的度数为 60 度．
【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠C+∠A＝180°，
∵∠C＝120°，
∴∠A＝180°﹣120°＝60°，
故答案为：60．
13．（3分）已知扇形的半径为2cm，圆心角为120°，则此扇形的弧长是 π cm．
【解答】解：扇形的弧长＝＝πcm．
故答案为．
14．（3分）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝20°，则这个正多边形的边数为 九 ．
【解答】解：如图，设正多边形的外接圆为⊙O，连接OA，OB，
∵∠ADB＝20°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝40°，
而360°÷40°＝9，
∴这个正多边形为正九边形，
故答案为：九．
15．（3分）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则sin∠ABC＝ ．
【解答】解：如图，连接AC，
由勾股定理得：AB2＝22+42＝20，BC2＝12+32＝10，AC2＝12+32＝10，
则BC2+AC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴sin∠ABC＝＝＝，
故答案为：．
16．（3分）如图，平行于x轴的直线与函数y＝（k1＞0，x＞0）和y＝（k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点．点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为4，则k1﹣k2的值为 8 ．
【解答】解：
设：A、B点的坐标分别是A（，m）、B（，m），
则：△ABC的面积＝•AB•yA＝•（﹣）•m＝4，
则k1﹣k2＝8．
故答案为8．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分）
17．（6分）计算：．
【解答】解：原式＝×+4+﹣1﹣4
＝．
18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于A（m，6），B（4，﹣3）两点，与y轴交于点C，连接OA，OB．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积．
【解答】解：（1）∵点B（4，﹣3）在反比例函数 和一次函数 的图象上，
∴．
解得k＝﹣12，b＝3，
∴反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为．
答：反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为；
（2）∵点A（m，6）在反比例函数 的图象上，
∴，
解得 m＝﹣2，
∴点A的坐标为（﹣2，6），
把x＝0代入 得y＝3，
∴点C的坐标为（0，3），
∴OC＝3，
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC'；
＝
＝9．
19．（6分）如图，灯塔B位于港口A的北偏东58°方向，且A，B之间的距离为30km，灯塔C位于灯塔B的正东方向，且B，C之间的距离为10km．一艘轮船从港口A出发，沿正南方向航行到达D处，测得灯塔C在北偏东37°方向上，灯塔B到直线AD的距离为BE．
（1）求BE的长；
（2）求DE的长（结果精确到0.1）．
（参考数据：sin58°≈0.85，cs58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【解答】解：（1）由题意得，∠E＝90°，
∵AB＝30km，∠BAE＝58°，
∴BE＝AB⋅sin58°≈30×0.8 5＝25.5（km）．
（2）∵BC＝10km，
∴CE＝BC+BE＝35.5（km），
∴DE＝CE÷tan37°≈35.5÷0.75≈47.3（km）．
答：BE的长为25.5km，DE的长为47.3km．
20．（8分）为了丰富学生们的课余生活，学校准备开展第二课堂，有四类课程可供选择，分别是“A．书画类、B．文艺类、C．社会实践类、D．体育类”．现随机抽取了七年级部分学生对报名意向进行调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图表信息回答下列问题：
（1）本次被抽查的学生共有 50 名，扇形统计图中“A．书画类”所占扇形的圆心角的度数为 72 度；
（2）请你将条形统计图补全；
（3）若该校七年级共有600名学生，请根据上述调查结果估计该校学生选择“C．社会实践类”的学生共有多少名？
（4）本次调查中抽中了七（1）班王芳和小颖两名学生，请用列表法或画树状图法求她们选择同一个项目的概率．
【解答】解：（1）本次被抽查的学生共有：20÷40%＝50（名），
扇形统计图中“A．书画类”所占扇形的圆心角的度数为；
故答案为：50，72；
（2）B类人数是：50﹣10﹣8﹣20＝12（人），
补全条形统计图如图所示：
（3）名，
答：估计该校学生选择“C．社会实践类”的学生共有96名；
（4）列表如下：
由表格可得：共有16种等可能的结果，其中王芳和小颖两名学生选择同一个项目的结果有4种，
∴王芳和小颖两名学生选择同一个项目的概率＝．
21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．
（1）求证：△ADC∽△CDB；
（2）若AD＝2，BD＝8，求CD．
【解答】解：（1）∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∠A+∠ACD＝90°，
∠ACB＝90°，
∴∠DCB+∠ACD＝90°，
∴∠A＝∠DCB，
∴△ADC∽△CDB．
（2）∵△ADC∽△CDB，
，
∴CD2＝AD•BD，
又∵AD＝2，BD＝8，
∴CD＝16，则CD＝4．
22．（9分）如图，AB，CD为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C的切线与AB的延长线交于点P，∠ABC＝2∠BCP，点E是的中点，弦CE，BD相交于点F．
（1）求∠OCB的度数；
（2）若EF＝3，求⊙O直径的长．
【解答】解：（1）∵PC与⊙O相切于点C，
∴OC⊥PC，
∴∠OCB+∠BCP＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵∠ABC＝2∠BCP，
∴∠OCB＝2∠BCP，
∴3∠BCP＝90°，
∴∠BCP＝30°，
∴∠OCB＝60°．
（2）连接DE，
∵CD是直径，
∴∠DEC＝90°，
∵点E是的中点，
∴，
∴∠DCE＝∠FDE＝∠ECB＝∠DCB＝30°，
∵∠E＝90°，EF＝3，∠FDE＝30°，
∴DE＝FE＝3，
∵∠E＝90°，∠DCE＝30°，
∴，
∴⊙O的直径的长为．
23．（9分）为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗．下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈端午节前在超市购买粽子的数量（单位：个）和付款金额（单位：元）．
（1）求豆沙粽和肉粽的单价；
（2）为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成A，B两种包装销售，每包都是40个粽子（包装成本忽略不计），每包的销售价格按其中每个粽子的单价合计．A，B两种包装中分别有m个豆沙粽，m个肉粽，A包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半．端午节当天统计发现，A，B两种包装的销量分别为（80﹣4m）包，（4m+8）包，A，B两种包装的销售总额为17280元，求m的值．
【解答】解：（1）设豆沙棕的单价为a元，肉粽的单价为b元，
由题意可得，，
解得：
答：豆沙粽的单价为3元，肉粽的单价为7元；
（2）由题意可得，[3m+7（40﹣m）]×（80﹣4m）+[3（40﹣m）+7m]×（4m+8）＝17280，
解得 m＝19 或 m＝10，
，
∴，
∴m＝10．
25．（10分）若两条抛物线相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，并满足y1﹣kx1＝y2﹣kx2，其中k为常数，我们不妨把k叫做这两条抛物线的“依赖系数”．
（1）若两条抛物线相交于A（﹣2，2），B（﹣4，4）两点，求这两条抛物线的“依赖系数”；
（2）若抛物线1：y＝2ax2+x+m与抛物线2：y＝ax2﹣x﹣n相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，其中a＞0，求抛物线1与抛物线2的“依赖系数”；
（3）如图，在（2）的条件下，设抛物线1和2分别与y轴交于C，D两点，AB所在的直线与y轴交于E点，若点A在x轴上，m≠0，DA＝DC，抛物线2与x轴的另一个交点为点F，以D为圆心，CD为半径画圆，连接EF，与圆相交于G点，求tan∠ECG．
【解答】解：（1）∵两条抛物线相交于A（﹣2，2），B（﹣4，4）两点，
∴2+2k＝4+4k，
∴k＝﹣1；
（2）∵抛物线1：y＝2ax2+x+m 与抛物线2：y＝ax2﹣x＝n相交于 A（x1，y1），B （x2，y2） 两点，
∴y1＝kx1＝y2＝kx2．
∴y1﹣y2＝k（x1﹣x2），
∵y＝2ax2+x+m，
则y1﹣y2＝2a（﹣）+（x1﹣x2）＝k（x1﹣x2），
∵x≠x，
∴2a（x1+x2）+1＝k，
联立抛物线1和2得：ax2+x+m＝ax2﹣x﹣n，
∴ax2+2x+m+n＝0 的两根为x1和x2，
，
∴k＝﹣3；
（3）∵抛物线 1：y＝2ax2+x+m 与抛物线 2：y＝ax2﹣x﹣n 的交点A（x1，y1）在x轴上，
∴y＝2+x1+m＝0，
∴，
∴，
∵DA＝DC，D（0，﹣n），C（0，m），
∴，
∴4m2+7mn﹣2n2＝0，
∴n＝4m 或 ．
∴当 时，A（0，0），
则 m＝0，
∵m≠0，
∴n＝4m，
∴A（﹣3m，0），
∴直线AB：y＝﹣3x﹣9m，
∴E（0，﹣9m），
∴18am2﹣3n+m＝0，
∴，即 ，
设F（x3，0），
则
∴x3＝12m，
∵D（0，﹣4m），C（0，m），
∴D是CE的中点，
∴CE为圆D的直径，点E在圆D上，
∠EGC＝90°，
∴∠ECG＝∠OFE
∴．移植的棵数a
100
300
600
1000
7000
15000
成活的棵数b
84
279
505
847
6337
13581
成活的频率
0.84
0.93
0.842
0.847
0.905
0.905
豆沙粽数量
肉粽数量
付款金额
小欢妈妈
20
30
270
小乐妈妈
30
20
230
移植的棵数a
100
300
600
1000
7000
15000
成活的棵数b
84
279
505
847
6337
13581
成活的频率
0.84
0.93
0.842
0.847
0.905
0.905
A
B
C
D
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
（D，D）
豆沙粽数量
肉粽数量
付款金额
小欢妈妈
20
30
270
小乐妈妈
30
20
230