黑龙江省哈尔滨市第六十九中学校2023-2024学年八年级下学期开学测试数学试题

这是一份黑龙江省哈尔滨市第六十九中学校2023-2024学年八年级下学期开学测试数学试题，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

活动时间：120分钟 满分：120分
一、选择题：（每小题3分，共30分）
1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查轴对称图形，根据轴对称图形的定义，一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，那么这个图形叫做轴对称图形，对选项进行分析判断即可．
【详解】解：A、该图形能找到一条直线，沿该直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，是轴对称图形，本选项符合题意；
B、该图形没有一条直线，沿该直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，不是轴对称图形，本选项不符合题意；
C、该图形没有一条直线，沿该直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，不是轴对称图形，本选项不符合题意；
D、该图形没有一条直线，沿该直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，不是轴对称图形，本选项不符合题意；
故选：A．
2. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据幂的运算法则，合并同类项，依次计算，即可求解，本题考查了幂的运算，合并同类项解题的关键是：熟练掌握幂的运算法则．您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高【详解】解：、，此选项错误，不符合题意，
、，此选项正确，符合题意，
、，此选项错误，不符合题意，
、，此选项错误，不符合题意，
故选：．
3. 在平面直角坐标系中，有点,点关于轴的对称点是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据关于轴对称的点的坐标：纵坐标相同横坐标互为相反数，可得答案．
【详解】关于轴对称点的坐标是纵坐标不变横坐标变为原来的相反数
可知，关于轴对称点的坐标是．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了关于轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的变化规律．
4. 三角形中到三边距离相等的点是（ ）
A. 三条边垂直平分线的交点B. 三条高的交点
C. 三条中线的交点D. 三条角平分线的交点
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．利用角平分线的性质可确定三角形中到三边距离相等的点满足的条件．
【详解】解：三角形三个内角的平分线的交点到三角形三边的距离相等．
故选：D
5. 可以写成（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，直接利用同底数幂的乘法的逆运算直接得出答案．
【详解】解：，
故选：C．
6. 等腰三角形的腰长等于，面积等于，则它的顶角等于（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了三角形面积公式、含角的直角三角形的性质，分两种情况：当等腰三角形的顶角为锐角时，过点作于；当等腰三角形的顶角为钝角时，过点作交的延长线于，分别求解即可得出答案．
【详解】解：如图，当等腰三角形的顶角为锐角时，过点作于，
，
，，
，
，
；
如图，当等腰三角形的顶角为钝角时，过点作交的延长线于，
，
，，
，
，
，
；
综上所述，顶角为或，
故选：D．
7. 已知分式的值等于0，则的值为（ ）
A. 0B. 1C. D. 1或
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是分式的值为0的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解答此题的关键．根据分式的值为0的条件及分式有意义的条件列出关于x的不等式组，求出x的值即可．
【详解】解：的值为零，
解得：
．
故选：B．
8. 一个三角形的三边长分别是，，,则此三角形的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式的加法运算，牢记法则是解题关键，先化简再进行加法计算即可．
【详解】解：由题意得：==．
故选A．
9. 如图所示，在△ABC中，∠C＝90°， AC＝4㎝，AB＝7㎝，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E，则EB的长是（ ）
A. 3㎝B. 4㎝C. 5㎝D. 不能确定
【答案】A
【解析】
【详解】试题解析：∵AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB,
∴DE=DC，
在Rt△AED和Rt△ACD中，
∵AD=AD，DE=DC，
∴Rt△AED≌Rt△ACD(HL)，
∴AE=AC=4cm，
∴BE=AB−AE=3cm，
故选A.
10. 如图所示，在中，，于，平分交于，在上，并且，则下列四个结论：
①，②，③，④，其中正确的结论有（ ）
A. ①③B. ②④C. ②③④D. ①②③④
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义；根据证明，再利用三角形全等的性质证明，，进而得出，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解此题的关键．
【详解】解：平分交于，
，
在和中，
，
，故④正确；
，故②③正确；
，于，
，，
，
，故①正确；
综上所述，正确的有①②③④，
故选：D．
二、填空题：（每小题3分，共30分）
11. 将数0.000000069用科学记数法表示___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
【详解】解：将数0.000000069用科学记数法表示为，
故答案为：．
12. 计算： =_____．
【答案】.
【解析】
【分析】
【详解】解：
故答案为：．
13. 二次根式有意义，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件求解即可．
详解】解：二次根式有意义，则，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义，被开方数非负是解题的关键．
14. 把多项式ax2+2axy+ay2分解因式的结果是_____．
【答案】a（x+y）2
【解析】
【分析】先提取公因式a，然后再利用完全平方公式进行分解即可．
【详解】原式=．
故答案为．
【点睛】本题考查了综合提公因式法及公式法分解因式，掌握分解因式的原则“一提（公因式），二套（公式），三彻底”是解题的关键．
15. 如图，点在上，点在上，且，，，则___．
【答案】45°##45度
【解析】
【分析】设，则可利用等腰三角形的两底角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得出，，，最后利用三角形的内角和求出x，就可以得出答案．
【详解】解：设，
，
，
又，
，
，
而，则，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，学会运用代数法解决几何计算问题，这是一种重要的方法，要熟练掌握．
16. 若，，则___________．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的特点是解决问题的关键．利用平方差公式进行计算，即可得出答案．
【详解】解：，
，
，
，
故答案为：5
17. 如图，点、是等边的、上的点，且，、相交于点，，已知，，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】由等边和，可证，得到，，进而求出，在中，，即可求解，本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，含角的直角三角形，解题的关键是：证明．
【详解】解：等边，
，，
又，
，
，，
，
又，，
，
又，
，
在中，，
故答案为：．
18. 如图，在中，，的垂直平分线交于D，连接，若的周长为27，则的长为___________．
【答案】12
【解析】
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质，可以得到，根据三角形周长可以得到，结合题意即可得到结果．
【详解】解：为的垂直平分线，
，
，
，
，
故答案为：12．
19. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为52º,则该三角形的底角的度数为________.
【答案】71°或19°
【解析】
【详解】试题解析：分两种情况讨论：
①若∠A＜90°，如图1所示：
∵BD⊥AC，
∴∠A+∠ABD=90°，
∵∠ABD=52°，
∴∠A=90°-52°=38°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=（180°-38°）=71°；
②若∠A＞90°，如图2所示：
同①可得：∠DAB=90°-52°=38°，
∴∠BAC=180°-38°=142°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=（180°-142°）=19°；
综上所述：等腰三角形底角的度数为19°或71°．
故答案为19°或71°．
20. 如图，为中边上的中线，平分交边于点E，且，若，则线段的长为___________．
【答案】10
【解析】
【分析】延长至点F，使，连接，再根据证明≌，可得，，结合角平分线的定义及直角三角形的性质，然后根据等角对等边得出答案.
【详解】如图所示，延长至点F，使，连接．
∵，，
∴≌，
∴，.
∵平分，
∴.
∵，，
∴，
∴，
即，
∴.
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，中线的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，构造辅助线是解题的关键．
三、解答题：（其中21-25题各8分，26-27各10分，共60分）
21. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）9；（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用完全平方公式以及多项式乘多项式运算法则计算得出答案；
（2）直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简以及整式的混合运算，正确化简二次根式是解题的关键．
22. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，6
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值、零指数幂、负整数指数幂，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，再根据零指数幂和负整数指数幂求出的值，代入进行计算即可，熟练掌握分式的混合运算法则是解此题的关键．
【详解】解：
，
当时，原式．
23. 在平面直角坐标系中的位置如图所示：
（1）请画出关于x轴对称的；
（2）请画出向右平移6个单位的图形；
（3）请直接写出面积．
【答案】（1）见详解；
（2）见详解； （3）4.
【解析】
【分析】本题考查了轴对称变换的性质与平移变换的性质，熟练掌握轴对称变换的性质与平移变换的性质是解题的关键．
（1）根据轴对称变换的性质找出对应点即可求解；
（2）根据平移变换性质找出对应点即可求解；
（3）根据三角形面积计算公式即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问3详解】
解：的面积.
24. 先阅读下面的解答过程，再解决问题
形如的化简，只要我们找到两个数a、，
使，，
这样，，
于是
举例：化简
解：这里，
∵，
即，，
∴
用上述例题的方法化简：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题主要考查了二次根式的性质与化简正确运用完全平方公式是解题关键．
(1)直接利用完全平方公式将原式变形进而化简得出答案；
(2)直接利用完全平方公式将原式变形进而化简得出答案．
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
．
25.
（1）请同学们观察：用4个长为a宽为b的长方形硬纸片拼成的图形（如图），根据图形的面积关系，我们可以写出一个代数恒等式为：；
（2）根据（1）中的等量关系，解决如下问题：
①若，，求的值；
②已知，，请利用上述等式求mn的值．
【答案】（1），
（2）①
②1
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，对于（1），根据大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个长方形的面积和解答即可；
对于（2）①，直接代入关系式计算即可，②仿照①解答即可．
【小问1详解】
根据题意可知；
故答案为：，；
【小问2详解】
①由（1）可知．
当，时，
，
解得；
②由（1）可知．
当，时，
，
解得．
26. 虹桥中学为了创建良好的校园读书环境，去年购买了一批图书．其中故事书的单价比文学书的单价多4元，用1200元购买的故事书与用800元购买的文学书数量相等．
（1）求去年购买的文学书和故事书的单价各是多少元？
（2）若今年文学书的单价比去年提高了，故事书的单价与去年相同，这所中学今年计划再购买文学书和故事书共200本，且购买文学书和故事书的总费用不超过2120元，这所中学今年至少要购买多少本文学书？
【答案】（1）去年购买的文学书每本8元，故事书每本12元；（2）今年至少要购买140本文学书．
【解析】
【分析】（1）设去年购买的文学书每本元，则故事书每本元，根据题意列分式方程，解此分式方程，并检验即可解题；
（2）设今年这所中学要购买本文学书，根据总费用不超过2120元列一元一次不等式，解此不等式即可．
【详解】解：（1）设去年购买的文学书每本元，则故事书每本元，
，
，
经检验是原分式方程的解，
，
答：去年购买的文学书每本8元，故事书每本12元．
（2）设今年这所中学要购买本文学书，
．
答：今年至少要购买140本文学书．
【点睛】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
27. 已知：是的高，且．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，K为内一点，连接，且，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，点E、F分别在线段上，连接分别交于点G、H，连接，若，试猜想的度数，请直接写出你的猜想并证明．
【答案】（1）证明过程见详解；
（2）证明过程见详解；
（3），证明过程见详解．
【解析】
【分析】（1）用可证明，可得，即可得结论；
（2）延长交于F，三角形的外角性质及，可得结论；
（3）过点C作的垂线，截取，连接，，证，得，延长至点Q，使，连接，，，证，得，再证，得，接下来证明，得，证明，得，可得．
【小问1详解】
证明：是的高，
，
，，
，
；
【小问2详解】
证明：延长交于F，
，，
，
，
．
小问3详解】
证明：过点C作的垂线，截取，连接，，
，
，
，
，
，
延长至点Q，使，连接，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴，
，
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．