黑龙江省哈尔滨市南岗区第十七中学校2021-2022学年九年级上学期期中数学(五四制)试题（原卷版+解析版）

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1. 的相反数是（ ）
A. B. 17C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据相反数的定义，直接求解即可．
【详解】解：的相反数是17，
故选：B．
【点睛】本题主要考查相反数的定义，掌握“只有负号不同的两个数叫做互为相反数”是关键．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用同底数幂的乘积、同底数幂的除法、合并同类项、幂的乘方进行求解即可．
【详解】解：Ａ，，故选项错误，不符合题意；
B，，故选项错误，不符合题意；
C，与不是同类项，不能进行合并，故选项错误，不符合题意；
D，，故选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘积、同底数幂的除法、合并同类项、幂的乘方，解题的关键是：熟练掌握相关的运算法则．
3. 下列图形中一定是中心对称图形的是（ ）
A. 三角形B. 四边形C. 正五边形D. 平行四边形
【答案】D
【解析】
【分析】如果一个图形绕着某一定点旋转180°后能够与原来的图形重合，则这个图形是中心对称图形，定点称为旋转中心．根据此定义即可作出判断．
【详解】三角形、四边形、正五边形均不是中心对称图形，只有平行四边形是中心对称图形
故选：D
【点睛】本题考查了中心对称图形的识别，理解中心对称图形的概念并知道一些常见中心对称图形图形是关键．
4. 四个相同的小正方形组成的立体图形如图所示，它的主视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】找到从正面看到的图形即可，注意所有看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】解：主视图有2列，每列小正方形的数目分别为2和1．
故选：A．
【点睛】本题考查了三视图的知识，知道主视图是从物体正面看得到的视图是解题关键．
5. 如图，四边形内接于，如果它的一个外角，那么的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由平角的性质得出∠BCD=116°，再由内接四边形对角互补得出∠A=64°，再由圆周角定理即可求得∠BOD=2∠A=128°．
【详解】∵
∴
∵四边形内接于
∴
又∵
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角；在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
6. 分式方程的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先去分母化成整式方程，然后解整式方程即可．
【详解】解：
3=x-2
x=5
经检验x=5是分式方程的解
所以该分式方程的解为x=5．
故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，掌握解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1和检验是解答本题的关键，而且检验也是这类题的易错点．
7. 小梅随机选择在下周一至周五的某一天去打新冠疫苗，则她选择在周二去打疫苗的概率为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意中从下周一至周五的某一天去打新冠疫苗，共有5种情况，且每种情况的可能性相同，即可得出选择周二打疫苗的概率．
【详解】解：小梅选择周一到周五共有5种情况，且每种情况的可能性相同，均为，
∴选择周二打疫苗的概率为：，
故选：B．
【点睛】题目主要考查简单概率的计算，理解题意是解题关键．
8. 将抛物线先向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得到的抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．
【详解】解：将抛物线先向右平移5个单位长度，得：；
再向上平移3个单位长度，得：，
故选：D．
9. 如图，在中，分别是、上的点，，与相交于，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理以及相似三角形的判定与性质逐项验证即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
，
，故A错误；
，
，故B正确；
，
，
，
，
，
由知，
，故C错误；
由知，故D错误；
故选：B．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握两个三角形相似的判定定理及性质是解决问题的关键．
10. 已知林茂的家、体育场、文具店在同一直线上，图中的信息反映的过程是：林茂从家跑步去体育场，在体育场锻炼了一阵后又走到文具店买笔，然后再走回家．图中表示时间，表示林茂离家的距离．依据图中的信息，下列说法错误的是（ ）

A. 体育场离林茂家
B. 体育场离文具店
C. 林茂从体育场出发到文具店的平均速度是
D. 林茂从文具店回家的平均速度是
【答案】C
【解析】
【分析】从图中可得信息：体育场离文具店1000m，所用时间是（45﹣30）分钟，可算出速度．
【详解】解：从图中可知：体育场离林茂家，
体育场离文具店的距离是：，
所用时间是min，
林茂从文具店回到家所用时间为90-65=25min，文具店距家的距离为1.5km，
∴体育场出发到文具店的平均速度，
林茂从文具店回家的平均速度是，
所以选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意，
故选C．
【点睛】本题运用函数图象解决问题，看懂图象是解决问题的关键．
二、填空题（每题3分，共30分）
11. 将数据36000用科学记数法表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：将数据36000用科学记数法表示为：．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查科学记数法的表示，解题的关键熟知科学记数法的表示方法.
12. 在函数中，自变量的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】分母不为0即可．
【详解】解：由题意可知：，
解得，
故答案为．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，注意分母不为0即可，属于基础题．
13. 反比例函数的图象经过点，则k的值为______．
【答案】-5
【解析】
【分析】把（，）代入函数解析式即可求的值．
【详解】解：由题意知，．
解得：
故答案是：
【点睛】本题考查是用待定系数法求反比例函数的比例系数，解题关键是将点的坐标代入函数的解析式中．
14. 计算______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的减法运算，先利用二次根式的性质化简，再相减即可．
【详解】解：，
故答案为：．
15. 多项式分解因式的结果是______.
【答案】
【解析】
【分析】先提出公因式a，再利用平方差公式因式分解．
【详解】解：a3-4a=a（a2-4）=a（a+2）（a-2）．
故答案为a（a+2）（a-2）．
【点睛】本题考查提公因式法和公式法进行因式分解，解题的关键是熟记提公因式法和公式法．
16. 二次函数的最大值为______．
【答案】2
【解析】
【分析】根据二次函数的性质可得当x=0时，函数有最大值，然后代入计算即可．
【详解】解：∵a=-1<0
∴当x=0时，该函数有最大值，即最大值为：=2．
故填：2．
【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，灵活运用二次函数的性质成为解答本题的关键．
17. 不等式组的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】首先分别解两个不等式，再根据：大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小取不着，写出公共解集即可．
【详解】解不等式，得：
解不等式，得
不等式组的解集为：
故答案为：
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是解答此题的关键．
18. 在中，，点D在边上，连接，若为直角三角形，则为______度．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，分情况讨论是本题的关键．当为直角三角形时，存在两种情况：或，根据三角形的内角和定理可得结论．
【详解】解：分两种情况：
①如图1，当时，
∵，
∴；
②如图2，当时，
∵，
∴，
∴，
综上，则的度数为或；
故答案为：60或10．
19. 若扇形的圆心角为90°，半径为4，则该扇形的弧长为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据弧长公式求解即可，弧长．
【详解】解：由弧长公式可得：该扇形的弧长为
故答案为：
【点睛】此题考查了弧长的计算，解题的关键是掌握弧长计算公式．
20. 如图，中，D为AC中点，E为BC上一点，连接DE，且，若，，则BC的长度为______．
【答案】17
【解析】
【分析】取BC的中点F，连接DF，由三角形中位线定理可得，DF∥AB， 再由可得△DFE是等腰三角形，且EF=DF，则CF可求出来，从而可求得BC的长度．
【详解】如图，取BC的中点F，连接DF
则BC=2CF
∵D点是AC中点
∴DF是△ABC的中位线
∴，DF∥AB
∴∠CFD=∠ABC
∵
∴∠CFD=2∠DEC
∵∠CFD=∠DEC+∠FDE
∴∠DEC=∠FDE
∴
∴
∴
故答案为：17
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，三角形中位线定理，取BC的中点F得到等腰△DEF是关键．
三、解答题（21题7分，22题7分，23、24题每题8分，25、26、27题每题10分，共计60分）
21. 先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【解析】
【分析】根据分式的四则运算进行化简，再根据特殊角的三角函数值，求得代入求解即可．
【详解】解：原式
当时，原式．
【点睛】此题考查了分式化简求值，涉及了特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握分式的四则运算法则以及特殊角的三角函数值．
22. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C、D、E、F均在格点上在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．
（1）在图①中以线段AB为边画一个锐角，使其面积为6．
（2）在图②中以线段CD为边画一个钝角，使其面积为6．
【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析
【解析】
【分析】（1）作以AB为底的锐角三角形即可；
（2）根据面积为6作图即可；
【详解】（1）以AB为底，设高为h，则，解得，如图所示；
（2）当时，，，如图所示，
【点睛】本题主要考查了格点作图，准确分析作图是解题的关键．
23. 为了解中考体育科目训练情况，某区从全区九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如图、图2所示的两幅不完整的统计图，请根据统计中的信息解答下列问题：
（1）求本次抽样测试的学生人数是多少；
（2）通过计算把条形统计图补充完整；
（3）该区九年级有学生3500名，如果全部参加这次中考体育科目考试，请估计不及格的人数有多少人．
【答案】（1）抽样测试的学生人数为40人；（2）条形统计图见详解；（3）估计不及格人数有700人
【解析】
【分析】（1）用B级人数除以B级人数占的百分比即可；
（2）用（1）中求得的数据乘以即可求出C级人数，然后补全统计图即可；
（3）用总人数乘以D级人数的比例即可．
【详解】解：（1）（人），
∴本次抽样测试的学生人数是40人；
（2）（人），
∴抽样测试中为C级的人数是14人，
补全条形统计图，如图所示；
（3）（人），
∴估计不及格的人数有700人．
【点睛】题目主要考查扇形统计图和条形统计图的综合，求样本总量，画条形统计图，用样本估计总体等，理解题意，数量掌握计算方法是解题关键．
24. 已知，点D是的边AB上一点，点M为AC的中点，过点C作交DM的延长线于N，连接CD、AN．
（1）如图1，求证：四边形ADCN是平行四边形；
（2）如图2，若，，，请直接写出图中所有与线段AN相等的线段（线段AN除外）．
【答案】（1）见解析；（2）AD，BD，CD，CN
【解析】
【分析】（1）由中点的定义得到，再利用证明，得到，根据平行四边形的判定定理即可证明四边形是平行四边形；
（2）由，根据三角形外角的性质得到，根据等角对等边的性质可得：，结合中点的定义，根据矩形的判定定理判断出四边形ADCN是矩形，由于，，根据直角三角形斜边上的中线性质可得：，根据正方形的判定定理判断出四边形ADCN是正方形，即可求得答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵点M为AC的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形ADCN是平行四边形．
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形ADCN是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形ADCN是正方形，
∴，
与线段AN相等的线段有：AD、BD、CD、CN．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形、正方形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活利用各个判定与性质是解题的关键．
25. 某商品经销店欲购进A、B两种纪念品，用320元购进的A种纪念品与用400元购进的B种纪念品的数量相同，每件B种纪念品的进价比A种纪念品的进价贵10元．
（1）求A、B两种纪念品每件的进价分别为多少？
（2）若该商店A种纪念品每件售价45元，B种纪念品每件售价60元，这两种纪念品共购进200件，这两种纪念品全部售出后总获利不低于1600元，求A种纪念品最多购进多少件．
【答案】 A种纪念品每件的进价为40元，B种纪念品每件的进价为50元； A种纪念品最多购进80件．
【解析】
【分析】设A种纪念品每件的进价为x元，则B种纪念品每件的进价为元，根据数量总价单价结合用320元购进的A种纪念品与用400元购进的B种纪念品的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设购进A种纪念品a件，则购进B种纪念品件，根据总利润单件利润购买数量结合这两种纪念品全部售出后总获利不低于1600元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其内的最大值即可得出结论．
【详解】设A种纪念品每件的进价为x元，则B种纪念品每件的进价为元．
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
．
答：A种纪念品每件的进价为40元，B种纪念品每件的进价为50元．
设购进A种纪念品a件，则购进B种纪念品件，
根据题意得：，
解得：．
答：A种纪念品最多购进80件．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据数量间的关系，正确列出一元一次不等式．
26. 已知，内接于，AD、BD为的弦，且．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，过B作的切线交AC的延长线于E，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接CD，若，，，求CE的长度．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等，可得，结合已知条件和三角形内角和定理即可得，进而根据等角对等边即可证明；
（2）根据切线的性质可得，，根据三角形内角和定理可得，进而可得，根据圆周角定理可得，结合（1）的结论即可证明；
（3）连接，先证明，延长AD交BC的延长线于G，作于G，于N，于Q，延长AB至S，连接ES，使，作于F，于R, 设，，则 ，通过角度的计算推导，根据等角对等边可得，，，设，，根据得出，进而在，中，根据勾股定理求得，设，，在与中，勾股定理求得，进而求得，通过导角可得，结合已知条件求得，进而通过角度计算可得，则，进而计算，根据等边对等角求得．
【详解】（1）
∵
∴
∵
∴
∴；
（2）连OB、OD，如图，
∵BE为切线
∴
∴，
∴
则
，
∴
（3）如图，连接，
是切线，
如图，延长AD交BC延长线于G，作于G，于N，于Q，延长AB至S，连接ES，使，作于F，于R,
∵，
设，，则 ，
∴
∴
∴
∵
∴，
又
，
∵，设，，
，则，
，
又
∴
∴，
∵
∴在中，，
在中，，
即
∴
∴，设，
∵
在与中，
∴
∴
解得：
∴
，
∴
∵
∴
∴
∵，
∴
【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，勾股定理，等角的锐角三角形函数值相等，三角形全等的性质与判定，角平分线的判定，添加辅助线并理清各角之间的关系是解题的关键．
27. 已知，平面直角坐标系中，抛物线交y轴于点A，交x轴于点B、C，为等边三角形，．
（1）如图1，求抛物线解析式．
（2）如图2，P为AC上方抛物线上一点，过P作交AC于D，设点P的横坐标为t，PD的长度为d，求d与t的函数关系式；
（3）如图3，在（2）的条件下，在x轴上点B左侧取一点E，使得点E在AD的垂直平分线上，连接ED，若的周长为36，求d的值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）用待定系数法和等边三角形性质求出两个x轴上的交点坐标，然后即可求出二次函数解析式．
（2）求出AC所在直线解析式，再用二次函数解析式减去直线函数解析式即可．
（3）作辅助线如下图，先通过三角形全等推出△EKC为等边三角形，所以EC=CK，D点横坐标为t，则HC=5-t，由于等边，所以每个角是60°，所以DC=2HC=10-2t，由于全等，所以KA=DC=10-2t，AC=10，所以EC=KC，所以EO可以用t表示，AO=5，AE=DE=30-ED-CD可用t表示，再通过勾股定理AE²=EO²+AO²建立等量关系，再解出t，再把t代入第二问解析式中求出d即可．
【详解】（1）设二次函数解析式为
∵为等边三角形，
∴，
，
∴，，代入解得，
∴
（2）延长PD交x轴于H，
设AC解析式为：
过，，
代入解得，．
∴
∴
∵
∴
（3）连接AE，延长CA至K，使，连接EK，
∵点E在AD的垂直平分线上．
∴．
∴
∴
∴
∴
∴，
．
∵
∴为等边三角形
∴
∴．
∵的周长为36
∴．
中，，
（舍），，
由（2）得．
【点睛】本题考查二次函数解析式求解，等边三角形性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握这些是本题结题关键．