吉林省四平市铁东区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列计算正确的是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的加减法对A、C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断．
【详解】；解：A. 与不能合并计算，故选项错误；
B. ，故选项正确；
C. 与不能合并计算，故选项错误；
D. ，故选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的计算，熟悉相关性质是解题的关键．
2. 如图所示，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，若BC＝6，则OE的长为（ ）
A. 2B. 2.5C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】先说明OE是△BCD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解．
【详解】解：∵▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴OB＝OD，
∵点E是CD的中点，
∴CE＝DE，
∴OE是△BCD的中位线，
∵BC＝6，
∴OE＝BC＝3．
故选：C．
【点晴】本题考查了平行四边形性质：对角线互相平分这一性质和三角形的中位线定理．
3. 以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ）
A. 2，3，4B. 3，，5C. 5，12，13D. 4，4，8
【答案】C
【解析】
【分析】先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可．
【详解】解：A．，
以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B．，
以3，，5为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C．，
以5，12，13为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
D．，
以4，4，8为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
4. 如图，正方形中，以对角线为一边作菱形，则等于( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的性质；根据正方形的性质求出，再根据菱形的性质，即可解决问题．
【详解】解：四边形是正方形，
，
四边形是菱形，
，
故选：A．
5. 为考察甲、乙、丙、丁四种小麦的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗，获得苗高（单位：cm）的平均数与方差为：==13，==15：s甲2=s丁2=3.6，s乙2=s丙2=6.3．则麦苗又高又整齐的是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】D
【解析】
【分析】方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，数据越不稳定；方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定，据此判断出小麦长势比较整齐的是哪种小麦即可．
【详解】∵=＞=，
∴乙、丁的麦苗比甲、丙要高，
∵s甲2=s丁2＜s乙2=s丙2，
∴甲、丁麦苗的长势比乙、丙的长势整齐，
综上，麦苗又高又整齐的是丁，
故选D．
【点睛】本题主要考查了方差的意义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，数据越不稳定；方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定．
6. 如图1，动点K从△ABC的顶点A出发，沿AB﹣BC匀速运动到点C停止．在动点K运动过程中，线段AK的长度y与运动时间x的函数关系如图2所示，其中点Q为曲线部分的最低点，若△ABC的面积是5，则图2中a的值为（ ）
A. B. 5C. 7D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可知AB＝AC，点Q表示点K在BC中点，由△ABC的面积是5，得出BC的值，再利用勾股定理即可解答.
【详解】由图象的曲线部分看出直线部分表示K点在AB上，且AB＝a，
曲线开始AK＝a，结束时AK＝a，所以AB＝AC．
当AK⊥BC时，在曲线部分AK最小为5．
所以 BC×5＝5，解得BC＝2．
所以AB＝．
故选A．
【点睛】此题考查动点问题的函数图象,解题关键在于结合函数图象进行解答.
二、填空题（每小题3分，共24分）
7. 化简：____________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．
【详解】解：原式
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
8. 小聪准备测量河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边远的水底，竹竿高出水面，把竹竿的顶端拉向岸边，竹竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为__________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据河水深度、竹竿到岸边的距离、竹竿长构成直角三角形，利用勾股定理进行计算即可．
【详解】根据题意画出示意图，如图，则AC=0.5m，，，

所以BC即为河水深度，，
∵，
∴是直角三角形，
∴，
∴，
解得：BC=2（m），
故答案为：2．
【点睛】本题考查了勾股定理，根据题意画示意图找出与所求边长相关线段所构成直角三角形是解题关键．
9. 如图，平行四边形中，对角线、相交于点O，过点O的直线分别交、于点E、F，若，，，则图中阴影部分的面积是 ____________________．

【答案】
【解析】
【分析】由平行四边形中，对角线、相交于点O，可得，可得阴影部分面积等于的面积，即为面积的一半，过点C作于点P，可得，，从而可得答案．
【详解】解：∵平行四边形中，对角线、相交于点O，
∴，
∴阴影部分面积等于的面积，即为面积的一半，
过点C作于点P，

∵，，
∴，，，
∴，
∴阴影部分面积为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，勾股定理的应用，熟记平行四边形是中心对称图形是解题的关键．
10. 如图，已知函数与函数的图象交于点，则方程组的解是______．
【答案】
【解析】
【分析】利用“方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标”解决问题．
【详解】解：∵点P为函数与函数的图象的交点，
∴方程组的解为．
故答案为：．
【点睛】本题考查方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标，将方程组的解转化为图像的交点问题．
11. 如图，一次函数的图象与x轴交于点，则关于x的不等式的解集为___．
【答案】
【解析】
【分析】的解集即为一次函数的图象x轴上方部分的自变量取值范围，根据图象直接解答．
【详解】解：∵一次函数的图象与轴交于点，
∴的解集即为一次函数的图象x轴上方部分的自变量取值范围，
∴不等式的解集为，
故答案为：．
【点睛】此题考查了一次函数的图象与不等式的关系，正确理解函数图象与不等式的关系是解题的关键．
12. 若一次函数图象经过第一、三、四象限，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质，解题的关键是掌握一次函数的图像与性质．首先根据一次函数的图像经过第一、三、四象限，得，解此不等式组即可得到的取值范围．
【详解】解：一次函数的图像经过第一、三、四象限，
，
解得：，
的取值范围是，
故答案为：．
13. 在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C所对的边．若a2 + b2 = 25，a2- b2 = 7，c = 5，则最长边上的高是______________________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，再解二元二次方程组求出的值，从而可得的值，然后利用三角形的面积公式即可得．
【详解】解：，
，
是直角三角形，且，
，
，
又，
，
设最长边上的高是，
则，即，
解得，
即最长边上的高是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、二元二次方程组的应用等知识点，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．
14. 如图，在菱形中，点是对角线上一点，连接，若，且， ，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握菱形的性质．连接交于，由勾股定理求出的长，由三角形面积公式求出的长，由勾股定理求出的长，由菱形的性质即可求出的长．
【详解】解：连接交于，
，
，
，，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式的混合运算．先算二次根式的除法，把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【详解】解：
．
16. 如图，在平行四边形中，，，平分交于点，求的长．
【答案】的长为3．
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质．根据四边形为平行四边形可得，根据平行线的性质和角平分线的定义可得出，继而可得，然后根据已知可求得的长度．
【详解】解：四边形为平行四边形，
∴，
，
平分，
，
，
，
，，
．
17. （1）在直角坐标系中画出直线：；
（2）将直线向下平移个单位得到直线，请直接写出直线的函数解析式为： ．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了画一次函数图象，一次函数图象的平移，熟知一次函数的相关知识是解题的关键．
（1）根据两点法画出图像即可；
（2）根据平移的规律即可求得．
【详解】解：（1）令，则，令，则，
直线：过和两点，可根据和画出函数图像，
如图所示；
（2）将直线向下平移个单位得到直线，
直线的函数解析式为，
故答案为：．
18. 如图，已知四边形是平行四边形，、两点的坐标分别为，．
（1）点的坐标为： ；
（2）求直线的函数解析式．
【答案】（1）
（2）直线的函数解析式为y＝2x
【解析】
【分析】本题考查的是坐标与图形，利用待定系数法求解正比例函数的解析式，平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行且相等是解题的关键．
（1）过点作于点，过点作轴于点，利用点的坐标的性质和平行四边形的性质解答即可；
（2）利用待定系数法解答即可．
【小问1详解】
解：过点作于点，过点作轴于点，如图，
、两点的坐标分别为，，
，，，
，
，
为等腰直角三角形，
．
四边形是平行四边形，
，，
．
，轴，
四边形矩形，
，
，
，
故答案为：；
【小问2详解】
设直线的函数解析式为，将点代入
得：，
解得：，
直线的函数解析式为．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19. 如图，的对角线相交于点O，是等边三角形，．
（1）求证：是矩形；
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）本题考查等边三角形的性质，矩形的判定，根据等边三角形性质求出，根据平行四边形的性质求出，，求出，根据矩形的判定得出即可；
（2）本题考查矩形的性质，勾股定理，求出、根据勾股定理求出，根据面积公式求出即可；
【小问1详解】
证明：∵是等边三角形，
∴，
∵四边形平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴平行四边形是矩形；
【小问2详解】
解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，（不符合题意舍去），
∴的面积是．
20. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点是的中点．

（1）在轴上存在点，使得，求点的坐标；
（2）在轴上是否存在一点，使得是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）点的坐标为或；
（2）存在，点的坐标或．
【解析】
【分析】本题考查一次函数的图象和性质，以及勾股定理，三角形的面积公式，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
（1）根据已知求得、坐标，由重点坐标公式求坐标，根据三角形面积公式建立方程，求解即可；
（2）设点坐标，当是直角三角形分两种情况：或时求解即可．
【小问1详解】
解：与轴交于点，与轴交于点，
当时，，则，
当时，，，则，
，，
∴，
∵点是的中点，
，
，
设，
则，
，
当时，，
解得：或，
∴点的坐标为或；
【小问2详解】
解：设轴存在一点，使得是直角三角形，
，，，
根据勾股定理可得：，
，
，，
是直角三角形，分两种情况：
①时，与原点重合，此时；
②时，则，
，
解得：，此时，
综上所述：点的坐标或．
21. 如图，四边形的对角线相交于点O，，且，，．
（1）试判定四边形的形状；
（2）若，，求四边形的面积．
【答案】（1）四边形是菱形，理由见解析；
（2）．
【解析】
【分析】此题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质，熟记平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质是解题的关键．
（1）根据题意推出平行四边形是矩形，四边形是平行四边形，根据矩形的性质得出，即可判定四边形是菱形；
（2）根据矩形的性质求出，根据菱形的性质求出，解直角三角形求出，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求解即可．
【小问1详解】
解：四边形是菱形，理由如下：
∵
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形，
∴，
∴，
∵
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
【小问2详解】
解：∵四边形是矩形，，
∴，
∵四边形是菱形，，
∴
∴
∴，
∴菱形的面积．
22. 为了全面了解学生的学习、生活及家庭的基本情况，加强学校、家庭的联系，实验中学积极组织全体老师开展“课外访万家活动”，张老师对所在班级的全体学生进行实地家访，了解到每名学生家庭的相关信息，现从中随机抽取15名学生家庭的年收入情况，数据如下表：
（1）求这15名学生家庭年收入的平均数、中位数、众数；
（2）你认为用（1）中的哪个数据来代表这15名学生家庭年收入的一般水平较为合适？
【答案】（1）这15名学生家庭年收入的平均数是万元，中位数是3万元，众数是3万元；（2）用众数或中位数代表这15名学生家庭年收入的一般水平较为合适．
【解析】
【分析】（1）根据平均数、中位数和众数的定义求解即可；
（2）在平均数，众数和中位数中，平均数受到极端值的影响较大，所以众数和中位数都能反映家庭年收入的一般水平．
【详解】解：（1）这15名学生家庭年收入的平均数是（万元），
将这15个数据从小到大排列，最中间的数（第8个）是3，所以中位数是3万元，
在这一组数据中3出现次数最多，所以众数是3万元．
（2）用众数或中位数代表这15名学生家庭年收入的一般水平较为合适．
【点睛】本题主要考查的是平均数、众数和中位数的概念和其意义，解决本题的关键是要熟练掌握平均数、众数和中位数的概念和其意义.
五、解答题（每小题8分，共16分）
23. 如图，在中，，．，点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒（）．过点作于点，连接、．
（1）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；
（2）当为何值时，为直角三角形？请直接写出相应的值为： ．
【答案】（1）能，当时，四边形为菱形
（2）或
【解析】
【分析】此题是四边形综合题目，考查了菱形的判定与性质、直角三角形的性质，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是灵活应用这些知识．
（1）先证明四边形为平行四边形．得出，，当时，平行四边形为菱形，得出，即可求解；
（2）分三种情况讨论：①时；②时；③时，分别求出的值即可．
【小问1详解】
解：能，理由如下：
，，
．
又，，，
，
，
四边形为平行四边形．
，，
∴，
由勾股定理得：，
，，
，
当时，平行四边形为菱形，
，
；
即当时，四边形为菱形；
【小问2详解】
（2）当或时，为直角三角形；
理由如下：
①时，四边形为矩形．
在中，，
．即，
；
②时，由（1）知，
．
，
．
即，
；
③时，
，
点运动到点处，用了秒钟，
同时点也运动秒钟，点就和点重合，
点也就和点重合，
点，，不能构成三角形．
此种情况不存在；
综上所述，当或时，为直角三角形．
故答案为：或．
24. 甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品．春节期间两家商场都让利酬宾，其中甲商场所有商品按8折出售，乙商场对一次购物中超过200元后的价格部分打7折．
（1）以x（单位：元）表示商品原价，y（单位：元）表示购物金额，分别就两家商场的让利方式写出y关于x的函数解析式；
（2）春节期间如何选择这两家商场去购物更省钱？
【答案】（1）甲，乙；
（2）当购物金额按原价等于600元时，在两商场购物花钱一样多；
当购物金额按原价大于600元时，在乙商场购物省钱；
当购物金额按原价小于600元时，在甲商场购物省钱
【解析】
【分析】（1）根据题意列出解析式，甲商场直接用商品原价乘以折扣等于购物金额，乙商场分情况讨论，区分200元以内和超过200元两种情况；
（2）比较甲乙两家商场的购物金额，解一元一次不等式即可
【详解】（1）商品原价乘以折扣等于购物金额
甲
当时，
当时，
乙
（2）两商场购物花钱一样多时：
，解得：
在甲商场购物省钱：
，解得：
乙商场购物省钱：
，解得：
当购物金额按原价等于600元时，在两商场购物花钱一样多；
当购物金额按原价大于600元时，在乙商场购物省钱；
当购物金额按原价小于600元时，在甲商场购物省钱．
【点睛】本题考查了列代数式，一元一次不等式的应用，理解题意列出解析式是本题解题的关键．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25. 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，正方形的顶点A、C分别在x轴与y轴上，已知正方形边长为3，点D为x轴上一点，其坐标为，连接，点P从点C出发以每秒1个单位的速度沿折线C→B→A的方向向终点A运动，当点P与点A重合时停止运动，运动时间为t秒．
（1）求线段的函数解析式；
（2）连接，求的面积S关于t的函数解析式；
（3）点P在运动过程中，是否存在某个位置使得为等腰三角形，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由．
【答案】（1）线段CD的解析式为：
（2）
（3）点P的坐标为：， ，
【解析】
【分析】（1）设直线的函数解析式为，经过，构建方程组求解函数解析式即可；
（2）点P运行至点B时，（秒），分情况讨论，当点P在上时，，；当点P运行至点A时，（秒），当点P在上时，，；
（3）①当点P在线段上时，若使得为等腰三角形，则，设，构建方程求解得；当点P在上时，设，则 ，，分情况讨论：若，若，若，分别构建方程求解．
【小问1详解】
解：线段的函数解析式为，经过，则解得，
∴线段的函数解析式为
【小问2详解】
解：点P运行至点B时，（秒）
当点P在上时，，；

当点P运行至点A时，（秒），
当点P在上时，，
；
∴
【小问3详解】
解：①当点P在线段上时，若使得为等腰三角形，则，
设，则，解得，
∴

②当点P在上时，设，则，，
若，则，即，，
∴ （舍去）
∴．
若，则，解得
∴．
若，则，解得（舍去），
∴
综上，点P的坐标为：， ，
【点睛】本题考查确定一次函数解析式，直角坐标系内与几何图形有关的动点问题，等腰三角形的性质；结合动点运行情况分类讨论是解题的关键．
26. 如图1，四边形为菱形，．，，．
（1）点A坐标为 ，四边形的面积为 ；
（2）如图2，点E在线段上运动，为等边三角形．
①求证：，并求的最小值；
②点E在线段上运动时，点F的横坐标是否发生变化？若不变，请求出点F的横坐标．若变化，请说明理由．
【答案】（1），
（2）①证明见解析；的最小值为；②不变，点F的横坐标为
【解析】
【分析】（1）先求出，，再由菱形的性质得到，则，进而由梯形面积公式可得
（2）设交于J，由菱形的性质结合题意易证，都是等边三角形，即得出，从而可证．再结合，即可证，得出，即说明当时，的值最小．最后结合含30度角的直角三角形的性质求解即可；②过点F作于H．由全等的性质可得，即易证，得出，即说明点F的横坐标为，不变．
【小问1详解】
解：∵，，，
∴，，
∵四边形为菱形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：，；
【小问2详解】
①证明：如图，设交于J．
∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，都是等边三角形，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴当时，的值最小．
∵，
∴，
∴
∴AF的最小值为．
②点F的横坐标不变，理由如下：
如图，过点F作于H．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴点F的横坐标为，不变．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质等知识，综合性强．正确作出辅助线是解题关键．年收入（单位：万元）
2
2.5
3
4
5
9
13
家庭个数
1
3
5
2
2
1
1