江苏省扬州市宝应县2024届高三上学期期末模拟数学试卷(含答案)

这是一份江苏省扬州市宝应县2024届高三上学期期末模拟数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合,,则等于( )
A.B.C.D.
2．设等比数列的前n项和为,若,,则( )
A.66B.67C.65D.63
3．已知在等腰中,,,点D在线段BC上,且,则的值为( )
A.B.C.D.
4．一个盒子中装有5个黑球和4个白球,现从中先后无放回的取2个球,记“第一次取得黑球”为事件A,“第二次取得白球”为事件B,则( )
A.B.C.D.
5．若,,则( ).
A.B.C.D.
6．折扇是我国古老文化的延续,在我国已有四千年左右的历史,“扇”与“善”谐音,折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化,也是运筹帷幄,决胜千里,大智大勇的象征(如图1).图2是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分),若两个圆弧DE,AC所在圆的半径分别是3和6,且,则该圆台的体积为( )
A.B.C.D.
7．已知双曲线的焦点关于渐近线的对称点在双曲线上,则双曲线的渐近线方程为( )
A.B.C.D.
8．函数的定义域为D,若存在闭区间,使得函数同时满足:在上是单调递增函数,且在上的值域为（）,则称区间为的“k倍值区间”.如下四个函数,存在“2倍值区间”的是( )
A.,B.
C.D.
二、多项选择题
9．若z为复数,设z在复平面上对应点分别为A,B,C,其中O为坐标原点,则( )
A.B.C.D.
10．下列命题中正确是( )
A.中位数就是第50百分位数
B.已知随机变量,若,则
C.已知随机变量,且函数为偶函数,则
D.在回归分析中,对一组给定的样本数据,,…,而言,当样本相关系数越接近1时,样本数据的线性相关程度越强.
11．函数满足,其图象向右平移个单位后得到图象,且在上单调递减,则( )
A.
B.函数的图象关于对称
C.S可以等于5
D.S的最小值为2
12．已知O为坐标原点,点F为抛物线焦点,点,直线交抛物线C于A,B两点(不与P点重合),则以下说法正确的是( )
A.
B.存在实数m,使得
C.若,则
D.若直线PA与PB的倾斜角互补,则
三、填空题
13．已知的二项式系数的和为64,则其展开式的常数项为______.(数字作答)
14．已知圆,过点的直线l交圆O于A,B两点,且,请写出一条满足上述条件的直线l的方程___________________.
15．已知,将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列,则__________.
16．函数,当时,的零点个数为_____________;若恰有4个零点,则a的取值范围是______________.
四、解答题
17．四棱锥中,底面ABCD,,,,.
（1）证明:.
（2）求PD与平面PAB所成的角的正弦值.
18．已知的角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
（1）求A;
（2）若的面积为,,点D为边BC的中点,求AD的长.
19．已知函数.
（1）求函数的单调区间;
（2）若对于任意,,且,恒有,求实数a取值范围.
20．已知数列的前n项和为,且
（1）求,并证明数列是等差数列:
（2）若,求正整数k的所有取值.
21．已知椭圆的左右焦点分别为,,点A,B,P是椭圆C上三个不同的动点(点P不在x轴上),满足,且与的周长的比值为.
（1）求椭圆C的离心率;
（2）判断是否为定值?若是,请求出定值;若不是,请说明理由.
22．某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动,并对每一关根据难度进行赋分,竞猜活动共五关,规定:上一关不通过则不进入下一关,本关第一次未通过有再挑战一次的机会,两次均未通过,则闯关失败,且各关能否通过相互独立,已知甲,乙,丙三人都参加了该项闯关活动.
（1）若甲第一关通过的概率为,第二关通过的概率为,求甲可以进入第三关的概率;
（2）已知该闯关活动累计得分服从正态分布,且满分为450分,现要根据得分给共2500名参加者中得分前400名发放奖励,
①假设该闯关活动平均分数为171分,351分以上共有57人,已知甲的得分为270分,问甲能否获得奖励,请说明理由;
②丙得知他的分数为430分,而乙告诉丙:“这次闯关活动平均分数为201分,351分以上共有57人”,请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪.
附:若随机变量,则;;.
参考答案
1．答案：A
解析：由题意知,则
则
2．答案：C.
解析：
3．答案：B
解析：因为,故,
可得,
则,
4．答案：A
解析：,,.故选A.
5．答案：D
解析：,即,,故,
,故,故,故,
,,故.
6．答案：D
解析：设圆台上下底面的半径分别为,,由题意可知,解得,
,解得:,作出圆台的轴截面,如图所示:
图中,,,
过点D向AP作垂线,垂足为T,则,
所以圆台的高,
则上底面面积,,由圆台的体积计算公式可得:
,
7．答案：C
解析：关于渐近线OM的对称点P在双曲线上,如图所示,
则.所以,OM是的中位线,所以,.所以到渐近线的距离为
,即,在中,,,
所以,进而,所以.
8．答案：C
解析：对于A:,,函数在上单调递增,
若函数,存在“2倍值区间”,则,
令,,则,
所以在上单调递减,故在上不可能存在两个零点,
所以函数不存在“2倍值区间”,故A错误;
对于B:在上单调递增,
若函数存在“2倍值区间”,则,
所以,解得.
所以函数不存在“2倍值区间”,故B错误;
对于C:为增函数,若函数存在“2倍值区间”,则,
令,则,所以当时,当时,
所以在上单调递减,在上单调递增,
又,即有两个根,所以存在2倍值区间,故C正确;
对于D:为增函数,若存在“2倍值区间”,则,
结合及的图象知,方程无解,
故不存在“2倍值区间”,D错误;
9．答案：AB
解析：法1:设,,,,则A,B正确,C,D错误,故选AB.
法二:数形结合.
10．答案：ACD
解析：对于选项A,中位数就是第50百分位数,选项A正确;
对选项B,,则,因此,故B错误;
对选项C,,函数为偶函数,
则,
区间与关于对称,
故,选项C正确;
对选项D,在回归分析中,样本相关系数越接近1,样本数据的线性相关程度越强,选项D正确.
11．答案：BCD
解析：对于A,因为,所以,则是的一个周期,
因为,所以是的最小正周期,
故,则,又,故,故A错误;
对于B,由选项A得,
所以,故是一个对称中心,故B正确;
对于C,的图象向右平移个单位后得到函数的图象,则,因为在上单调递减,
所以,解得,
当时,,因为,所以,故C正确;
对于D,因为,所以,则,又,故,
当时,,可知,故D正确.
12．答案：ACD
解析：由已知,抛物线,,,焦点,
不妨设为,,设A,B到准线的距离分别为,,
对于A,由标准方程知,抛物线顶点在原点,开口向右,,
由抛物线的定义,故选项A正确;
对于B,消去,化简得（）,
则,,,,,
,,,
,,
不存在实数m,使得,选项B错误;
对于C,,,
,,
又由选项B判断过程知,,
解得,,或,,,
若,则,选项C正确;
对于D,由题意,,,,,
直线PA与PB的倾斜角互补时,斜率均存在,且,
,代入,,化简得,
由选项B的判断知,,,
,故选项D正确.
13．答案：240
解析：
14．答案：或
解析：
15．答案：因为数列是正奇数列,
解析：对于数列,当为奇数时,设,则为偶数;
当为偶数时,设,则为奇数,
所以,,则,
因此,.
16．答案：1,
解析：当时,当时,,解得;
当时,,无零点,
故此时的零点个数是1;
第二空:显然,至多有2个零点,故在上至少有2个零点,所以;
①若恰有2个零点,则,此时恰有两个零点,所以,解得,此时;
②若恰有3个零点,则,此时,所以恰有1个零点,符合要求;
③当时,,所以恰有1个零点,而至少有4个零点,此时至少有5个零点,不符合要求,舍去.综上,或
17．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明:底面ABCD,平面ABCD,
.取AB的中点E,连接DE(图略),则,又,
四边形BCDE为平行四边形,,
,为直角三角形,且AB为斜边,,
又,平面PAD,平面PAD,平面PAD,
又平面PAD,
（2）由（1）知,PD,AD,BD两两互相垂直,故建立如图所示的空间直角坐标系,,
则,,,,
,,.
设平面PAB的法向量为,
则,则可取
设PD与平面PAB所成的角为,则,
PD与平面PAB所成的角的正弦值为.
18．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）因为,
所以由正弦定理可得,即.
由余弦定理可得,又,所以.
（2）因为,
所以,
即,
又,则,所以,所以.
所以,所以.在中,由余弦定理可得,即.
19．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）的定义域为,,
当时,在恒成立,
当时,令,得,单调递增;令,得,单调递减,综上所述:当时,的单调递减区间为;
当时,的单调递增区间为,单调递减区间为.
（2）不妨设,则不等式等价于,
即,
令,则函数在上单调递减,
则在上恒成立,
所以在上恒成立,所以,
因为在上单调递减,在递增,所以,
所以实数a的取值范围为.
20．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）由,得,
当时,,所以,当时,,
两式相减得,即,
所以,所以数列是以为首项,为公差的等差数列;
（2）由（1）得,所以,,
,
两式相减得,
所以,.
则,由,得,
即,令,
因为函数在上都是增函数,
所以函数在上是增函数,
由,
,
则当时,,
所以若,正整数k的所有取值为1,2,3..
21．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）依题意点A,,P三点共线,点B,,P三点共线,
则的周长为,
则的周长为,
所以,即,
椭圆C的离心率为.
（2）解法一:设且,则有,即,
由题,由,
可得,则,
由题设直线,联立,
化简整理可得
显然成立,故,,
同理可得,
解法二:设,且,则由,即有①,由题,,由,,可得,则,,
点A在椭圆上,则,则将上式代入整理得②,
②-①整理化简得,同理可得,
(定值).
22．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）设:第i次通过第一关,:第i次通过第二关,甲可以进入第三关的概率为P,由题意知
.
（2）设此次闯关活动的分数记为.
①由题意可知,因为,
且,
所以,则;
而,且,
所以前400名参赛者的最低得分高于,而甲的得分为270分,所以甲能够获得奖励;.
②假设乙所说为真,则,
,
而,所以,
从而,
而,
所以为小概率事件,即丙的分数为4.0分是小概率事件,可认为其一般不可能发生,但却又发生了,所以可认为乙所说为假.