人教版七年级数学下册同步练习 第25课 一元一次不等式组（原卷版+解析版）

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第25课 一元一次不等式组目标导航知识精讲知识点01 不等式组的概念定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组．如，等都是一元一次不等式组． 注意： (1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上． (2)这几个一元一次不等式必须含有 未知数．知识点02 解一元一次不等式组一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集．注意：(1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们 ．(2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况．2.一元一次不等式组的解法解不等式组就是求它的解集，解一元一次不等式组的方法步骤：(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集．(2)利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集．知识点03 一元一次不等式组的应用列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答．注意： (1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系． (2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取整数．能力拓展考法01 解一元一次不等式组【典例1】解不等式组【即学即练】解不等式组 无解．则a的取值范围是 ( )A．a＜1 B．a≤l C．a＞1 D．a≥1 【典例2】不等式组是否存在整数解？如果存在请求出它的解；如果不存在要说明理由.【即学即练】解不等式组，并写出它的所有非负整数解．【典例3】试确定实数a的取值范围．使不等式组 恰好有两个整数解．【即学即练】.已知a是自然数，关于x的不等式组的解集是x＞2，求a的值．考法02 解特殊的一元一次不等式组【典例4】求不等式(2x﹣1)(x+3)＞0的解集．解：根据“同号两数相乘，积为正”可得：① 或 ②．解①得x＞；解②得x＜﹣3．∴不等式的解集为x＞或x＜﹣3．请你仿照上述方法解决下列问题：(1)求不等式(2x﹣3)(x+1)＜0的解集．(2)求不等式的解集．考法03 一元一次不等式组的应用【典例5】某校初三年级春游，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满；若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人；已知36座客车每辆租金400元，42座客车每辆租金440元．(1)该校初三年级共有多少人参加春游?(2)请你帮该校设计一种最省钱的租车方案．【即学即练】“向阳”中学某班计划用勤工俭学收入的66元，同时购买单价分别为3元、2元、1元的甲乙丙三种纪念品，奖励参加校“艺术节”活动的同学．已知购买的乙种纪念品比购买的甲种纪念品多2件，而购买的甲种纪念品不少于10件，且购买甲种纪念品费用不超过总费用的一半，若购买的甲、乙、丙三种纪念品恰好用了66元钱，问可有几种购买方案，每种方案中购买甲乙丙三种纪念品各多少件？【即学即练】5.12四川地震后，怀化市立即组织医护工作人员赶赴四川灾区参加伤员抢救工作． 拟派30名医护人员，携带20件行李(药品、器械)，租用甲、乙两种型号的汽车共8辆，日夜兼程赶赴灾区．经了解，甲种汽车每辆最多能载4人和3件行李，乙种汽车每辆最多能载2人和8件行李．(1) 设租用甲种汽车x辆，请你设计所有可能的租车方案；(2) 若甲、乙汽车的租车费用每辆分别为8000元、6000元，请你选择最省钱的租车方案． 分层提分题组A 基础过关练1．下列四个不等式组中，解集在数轴上表示如图所示的是(　　)A． B． C． D．2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )A． B． C． D．3．不等式组的解集为( )A．无解 B． C． D．4．已知点P(2a+4，3a-6)在第四象限，那么a的取值范围是(　 　)A．-2＜a＜3 B．a＜-2 C．a＞3 D．-2＜a＜25．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是(　　)A．a≤﹣3 B．a＜﹣3 C．a＞3 D．a≥36．小明网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小明让他们猜．甲说：“至少15元．”乙说：“至多12元．”丙说：“至多10元．”小明说：“你们三个人都说错了”．则这本书的价格x(元)所在的范围为( )A． B． C． D．7．某种出租车的收费标准是：起步价7元(即行驶距离不超过3千米都收7元车费)，超过3千米以后，超过部分每增加1千米，加收2.4元(不足1千米按1千米计)．某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付19元，设此人从甲地到乙地经过的路程是x千米，那么x的取值范围是( )A．1＜x≤11 B．7＜x≤8C．8＜x≤9 D．7＜x＜88．如图，一个运算程序，若需要经过两次运算才能输出结果，则的取值范围为　　A． B． C． D．9．若方程组的解，满足，则的取值范围是( )A． B． C． D．题组B 能力提升练10．已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是_____．11．如果不等式组 的解集是，那么的取值范围是______.12．在关于x、y的方程组中，未知数满足x≥0，y＞0，那么m的取值范围是_________________．13．已知关于x的不等式组的解集为3≤x5，则的值为_____．14．关于的不等式组恰好只有三个整数解，则的取值范围是_____________.15．已知不等式组的解集为，则的值是________.16．一次测验共出5道题，做对一题得一分，已知26人的平均分不少于4.8分，最低的得3分，至少有3人得4分，则得5分的有______ 人．17．为积极响应党和国家精准扶贫战略计划，某公司在农村租用了 720亩闲置土地种植了乔 木型、小乔木型和灌木型三种茶树. 为达到最佳种植收益，要求种植乔木型茶树的面积是小乔木型茶树面积的2倍，灌木型茶树的面积不得超过乔木型茶树面积的倍，但种植乔木型茶树的面积不得超过270亩. 到茶叶采摘季节时，该公司聘请当地农民进行采摘，每人每天可以采摘0.4亩乔木型茶叶，或者采摘0.5亩小乔木型茶叶，或者采摘0.6亩灌木型茶叶. 若该公司聘请一批农民恰好20天能采摘完所有茶叶，则种植乔木型茶树的面积是________亩. 题组C 培优拔尖练18．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．19．某商店购买60件A商品和30件B商品共用了1080元，购买50件A商品和20件B商品共用了880元．(1)A、B两种商品的单价分别是多少元？(2)已知该商店购买B商品的件数比购买A商品的件数的2倍少4件，如果需要购买A、B两种商品的总件数不少于32件，且该商店购买的A、B两种商品的总费用不超过296元，那么该商店有哪几种购买方案？20．某电脑经销商计划购进一批电脑机箱和液晶显示器，若购电脑机箱10台和液液晶显示器8台，共需要资金7000元；若购进电脑机箱2台和液示器5台，共需要资金4120元．(1)每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是多少元？(2)该经销商购进这两种商品共50台，而可用于购买这两种商品的资金不超过22240元．根据市场行情，销售电脑机箱、液晶显示器一台分别可获利10元和160元．该经销商希望销售完这两种商品，所获利润不少于4100元．试问：该经销商有哪几种进货方案？哪种方案获利最大？最大利润是多少？21．“绿水青山就是金山银山”，为保护生态环境，A，B两村准备各自清理所属区域养鱼网箱和捕鱼网箱，每村参加清理人数及总开支如下表：(1)若两村清理同类渔具的人均支出费用一样，求清理养鱼网箱和捕鱼网箱的人均支出费用各是多少元；(2)在人均支出费用不变的情况下，为节约开支，两村准备抽调40人共同清理养鱼网箱和捕鱼网箱，要使总支出不超过102000元，且清理养鱼网箱人数小于清理捕鱼网箱人数，则有哪几种分配清理人员方案？22．为保护环境，我市公交公司计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆．若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元．(1)求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？(2)预计在某线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次，则该公司有哪几种购车方案？(3)在(2)的条件下，哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少万元？课程标准1．理解不等式组的概念；2.会解一元一次不等式组，并会利用数轴正确表示出解集；3.会利用不等式组解决较为复杂的实际问题，感受不等式组在实际生活中的作用．不等式组数轴上表示解集口诀            村庄清理养鱼网箱人数/人清理捕鱼网箱人数/人总支出/元A15957000B101668000第25课 一元一次不等式组目标导航知识精讲知识点01 不等式组的概念定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组．如，等都是一元一次不等式组． 注意： (1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上． (2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数．知识点02 解一元一次不等式组一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集．注意：(1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分．(2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况．2.一元一次不等式组的解法解不等式组就是求它的解集，解一元一次不等式组的方法步骤：(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集．(2)利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集．知识点03 一元一次不等式组的应用列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答．注意： (1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系． (2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取整数．能力拓展考法01 解一元一次不等式组【典例1】解不等式组【分析】按照解不等式组的基本步骤进行求解就可以了．【答案与解析】解：解不等式①，得x≥1解不等式②，得x＜4所以，不等式组的解集是1≤x＜4．【点睛】求出不等式①、②的解集后，应取其公共部分作为不等式组的解集． 【即学即练】解不等式组 无解．则a的取值范围是 ( )A．a＜1 B．a≤l C．a＞1 D．a≥1 【答案】B 【典例2】不等式组是否存在整数解？如果存在请求出它的解；如果不存在要说明理由.【分析】解这类问题的第一步是分别求出各个不等式的解集；第二步借助数轴以确定不等式组的公共解集；最后看公共解集中是否存在整数解.【答案与解析】解：解不等式(1)，得：x＜2；解不等式(2)，得：x-3；解不等式(3)，得：x-2；在数轴上分别表示不等式(1)、(2)、(3)的解集：∴原不等式组的解集为：-2≤x＜2.∴原不等式组的整数解为：-2、-1、0、1.【点睛】求不等式组的解集就是求不等式组中所有不等式解集的公共部分.对于三个以上的不等式有时不容易得到公共解集，于是常常借助数轴的直观性，这样较容易确定其解集.在数轴上表示点的位置，要注意空心圈与实心圆点的不同用法.【即学即练】解不等式组，并写出它的所有非负整数解．【答案】解：，由①得：x≥﹣2；由②得：x＜，∴不等式组的解集为﹣2≤x＜，则不等式组的所有非负整数解为：0，1，2，3．【典例3】试确定实数a的取值范围．使不等式组 恰好有两个整数解．【分析】先确定其解集，再判断出整数解，最后利用数轴确定a的范围．【答案与解析】解：由不等式，去分母得3x+2(x+1)＞0，去括号，合并同类项，系数化为1后得x＞．由不等式去分母得3x+5a+4＞4x+4+3a，可解得x＜2a．所以原不等式组的解集为，因为该不等式组恰有两个整数解：0和l，故有：1＜2a≤2，所以：≤１．【点睛】此题考查的是一元一次不等式组的解法，得出x的整数解，再根据x的取值范围求出a的值即可．【即学即练】.已知a是自然数，关于x的不等式组的解集是x＞2，求a的值．【答案】解：解第一个不等式，得解集，解第二个不等式，得解集，∵不等式组的解集为x＞2，∴，即，又为自然数，∴或1或2．考法02 解特殊的一元一次不等式组【典例4】求不等式(2x﹣1)(x+3)＞0的解集．解：根据“同号两数相乘，积为正”可得：① 或 ②．解①得x＞；解②得x＜﹣3．∴不等式的解集为x＞或x＜﹣3．请你仿照上述方法解决下列问题：(1)求不等式(2x﹣3)(x+1)＜0的解集．(2)求不等式的解集．【答案与解析】解：(1)根据“异号两数相乘，积为负”可得①或②，解①得不等式组无解；解②得，﹣1＜x＜；(2)根据“同号两数相乘，积为正”可得①，②，解①得，x≥3，解②得，x＜﹣2，故不等式组的解集为：x≥3或x＜﹣2．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．考法03 一元一次不等式组的应用【典例5】某校初三年级春游，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满；若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人；已知36座客车每辆租金400元，42座客车每辆租金440元．(1)该校初三年级共有多少人参加春游?(2)请你帮该校设计一种最省钱的租车方案．【分析】本题的关键语句是：“若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人”．理解这句话，有两层不等关系． (1)租用36座客车x辆的座位数小于租用42座客车(x-1)辆的座位数． (2)租用36座客车x辆的座位数大于租用42座客车(x-2)辆的座位数+30．【答案与解析】 解：(1)设租36座的车x辆．据题意得：，解得：． 由题意x应取8，则春游人数为：36×8＝288(人)． (2)方案①：租36座车8辆的费用：8×400＝3200(元)， 方案②：租42座车7辆的费用：7×440＝3080(元)， 方案③：因为42×6+36×1＝288，所以租42座车6辆和36座车1辆的总费用：6×440＋1×400＝3040(元) ． 所以方案③：租42座车6辆和36座车1辆最省钱．【点睛】本例不等关系相对隐蔽，需要在审题过程中加以挖掘．【即学即练】“向阳”中学某班计划用勤工俭学收入的66元，同时购买单价分别为3元、2元、1元的甲乙丙三种纪念品，奖励参加校“艺术节”活动的同学．已知购买的乙种纪念品比购买的甲种纪念品多2件，而购买的甲种纪念品不少于10件，且购买甲种纪念品费用不超过总费用的一半，若购买的甲、乙、丙三种纪念品恰好用了66元钱，问可有几种购买方案，每种方案中购买甲乙丙三种纪念品各多少件？【答案】解：设购买的甲、乙、丙三种纪念品件数分别为x、y、z，由题意得：且由方程组得：解不等式组得：10≤x≤11∵x为整数，∴x＝10或x＝11当x＝10时，y＝12，z＝12当x＝11时，y＝13，z＝7∴可有两种方案购买．【即学即练】5.12四川地震后，怀化市立即组织医护工作人员赶赴四川灾区参加伤员抢救工作． 拟派30名医护人员，携带20件行李(药品、器械)，租用甲、乙两种型号的汽车共8辆，日夜兼程赶赴灾区．经了解，甲种汽车每辆最多能载4人和3件行李，乙种汽车每辆最多能载2人和8件行李．(1) 设租用甲种汽车x辆，请你设计所有可能的租车方案；(2) 若甲、乙汽车的租车费用每辆分别为8000元、6000元，请你选择最省钱的租车方案． 【答案】解：(1)设租用甲种汽车x辆，则租用乙种汽车，则：，解得：，∵应为整数，∴或8， ∴有两种租车方案，分别为：方案1：租甲种汽车7辆，乙种汽车1辆；方案2：租甲种汽车8辆，乙种汽车0辆．(2)租车费用分别为：方案1: 8000×7＋6000×1＝62000(元)；方案2：8000×:8＝64000(元)． ∴ 方案1花费最低，所以选择方案1．分层提分题组A 基础过关练1．下列四个不等式组中，解集在数轴上表示如图所示的是(　　)A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】此题涉及的知识点是不等式组的表示方法，根据规律可得答案．【详解】由解集在数轴上的表示可知，该不等式组为，故选D．【点睛】本题重点考查学生对于在数轴上表示不等式的解集的掌握程度，不等式组的解集的表示方法：大小小大取中间是解题关键．2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】先根据不等式组求出解集，然后在数轴上准确的表示出来即可．【详解】由不等式①组得，x0得：x>-a，解不等式3a-4x≥0得：x≤a，∴不等式的解集为：-a