人教版九年级数学上册同步压轴题专题03二次函数的图像与系数a，b，c之间的关系（原卷版+解析）

这是一份人教版九年级数学上册同步压轴题专题03二次函数的图像与系数a，b，c之间的关系（原卷版+解析），共14页。试卷主要包含了判断图像位置关系，根据图像判断a，b，c之间关系等内容，欢迎下载使用。

例1.如图，一次函数与二次函数的图像相交于、两点，则函数的图像可能是( )
A．B．C．D．
【变式训练1】二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是( )．
A．B．C．D．
【变式训练2】在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是( )
A．B．C．D．
【变式训练3】在同一平面直角坐标系中，函数与y＝ax＋b的图象不可能是( )
A．B．
C．D．
【变式训练4】如图，一次函数与二次函数的图像相交于，两点，则函数的图像可能是( )
A．B．C．D．
类型二、根据图像判断a，b，c之间关系
例1．二次函数的图象如图所示，下列选项错误的是( )
A．B．时，y随x的增大而增大
C．D．方程的根是，
例2．如图，已知抛物线(，，为常数，)经过点，且对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④无论，，取何值，抛物线一定经过；⑤；⑥一元二次方程有两个不相等的实数根，其中正确结论有( )
A．2个B．3个C．4个D．5个
【变式训练1】如图，二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，结合图象给出下列结论：
①；
②；
③关于x的一元二次方程的两根分别为-3和1；
④若点，，均在二次函数图象上，则；
⑤(m为任意实数)．
其中正确的结论有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式训练2】二次函数的部分图象如图所示，有以下结论：①3a－b＝0；②；③；④，其中正确结论的个数是( )
A．1B．2C．3D．4
【变式训练3】抛物线()如图所示，下列结论中：①；②；③当时，；④．正确的个数是( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式训练4】已知二次函数y=ax2−4ax−5a+1(a>0)下列结论正确的是( )
①已知点M(4，y1)，点N(−2，y2)在二次函数的图象上，则y1>y2；
②该图象一定过定点(5，1)和(－1，1)；
③直线y=x−1与抛物线y=ax2−4ax−5a+1一定存在两个交点；
④当−3≤x≤1时，y的最小值是a，则a=
A．①④B．②③C．②④D．①②③④
【变式训练5】抛物线的对称轴是直线．抛物线与x轴的一个交点在点和点之间，其部分图象如图所示，下列结论：①；②；③关于x的方程有两个不相等实数根；④若，是抛物线上的两点，则；⑤．正确的个数有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式训练6】如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①，②，③方程的两个根是，，④当时，x的取值范围是，其中正确的有( )
A．①②B．①②③C．①③④D．①②④
专题03 二次函数图像与系数之间关系
类型一、判断图像位置关系
例1.如图，一次函数与二次函数的图像相交于、两点，则函数的图像可能是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解： 由=x2+bx+c图象可知，对称轴x=＞0，，
，抛物线与y轴的交点在x轴下方，故选项B，C错误，
抛物线的对称轴为，∴，
∴抛物线y=x2+(b-1)x+c的对称轴在y轴的右侧，故选项D错误，
故选：A．
【变式训练1】二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是( )．
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】解：观察二次函数的图象得：，
∴，，
∴一次函数的图象经过第一、三、四象限．
故选：C
【变式训练2】在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：函数经过原点(0，0)，则B错误；
当a<0时，经过二、四象限，则D错误；
当时，b>0， 经过一、二、四象限，则C错误；
当a>0，时，b<0， 经过一、三、四象限，则A符合题意．
故选：A．
【变式训练3】在同一平面直角坐标系中，函数与y＝ax＋b的图象不可能是( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】解：当a>0，b>0时，y=ax2+bx的开口上，与x轴的一个交点在x轴的负半轴，y=ax+b经过第一、二、三象限，且两函数图象交于x的负半轴，无选项符合； 当a>0，b<0时，y=ax2+bx的开口向上，与x轴的一个交点在x轴的正半轴，y=ax+b经过第一、三、四象限，且两函数图象交于x的正半轴，故选项A正确，不符合题意题意； 当a<0，b>0时，y=ax2+bx的开口向下，与x轴的一个交点在x轴的正半轴，y=ax+b经过第一、二、四象限，且两函数图象交于x的正半轴，C选项正确，不符合题意； 当a<0，b<0时，y=ax2+bx的开口向下，与x轴的一个交点在x轴的负半轴，y=ax+b经过第二、三、四象限，B选项正确，不符合题意；
只有选项D的两图象的交点不经过x轴， 故选D.
【变式训练4】如图，一次函数与二次函数的图像相交于，两点，则函数的图像可能是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】∵一次函数与二次函数的图像相交于，两点，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴函数与轴有两个交点，
由题意可知：，，∴，
∴函数的对称轴，∴选项D符合条件．
故选D．
类型二、根据图像判断a，b，c之间关系
例1．二次函数的图象如图所示，下列选项错误的是( )
A．B．时，y随x的增大而增大
C．D．方程的根是，
【答案】C
【详解】A.由二次函数的图象开口向上可得a>0，由抛物线与y轴交于x轴下方可得c<0，所以ac<0，正确；
B.由a>0，对称轴为x=1，可知x>1时，y随x的增大而增大，正确；
C.把x=1代入得，y=a+b+c，由函数图象可以看出x=1时二次函数的值为负，错误；
D.由二次函数的图象与x轴交点的横坐标是-1或3，可知方程的根是，正确．
故选：C．
例2．如图，已知抛物线(，，为常数，)经过点，且对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④无论，，取何值，抛物线一定经过；⑤；⑥一元二次方程有两个不相等的实数根，其中正确结论有( )
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】D
【详解】解：①∵抛物线图象开口朝上， ，
∵抛物线对称轴为直线，∴，
∴，即，故②错误；
∵抛物线图象与y轴交点位于x轴下方，∴c<0，，故①正确；
③经过，
又由①得c<0，，，故③正确；
④根据抛物线的对称性，得到与时的函数值相等，
当时，即
，即，经过，即经过，故④正确；
⑤当时，，当时，，
，函数有最小值，，
∴，
∴，故⑤正确；
⑥方程的解即为抛物线与直线的交点的横坐标，结合函数图象可知，抛物线与直线有两个不同的交点，即方程有两个不相等的实数根，故⑥正确；
综上所述：①③④⑤⑥正确．故选D．
【变式训练1】如图，二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，结合图象给出下列结论：
①；
②；
③关于x的一元二次方程的两根分别为-3和1；
④若点，，均在二次函数图象上，则；
⑤(m为任意实数)．
其中正确的结论有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解析】∵二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为，
∴当x=1时，，故结论①正确；根据函数图像可知，
当，即，对称轴为，即，
根据抛物线开口向上，得，∴，∴，即，故结论②正确；
根据抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为可知：抛物线与x轴的另一个交点为(-3，0)，
∴关于x的一元二次方程的两根分别为-3和1，故结论③正确；
根据函数图像可知：，故结论④错误；当时，，
∴当时，，即，故结论⑤错误，
综上：①②③正确，故选：C．
【变式训练2】二次函数的部分图象如图所示，有以下结论：①3a－b＝0；②；③；④，其中正确结论的个数是( )
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】解：由图象可知a＜0，c＞0，对称轴为，∴，∴，①正确；
∵函数图象与x轴有两个不同的交点，∴，②正确；
当时，，
当时，，
∴，∴，③正确；
由对称性可知时对应的y值与时对应的y值相等，∴当时，，
∵，∴，∴，④错误；
故选：C．
【变式训练3】抛物线()如图所示，下列结论中：①；②；③当时，；④．正确的个数是( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【详解】解：从图象上可以看出二次函数的对称轴是直线x=1．∴．
∴．∴．故①符合题意．
从图象上可以看出当x=-1时，二次函数的图象在x轴下方．
∴当x=-1时，y<0即．故②不符合题意．
从图象上可以看出当x=1时，二次函数取得最大值．
∴当时，．
∴．故③符合题意．
从图象上可以看出二次函数图象与x轴有两个交点．
∴．∴．
故④符合题意．故①③④共3个符合题意．
故选：C．
【变式训练4】已知二次函数y=ax2−4ax−5a+1(a>0)下列结论正确的是( )
①已知点M(4，y1)，点N(−2，y2)在二次函数的图象上，则y1>y2；
②该图象一定过定点(5，1)和(－1，1)；
③直线y=x−1与抛物线y=ax2−4ax−5a+1一定存在两个交点；
④当−3≤x≤1时，y的最小值是a，则a=
A．①④B．②③C．②④D．①②③④
【答案】B
【详解】解：二次函数y=ax2−4ax−5a+1(a>0)，开口向上，且对称轴为x=-=2，
①点N(−2，y2)关于对称轴对称的点为(6，y2) ，
∵a>0，∴y随x的增加而增加，∵4<6，∴y1②当y=1时，ax2−4ax−5a+1=1，即x2−4x−5=0，解得：x=5或x=-1，
该图象一定过定点(5，1)和(-1，1)；故②正确；
③由题意得方程：ax2−4ax−5a+1= x−1，整理得：ax2−(4a+1)x−5a+2=0，
16a2+8a+1+20a2-8a=36a2+1>0，
直线y=x−1与抛物线y=ax2−4ax−5a+1一定存在两个交点；故③正确；
④当−3≤x≤1时，y随x的增加而减少，∴当x=1时，y有最小值为a，即a−4a−5a+1=a，
解得：a=，故④错误；综上，正确的有②③，故选：B．
【变式训练5】抛物线的对称轴是直线．抛物线与x轴的一个交点在点和点之间，其部分图象如图所示，下列结论：①；②；③关于x的方程有两个不相等实数根；④若，是抛物线上的两点，则；⑤．正确的个数有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线x=-=-2，
∴4a-b=0，所以①正确；
∵与x轴的一个交点在(-3，0)和(-4，0)之间，
∴由抛物线的对称性知，另一个交点在(-1，0)和(0，0)之间，
∴x=-1时，y＞0，且b=4a，即a-b+c=a-4a+c=-3a+c＞0，∴c＞3a，所以②错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，且顶点为(-2，3)，∴抛物线与直线y=2有两个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c=2有两个不相等实数根，所以③正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=-=-2，∴，
∵a＜0，∴所以④错误；
∵抛物线的顶点坐标为(-2，3)，∴，∴b2+12a=4ac，
∵4a-b=0，∴b=4a，∴b2+3b=4ac，
∵a＜0，∴b=4a＜0，
∴b2+2b＞4ac，所以⑤正确；
∴正确的为①③⑤．
故选：C
【变式训练6】如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①，②，③方程的两个根是，，④当时，x的取值范围是，其中正确的有( )
A．①②B．①②③C．①③④D．①②④
【答案】C
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，，与x轴的一个交点坐标为，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，，
∴，，即，故①正确；
∵抛物线开口向下，与y轴交于y轴正半轴，
∴，
∴，
∴，故②错误；
∵抛物线与x轴的交点坐标为(-1，0)，(3，0)，
∴方程的两个根是，，故③正确；
由函数图象可知当时，x的取值范围是，故④正确；
故选C．