人教版九年级数学上册同步压轴题专题07二次函数中的几何存在性问题（原卷版+解析）

这是一份人教版九年级数学上册同步压轴题专题07二次函数中的几何存在性问题（原卷版+解析），共27页。试卷主要包含了特殊三角形问题，特殊四边形问题等内容，欢迎下载使用。

例1．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点是线段上一动点，过点的直线平行于轴并交抛物线于点，当线段取得最大值时，在轴上是否存在这样的点，使得以点、、为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
例2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A、B(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C，连接．
(1)求线段AC的长；
(2)若点Р为该抛物线对称轴上的一个动点，当时，求点P的坐标；
(3)若点M为该抛物线上的一个动点，当为直角三角形时，求点M的坐标．
例3.如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，点D是抛物线上位于直线BC上方的一个动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接AC，BD，若，求点D的坐标；
(3)在(2)的条件下，将抛物线沿着射线AD平移m个单位，平移后A、D的对应点分别为M、N，在x轴上是否存在点P，使得是等腰直角三角形？若存在，请求出m的值：若不存在，请说明理由．
【变式训练1】如图，二次函数的图象经过点A(1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C．
(1)求二次函数的解析式；
(2)第一象限内的二次函数图象上有一动点P，x轴正半轴上有一点D，且OD=2，当S△PCD=3时，求出点P的坐标；
(3)若点M在第一象限内二次函数图象上，是否存在以CD为直角边的，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+4x+c与直线AB相交于点A(0，1)和点B(3，4)．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)设C为直线AB上方的抛物线上一点，连接AC，BC，以AC，BC为邻边作平行四边形ACBP，求四边形ACBP面积的最大值；
(3)将该抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线y=a1x2+b1x+c1(a1≠0)，平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，是否存在点E使得△ADE是以AD为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
类型二、特殊四边形问题
例1．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，(点在点的左侧)，与轴交于点，且点的坐标为．
(1)求点的坐标；
(2)如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值；
(3)如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
例2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于点和点B，与y轴交于点．
(1)求抛物线的解析式及对称轴；
(2)如图，点D与点C关于对称轴对称，点P在对称轴上，若，求点P的坐标；
(3)点M是抛物线上一动点，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
例3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，与y轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，在直线BC上方的抛物线上有动点P，过点P作轴，交BC于点Q，当时，求点P的坐标；
(3)如图2，若点D坐标为，轴交直线BC于点E，将沿直线BC平移得到，移动过程中，在坐标平面内是否存在点P，使以点A，C，，P为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练1】如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A(﹣1，0)、B(3，0)，与y轴交于点C，顶点为点D．在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PFAB交BC于点F．
(1)求抛物线和直线BC的函数表达式，
(2)当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长．
(3)若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以C、B、G、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由．
【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC，，对称轴为直线，点D为此抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式及D点坐标；
(2)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求面积的最大值；
(3)点P在抛物线的对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．
【变式训练3】如图，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线上位于直线下方的一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接，过点作交于点，求长度的最大值及此时点的坐标；
(3)如图2，将抛物线沿射线的方向平移，使得新抛物线经过点，并记新抛物的顶点为，若点为新抛物线对称轴上的一动点，点为坐标平面内的任意一点，直接写出所有使得以A、D、M、N为顶点的四边形是菱形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来．
专题07 二次函数中的几何存在性问题
类型一、特殊三角形问题
例1．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点是线段上一动点，过点的直线平行于轴并交抛物线于点，当线段取得最大值时，在轴上是否存在这样的点，使得以点、、为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)，或，或
【解析】(1)解：∵抛物线经过点，，，∴ ，解得 ，
∴抛物线的解析式为．
(2)存在点P，以EB为腰的等腰三角形△EBP，理由如下：
当时，，∴，
设直线AC的解析式为，∴ ，解得 ，∴ ；
设 ，则 ，
∴ ，
∴当 时，EF取得最大值，最大值为：，此时，
又∵，∴．
当时，∵，点在轴上，∴点P的坐标为或；
当时，关于直线对称，∴点P的坐标为；
综上所述，，或，或．
例2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A、B(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C，连接．
(1)求线段AC的长；
(2)若点Р为该抛物线对称轴上的一个动点，当时，求点P的坐标；
(3)若点M为该抛物线上的一个动点，当为直角三角形时，求点M的坐标．
【答案】(1)；(2)
(3)或或或
【解析】(1)与x轴交点：令y=0，解得，即A(-1，0)，B(3，0)，
与y轴交点：
令x=0，解得y=-3，即C(0，-3)，∴AO=1,CO=3,∴;
(2)抛物线的对称轴为：x=1，设P(1，t)，
∴，，∴
∴t=-1，∴P(1，-1)；
(3)设点M(m,m2-2m-3)，，
，
,
①当时，，
解得，(舍)，，∴M(1，-4)；
②当时，，
解得，，(舍)，∴M(-2，5)；
③当时，，
解得，，∴M或；
综上所述：满足条件的M为或或或．
例3.如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，点D是抛物线上位于直线BC上方的一个动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接AC，BD，若，求点D的坐标；
(3)在(2)的条件下，将抛物线沿着射线AD平移m个单位，平移后A、D的对应点分别为M、N，在x轴上是否存在点P，使得是等腰直角三角形？若存在，请求出m的值：若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)；(3)存在，或或时，是等腰直角三角形
【解析】(1)解：∵抛物线交x轴于，两点，
∴抛物线的解析式为：；
(2)解：当x＝0时，y＝3，∵∠ACO+∠DBA=90°，∠ACO+∠CAB=90°，
∴∠ABD＝∠CAB，∴．
设点D的坐标为，
如图，过点D作DE⊥x轴于点E，则，，
∴，解得x＝3．∴．
(3)解：设直线AD的解析式为：y＝kx+n，把点A，D的坐标代入得，，解得：，
∴直线AD的解析式为：，
∵MN＝AD＝5，∴．
①如图，若MN＝MP＝5，则∠PMN＝90°，
，∴，即．
②如图，若NM＝NP＝5，则∠MNP＝90°，
，∴，∴．即．
③如图，若PM＝NP，则∠NPM＝90°，过点P作PQ⊥AN于点Q，则，
，∴，∴．即．
综上所述，或或时，是等腰直角三角形．
【变式训练1】如图，二次函数的图象经过点A(1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C．
(1)求二次函数的解析式；
(2)第一象限内的二次函数图象上有一动点P，x轴正半轴上有一点D，且OD=2，当S△PCD=3时，求出点P的坐标；
(3)若点M在第一象限内二次函数图象上，是否存在以CD为直角边的，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)P1(，)，P2(2，3)；
(3)存在点M其坐标为或
【解析】(1)解：由题意，将A(1，0)，B(3，0)代入得：，解得，
抛物线表达式为：；
(2)如图1，连接OP，设，∵C在y轴上，∴，
∴，
，
==，
，
当时，即．解得，． ∴当时，；
当时，，∴P1(，)，P2(2，3)
(3)存在．设，如图2，当∠MCD=90°时，过点M做MN⊥轴于点N，
则∠MNC=∠COD=90°，
∵∠MCN=∠CDO，∴△MNC∽△COD，
∴，即，解得(舍)，
∴．如图3，当∠MDC=90°时，过点M做MN⊥轴于点N，则∠MND=∠COD=90°，
∵∠MDN=∠DCO，∴△MND∽△DOC，
∴，即，
解得， ．
综上所述，存在点M其坐标为：点或．

【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+4x+c与直线AB相交于点A(0，1)和点B(3，4)．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)设C为直线AB上方的抛物线上一点，连接AC，BC，以AC，BC为邻边作平行四边形ACBP，求四边形ACBP面积的最大值；
(3)将该抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线y=a1x2+b1x+c1(a1≠0)，平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，是否存在点E使得△ADE是以AD为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)；(3)存在，E(4，3)或(-2，5)或(-3，2)或(3，0)．
【解析】(1)解：将点A、B的坐标代入抛物线表达式得．解得：．
∴抛物线的表达式为；
(2)解：设直线AB的表达式为：，将点A、B的坐标代入得：
． 解得：． 故直线AB的表达式为：．
过点C作轴的平行线交AB于点H．如图．
设点C(，)，则H(，+1)．
∵四边形ACBP是平行四边形，
． ∵-3<0，∴四边形ACBP的最大值为；
(3)解：∵抛物线y=-(x-2)2+5，
∴将抛物线向左平移2个单位后得到的抛物线为：y=-x2+5，联立，解得，
∴D(1，4)，
①如图2，当DA=DE，∠EDA=90°，E在AD右侧时，过D作x轴平行线交y轴于N，过E作y轴平行线，两线交于F点，
∵∠DAN+∠NDA=∠NDA+∠EDF=90°，∴∠DAN=∠EDF，
又∠DNA=∠EFD=90°，DA=DE，∴△DNA≌△EFD(AAS)，
∴DN=EF=1，AN=DF=3，
∴E(4，3)，
②当DA=DE，∠EDA=90°，E在AD左侧，
同理可得，E(-2，5)，
③当AD=AE，∠DAE=90°，E在AD左侧时，
同理可得，E(-3，2)，
④当AD=AE，∠DAE=90°，E在AD右侧时，
同理可得，E(3，0)，
综上所述，E(4，3)或(-2，5)或(-3，2)或(3，0)．
类型二、特殊四边形问题
例1．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，(点在点的左侧)，与轴交于点，且点的坐标为．
(1)求点的坐标；
(2)如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值；
(3)如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)最大为；(3)存在，的坐标为或(3，-16)或
【解析】(1)(1)∵点在抛物线的图象上，∴
∴，∴点的坐标为；
(2)过作于点，过点作轴交于点，如图：
∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，
∵轴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，
∴当最大时，最大，设直线解析式为，
将代入得，∴，∴直线解析式为，
设，，则，
∴，
∵，∴当时，最大为，
∴此时最大为，即点到直线的距离值最大；
(3)存在．∵ ，∴抛物线的对称轴为直线，
设点N的坐标为(-2，m)，点M的坐标为(x，)
分三种情况：①当AC为平行四边形ANMC的边时，如图，
∵A(-5，0)，C(0，5)，∴，即 ，解得，x=3.
∴∴点M的坐标为(3，-16)
②当AC为平行四边形AMNC的边长时，如图，
方法同①可得，，∴∴点M的坐标为(-7，-16)；
③当AC为对角线时，如图，
∵A(-5，0)，C(0，5)，
∴线段AC的中点H的坐标为，即H()
∴，解得，。∴
∴点M的坐标为(-3，8)
综上，点的坐标为：或(3，-16)或．
例2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于点和点B，与y轴交于点．
(1)求抛物线的解析式及对称轴；
(2)如图，点D与点C关于对称轴对称，点P在对称轴上，若，求点P的坐标；
(3)点M是抛物线上一动点，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，对称轴为直线：；(2)P(1，1)或(1，2)
(3)存在，N(1，-4)
【解析】(1)解：把A(﹣1，0)，点C(0，3)的坐标代入y＝﹣x2+bx+c，得，，解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，对称轴为直线x1．
(2)解：如图1中，连接BD，设BD的中点T，连接PT，设P(1，m)．
∵点D与点C关于对称轴对称，C(0，3)，∴D(2，3)，
∵B(3，0)，∴T(，)，BD，
∵∠BPD＝90°，DT＝TB，∴PTBD，∴(1)2+(m)2＝()2，
解得m＝1或2，∴P(1，1)或(1，2)．
(3)解：存在，理由如下，抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，顶点坐标为，对称轴为
①当为对角线时，，设交于点，如图，
则，四边形是菱形，，
②当为边时，如图，
四边形是菱形，，
设，，，
在抛物线上，则，解得，
，或
，，解得
，
是菱形，，，即，解得
与矛盾，故不存在此情形，综上所述，当A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，．
例3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，与y轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，在直线BC上方的抛物线上有动点P，过点P作轴，交BC于点Q，当时，求点P的坐标；
(3)如图2，若点D坐标为，轴交直线BC于点E，将沿直线BC平移得到，移动过程中，在坐标平面内是否存在点P，使以点A，C，，P为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)；(3)存在，
【解析】(1)将代入，，，；
(2)设直线BC的解析式为，将代入得，解得，，
设，则，，
过点Q作轴交于点E，如图：
，，
，，(舍)，；
(3)存在，；
理由分析:∵ 点D坐标为，B(3,0) ，∴DB=1,
将直线BC向左平移1个单位即可得到D点运动轨迹所在的直线，
由平移得D点在平移过程中所在直线的解析式为；
∵当时，，∴，
∵，∴，AC的中点坐标为M，
当AC为对角线时，如图1和图2，设D'(n，-n+2)，
∵，∴，∴，
∴D'(1，1)或D'(-1，3)，
由矩形的性质可知，PD'经过点M且被M点平分，∴，
∴当D'(1，1)时，，即，
当D'(-1，3)时，，即；当AC为边时，有如下两种情况，如图3和图4，
设D'(n，-n+2)，∵(图3)，(图4)，
∴(图3)，(图4)，
∴(图3)，(图4)，∴图3中，，图4中，
∴图3中，CD'的中点，图4中，AD'的中点；
所以图3中，，图4中，，
∴图3中，，即，图4中，，即；
综上可得：存在，．
【变式训练1】如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A(﹣1，0)、B(3，0)，与y轴交于点C，顶点为点D．在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PFAB交BC于点F．
(1)求抛物线和直线BC的函数表达式，
(2)当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长．
(3)若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以C、B、G、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线函数表达式为，直线BC的函数表达式为
(2)点P的坐标为 (,)，△PEF的周长为
(3)存在，(2，3)或(-2，-5)或(4，-5)
【解析】(1)解：将点A(-1,0)，B(3,0)代入，得： ，解得 ，
所以抛物线解析式为，C(0，3)
设直线BC的函数表达式 ，将B(3，0)，C(0，3)代入得： ，解得 ，
所以直线BC的函数表达式为
(2)
解：如图，设将直线BC平移到与抛物线相切时的解析式为 ，与抛物线联立得：
整理得
，解得 ，
将代入，解得，
将代入得，
即△PEF的周长为最大值时，点P的坐标为 (,)
将代入得，
则此时，
因为△PEF为等腰直角三角形，
则△PEF的周长最大为
(3)答：存在．
已知B(3，0)，C(0，3)，设点Ｇ(， )，N(1，n)，
当BC为平行四边形对角线时，根据中点公式得： ，，则G点坐标为(2，3)；
当BC为平行四边形对角线时，同样利用中点坐标公式得： 或 ，解得 或 则G点坐标为(-2，-5)或(4，-5)
故点G坐标为(2，3)或(-2，-5)或(4，-5)
【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC，，对称轴为直线，点D为此抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式及D点坐标；
(2)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求面积的最大值；
(3)点P在抛物线的对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．
【答案】(1)解析式为 ；D(2，)；(2)S△BCE 有最大值为
(3)()或(3，4)或(7，4)或 ()
【解析】(1)解：∵，∴
又∵对称轴为，∴，将A，B代入解析式得：，解得
∴；把x=2代入二次函数解析式，得，∴
(2)解：∵，，∴直线BC的解析式为：
设，则0∴
∴当时，有最大值，为；
(3)解：设，，由(1)知，
①若BC为矩形的对角线，由中点坐标公式得：，解得：
又∵，∴，即：
解得或，∴或，∴或
②若BP为矩形得对角线，由中点坐标公式得，解得
又∵，，即：，解得，∴
③若BQ为矩形的对角线，由中点坐标公式得，解得：
又∵，∴，即：，解得
∴
综上，点Q的坐标为或或或．
【变式训练3】如图，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线上位于直线下方的一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接，过点作交于点，求长度的最大值及此时点的坐标；
(3)如图2，将抛物线沿射线的方向平移，使得新抛物线经过点，并记新抛物的顶点为，若点为新抛物线对称轴上的一动点，点为坐标平面内的任意一点，直接写出所有使得以A、D、M、N为顶点的四边形是菱形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来．
【答案】(1)
(2)PG的最大长度为 ，此时点P的坐标为(3， )
(3)当点N的坐标为(10，0)或(-2，-10)或(-2， )或(-2， )时，以A、D、M、N为顶点的四边形是菱形．
【解析】(1)解：由抛物线与轴交于两点，
设抛物线的解析式为，把点C的坐标代入得，-12a=-2，解得，
故抛物线的解析式为．
(2)解：设直线BC的解析式为 ，把点B(6，0)，点C(0，-2)代入可得 ，解得 ，即直线BC的解析式为，
过点P作直线l∥BC，只有当直线l与抛物线相切(只有一个交点的时候)PG有最大值，
如图所示，此时P、G的位置分别为P1、G1，
设此时直线l的解析式为，
联立 得， ，△=，∴，
由，即，解得x=3，
故P1点的横坐标为3，代入直线l解析式得，其纵坐标为，
故P1的坐标为(3， )，即PG长度最大时点P的坐标为(3， )，
设直线AC的解析式为 ，把点A(-2，0)，点C(0，-2)代入可得 ，解得 ，即直线AC的解析式为 ，
∵PG∥AC，∴设直线PG的解析式为，把点P代入得，，
∴此时直线PG的解析式为，
联立直线PG和直线BC得 ，解得 ，
∴点G1的坐标为 ，
∴此时P1G1的长度为
∴PG的最大长度为 ，此时点P的坐标为(3， )
(3)解：如图3-1所示，过点C作直线CE∥x轴，过点B作CE的垂线，垂足为E，
由点，点，可得CE=OB=6，BE=OC=2，∴ ，
设抛物线沿射线CB方向平移，使点C平移到点G，过点G作GH⊥CE，
∵GH⊥CE，BE⊥CE，
∴GH∥BE，∴△CHG∽△CEB，∴，
∵抛物线沿射线的方向平移，可以看作先向右平移，再向上平移，
∴可以设抛物线沿着射线CB的方向向右平移t个单位长度，向上平移个单位长度得到抛物线，其中t>0，
由抛物线经过点，
∴，即 ，解得t=2，∴，
∴点D的坐标为(4，-2)，
如图3-2，当DM，AN为以A、D、M、N为顶点的菱形的对角线时，设AN与DM交于点Q，
则点Q的坐标为(4，0)，∴AN⊥MD，且AQ=NQ=6，∴此时N点的坐标为(10，0)；
如图3-3，设点M的坐标为(4，m)，
当DM和MA为以A、D、M、N为顶点的菱形的邻边时，
则有AN∥MD，MA=MD，∴点N在直线x=-2上，
由题可得，MD=m-(-2)=m+2，MA= ，
∴，解得m=8，∴MD=10，∴AN=MD=10，∴点N的坐标为(-2，-10)；
如图3-4，当AD和MD为以A、D、M、N为顶点的菱形的邻边时，
同理可得点N在直线x=-2上，∴AN=AD=，
∴点N的坐标为(-2， )或(-2，- )
综上所述，当点N的坐标为(10，0)或(-2，-10)或(-2， )或(-2，- )时，以A、D、M、N为顶点的四边形是菱形．