人教版九年级数学上册同步压轴题专题11圆的综合问题（原卷版+解析）

这是一份人教版九年级数学上册同步压轴题专题11圆的综合问题（原卷版+解析），共16页。试卷主要包含了切线问题，圆的面积问题等内容，欢迎下载使用。

例．如图，在中，点A是边BE上一点，以AB为直径的与CE相切于点D，，点F为OC与的交点．
(1)求证：CB是的切线；
(2)连接DB与OC交于点G，，，求阴影部分面积．
【变式训练1】如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，P为AB延长线上一点，∠BCP＝∠BAC，∠ACB的平分线交⊙O于点D，交AB于点E，
(1)求证：PC是⊙O的切线；
(2)若AC＋BC＝2时，求CD的长．
【变式训练2】如图，线段AB经过的圆心O，交圆O于点A，C，，AD为的弦，连接BD，，连接DO并延长交于点E，连接BE交于点M．
(1)求证：直线BD是的切线；
(2)求线段BM的长．
【变式训练3】如图，在平行四边形中，是对角线，，以点为圆心，以的长为半径作，交边于点，交于点，连接．
(1)求证：与相切；
(2)若，，求的长．
【变式训练4】如图，四边形ABCO是菱形，点D在边AB上，以O为圆心、OD为半径的圆切AB于点D．
(1)试判断直线BC与的位置关系，并说明理由；
(2)若，且点D是AB的中点，求图中阴影部分的面积．
类型二、圆的面积问题
例．已知，在半圆中，直径，点，在半圆上运动，(点，可以与，两点重合)，弦．
(1)如图1，当时，直接写出图中标注顶点的所有全等三角形；
(2)如图2，若时，求图中阴影部分(弦AD、直径AB、弧BD围成的(图形)的面积；
(3)如图3，取CD的中点，点从点开始运动到点与点重合时结束，在整个运动过程中：
①点M到AB的距离的最小值是______；
②直接写出点M的运动路径长______．
【变式训练1】如图，AB为的直径，点E在弦AC的延长线上，过点E作，ED与相切于点D．
(1)求证：AD平分．(2)若，，求CE和DE的长．
【变式训练2】小颖复习尺规作图时，进行如下操作(如图)：
①以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA于点Q，交BC于点P，再分别以点P，Q为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点H，作射线BH；
②以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点M，交AC于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，作射线AG交射线BH于点O；
③作射线CO交AB于点D，且，以点O为圆心，OD为半径作，交AC于点E，交BC于点F，构成如图所示的阴影部分．
(1)求证：是等腰直角三角形；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
【变式训练3】如图，是的直径，点C在上，，点D是的中点，连结，交于点E，连结．
(1)求的度数．(2)求证：．(3)若，求的面积．
专题11 圆的综合问题
类型一、切线问题
例．如图，在中，点A是边BE上一点，以AB为直径的与CE相切于点D，，点F为OC与的交点．
(1)求证：CB是的切线；
(2)连接DB与OC交于点G，，，求阴影部分面积．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】(1)连接OD，则OD=OA，∴∠DAO=∠ADO，
，，，
∵在△COD和△COB中，，，∴∠CBO=∠CDO，
∵CD是切线，∴OD⊥CD，∴∠CBO=∠CDO=90°，∴CB是的切线；
(2)∵CD、CB都是圆O的切线，
∴CD=CB，OC垂直平分DB，
设圆O的半径为r，则OD=r，OG=OF-FG=r-2，
∵OD2=OG2+DG2，∴，解得r=4，
∴OG=2，∴∠ODG=30°，∴∠COD=60°，∠DOB=2∠COD=120°，
∵，∴，∴，
∵S四边形CDOB，
S扇形DOB，
∴S阴影= S四边形CDOB- S扇形DOB=．
【变式训练1】如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，P为AB延长线上一点，∠BCP＝∠BAC，∠ACB的平分线交⊙O于点D，交AB于点E，
(1)求证：PC是⊙O的切线；
(2)若AC＋BC＝2时，求CD的长．
【答案】(1)见解析；(2)
【解析】(1)连接OC，
∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACO+∠OCB=90°，
∵OA=OC，∴∠BAC=∠ACO，
∵∠BCP＝∠BAC，∴∠BCP=∠ACO∴∠BCP +∠OCB=90°，即∠OCP=90°，
∴PC是⊙O的切线；
(2)连接BD，作，垂足为M，N，
∵CD平分，，，∴，∴，
∵，∴，
∵，∴四边形为矩形，
∵，∴矩形为正方形，∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【变式训练2】如图，线段AB经过的圆心O，交圆O于点A，C，，AD为的弦，连接BD，，连接DO并延长交于点E，连接BE交于点M．
(1)求证：直线BD是的切线；
(2)求线段BM的长．
【答案】(1)见解析；(2)
【解析】(1)证明：∵∠BOD=2∠BAD，∴，
又∵，∴ ，即，
又∵为的半径，∴直线BD是的切线；
(2)解：如图，连接DM，
Rt△BOD中，，∴，
又，，∴，∴，
∵的直径，∴，，
在Rt△BDE中，，∵，∴，
在Rt△BDM中，．
【变式训练3】如图，在平行四边形中，是对角线，，以点为圆心，以的长为半径作，交边于点，交于点，连接．
(1)求证：与相切；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析；(2)．
【解析】(1)解：连接AE，
∵平行四边形，∴，∴，
∵，∴，∴，
在和中，∴，∴，
∵，∴，
∵AE是的半径，∴与相切；
(2)连接EF，作EG⊥AC，
由(1)可知，∴，
∵，，∴，
又∵，∴是等边三角形，
∴，∴，
∵EG⊥AC，∴，∴，∴，
在中，．
【变式训练4】如图，四边形ABCO是菱形，点D在边AB上，以O为圆心、OD为半径的圆切AB于点D．
(1)试判断直线BC与的位置关系，并说明理由；
(2)若，且点D是AB的中点，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)与相切，理由见解析(2)
【解析】(1)解：直线BC与⊙O相切．
理由是：如图，过点O作OE⊥BC，垂足为点E．
∵⊙O与边AB相切于点D，∴OD⊥AB．∴∠ODA=∠OEC=90°，
∵四边形ABCO是菱形，∴∠A=∠C，OA=OC，
∴△OAD≌△OCE(AAS)，∴OD=OE，∴OE是⊙O的半径．∴直线BC与⊙O相切．
(2)解：如图：标出四边形与圆的交点，由已知可得，
在Rt△OAD中，OA=AB=2，AD=，
∴由勾股定理可得OD=，
∴，
∵AD=，∴∠AOD=30°，∴∠A=60°，∠AOC=120°，
∴，
∴阴影部分的面积=．
类型二、圆的面积问题
例．已知，在半圆中，直径，点，在半圆上运动，(点，可以与，两点重合)，弦．
(1)如图1，当时，直接写出图中标注顶点的所有全等三角形；
(2)如图2，若时，求图中阴影部分(弦AD、直径AB、弧BD围成的(图形)的面积；
(3)如图3，取CD的中点，点从点开始运动到点与点重合时结束，在整个运动过程中：
①点M到AB的距离的最小值是______；
②直接写出点M的运动路径长______．
【答案】(1)；；(2)；(3)①，②
【解析】(1)证明：∵，∴∠CAD=∠DBC，
∵∠DAB=∠CBA，∴AC=BD，∠CAD+∠DAB=∠DBC+∠CBA，即∠CAB=∠DBA，
在△CAB和△DBA中，，∴△CAB≌△DBA(SAS)；
∵∠DAB=∠CBA，∠DAB=∠DCB，∠CBA=∠CDA，∴∠CDA=∠DCB，
在△CAD和△DBC中，，∴△CAD≌△DBC(AAS)；
(2)解：过作于，如图：
∵半圆O中，直径，∴，
∵，∴，∴，∴，，，∴；
答：阴影部分面积是；
(3)①，②，
解：①连接OC、OD、OM，过M作ME⊥AB于E，如图：
∵直径AB=6，弦CD=3，∴OC=OD=CD=3，
∴△COD是等边三角形，
∵M是CD的中点，∴CM =，OM⊥CD，
∴OM=，∴ME=， ∴当OE最大时，ME最小，
而当C与A重合(或D与B重合)时，OE最大，如图：
∵△COD是等边三角形，M是CD的中点，∴∠MOC=30°，∴ME= ，
即点M到AB的距离的最小值是，故答案为：；
②如图，
由①知：OM，M的轨迹是以O为圆心，为半径的弧，
当C与A重合时，∠AOM=30°，
同理，当D与B重合时，∠BOM '=30°，∴∠MOM '=120°，
∴点M的运动路径长为，故答案为：．
【变式训练1】如图，AB为的直径，点E在弦AC的延长线上，过点E作，ED与相切于点D．
(1)求证：AD平分．
(2)若，，求CE和DE的长．
【答案】(1)见解析；(2)，
【解析】(1)证明：如图，连接OD．
∵ED与相切于点D，∴．
∵，∴，∴．
∵，∴，∴，即AD平分．
(2)如图，连接BC交OD于点G．
∵AB为的直径，∴．
又∵，∴，∴，
∴G为BC的中点，∴．
∵，，∴，
∵点O点G分别为AB、BC的中点，∴，，∴，
∵，，，∴四边形CEDG是矩形，
∴，．
【变式训练2】小颖复习尺规作图时，进行如下操作(如图)：
①以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA于点Q，交BC于点P，再分别以点P，Q为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点H，作射线BH；
②以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点M，交AC于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，作射线AG交射线BH于点O；
③作射线CO交AB于点D，且，以点O为圆心，OD为半径作，交AC于点E，交BC于点F，构成如图所示的阴影部分．
(1)求证：是等腰直角三角形；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)证明过程见解析；(2)
【解析】(1)证明：由题意尺规作图知，、分别是和的角平分线，
点是的内心，平分，，
，，
在和中，，，
，是等腰三角形，
又，是等腰直角三角形．
(2)连接，，如图所示，
由(1)得点是的内心，且，是的半径，
为的内切圆，，，均与相切，
，，且，，，，
，四边形是正方形，，
设得半径为，由(1)知是等腰直角三角形，
，，
，，
，，解得，，
又，，
图中阴影部分的面积为．
【变式训练3】如图，是的直径，点C在上，，点D是的中点，连结，交于点E，连结．
(1)求的度数．(2)求证：．(3)若，求的面积．
【答案】(1)22.5°；(2)证明见解析；(3)
【解析】(1)解：如下图所示，连接OD．
∵，∴OC⊥AB．∴∠BOC=90°．
∵点D是的中点，∴．∴．
∵OA=OB，∴OC垂直平分AB．∴AE=BE．∴∠EBA=∠EAB=22.5°．
(2)证明：∵AB是的直径，
∴∠ADB=90°．∴．
∵∠EAB=22.5°，∴∠DBA=180°-∠ADB-∠EAB=67.5°．
∵∠EBA=22.5°，∴∠DBE=∠DBA-∠EBA=45°．
∴∠DEB=180°-∠ADB-∠DBE=45°．∴∠DBE=∠DEB．∴BD=DE．
∴．∴．∴．
(3)解：∵DE=1，∴BD=DE=1．
∴．∴．
∴．
∴．
∴．
∴．