八年级数学下册同步练习 第04课 二次根式全章复习与巩固（原卷版+解析）

这是一份八年级数学下册同步练习 第04课 二次根式全章复习与巩固（原卷版+解析），共24页。试卷主要包含了 二次根式，二次根式的性质， 最简二次根式，同类二次根式等内容，欢迎下载使用。
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知识精讲
知识点01 二次根式的相关概念和性质
1. 二次根式
形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.
注意：
二次根式有意义的条件是 ，即只有被开方数 时，式子才是二次根式，才有意义.
2.二次根式的性质
(1) ；
(2) ；
(3).
注意：
(1) 一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即 ()，如().
(2) 中的取值范围可以是 ，即不论取何值，一定 .
(3)化简时，先将它化成 ，再根据绝对值的意义来进行化简.
(4)与的异同
不同点：中可以取 ，而中的必须取 ；
=，=().
相同点：被开方数都是 ，当取 时，=.
3. 最简二次根式
(1)被开方数是整数或整式；
(2)被开方数中不含 .
满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式.
注意：
最简二次根式有两个要求：(1)被开方数不含 ；(2)被开方数中每个因式的指数都小于 .
4.同类二次根式
几个二次根式化成 后，被开方数 ，这几个二次根式就叫同类二次根式.
注意：
判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式.
知识点02二次根式的运算
1. 乘除法
(1)乘除法法则：
注意：
(1)当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘(或相除)的法则，如.
(2)被开方数a、b一定是非负数(在分母上时只能为正数).如.
2.加减法
将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.
注意：
二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如.
能力拓展
考法01 二次根式的定义
【典例1】在式子①，②， ③，④，⑤中，二次根式有_____________个．
【典例2】当____时，二次根式取最小值，其最小值为_________．
【典例3】如果分式有意义，那么x的取值范围是_______．
【即学即练】二次根式有意义的条件是_______．
【即学即练】当_____时，式子有意义．
【即学即练】当x＝______时，二次根式取最小值.
【即学即练】函数的自变量x的取值范围是__________．
【即学即练】若，则的值是_________．
考法02 二次根式的性质
【典例4】若a＜1，化简＝___．
【即学即练】若3，m，5为三角形的三边长，则化简的结果为________．
【即学即练】已知，则的取值范围是_____．
【即学即练】已知a，b，c为三角形三边，则=______．
【即学即练】已知，化简得____________．
【即学即练】若为△ABC的三边，化简=_______．
【即学即练】已知：a＜0，化简=_____．
【典例5】在实数范围内分解因式：x3－6x＝___．
【即学即练】在实数范围内分解因式： =_________
考法03 二次根式的乘除法
【典例6】计算：=______；×÷=______.
【即学即练】=________..
【即学即练】计算的结果是__．
【即学即练】化简：3··＝____________.
【即学即练】计算的结果是______．
考法04 最简二次根式
【典例7】，，，四个二次根式中，是同类二次根式的是_____．
【典例8】若最简二次根式和能合并,则a的值为___.
【即学即练】若最简二次根式与能合并成一项，则a＝_____．
【即学即练】若是正整数，则正整数n的最小值是_____
【典例9】分母有理化：＝_____．
【即学即练】化为最简根式的结果_______．
【即学即练】化简_________________．
考法05 二次根式的加减法
【典例10】计算：_____________．
【即学即练】计算______．
【即学即练】化简的结果是______________.
考法06 二次根式的混合运算
【典例11】计算的结果为_______
【即学即练】计算=__________．
【即学即练】计算：(3+2)(3﹣2)=_____．
【即学即练】计算：=__________．
【即学即练】计算：(﹣2)2018(+2)2017＝___．
课程标准
1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.
2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.
3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用.
类型
法则
逆用法则
二次根式的乘法

积的算术平方根化简公式：

二次根式的除法

商的算术平方根化简公式：

第04课 二次根式全章复习与巩固
目标导航
知识精讲
知识点01 二次根式的相关概念和性质
1. 二次根式
形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.
注意：
二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义.
2.二次根式的性质
(1) ；
(2) ；
(3).
注意：
(1) 一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即()，如().
(2) 中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义.
(3)化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简.
(4)与的异同
不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数；
=，=().
相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=.
3. 最简二次根式
(1)被开方数是整数或整式；
(2)被开方数中不含能开方的因数或因式.
满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式.
注意：
最简二次根式有两个要求：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.
4.同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.
注意：
判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式.
知识点02二次根式的运算
1. 乘除法
(1)乘除法法则：
注意：
(1)当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘(或相除)的法则，如.
(2)被开方数a、b一定是非负数(在分母上时只能为正数).如.
2.加减法
将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.
注意：
二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如.
能力拓展
考法01 二次根式的定义
【典例1】在式子①，②， ③，④，⑤中，二次根式有_____________个．
【答案】3
【解析】
【分析】
根据二次根式的定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式.
依次分析即可.
【详解】
根据二次根式的定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式.
①是二次根式；
②是二次根式；
③不是二次根式；
④，二次根式无意义，故④不是二次根式；
⑤，因为，所以1-x0，故⑤是二次根式.
二次根式有①②⑤三个.
故答案为3.
【点睛】
本题考查二次根式的定义.
【典例2】当____时，二次根式取最小值，其最小值为_________．
【答案】 0
【解析】
【分析】
根据二次根式的性质可知最小值为0，进而求得的值．
【详解】
，
当-1时，二次根式取最小值，其最小值为0．
故答案为：-1,0
【点睛】
本题考查了二次根式的性质，二次根式有意义的条件，理解二次根式的性质是解题的关键．
【典例3】如果分式有意义，那么x的取值范围是_______．
【答案】 且x≠4
【解析】
【分析】
根据分式的分母不等于零和二次根式的被开方数是非负数进行解答．
【详解】
∵二次根式的被开方数是非负数，
∴2x+3≥0，
解得x≥-，
又分母不等于零，
∴x≠4，
∴x≥-且x≠4．
故答案为x≥-且x≠4．
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，该题属于易错题，同学们往往忽略了分母不等于零这一条件，错解为x≥-．
【即学即练】二次根式有意义的条件是_______．
【答案】x≥0且x≠9
【解析】
【分析】
根据二次根式有意义的条件：被开方数要大于等于0，以及分式有意义的条件：分母不为0，计算求解即可.
【详解】
解：∵二次根式有意义
∴且
∴且
故答案为：且.
【点睛】
本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识点进行求解.
【即学即练】当_____时，式子有意义．
【答案】3≤x＜5．
【解析】
【分析】
根据二次根式和分式的意义的条件：被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式组求解．
【详解】
根据题意，得：，解得：3≤x＜5．
【点睛】
本题考查了的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式有意义，被开方数是非负数．
【即学即练】当x＝______时，二次根式取最小值.
【答案】－1
【解析】
【分析】
根据被开方数是非负数，可得答案．
【详解】
由二次根式取最小值，得x+1=0，
解得x=-11，
当x=-1时，二次根式取最小值，最小值为0，
故答案为-1．
【点睛】
本题考查了二次根式的定义，利用二次根式的被开方数是非负数得出方程是解题关键．
【即学即练】函数的自变量x的取值范围是__________．
【答案】x≥2且x≠3
【解析】
【分析】
根据分式分母不为0、二次根式的被开方数是非负数列式计算即可．
【详解】
解：由题意得，x−2>0，3-x≠0,
解得，x≥2且x≠3．
故答案为：x≥2且x≠3．
【点睛】
本题考查了函数自变量的取值范围，掌握分式有意义的条件、二次根式有意义的条件是解题的关键．
【即学即练】若，则的值是_________．
【答案】4
【解析】
【分析】
根据被开方数大于等于0列式求x，再求出y，然后相加计算即可得解．
【详解】
解：由题意得，﹣2﹣x≥0且3x+6≥0，
解得x≤﹣2且x≥﹣2，
∴x＝﹣2，
∴y＝6，
∴x+y＝﹣2+6＝4．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数，熟练掌握二次根式有意义的条件是解决本题的关键．
考法02 二次根式的性质
【典例4】若a＜1，化简＝___．
【答案】﹣a
【解析】
【分析】
根据a的范围，a﹣1＜0，化简二次根式即可．
【详解】
解：∵a＜1，
∴a﹣1＜0，
＝|a﹣1|﹣1
＝﹣(a﹣1)﹣1
＝﹣a＋1﹣1
＝﹣a．
故答案为：﹣a．
【点评】
本题考查了二次根式的性质与化简，对于的化简，应先将其转化为绝对值形式，再去绝对值符号，即．
【即学即练】若3，m，5为三角形的三边长，则化简的结果为________．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据三角形三边的关系判断2-m和m-8的正负，然后根据二次根式的性质化简即可．
【详解】
解：∵3，m，5为三角形的三边长，
∴5-3