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八年级数学下册同步练习 第06课 勾股定理（原卷版+解析）
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这是一份八年级数学下册同步练习 第06课 勾股定理（原卷版+解析），共42页。
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知识精讲
知识点01 勾股定理
直角三角形两直角边的 等于斜边的 .如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么 .
勾：直角三角形较短的直角边
股：直角三角形较长的直角边
弦：斜边
注意：
(1)勾股定理揭示了一个直角三角形 之间的数量关系.
(2)利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.
(3)理解勾股定理的一些变式：
， ， .
知识点02 勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形.
下图中：
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形.
方法三：下图所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
知识点03 勾股定理的作用
(1)已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
(2)用于解决带有平方关系的证明问题；
(3)利用勾股定理，作出长为 的线段.
能力拓展
考法01 勾股定理的理解
【典例1】已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为( )
A．12B．7+C．12或7+D．以上都不对
【即学即练】如图,一场暴雨过后,垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断,树尖B恰好碰到地面,经测量AB=2m,则树高为( )米
A．B．C．+1D．3
考法02 勾股定理证明的理解
【典例2】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为
A．9B．6C．4D．3
【即学即练】如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》(也称《赵爽弦图》)，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为( )
A．13B．19C．25D．169
【即学即练】如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在中，，，，若图中大正方形的面积为42，小正方形的面积为5，求的值．
考法03 数轴上画无理数
【典例3】如图，在数轴上点所表示的数为，则的值为( )
A．B．C．D．
【即学即练】如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是( )
A．+1B．-1C．-+1D．--1
考法04 勾股定理的简单应用
【典例4】如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝BC＝2，CD＝1，求AD的长．
【即学即练】在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
【即学即练】如图，一架梯子AB长13米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙5米．
(1)这个梯子的顶端距地面有多高？
(2)如果梯子的顶端下滑了5米，那么梯子的底端在水平方向滑动了多少米？
【即学即练】(古代数学问题)印度数学家什迦逻(1141年-1225年)曾提出过“荷花问题”，该问题是：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；“渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识回答这个问题.
【即学即练】在△ABC中，AB=10，AC=2，BC边上的高AD=6，则另一边BC等于( )
A．10B．8C．6或10D．8或10
【即学即练】在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC+BC=14cm，AB=10cm，则Rt△ABC的面积是( )
A．24cm2B．36cm2C．48cm2D．60cm2
考法05 折叠与勾股定理
【典例5】如图，把长方形沿AE对折后点D落在BC边的点F处，BC＝5cm，AB＝4cm，
求：(1)CF的长；(2)EF的长．
【即学即练】如图，已知长方形ABCD中，AB＝8cm，BC＝10cm，在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求EF的长．
考法06 勾股定理与最短路径
【典例6】如图，长方体的长为15宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是
A．20B．25C．30D．32
【即学即练】如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从A点绕到正上方B点共四圈，已知易拉罐底面周长是12 cm，高是20 cm，那么所需彩带最短的是( )
A．13 cmB．4cmC．4cmD．52 cm
【即学即练】如图所示，圆柱的高AB=3，底面直径BC=3，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是( )
A．B．C．D．
【即学即练】如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一些蜂蜜，此时一只蚂蚁正好也在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，那么蚂蚁要吃到甜甜的蜂蜜所爬行的最短距离是( )
A．13B．14C．15D．16
【即学即练】如图，圆柱的高为8cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点沿圆柱外壁爬到点处吃食，要爬行的最短路程是( )
A．6cmB．8cmC．10cmD．12cm
【即学即练】如图，将一根25㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和10㎝的长方体无盖盒子中，求细木棒露在盒外面的最短长度是多少？
分层提分
题组A 基础过关练
1．等腰三角形的底边和腰长分别是10和12，则底边上的高是( )
A．13B．8C．D．
2．我国是最早了解勾股定理的国家之一.下面四幅图中，不能用来证明勾股定理的是( )
A．B．C．D．
3．在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝1，AC＝2，则AB的长是( )
A．1B．C．2D．
4．如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要( )
A．4米B．5米C．6米D．7米
5．如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是( )
A．25B．C．D．
6．如图，一只蚂蚁从长、宽都是4，高是6的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是( )
A．9B．10C．D．
7．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于( )
A．B．C．D．
8．如图，已知ABCD是长方形纸片，，在CD上存在一点E，沿直线AE将折叠，D恰好落在BC边上的点F处，且，则的面积是( )．
A．B．C．D．
题组B 能力提升练
9．已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________．
10．我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼制成一个大正方形(如下图)，设勾a=3，弦c=5，则小正方形ABCD的面积是_______
11．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20 dm,3 dm,2 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是__________dm.
12．如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_______cm．
13．在△ABC中，AB=，AC=5，若BC边上的高等于3，则BC边的长为_____．
14．在平面直角坐标系中，若点M(1，3)与点N(x，3)之间的距离是5，则x的值是____________．
15．如图，一只蚂蚁从长、宽都是6，高是16的长方体纸箱的点沿纸箱爬到点，那么它所爬行的最短路线的长为________.
题组C 培优拔尖练
16．如图，把长方形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，点落在点处.
(1)试说明；
(2)设，，，试猜想，，之间的关系，并说明理由.
17．已知：如图，在中，，为的中点，、分别在、上，且于.求证：.
18．如图，△AOB，△COD是等腰直角三角形，点D在AB上，
(1)求证：△AOC≌△BOD；
(2)若AD=3，BD=1，求CD．
19．如图，在中，，，点是上一动点、连接，过点作，并且始终保持，连接，
(1)求证：；
(2)若平分交于，
①探究线段，，之间的数量关系，并证明；
②若，，求的长，
20．如图，公路MN和公路PQ在点P处交会，公路PQ上点A处有学校，点A到公路MN的距离为80m，现有一拖拉机在公路MN上以18km/h的速度沿PN方向行驶，拖拉机行驶时周围100m以内都会受到噪音的影响，试问该校受影响的时间为多长？
课程标准
1. 掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长．
2. 掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题．
3. 熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题．
第06课 勾股定理
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知识精讲
知识点01 勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么.
勾：直角三角形较短的直角边
股：直角三角形较长的直角边
弦：斜边
注意：
(1)勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.
(2)利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.
(3)理解勾股定理的一些变式：
，， .
知识点02 勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形.
下图中：
，，化简可证；
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形.
下图中：，，化简可证
方法三：下图所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
，，化简得证；
知识点03 勾股定理的作用
(1)已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
(2)用于解决带有平方关系的证明问题；
(3)利用勾股定理，作出长为 的线段.
能力拓展
考法01 勾股定理的理解
【典例1】已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为( )
A．12B．7+C．12或7+D．以上都不对
【答案】C
【解析】
【详解】
设Rt△ABC的第三边长为x，①当4为直角三角形的直角边时，x为斜边，由勾股定理得，x==5，此时这个三角形的周长=3+4+5=12；②当4为直角三角形的斜边时，x为直角边，由勾股定理得，x=，此时这个三角形的周长=3+4+=7+．故选C
【即学即练】如图,一场暴雨过后,垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断,树尖B恰好碰到地面,经测量AB=2m,则树高为( )米
A．B．C．+1D．3
【答案】C
【解析】
【详解】
由题意可知，AC=1，AB=2，∠CAB=90°
据勾股定理则BC=m；
∴AC+BC=(1+)m.
答：树高为(1+)米．
故选C.
考法02 勾股定理证明的理解
【典例2】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为
A．9B．6C．4D．3
【答案】D
【解析】
【分析】
已知ab＝8可求出四个三角形的面积，用大正方形面积减去四个三角形的面积得到小正方形的面积，根据面积利用算术平方根求小正方形的边长.
【详解】
故选D.
【点睛】
本题考查勾股定理的推导，有较多变形题，解题的关键是找出图形间面积关系，同时熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．
【即学即练】如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》(也称《赵爽弦图》)，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为( )
A．13B．19C．25D．169
【答案】C
【解析】
【详解】
试题分析：根据题意得：=13，4×ab=13﹣1=12，即2ab=12，则==13+12=25，故选C．
考点：勾股定理的证明；数学建模思想；构造法；等腰三角形与直角三角形．
【即学即练】如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在中，，，，若图中大正方形的面积为42，小正方形的面积为5，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】
根据正方形的面积公式和三角形的面积公式即可求出，，然后根据完全平方公式的变形即可求出结论．
【详解】
解：小正方形面积=
4个小直角三角形的面积=
∴
∴
【点睛】
此题考查的是全等三角形的性质和完全平方公式的变形，掌握全等三角形的性质、正方形的面积公式、三角形的面积公式和完全平方公式的变形是解决此题的关键．
考法03 数轴上画无理数
【典例3】如图，在数轴上点所表示的数为，则的值为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
首先根据勾股定理得出圆弧的半径,然后得出点A的坐标.
【详解】
解：
∴由图可知：点A所表示的数为:
故选：A
【点睛】
本题主要考查的就是数轴上点所表示的数,属于基础题型.解决这个问题的关键就是求出斜边的长度.在数轴上两点之间的距离是指两点所表示的数的差的绝对值.
【即学即练】如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是( )
A．+1B．-1C．-+1D．--1
【答案】B
【解析】
【详解】
试题解析：由勾股定理得：
∴数轴上点A所表示的数是
故选B.
考法04 勾股定理的简单应用
【典例4】如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝BC＝2，CD＝1，求AD的长．
【答案】AD=．
【解析】
【分析】
连接AC．在Rt△ABC中，由勾股定理求出．在Rt△ADC中，由勾股定理求出AD的长即可．
【详解】
连接AC．
∵∠B=90°，∴．
∵AB=BC=2，∴
∵∠D=90°，∴．
∵CD=1，∴，∴．
【点睛】
本题考查了勾股定理．熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【即学即练】在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
【答案】84.
【解析】
【详解】
试题分析：根据题意利用勾股定理表示出AD2的值，进而得出等式求出答案．
试题解析：作AD⊥BC于D，
如图所示：设BD = x，则．
在Rt△ABD中，由勾股定理得：，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：，
∴ ，
解之得：．
∴．
∴ ．
【即学即练】如图，一架梯子AB长13米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙5米．
(1)这个梯子的顶端距地面有多高？
(2)如果梯子的顶端下滑了5米，那么梯子的底端在水平方向滑动了多少米？
【答案】(1)12米；(2)
【解析】
【分析】
(1)利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度．
(2)由(1)可以得出梯子的初始高度，下滑1米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，已知梯子的底端距离墙的距离为5米，可以得出，梯子底端水平方向上滑行的距离．
【详解】
解：(1)根据勾股定理：所以梯子距离地面的高度为：AO===12(米)；
答：这个梯子的顶端距地面有12米高；
(2)梯子下滑了1米即梯子距离地面的高度为OA′=12﹣5=7(米)，根据勾股定理：OB′===2 (米)，
∴BB′=OB′﹣OB=(2﹣5)米
答：当梯子的顶端下滑1米时，梯子的底端水平后移了(2﹣5)米.
【点睛】
本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中正确的使用勾股定理求OB′的长度是解题的关键．
【即学即练】(古代数学问题)印度数学家什迦逻(1141年-1225年)曾提出过“荷花问题”，该问题是：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；“渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识回答这个问题.
【答案】水深3.75尺．
【解析】
【分析】
先根据题意构造出直角三角形(即荷花的折断与不断时恰好构成直角三角形)，再根据已知条件求解．
【详解】
解：设水深x尺，则荷花茎的长度为x+0.5，
根据勾股定理得：(x+0.5)2=x2+4
解得：x=3.75．
答：湖水深3.75尺．
【点睛】
本题的关键是读懂题意，找出题中各个量之间的关系，建立等式进行求解．
【即学即练】在△ABC中，AB=10，AC=2，BC边上的高AD=6，则另一边BC等于( )
A．10B．8C．6或10D．8或10
【答案】C
【解析】
【详解】
分两种情况：
在图①中，由勾股定理，得
;
;
∴BC＝BD＋CD＝8＋2＝10.
在图②中，由勾股定理，得
;
;
∴BC＝BD―CD＝8―2＝6.
故选C.
【即学即练】在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC+BC=14cm，AB=10cm，则Rt△ABC的面积是( )
A．24cm2B．36cm2C．48cm2D．60cm2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据勾股定理得到AC2+BC2=AB2=100，根据完全平方公式求出2AC•BC=96，得到 AC•BC=24，得到答案．
【详解】
∵∠C=90°，
∴AC2+BC2=AB2=100，
∵AC+BC=14，
∴(AC+BC)2=196，
即AC2+BC2+2AC•BC=196，
∴2AC•BC=96，
∴AC•BC=24，即Rt△ABC的面积是24cm2，
故选：A．
【点睛】
此题考查勾股定理的应用，解题关键在于掌握直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
考法05 折叠与勾股定理
【典例5】如图，把长方形沿AE对折后点D落在BC边的点F处，BC＝5cm，AB＝4cm，
求：(1)CF的长；(2)EF的长．
【答案】(1)2cm；(2)2.5cm
【解析】
【分析】
(1)由折叠的性质可得AF=AD，在Rt△ABF中根据勾股定理可求得BF的长，利用CF=BC-BF即可求得答案；
(2)在Rt△CEF中，设EF=xcm，则CE=(4-x)cm，根据勾股定理列方程，解方程即可．
【详解】
解：(1)∵四边形ABCD是长方形，
∴CD=AB=4、AD=BC=5、∠B=∠C=90°,
∵长方形沿AE对折后点D落在BC边的F处，
∴△ADE≌△AFE，
∴DE=EF， AF=AD=5
在Rt△ABF中，有AB2+BF2=AF2，
BF==3，
∴ CF=BC-BF=2 ；
(2)由(1)知：BC=AD=5、DE=EF
在Rt△CEF中，设EF=x m，则CE=(4-x) m
由勾股定理得：CF2+CE2=EF2
22+(4-x)2=x2，解得x=2.5，
即：EF=2.5cm
【点睛】
本题考查了翻折变换及勾股定理，解答本题的关键是把相关的量转化到一个直角三角形中，利用勾股定理求解．
【即学即练】如图，已知长方形ABCD中，AB＝8cm，BC＝10cm，在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求EF的长．
【答案】5cm
【解析】
【分析】
先根据折叠求出AF＝10，进而用勾股定理求出BF，即可求出CF，最后用勾股定理即可得出结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝10cm，CD＝AB＝8cm，
由折叠可知：Rt△ADE≌Rt△AFE，
∴∠AFE＝90°，AF＝10cm，EF＝DE，
设EF＝xcm，则DE＝EF＝xcm，CE＝CD﹣CE＝(8﹣x)cm，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2+BF2＝AF2，
即82+BF2＝102，
∴BF＝6cm，
∴CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4(cm)，
在Rt△ECF中，由勾股定理可得：EF2＝CE2+CF2，
即x2＝(8﹣x)2+42，
∴x＝5
即：EF的长为5cm．
【点睛】
本题考查勾股定理、图形的翻折变换、全等三角形，方程思想等知识点，关键是熟练掌握勾股定理，运用方程求解．
考法06 勾股定理与最短路径
【典例6】如图，长方体的长为15宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是
A．20B．25C．30D．32
【答案】B
【解析】
【详解】
试题解析：将长方体展开，连接A、B，
根据两点之间线段最短，
(1)如图，BD=10+5=15，AD=20，
由勾股定理得：AB=．
(2)如图，BC=5，AC=20+10=30，
由勾股定理得，AB=．
(3)只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图：
∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
∴BD=CD+BC=20+5=25，AD=10，
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：
∴AB=；
由于25＜5＜5，
故选B．
【即学即练】如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从A点绕到正上方B点共四圈，已知易拉罐底面周长是12 cm，高是20 cm，那么所需彩带最短的是( )
A．13 cmB．4cmC．4cmD．52 cm
【答案】D
【解析】
【分析】
本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决..要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理．
【详解】
如图，
由图可知，彩带从易拉罐底端的A处绕易拉罐4圈后到达顶端的B处，将易拉罐表面切开展开呈长方形，则螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长，设彩带最短长度为xcm，
∵∵易拉罐底面周长是12cm，高是20cm，
∴x2=(12×4)2+202∴x2=(12×4)2+202，
所以彩带最短是52cm．
故选D．
【点睛】
本题考查了平面展开−−最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，
【即学即练】如图所示，圆柱的高AB=3，底面直径BC=3，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【详解】
分析：要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解．
详解：把圆柱侧面展开，展开图如图所示，点A、C的最短距离为线段AC的长．
在Rt△ADC中，∠ADC=90°，CD=AB=3，AD为底面半圆弧长，AD=1.5π，
所以AC=，
故选C．
点睛：本题考查了平面展开-最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答．
【即学即练】如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一些蜂蜜，此时一只蚂蚁正好也在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，那么蚂蚁要吃到甜甜的蜂蜜所爬行的最短距离是( )
A．13B．14C．15D．16
【答案】C
【解析】
【分析】
如图：过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出A′Q，CQ，根据勾股定理求出A′C即可．
【详解】
如图：沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，
过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，
∵AE=A′E，A′P=AP，
∴AP+PC=A′P+PC=A′C，
∵CQ=×18cm=9cm，A′Q=12cm-4cm+4cm=12cm，
在Rt△A′QC中，由勾股定理得：A′C= =15cm，
故选C.
【点睛】
本题考查了勾股定理，轴对称-最短路线问题的应用，找出最短路线是解题关键.
【即学即练】如图，圆柱的高为8cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点沿圆柱外壁爬到点处吃食，要爬行的最短路程是( )
A．6cmB．8cmC．10cmD．12cm
【答案】C
【解析】
【分析】
这种求最短的一般都是空间想象，把圆柱体展开成平面的矩形.这个矩形长为底面周长,宽为圆柱体的高.两点之间直线最短.所以展开后画图连接AB，然后根据勾股定理，即可得解.
【详解】
底面圆周长为cm，底面半圆弧长为6cm，
展开图如图所示，连接AB，
∵BC=8cm，AC=6cm，
∴
故选C．
【点睛】
此题主要考查勾股定理的运用，解题关键是把空间图展开.
【即学即练】如图，将一根25㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和10㎝的长方体无盖盒子中，求细木棒露在盒外面的最短长度是多少？
【答案】5cm
【解析】
【分析】
利用勾股定理求出盒子的对角线长即可.
【详解】
盒子底面的对角线长为=10cm，
∴盒子的对角线长为=20cm，
则细木棒露在盒外面的最短长度是25﹣20=5cm.
【点睛】
本题考点：勾股定理的应用.
分层提分
题组A 基础过关练
1．等腰三角形的底边和腰长分别是10和12，则底边上的高是( )
A．13B．8C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先作底边上的高，由等腰三角形的性质和勾股定理即可求出此高的长度．
【详解】
解：作底边上的高并设此高的长度为x，
由等腰三角形三线合一的性质可得高线平分底边，
根据勾股定理得：52+x2=122，
解得x=
【点睛】
本题考点：等腰三角形底边上高的性质和勾股定理，等腰三角形底边上的高所在直线为底边的中垂线．然后根据勾股定理即可求出底边上高的长度．
2．我国是最早了解勾股定理的国家之一.下面四幅图中，不能用来证明勾股定理的是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据A、B、C、D各图形结合勾股定理一一判断可得答案.
【详解】
解:A、有三个直角三角形, 其面积分别为ab,ab和,
还可以理解为一个直角梯形,其面积为，由图形可知:
=ab+ab+，
整理得:(a+b)=2ab+c,a+b+2ab=2ab+ c, a+b= c
能证明勾股定理;
B、中间正方形的面积= c,中间正方形的面积=(a+b)-4ab=a+b,
a+b= c,能证明勾股定理;
C、不能利用图形面积证明勾股定理, 它是对完全平方公式的说明.
D、大正方形的面积= c,大正方形的面积=(b-a)+4ab = a+b,,
a+b= c,能证明勾股定理;
故选C.
【点睛】
本题主要考查勾股定理的证明，解题的关键是利用构图法来证明勾股定理.
3．在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝1，AC＝2，则AB的长是( )
A．1B．C．2D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据勾股定理即可得到结论．
【详解】
在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝1，AC＝2，
∴AB＝ ，
故选B．
【点睛】
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
4．如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要( )
A．4米B．5米C．6米D．7米
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出 AC 的长，再利用平移的知识即可得出地毯的长度．
【详解】
在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=3，
∴AC＝＝4米，
∴可得地毯长度＝AC+BC＝7米，
故选D．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用及平移的知识，利用勾股定理求出 AC 的长度是解答本题的关键．
5．如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是( )
A．25B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
本题利用实数与数轴的关系及直角三角形三边的关系(勾股定理)解答即可．
【详解】
由勾股定理可知，
∵OB=，
∴这个点表示的实数是．
故选D．
【点睛】
本题考查了勾股定理的运用和如何在数轴上表示一个无理数的方法，解决本题的关键是根据勾股定理求出OB的长．
6．如图，一只蚂蚁从长、宽都是4，高是6的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是( )
A．9B．10C．D．
【答案】B
【解析】
【详解】
如图(1),AB=；
如图(2),AB=.
故选B.
7．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据翻折的性质可知：AC＝AE＝6，CD＝DE，设CD＝DE＝x，在Rt△DEB中利用勾股定理解决．
【详解】
解：在Rt△ABC中，
∵AC＝6，BC＝8，
∴AB＝=＝10，
△ADE是由△ACD翻折，
∴AC＝AE＝6，EB＝AB−AE＝10−6＝4，
设CD＝DE＝x，
在Rt△DEB中，
∵，
∴，
∴x＝3，
∴CD＝3．
故答案为：B．
【点睛】
本题考查翻折的性质、勾股定理，利用翻折不变性是解决问题的关键，学会转化的思想去思考问题．
8．如图，已知ABCD是长方形纸片，，在CD上存在一点E，沿直线AE将折叠，D恰好落在BC边上的点F处，且，则的面积是( )．
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据面积求出BF、AF、CF，设DE为x，列方程求出即可．
【详解】
解：ABCD是长方形纸片，
∴AB=CD=3，
，
∴，
∴BF=4，
∴AF=，
∴AF=AD=BC=5，CF=1，
设DE为x，EF=DE=x，EC=3-x，
x2=(3-x)2+1，
解得，x= ，
∴，
故选：B．
【点睛】
本题考查了勾股定理与翻折，解题关键是恰当的设未知数，根据勾股定理列方程．
题组B 能力提升练
9．已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________．
【答案】5或
【解析】
【详解】
试题分析：已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：
①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：第三边的长为：；
②长为3、4的边都是直角边时：第三边的长为：；
∴第三边的长为：或5．
考点：1．勾股定理；2．分类思想的应用．
10．我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼制成一个大正方形(如下图)，设勾a=3，弦c=5，则小正方形ABCD的面积是_______
【答案】1．
【解析】
【分析】
根据勾股定理可得股b=4，则小正方形ABCD的边长为b-a，最后根据正方形面积公式计算即可．
【详解】
解：∵勾a=3，弦c=5
∴股b=
∵小正方形ABCD的边长为b-a=4-3=1
∴小正方形ABCD的面积是1．
故答案为1．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的应用，灵活应用勾股定理解直角三角形是解答本题的关键．
11．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20 dm,3 dm,2 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是__________dm.
【答案】25
【解析】
【分析】
先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答即可．
【详解】
如图所示．
∵三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为(2+3)×3，∴蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x，由勾股定理得：x2=202+[(2+3)×3]2=252，解得：x=25．
故答案为25．
【点睛】
本题考查了平面展开﹣最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．
12．如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_______cm．
【答案】15.
【解析】
【分析】
过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出A′Q，CQ，根据勾股定理求出A′C即可．
【详解】
沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，
过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，
∵AE=A′E，A′P=AP，
∴AP+PC=A′P+PC=A′C，
∵CQ=×18cm=9cm，A′Q=12cm-4cm+4cm=12cm，
在Rt△A′QC中，由勾股定理得：A′C==15cm，
故答案为15．
13．在△ABC中，AB=，AC=5，若BC边上的高等于3，则BC边的长为_____．
【答案】9或1
【解析】
【详解】
【分析】△ABC中，∠ACB分锐角和钝角两种：
①如图1，∠ACB是锐角时，根据勾股定理计算BD和CD的长可得BC的值；
②如图2，∠ACB是钝角时，同理得：CD=4，BD=5，根据BC=BD﹣CD代入可得结论．
【详解】有两种情况：
①如图1，∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
由勾股定理得：BD==5，
CD==4，
∴BC=BD+CD=5+4=9；
②如图2，同理得：CD=4，BD=5，
∴BC=BD﹣CD=5﹣4=1，
综上所述，BC的长为9或1；
故答案为9或1．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理是关键，并注意运用了分类讨论的思想解决问题．
14．在平面直角坐标系中，若点M(1，3)与点N(x，3)之间的距离是5，则x的值是____________．
【答案】－4或6
【解析】
【详解】
分析：点M、N的纵坐标相等，则直线MN在平行于x轴的直线上，根据两点间的距离，可列出等式|x-1|=5，从而解得x的值．
解答：解：∵点M(1，3)与点N(x，3)之间的距离是5，
∴|x-1|=5，
解得x=-4或6．
故答案为-4或6．
15．如图，一只蚂蚁从长、宽都是6，高是16的长方体纸箱的点沿纸箱爬到点，那么它所爬行的最短路线的长为________.
【答案】20
【解析】
【分析】
分情况讨论，将纸箱展开后，蚂蚁可经上表面爬到B点，也可经右侧面爬到B点．求出这两种情况所走路线的长度，比较可得答案．
【详解】
将纸箱展开,当蚂蚁经右表面爬到B点,则,
当蚂蚁经上侧面爬到B点,则
比较上面两种情况,一只蚂蚁从顶点A沿纸箱表面爬到顶点B点,那么它所行的最短路线的长是20，
故答案为20.
【点睛】
本题涉及平面展开最短路径问题和分类讨论思想,难度中等.
题组C 培优拔尖练
16．如图，把长方形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，点落在点处.
(1)试说明；
(2)设，，，试猜想，，之间的关系，并说明理由.
【答案】(1)证明见解析；(2)，，之间的关系是.理由见解析.
【解析】
【分析】
(1)根据折叠的性质、平行的性质及等角对等边即可说明；(2)根据折叠的性质将AE、AB、BF都转化到直角三角形中，由勾股定理可得，，之间的关系.
【详解】
(1)由折叠的性质 ，得，，
在长方形纸片中，，所以，
所以，所以，
所以.
(2)，，之间的关系是.理由如下：
由(1)知，由折叠的性质，得，，.
在中，，
所以，所以.
【点睛】
本题主要考查了勾股定理，灵活利用折叠的性质进行线段间的转化是解题的关键.
17．已知：如图，在中，，为的中点，、分别在、上，且于.求证：.
【答案】详见解析
【解析】
【分析】
通过倍长线段，将、、转化到中，再证为直角三角形.
【详解】
延长至，使，连结、，
，，
，
，，
，
，，
，
又，，
，
.
【点睛】
本题考查了全等三角形判定与性质，勾股定理，正确添加辅助线，熟练掌握相关知识是解题的关键.
18．如图，△AOB，△COD是等腰直角三角形，点D在AB上，
(1)求证：△AOC≌△BOD；
(2)若AD=3，BD=1，求CD．
【答案】(1)见解析；(2)
【解析】
【分析】
(1)因为∠AOB=∠COD=90°，由等量代换可得∠DOB=∠AOC，又因为△AOB和△COD均为等腰直角三角形，所以OC=OD，OA=OB，则△AOC≌△BOD；
(2)由(1)可知△AOC≌△BOD，所以AC=BD=1，∠CAO=∠DBO=45°，由等量代换求得∠CAB=90°，根据勾股定理即可求出CD的长．
【详解】
解：(1)∵△AOB，△COD是等腰直角三角形，
∴OC=OD，OA=OB，∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC=∠BOD=90°﹣∠AOD，
在△AOC和△BOD中，
∴△AOC≌△BOD(SAS)；
(2)∵△AOB，△COD是等腰直角三角形，
∴OC=OD，OA=OB，∠AOB=∠COD=90°，
∴∠B=∠OAB=45°，
∵△AOC≌△BOD，BD=1，
∴AC=BD=1，∠CAO=∠B=45°，
∵∠OAB=45°，
∴∠CAD=45°+45°=90°，
在Rt△CAD中，由勾股定理得：CD=．
19．如图，在中，，，点是上一动点、连接，过点作，并且始终保持，连接，
(1)求证：；
(2)若平分交于，
①探究线段，，之间的数量关系，并证明；
②若，，求的长，
【答案】(1)见详解(2)①结论：，证明见详解②
【解析】
【分析】
(1)根据，只要证明即可解决问题；
(2)①结论：．连接，进一步证明，，再利用勾股定理即可得证；②过点作于点，在中求出、即可求解．
【详解】
解：(1)∵
∴
∵
∴
∴
∴在和中
∴≌
(2)①结论：
证明：连接，如图：
∵≌
∴，
∴
∴
∴
∵平分
∴
∴在和中
∴≌
∴
∴
即
②过点作于点，如图：
∵由①可知
∴
∴
∵，
∴
∴
∴在中，
故答案是：(1)见详解(2)①结论：，证明见详解②
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形的判定和性质以及角平分线的性质．综合性较强，属中档题，学会灵活应用相关知识点进行推理证明．
20．如图，公路MN和公路PQ在点P处交会，公路PQ上点A处有学校，点A到公路MN的距离为80m，现有一拖拉机在公路MN上以18km/h的速度沿PN方向行驶，拖拉机行驶时周围100m以内都会受到噪音的影响，试问该校受影响的时间为多长？
【答案】24s.
【解析】
【详解】
试题分析：设拖拉机开到C处刚好开始受到影响，行驶到D处时结束，在Rt△ACB中求出CB，继而得出CD，再由拖拉机的速度可得出所需时间．
试题解析：设拖拉机开到C处刚好开始受到影响，行驶到D处时结束了噪声的影响．
则有CA=DA=100m，
在Rt△ABC中，CB＝＝60(m)，
∴CD=2CB=120m，
∵18km/h=18000m/3600s=5m/s，
∴该校受影响的时间为：120÷5=24(s)．
答：该校受影响拖拉机产生的噪声的影响时间为24秒．课程标准
1. 掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长．
2. 掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题．
3. 熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题．
目标导航
知识精讲
知识点01 勾股定理
直角三角形两直角边的 等于斜边的 .如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么 .
勾：直角三角形较短的直角边
股：直角三角形较长的直角边
弦：斜边
注意：
(1)勾股定理揭示了一个直角三角形 之间的数量关系.
(2)利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.
(3)理解勾股定理的一些变式：
， ， .
知识点02 勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形.
下图中：
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形.
方法三：下图所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
知识点03 勾股定理的作用
(1)已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
(2)用于解决带有平方关系的证明问题；
(3)利用勾股定理，作出长为 的线段.
能力拓展
考法01 勾股定理的理解
【典例1】已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为( )
A．12B．7+C．12或7+D．以上都不对
【即学即练】如图,一场暴雨过后,垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断,树尖B恰好碰到地面,经测量AB=2m,则树高为( )米
A．B．C．+1D．3
考法02 勾股定理证明的理解
【典例2】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为
A．9B．6C．4D．3
【即学即练】如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》(也称《赵爽弦图》)，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为( )
A．13B．19C．25D．169
【即学即练】如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在中，，，，若图中大正方形的面积为42，小正方形的面积为5，求的值．
考法03 数轴上画无理数
【典例3】如图，在数轴上点所表示的数为，则的值为( )
A．B．C．D．
【即学即练】如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是( )
A．+1B．-1C．-+1D．--1
考法04 勾股定理的简单应用
【典例4】如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝BC＝2，CD＝1，求AD的长．
【即学即练】在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
【即学即练】如图，一架梯子AB长13米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙5米．
(1)这个梯子的顶端距地面有多高？
(2)如果梯子的顶端下滑了5米，那么梯子的底端在水平方向滑动了多少米？
【即学即练】(古代数学问题)印度数学家什迦逻(1141年-1225年)曾提出过“荷花问题”，该问题是：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；“渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识回答这个问题.
【即学即练】在△ABC中，AB=10，AC=2，BC边上的高AD=6，则另一边BC等于( )
A．10B．8C．6或10D．8或10
【即学即练】在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC+BC=14cm，AB=10cm，则Rt△ABC的面积是( )
A．24cm2B．36cm2C．48cm2D．60cm2
考法05 折叠与勾股定理
【典例5】如图，把长方形沿AE对折后点D落在BC边的点F处，BC＝5cm，AB＝4cm，
求：(1)CF的长；(2)EF的长．
【即学即练】如图，已知长方形ABCD中，AB＝8cm，BC＝10cm，在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求EF的长．
考法06 勾股定理与最短路径
【典例6】如图，长方体的长为15宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是
A．20B．25C．30D．32
【即学即练】如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从A点绕到正上方B点共四圈，已知易拉罐底面周长是12 cm，高是20 cm，那么所需彩带最短的是( )
A．13 cmB．4cmC．4cmD．52 cm
【即学即练】如图所示，圆柱的高AB=3，底面直径BC=3，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是( )
A．B．C．D．
【即学即练】如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一些蜂蜜，此时一只蚂蚁正好也在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，那么蚂蚁要吃到甜甜的蜂蜜所爬行的最短距离是( )
A．13B．14C．15D．16
【即学即练】如图，圆柱的高为8cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点沿圆柱外壁爬到点处吃食，要爬行的最短路程是( )
A．6cmB．8cmC．10cmD．12cm
【即学即练】如图，将一根25㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和10㎝的长方体无盖盒子中，求细木棒露在盒外面的最短长度是多少？
分层提分
题组A 基础过关练
1．等腰三角形的底边和腰长分别是10和12，则底边上的高是( )
A．13B．8C．D．
2．我国是最早了解勾股定理的国家之一.下面四幅图中，不能用来证明勾股定理的是( )
A．B．C．D．
3．在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝1，AC＝2，则AB的长是( )
A．1B．C．2D．
4．如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要( )
A．4米B．5米C．6米D．7米
5．如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是( )
A．25B．C．D．
6．如图，一只蚂蚁从长、宽都是4，高是6的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是( )
A．9B．10C．D．
7．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于( )
A．B．C．D．
8．如图，已知ABCD是长方形纸片，，在CD上存在一点E，沿直线AE将折叠，D恰好落在BC边上的点F处，且，则的面积是( )．
A．B．C．D．
题组B 能力提升练
9．已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________．
10．我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼制成一个大正方形(如下图)，设勾a=3，弦c=5，则小正方形ABCD的面积是_______
11．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20 dm,3 dm,2 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是__________dm.
12．如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_______cm．
13．在△ABC中，AB=，AC=5，若BC边上的高等于3，则BC边的长为_____．
14．在平面直角坐标系中，若点M(1，3)与点N(x，3)之间的距离是5，则x的值是____________．
15．如图，一只蚂蚁从长、宽都是6，高是16的长方体纸箱的点沿纸箱爬到点，那么它所爬行的最短路线的长为________.
题组C 培优拔尖练
16．如图，把长方形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，点落在点处.
(1)试说明；
(2)设，，，试猜想，，之间的关系，并说明理由.
17．已知：如图，在中，，为的中点，、分别在、上，且于.求证：.
18．如图，△AOB，△COD是等腰直角三角形，点D在AB上，
(1)求证：△AOC≌△BOD；
(2)若AD=3，BD=1，求CD．
19．如图，在中，，，点是上一动点、连接，过点作，并且始终保持，连接，
(1)求证：；
(2)若平分交于，
①探究线段，，之间的数量关系，并证明；
②若，，求的长，
20．如图，公路MN和公路PQ在点P处交会，公路PQ上点A处有学校，点A到公路MN的距离为80m，现有一拖拉机在公路MN上以18km/h的速度沿PN方向行驶，拖拉机行驶时周围100m以内都会受到噪音的影响，试问该校受影响的时间为多长？
课程标准
1. 掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长．
2. 掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题．
3. 熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题．
第06课 勾股定理
目标导航
知识精讲
知识点01 勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么.
勾：直角三角形较短的直角边
股：直角三角形较长的直角边
弦：斜边
注意：
(1)勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.
(2)利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.
(3)理解勾股定理的一些变式：
，， .
知识点02 勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形.
下图中：
，，化简可证；
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形.
下图中：，，化简可证
方法三：下图所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
，，化简得证；
知识点03 勾股定理的作用
(1)已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
(2)用于解决带有平方关系的证明问题；
(3)利用勾股定理，作出长为 的线段.
能力拓展
考法01 勾股定理的理解
【典例1】已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为( )
A．12B．7+C．12或7+D．以上都不对
【答案】C
【解析】
【详解】
设Rt△ABC的第三边长为x，①当4为直角三角形的直角边时，x为斜边，由勾股定理得，x==5，此时这个三角形的周长=3+4+5=12；②当4为直角三角形的斜边时，x为直角边，由勾股定理得，x=，此时这个三角形的周长=3+4+=7+．故选C
【即学即练】如图,一场暴雨过后,垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断,树尖B恰好碰到地面,经测量AB=2m,则树高为( )米
A．B．C．+1D．3
【答案】C
【解析】
【详解】
由题意可知，AC=1，AB=2，∠CAB=90°
据勾股定理则BC=m；
∴AC+BC=(1+)m.
答：树高为(1+)米．
故选C.
考法02 勾股定理证明的理解
【典例2】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为
A．9B．6C．4D．3
【答案】D
【解析】
【分析】
已知ab＝8可求出四个三角形的面积，用大正方形面积减去四个三角形的面积得到小正方形的面积，根据面积利用算术平方根求小正方形的边长.
【详解】
故选D.
【点睛】
本题考查勾股定理的推导，有较多变形题，解题的关键是找出图形间面积关系，同时熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．
【即学即练】如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》(也称《赵爽弦图》)，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为( )
A．13B．19C．25D．169
【答案】C
【解析】
【详解】
试题分析：根据题意得：=13，4×ab=13﹣1=12，即2ab=12，则==13+12=25，故选C．
考点：勾股定理的证明；数学建模思想；构造法；等腰三角形与直角三角形．
【即学即练】如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在中，，，，若图中大正方形的面积为42，小正方形的面积为5，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】
根据正方形的面积公式和三角形的面积公式即可求出，，然后根据完全平方公式的变形即可求出结论．
【详解】
解：小正方形面积=
4个小直角三角形的面积=
∴
∴
【点睛】
此题考查的是全等三角形的性质和完全平方公式的变形，掌握全等三角形的性质、正方形的面积公式、三角形的面积公式和完全平方公式的变形是解决此题的关键．
考法03 数轴上画无理数
【典例3】如图，在数轴上点所表示的数为，则的值为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
首先根据勾股定理得出圆弧的半径,然后得出点A的坐标.
【详解】
解：
∴由图可知：点A所表示的数为:
故选：A
【点睛】
本题主要考查的就是数轴上点所表示的数,属于基础题型.解决这个问题的关键就是求出斜边的长度.在数轴上两点之间的距离是指两点所表示的数的差的绝对值.
【即学即练】如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是( )
A．+1B．-1C．-+1D．--1
【答案】B
【解析】
【详解】
试题解析：由勾股定理得：
∴数轴上点A所表示的数是
故选B.
考法04 勾股定理的简单应用
【典例4】如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝BC＝2，CD＝1，求AD的长．
【答案】AD=．
【解析】
【分析】
连接AC．在Rt△ABC中，由勾股定理求出．在Rt△ADC中，由勾股定理求出AD的长即可．
【详解】
连接AC．
∵∠B=90°，∴．
∵AB=BC=2，∴
∵∠D=90°，∴．
∵CD=1，∴，∴．
【点睛】
本题考查了勾股定理．熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【即学即练】在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
【答案】84.
【解析】
【详解】
试题分析：根据题意利用勾股定理表示出AD2的值，进而得出等式求出答案．
试题解析：作AD⊥BC于D，
如图所示：设BD = x，则．
在Rt△ABD中，由勾股定理得：，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：，
∴ ，
解之得：．
∴．
∴ ．
【即学即练】如图，一架梯子AB长13米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙5米．
(1)这个梯子的顶端距地面有多高？
(2)如果梯子的顶端下滑了5米，那么梯子的底端在水平方向滑动了多少米？
【答案】(1)12米；(2)
【解析】
【分析】
(1)利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度．
(2)由(1)可以得出梯子的初始高度，下滑1米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，已知梯子的底端距离墙的距离为5米，可以得出，梯子底端水平方向上滑行的距离．
【详解】
解：(1)根据勾股定理：所以梯子距离地面的高度为：AO===12(米)；
答：这个梯子的顶端距地面有12米高；
(2)梯子下滑了1米即梯子距离地面的高度为OA′=12﹣5=7(米)，根据勾股定理：OB′===2 (米)，
∴BB′=OB′﹣OB=(2﹣5)米
答：当梯子的顶端下滑1米时，梯子的底端水平后移了(2﹣5)米.
【点睛】
本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中正确的使用勾股定理求OB′的长度是解题的关键．
【即学即练】(古代数学问题)印度数学家什迦逻(1141年-1225年)曾提出过“荷花问题”，该问题是：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；“渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识回答这个问题.
【答案】水深3.75尺．
【解析】
【分析】
先根据题意构造出直角三角形(即荷花的折断与不断时恰好构成直角三角形)，再根据已知条件求解．
【详解】
解：设水深x尺，则荷花茎的长度为x+0.5，
根据勾股定理得：(x+0.5)2=x2+4
解得：x=3.75．
答：湖水深3.75尺．
【点睛】
本题的关键是读懂题意，找出题中各个量之间的关系，建立等式进行求解．
【即学即练】在△ABC中，AB=10，AC=2，BC边上的高AD=6，则另一边BC等于( )
A．10B．8C．6或10D．8或10
【答案】C
【解析】
【详解】
分两种情况：
在图①中，由勾股定理，得
;
;
∴BC＝BD＋CD＝8＋2＝10.
在图②中，由勾股定理，得
;
;
∴BC＝BD―CD＝8―2＝6.
故选C.
【即学即练】在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC+BC=14cm，AB=10cm，则Rt△ABC的面积是( )
A．24cm2B．36cm2C．48cm2D．60cm2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据勾股定理得到AC2+BC2=AB2=100，根据完全平方公式求出2AC•BC=96，得到 AC•BC=24，得到答案．
【详解】
∵∠C=90°，
∴AC2+BC2=AB2=100，
∵AC+BC=14，
∴(AC+BC)2=196，
即AC2+BC2+2AC•BC=196，
∴2AC•BC=96，
∴AC•BC=24，即Rt△ABC的面积是24cm2，
故选：A．
【点睛】
此题考查勾股定理的应用，解题关键在于掌握直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
考法05 折叠与勾股定理
【典例5】如图，把长方形沿AE对折后点D落在BC边的点F处，BC＝5cm，AB＝4cm，
求：(1)CF的长；(2)EF的长．
【答案】(1)2cm；(2)2.5cm
【解析】
【分析】
(1)由折叠的性质可得AF=AD，在Rt△ABF中根据勾股定理可求得BF的长，利用CF=BC-BF即可求得答案；
(2)在Rt△CEF中，设EF=xcm，则CE=(4-x)cm，根据勾股定理列方程，解方程即可．
【详解】
解：(1)∵四边形ABCD是长方形，
∴CD=AB=4、AD=BC=5、∠B=∠C=90°,
∵长方形沿AE对折后点D落在BC边的F处，
∴△ADE≌△AFE，
∴DE=EF， AF=AD=5
在Rt△ABF中，有AB2+BF2=AF2，
BF==3，
∴ CF=BC-BF=2 ；
(2)由(1)知：BC=AD=5、DE=EF
在Rt△CEF中，设EF=x m，则CE=(4-x) m
由勾股定理得：CF2+CE2=EF2
22+(4-x)2=x2，解得x=2.5，
即：EF=2.5cm
【点睛】
本题考查了翻折变换及勾股定理，解答本题的关键是把相关的量转化到一个直角三角形中，利用勾股定理求解．
【即学即练】如图，已知长方形ABCD中，AB＝8cm，BC＝10cm，在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求EF的长．
【答案】5cm
【解析】
【分析】
先根据折叠求出AF＝10，进而用勾股定理求出BF，即可求出CF，最后用勾股定理即可得出结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝10cm，CD＝AB＝8cm，
由折叠可知：Rt△ADE≌Rt△AFE，
∴∠AFE＝90°，AF＝10cm，EF＝DE，
设EF＝xcm，则DE＝EF＝xcm，CE＝CD﹣CE＝(8﹣x)cm，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2+BF2＝AF2，
即82+BF2＝102，
∴BF＝6cm，
∴CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4(cm)，
在Rt△ECF中，由勾股定理可得：EF2＝CE2+CF2，
即x2＝(8﹣x)2+42，
∴x＝5
即：EF的长为5cm．
【点睛】
本题考查勾股定理、图形的翻折变换、全等三角形，方程思想等知识点，关键是熟练掌握勾股定理，运用方程求解．
考法06 勾股定理与最短路径
【典例6】如图，长方体的长为15宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是
A．20B．25C．30D．32
【答案】B
【解析】
【详解】
试题解析：将长方体展开，连接A、B，
根据两点之间线段最短，
(1)如图，BD=10+5=15，AD=20，
由勾股定理得：AB=．
(2)如图，BC=5，AC=20+10=30，
由勾股定理得，AB=．
(3)只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图：
∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
∴BD=CD+BC=20+5=25，AD=10，
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：
∴AB=；
由于25＜5＜5，
故选B．
【即学即练】如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从A点绕到正上方B点共四圈，已知易拉罐底面周长是12 cm，高是20 cm，那么所需彩带最短的是( )
A．13 cmB．4cmC．4cmD．52 cm
【答案】D
【解析】
【分析】
本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决..要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理．
【详解】
如图，
由图可知，彩带从易拉罐底端的A处绕易拉罐4圈后到达顶端的B处，将易拉罐表面切开展开呈长方形，则螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长，设彩带最短长度为xcm，
∵∵易拉罐底面周长是12cm，高是20cm，
∴x2=(12×4)2+202∴x2=(12×4)2+202，
所以彩带最短是52cm．
故选D．
【点睛】
本题考查了平面展开−−最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，
【即学即练】如图所示，圆柱的高AB=3，底面直径BC=3，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【详解】
分析：要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解．
详解：把圆柱侧面展开，展开图如图所示，点A、C的最短距离为线段AC的长．
在Rt△ADC中，∠ADC=90°，CD=AB=3，AD为底面半圆弧长，AD=1.5π，
所以AC=，
故选C．
点睛：本题考查了平面展开-最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答．
【即学即练】如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一些蜂蜜，此时一只蚂蚁正好也在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，那么蚂蚁要吃到甜甜的蜂蜜所爬行的最短距离是( )
A．13B．14C．15D．16
【答案】C
【解析】
【分析】
如图：过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出A′Q，CQ，根据勾股定理求出A′C即可．
【详解】
如图：沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，
过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，
∵AE=A′E，A′P=AP，
∴AP+PC=A′P+PC=A′C，
∵CQ=×18cm=9cm，A′Q=12cm-4cm+4cm=12cm，
在Rt△A′QC中，由勾股定理得：A′C= =15cm，
故选C.
【点睛】
本题考查了勾股定理，轴对称-最短路线问题的应用，找出最短路线是解题关键.
【即学即练】如图，圆柱的高为8cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点沿圆柱外壁爬到点处吃食，要爬行的最短路程是( )
A．6cmB．8cmC．10cmD．12cm
【答案】C
【解析】
【分析】
这种求最短的一般都是空间想象，把圆柱体展开成平面的矩形.这个矩形长为底面周长,宽为圆柱体的高.两点之间直线最短.所以展开后画图连接AB，然后根据勾股定理，即可得解.
【详解】
底面圆周长为cm，底面半圆弧长为6cm，
展开图如图所示，连接AB，
∵BC=8cm，AC=6cm，
∴
故选C．
【点睛】
此题主要考查勾股定理的运用，解题关键是把空间图展开.
【即学即练】如图，将一根25㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和10㎝的长方体无盖盒子中，求细木棒露在盒外面的最短长度是多少？
【答案】5cm
【解析】
【分析】
利用勾股定理求出盒子的对角线长即可.
【详解】
盒子底面的对角线长为=10cm，
∴盒子的对角线长为=20cm，
则细木棒露在盒外面的最短长度是25﹣20=5cm.
【点睛】
本题考点：勾股定理的应用.
分层提分
题组A 基础过关练
1．等腰三角形的底边和腰长分别是10和12，则底边上的高是( )
A．13B．8C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先作底边上的高，由等腰三角形的性质和勾股定理即可求出此高的长度．
【详解】
解：作底边上的高并设此高的长度为x，
由等腰三角形三线合一的性质可得高线平分底边，
根据勾股定理得：52+x2=122，
解得x=
【点睛】
本题考点：等腰三角形底边上高的性质和勾股定理，等腰三角形底边上的高所在直线为底边的中垂线．然后根据勾股定理即可求出底边上高的长度．
2．我国是最早了解勾股定理的国家之一.下面四幅图中，不能用来证明勾股定理的是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据A、B、C、D各图形结合勾股定理一一判断可得答案.
【详解】
解:A、有三个直角三角形, 其面积分别为ab,ab和,
还可以理解为一个直角梯形,其面积为，由图形可知:
=ab+ab+，
整理得:(a+b)=2ab+c,a+b+2ab=2ab+ c, a+b= c
能证明勾股定理;
B、中间正方形的面积= c,中间正方形的面积=(a+b)-4ab=a+b,
a+b= c,能证明勾股定理;
C、不能利用图形面积证明勾股定理, 它是对完全平方公式的说明.
D、大正方形的面积= c,大正方形的面积=(b-a)+4ab = a+b,,
a+b= c,能证明勾股定理;
故选C.
【点睛】
本题主要考查勾股定理的证明，解题的关键是利用构图法来证明勾股定理.
3．在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝1，AC＝2，则AB的长是( )
A．1B．C．2D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据勾股定理即可得到结论．
【详解】
在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝1，AC＝2，
∴AB＝ ，
故选B．
【点睛】
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
4．如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要( )
A．4米B．5米C．6米D．7米
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出 AC 的长，再利用平移的知识即可得出地毯的长度．
【详解】
在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=3，
∴AC＝＝4米，
∴可得地毯长度＝AC+BC＝7米，
故选D．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用及平移的知识，利用勾股定理求出 AC 的长度是解答本题的关键．
5．如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是( )
A．25B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
本题利用实数与数轴的关系及直角三角形三边的关系(勾股定理)解答即可．
【详解】
由勾股定理可知，
∵OB=，
∴这个点表示的实数是．
故选D．
【点睛】
本题考查了勾股定理的运用和如何在数轴上表示一个无理数的方法，解决本题的关键是根据勾股定理求出OB的长．
6．如图，一只蚂蚁从长、宽都是4，高是6的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是( )
A．9B．10C．D．
【答案】B
【解析】
【详解】
如图(1),AB=；
如图(2),AB=.
故选B.
7．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据翻折的性质可知：AC＝AE＝6，CD＝DE，设CD＝DE＝x，在Rt△DEB中利用勾股定理解决．
【详解】
解：在Rt△ABC中，
∵AC＝6，BC＝8，
∴AB＝=＝10，
△ADE是由△ACD翻折，
∴AC＝AE＝6，EB＝AB−AE＝10−6＝4，
设CD＝DE＝x，
在Rt△DEB中，
∵，
∴，
∴x＝3，
∴CD＝3．
故答案为：B．
【点睛】
本题考查翻折的性质、勾股定理，利用翻折不变性是解决问题的关键，学会转化的思想去思考问题．
8．如图，已知ABCD是长方形纸片，，在CD上存在一点E，沿直线AE将折叠，D恰好落在BC边上的点F处，且，则的面积是( )．
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据面积求出BF、AF、CF，设DE为x，列方程求出即可．
【详解】
解：ABCD是长方形纸片，
∴AB=CD=3，
，
∴，
∴BF=4，
∴AF=，
∴AF=AD=BC=5，CF=1，
设DE为x，EF=DE=x，EC=3-x，
x2=(3-x)2+1，
解得，x= ，
∴，
故选：B．
【点睛】
本题考查了勾股定理与翻折，解题关键是恰当的设未知数，根据勾股定理列方程．
题组B 能力提升练
9．已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________．
【答案】5或
【解析】
【详解】
试题分析：已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：
①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：第三边的长为：；
②长为3、4的边都是直角边时：第三边的长为：；
∴第三边的长为：或5．
考点：1．勾股定理；2．分类思想的应用．
10．我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼制成一个大正方形(如下图)，设勾a=3，弦c=5，则小正方形ABCD的面积是_______
【答案】1．
【解析】
【分析】
根据勾股定理可得股b=4，则小正方形ABCD的边长为b-a，最后根据正方形面积公式计算即可．
【详解】
解：∵勾a=3，弦c=5
∴股b=
∵小正方形ABCD的边长为b-a=4-3=1
∴小正方形ABCD的面积是1．
故答案为1．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的应用，灵活应用勾股定理解直角三角形是解答本题的关键．
11．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20 dm,3 dm,2 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是__________dm.
【答案】25
【解析】
【分析】
先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答即可．
【详解】
如图所示．
∵三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为(2+3)×3，∴蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x，由勾股定理得：x2=202+[(2+3)×3]2=252，解得：x=25．
故答案为25．
【点睛】
本题考查了平面展开﹣最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．
12．如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_______cm．
【答案】15.
【解析】
【分析】
过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出A′Q，CQ，根据勾股定理求出A′C即可．
【详解】
沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，
过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，
∵AE=A′E，A′P=AP，
∴AP+PC=A′P+PC=A′C，
∵CQ=×18cm=9cm，A′Q=12cm-4cm+4cm=12cm，
在Rt△A′QC中，由勾股定理得：A′C==15cm，
故答案为15．
13．在△ABC中，AB=，AC=5，若BC边上的高等于3，则BC边的长为_____．
【答案】9或1
【解析】
【详解】
【分析】△ABC中，∠ACB分锐角和钝角两种：
①如图1，∠ACB是锐角时，根据勾股定理计算BD和CD的长可得BC的值；
②如图2，∠ACB是钝角时，同理得：CD=4，BD=5，根据BC=BD﹣CD代入可得结论．
【详解】有两种情况：
①如图1，∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
由勾股定理得：BD==5，
CD==4，
∴BC=BD+CD=5+4=9；
②如图2，同理得：CD=4，BD=5，
∴BC=BD﹣CD=5﹣4=1，
综上所述，BC的长为9或1；
故答案为9或1．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理是关键，并注意运用了分类讨论的思想解决问题．
14．在平面直角坐标系中，若点M(1，3)与点N(x，3)之间的距离是5，则x的值是____________．
【答案】－4或6
【解析】
【详解】
分析：点M、N的纵坐标相等，则直线MN在平行于x轴的直线上，根据两点间的距离，可列出等式|x-1|=5，从而解得x的值．
解答：解：∵点M(1，3)与点N(x，3)之间的距离是5，
∴|x-1|=5，
解得x=-4或6．
故答案为-4或6．
15．如图，一只蚂蚁从长、宽都是6，高是16的长方体纸箱的点沿纸箱爬到点，那么它所爬行的最短路线的长为________.
【答案】20
【解析】
【分析】
分情况讨论，将纸箱展开后，蚂蚁可经上表面爬到B点，也可经右侧面爬到B点．求出这两种情况所走路线的长度，比较可得答案．
【详解】
将纸箱展开,当蚂蚁经右表面爬到B点,则,
当蚂蚁经上侧面爬到B点,则
比较上面两种情况,一只蚂蚁从顶点A沿纸箱表面爬到顶点B点,那么它所行的最短路线的长是20，
故答案为20.
【点睛】
本题涉及平面展开最短路径问题和分类讨论思想,难度中等.
题组C 培优拔尖练
16．如图，把长方形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，点落在点处.
(1)试说明；
(2)设，，，试猜想，，之间的关系，并说明理由.
【答案】(1)证明见解析；(2)，，之间的关系是.理由见解析.
【解析】
【分析】
(1)根据折叠的性质、平行的性质及等角对等边即可说明；(2)根据折叠的性质将AE、AB、BF都转化到直角三角形中，由勾股定理可得，，之间的关系.
【详解】
(1)由折叠的性质 ，得，，
在长方形纸片中，，所以，
所以，所以，
所以.
(2)，，之间的关系是.理由如下：
由(1)知，由折叠的性质，得，，.
在中，，
所以，所以.
【点睛】
本题主要考查了勾股定理，灵活利用折叠的性质进行线段间的转化是解题的关键.
17．已知：如图，在中，，为的中点，、分别在、上，且于.求证：.
【答案】详见解析
【解析】
【分析】
通过倍长线段，将、、转化到中，再证为直角三角形.
【详解】
延长至，使，连结、，
，，
，
，，
，
，，
，
又，，
，
.
【点睛】
本题考查了全等三角形判定与性质，勾股定理，正确添加辅助线，熟练掌握相关知识是解题的关键.
18．如图，△AOB，△COD是等腰直角三角形，点D在AB上，
(1)求证：△AOC≌△BOD；
(2)若AD=3，BD=1，求CD．
【答案】(1)见解析；(2)
【解析】
【分析】
(1)因为∠AOB=∠COD=90°，由等量代换可得∠DOB=∠AOC，又因为△AOB和△COD均为等腰直角三角形，所以OC=OD，OA=OB，则△AOC≌△BOD；
(2)由(1)可知△AOC≌△BOD，所以AC=BD=1，∠CAO=∠DBO=45°，由等量代换求得∠CAB=90°，根据勾股定理即可求出CD的长．
【详解】
解：(1)∵△AOB，△COD是等腰直角三角形，
∴OC=OD，OA=OB，∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC=∠BOD=90°﹣∠AOD，
在△AOC和△BOD中，
∴△AOC≌△BOD(SAS)；
(2)∵△AOB，△COD是等腰直角三角形，
∴OC=OD，OA=OB，∠AOB=∠COD=90°，
∴∠B=∠OAB=45°，
∵△AOC≌△BOD，BD=1，
∴AC=BD=1，∠CAO=∠B=45°，
∵∠OAB=45°，
∴∠CAD=45°+45°=90°，
在Rt△CAD中，由勾股定理得：CD=．
19．如图，在中，，，点是上一动点、连接，过点作，并且始终保持，连接，
(1)求证：；
(2)若平分交于，
①探究线段，，之间的数量关系，并证明；
②若，，求的长，
【答案】(1)见详解(2)①结论：，证明见详解②
【解析】
【分析】
(1)根据，只要证明即可解决问题；
(2)①结论：．连接，进一步证明，，再利用勾股定理即可得证；②过点作于点，在中求出、即可求解．
【详解】
解：(1)∵
∴
∵
∴
∴
∴在和中
∴≌
(2)①结论：
证明：连接，如图：
∵≌
∴，
∴
∴
∴
∵平分
∴
∴在和中
∴≌
∴
∴
即
②过点作于点，如图：
∵由①可知
∴
∴
∵，
∴
∴
∴在中，
故答案是：(1)见详解(2)①结论：，证明见详解②
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形的判定和性质以及角平分线的性质．综合性较强，属中档题，学会灵活应用相关知识点进行推理证明．
20．如图，公路MN和公路PQ在点P处交会，公路PQ上点A处有学校，点A到公路MN的距离为80m，现有一拖拉机在公路MN上以18km/h的速度沿PN方向行驶，拖拉机行驶时周围100m以内都会受到噪音的影响，试问该校受影响的时间为多长？
【答案】24s.
【解析】
【详解】
试题分析：设拖拉机开到C处刚好开始受到影响，行驶到D处时结束，在Rt△ACB中求出CB，继而得出CD，再由拖拉机的速度可得出所需时间．
试题解析：设拖拉机开到C处刚好开始受到影响，行驶到D处时结束了噪声的影响．
则有CA=DA=100m，
在Rt△ABC中，CB＝＝60(m)，
∴CD=2CB=120m，
∵18km/h=18000m/3600s=5m/s，
∴该校受影响的时间为：120÷5=24(s)．
答：该校受影响拖拉机产生的噪声的影响时间为24秒．课程标准
1. 掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长．
2. 掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题．
3. 熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题．
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