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八年级数学下册同步练习 第07课 勾股定理逆定理（原卷版+解析）
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这是一份八年级数学下册同步练习 第07课 勾股定理逆定理（原卷版+解析），共27页。
知识精讲
知识点01 勾股定理的逆定理
如果三角形的三条边长，满足 ，那么这个三角形是直角三角形.
注意：
(1)勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
(2)勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.
知识点02 如何判定一个三角形是否是直角三角形
首先确定 .
验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C=90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.
注意：
当时，此三角形为 三角形；
当时，此三角形为 三角形，其中为三角形的最大边.
知识点03 互逆命题
如果两个命题的题设与结论 ，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.
注意：
原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.
知识点04 勾股数
满足不定方程的三个 ，称为勾股数(又称为高数或毕达哥拉斯数)，显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.
熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：
3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……
如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.
注意：
(1) (是自然数)是直角三角形的三条边长；
(2) (是自然数)是直角三角形的三条边长；
(3) (是自然数)是直角三角形的三条边长；
能力拓展
考法01 原命题与逆命题
【典例1】写出下列命题的逆命题，并判断其真假：
(1)同位角相等，两直线平行；
(2)如果，那么；
(3)等腰三角形两底角相等；
(4)全等三角形的对应角相等．
(5)对顶角相等．
(6)线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
【即学即练】下列定理中，有逆定理的个数是( )
①有两边相等的三角形是等腰三角形；②若三角形三边满足，则该三角形是直角三角形；③全等三角形对应角相等；④若，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考法02 勾股定理逆定理的应用
【典例2】如图所示，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，AD＝，CD＝3，BC＝5，求∠ADC的度数．
【即学即练】△ABC三边满足，则△ABC是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形
【即学即练】如图所示，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内一点，且PA＝3，PB＝1，PC＝CD＝2，CD⊥CP，求∠BPC的度数．
【典例3】如图，已知在四边形ABCD中，AB=20cm，BC=15cm，CD=7cm，AD=24cm，∠ABC=90°．猜想∠A与∠C关系并加以证明．
【即学即练】下列各组数中，全是勾股数的一组是( )
A．2，3，4；6，8，10；5，12，13
B．3，4，5；10，24，26；7，24，25
C．，，；8，15，17；30，40，50
D．0.4，1.2，1.3；6，8，10；9，40，41
考法02 勾股定理逆定理的实际应用
【典例4】如图所示，MN以左为我国领海，以右为公海，上午9时50分我国缉私艇A发现在其正东方向有一走私艇C并以每小时13海里的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知距其5海里，并在MN线上巡逻的缉私艇B密切注意，并告知A和C两艇的距离是13海里，缉私艇B测得C与其距离为12海里，若走私艇C的速度不变，最早在什么时间进入我国海域？
分层提分
题组A 基础过关练
1．ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定ABC为直角三角形的是( )
A．∠A+∠B=∠CB．∠A：∠B：∠C=1：2：3
C．a2=c2﹣b2D．a：b：c=3：4：6
2．若一个直角三角形的两直角边的长为12和5，则第三边的长为( )
A．13或B．13或15C．13D．15
3．已知△ABC的三边分别是6，8，10，则△ABC的面积是( )
A．24B．30C．40D．48
4．已知，为正数，且，如果以，的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为( )
A．5B．25C．7D．15
5．若的三边长a、b、c满足，那么是( )
A．等腰三角形B．直角三角形
C．锐角三角形D．钝角三角形
6．已知，，是的三边，如果满足，则三角形的形状是
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形
7．如图，将△ABC放在正方形网格图中(图中每个小正方形的边长均为1)，点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么△ABC中BC边上的高是( )
A．B．C．D．
题组B 能力提升练
8．若一个三角形的三边长为3、4、x，则使此三角形是直角三角形的x的值是__________.
9．在一个长为8分米，宽为5分米，高为7分米的长方体上，截去一个长为6分米，宽为5分米，深为2分米的长方体后，得到一个如图所示的几何体．一只蚂蚁要从该几何体的顶点A处，沿着几何体的表面到几何体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是________分米．
10．如图，△ABC是边长6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上均速移动，它们的速度分别为Vp=2cm/s，VQ=1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t=___s时，△PBQ为直角三角形．
11．如图，三角形ABC三边的长分别为AB＝m2﹣n2，AC＝2mn，BC＝m2+n2，其中m、n都是正整数．以AB、AC、BC为边分别向外画正方形，面积分别为S1、S2、S3，那么S1、S2、S3之间的数量关系为_____．
12．如图，已知∠ADC=90°，AD=8m，CD=6m,BC=24m，AB=26m，则图中阴影部分的面积为_________;
13．如图，P是等边三角形ABC中的一个点，PA=2，PB=2 ， PC=4，则三角形ABC的边长为________
14．如图，点是等边内的一点，，，.若点是外的一点，且，则的度数为_____．
15．如图，每个小正方形边长为1，则△ABC边AC上的高BD的长为_____．
16．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，分别以Rt△ABC三边为直径作半圆，则阴影部分面积为_______.
题组C 培优拔尖练
17．我市某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，DA=4m，BC=12m，CD=13m．
(1)求出空地ABCD的面积．
(2)若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？
18．如图，方格中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，求：
(1)△ABC的周长；
(2)请判断三角形ABC是否是直角三角形，并说明理由；
(3)△ABC的面积；
(4)点C到AB边的距离．
19．在ABC中，AD⊥BC，点E在AD上，连接BE，CE，AC=BE
(1)若∠DAC＝∠DBE，求证：ADC≌BDE
(2)若∠ACE＝∠DBE，AE=3，CE=4，BC=9，求ED
20．阅读下列一段文字：在直角坐标系中，已知两点的坐标是M(x1，y1)，N(x2，y2))，M，N两点之间的距离可以用公式MN＝计算．解答下列问题：
(1)若点P(2，4)，Q(﹣3，﹣8)，求P，Q两点间的距离；
(2)若点A(1，2)，B(4，﹣2)，点O是坐标原点，判断△AOB是什么三角形，并说明理由．
课程标准
1. 掌握勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．
2. 能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.
3. 能够理解勾股定理及逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围.
第07课 勾股定理逆定理
目标导航
知识精讲
知识点01 勾股定理的逆定理
如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.
注意：
(1)勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
(2)勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.
知识点02 如何判定一个三角形是否是直角三角形
首先确定最大边(如).
验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C=90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.
注意：
当时，此三角形为钝角三角形；
当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.
知识点03 互逆命题
如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.
注意：
原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.
知识点04 勾股数
满足不定方程的三个正整数，称为勾股数(又称为高数或毕达哥拉斯数)，显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.
熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：
3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……
如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.
注意：
(1)(是自然数)是直角三角形的三条边长；
(2)(是自然数)是直角三角形的三条边长；
(3) (是自然数)是直角三角形的三条边长；
能力拓展
考法01 原命题与逆命题
【典例1】写出下列命题的逆命题，并判断其真假：
(1)同位角相等，两直线平行；
(2)如果，那么；
(3)等腰三角形两底角相等；
(4)全等三角形的对应角相等．
(5)对顶角相等．
(6)线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
【分析】写一个命题的逆命题的关键是分清它的题设和结论，然后将其交换位置，判断一个命题为真命题要经过证明，是假命题只需举出反例说明即可．
【答案与解析】
解：(1)逆命题是：两直线平行，同位角相等，它是真命题．
(2)逆命题是：如果，那么，它是假命题．
(3)逆命题是：有两个角相等的三角形是等腰三角形，它是真命题．
(4)逆命题是：对应角相等的两个三角形全等，它是假命题．
(5)逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，它是假命题．
(6)逆命题是：到线段两个端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上，它是真命题．
【点睛】写一个命题的逆命题的关键是分清它的题设和结论，然后将题设和结论交换位置，写出它的逆命题，可以借助“如果……那么”分清题设和结论．每一个命题都有逆命题，其中有真命题，也有假命题．
【即学即练】下列定理中，有逆定理的个数是( )
①有两边相等的三角形是等腰三角形；②若三角形三边满足，则该三角形是直角三角形；③全等三角形对应角相等；④若，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B；
提示：①的逆命题是：等腰三角形有两边相等，是真命题；②的逆命题是：若三角形是直角三角形，则三边满足(为斜边)；③但对应角相等的两个三角形不一定全等；④若，与不一定相等，所以③、④的逆命题是假命题，不可能是定理．
考法02 勾股定理逆定理的应用
【典例2】如图所示，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，AD＝，CD＝3，BC＝5，求∠ADC的度数．
【答案与解析】
解：∵ AB⊥AD，∴ ∠A＝90°，
在Rt△ABD中，．
∴ BD＝4，
∴ ，可知∠ADB＝30°，
在△BDC中，，，
∴ ，∴ ∠BDC＝90°，
∴ ∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝30°+90°＝120°．
【点睛】利用勾股定理的逆定理时，条件是三角形的三边长，结论是直角三角形，即由边的条件得到角的结论，所以在几何题中需要进行边角的转换时要联想勾股定理的逆定理．
【即学即练】△ABC三边满足，则△ABC是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形
【答案】D；
提示：由题意，，
因为，所以△ABC为直角三角形.
【即学即练】如图所示，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内一点，且PA＝3，PB＝1，PC＝CD＝2，CD⊥CP，求∠BPC的度数．
【答案】
解：连接BD．∵ CD⊥CP，且CD＝CP＝2，
∴ △CPD为等腰直角三角形，即∠CPD＝45°．
∵ ∠ACP+∠BCP＝∠BCP+∠BCD＝90°，
∴ ∠ACP＝∠BCD．
∵ CA＝CB，
∴ △CAP≌△CBD(SAS)，
∴ DB＝PA＝3．
在Rt△CPD中，．
又∵ PB＝1，则．
∵ ，
∴ ，
∴ △DPB为直角三角形，且∠DPB＝90°，
∴ ∠CPB＝∠CPD+∠DPB＝45°+90°＝135°．
【典例3】如图，已知在四边形ABCD中，AB=20cm，BC=15cm，CD=7cm，AD=24cm，∠ABC=90°．猜想∠A与∠C关系并加以证明．
【分析】连接AC，然后根据勾股定理求出AC的值，然后根据勾股定理的逆定理判断△ADC为Rt△，然后根据四边形的内角和定理即可得到∠A与∠C关系．
【答案与解析】
证明：猜想∠A与∠C关系为：∠A+∠C=180°．
连结AC，
∵∠ABC=90°，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AC==25cm，
∵AD2+DC2=625=252=AC2，
∴△ADC是直角三角形，且∠D=90°，
∵∠DAB+∠B+∠BCD+∠D=360°，
∴∠DAB+∠BCD=180°，
即∠A+∠C=180°．
【点睛】此题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，解题的关键是：根据勾股定理的逆定理判断△ADC是直角三角形．
【即学即练】下列各组数中，全是勾股数的一组是( )
A．2，3，4；6，8，10；5，12，13
B．3，4，5；10，24，26；7，24，25
C．，，；8，15，17；30，40，50
D．0.4，1.2，1.3；6，8，10；9，40，41
【答案】B；
解：A、2+3≠4，不是勾股数，此选项错误；
B、3+4=5，10+24=26，7+24=25，此选项正确；
C、，，不是勾股数，此选项错误；
D、0.4，1.2，1.3不是勾股数，此选项错误；
故选B．
考法02 勾股定理逆定理的实际应用
【典例4】如图所示，MN以左为我国领海，以右为公海，上午9时50分我国缉私艇A发现在其正东方向有一走私艇C并以每小时13海里的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知距其5海里，并在MN线上巡逻的缉私艇B密切注意，并告知A和C两艇的距离是13海里，缉私艇B测得C与其距离为12海里，若走私艇C的速度不变，最早在什么时间进入我国海域？
【答案与解析】
解：∵ ，
∴ △ABC为直角三角形．∴ ∠ABC＝90°．
又BD⊥AC，可设CD＝，
∴
①－②得，
解得．∴ ≈0.85(h)＝51(分)．
所以走私艇最早在10时41分进入我国领海．
【点睛】
(1)本题用勾股定理作相等关系列方程解决问题，(2)用勾股定理的逆定理判定直角三角形，为勾股定理的运用提供了条件．
分层提分
题组A 基础过关练
1．ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定ABC为直角三角形的是( )
A．∠A+∠B=∠CB．∠A：∠B：∠C=1：2：3
C．a2=c2﹣b2D．a：b：c=3：4：6
【答案】D
【解析】
【分析】
由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理进行判断即可．
【详解】
解：A、∠A＋∠B＝∠C，又∠A＋∠B＋∠C＝180°，则∠C＝90°，是直角三角形；
B、∠A：∠B：∠C＝1：2：3，又∠A＋∠B＋∠C＝180°，则∠C＝90°，是直角三角形；
C、由a2＝c2−b2，得a2＋b2＝c2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；
D、32＋42≠62，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形．
故选：D．
【点睛】
本题考查了直角三角形的判定，注意在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
2．若一个直角三角形的两直角边的长为12和5，则第三边的长为( )
A．13或B．13或15C．13D．15
【答案】C
【解析】
【分析】
直角三角形中斜边最长，结合已知数据，利用勾股定理可求出第三边的长.
【详解】
当12，5为直角边长时，第三边长为
故第三边的长为13.
故选:C.
【点睛】
本题考查了直角三角形的三边关系，熟练掌握勾股定理是解题的关键.
3．已知△ABC的三边分别是6，8，10，则△ABC的面积是( )
A．24B．30C．40D．48
【答案】A
【解析】
【详解】
已知△ABC的三边分别为6，10，8，由62+82=102，即可判定△ABC是直角三角形，两直角边是6，8，所以△ABC的面积为×6×8=24，故选A．
4．已知，为正数，且，如果以，的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为( )
A．5B．25C．7D．15
【答案】C
【解析】
【分析】
本题可根据两个非负数相加和为0，则这两个非负数的值均为0解出x、y的值，然后运用勾股定理求出斜边的长．斜边长的平方即为正方形的面积．
【详解】
依题意得：，
∴，
斜边长，
所以正方形的面积．
故选C．
考点：本题综合考查了勾股定理与非负数的性质
点评：解这类题的关键是利用直角三角形，用勾股定理来寻求未知系数的等量关系．
5．若的三边长a、b、c满足，那么是( )
A．等腰三角形B．直角三角形
C．锐角三角形D．钝角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】
先用完全平方公式进行因式分解求出a、b、c的值，再确定三角形的形状即可．
【详解】
解：，
移项得，，
，
，
，
，
，
，
是直角三角形，
故选：B．
【点睛】
本题考查了运用完全平方公式因式分解，勾股定理逆定理，非负数的性质，解题关键是通过等式的变形，恰当的拆数配成完全平方，再根据非负数的性质求边长．
6．已知，，是的三边，如果满足，则三角形的形状是
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】
将等号右侧式子移到左侧,再将其因式分解,然后根据：若xy=0,则x=0或y=0,判断即可.
【详解】
解:
∵，，是的三边
∴
∴或
解得: 或
∴是等腰三角形或直角三角形.
故选C.
【点睛】
此题考查的是因式分解、等腰三角形的判定和直角三角形的判定，掌握因式分解的各个方法、等腰三角形的定义和利用勾股定理的逆定理判定直角三角形是解决此题的关键.
7．如图，将△ABC放在正方形网格图中(图中每个小正方形的边长均为1)，点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么△ABC中BC边上的高是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【详解】
先用勾股定理耱出三角形的三边，再根据勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形，最后设BC边上的高为h，利用三角形面积公式建立方程即可得出答案.
解：由勾股定理得：
，，，
，即
∴△ABC是直角三角形，
设BC边上的高为h，
则，
∴.
故选A.
点睛：本题主要考查勾股理及其逆定理.借助网格利用勾股定理求边长，并用勾股定理的逆定理来判断三角形是否是直角三角形是解题的关键.
题组B 能力提升练
8．若一个三角形的三边长为3、4、x，则使此三角形是直角三角形的x的值是__________.
【答案】5或 ．
【解析】
【详解】
分析: 由于直角三角形的斜边不能确定，故应分4是斜边或直角边两种情况进行讨论．
详解：当4是直角三角形的斜边时，32+x2=42，解得x=；
当4是直角三角形的直角边时，32+42=x2，解得x=5．
故使此三角形是直角三角形的x的值是5或．
故答案为: 5或．
点睛:本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
9．在一个长为8分米，宽为5分米，高为7分米的长方体上，截去一个长为6分米，宽为5分米，深为2分米的长方体后，得到一个如图所示的几何体．一只蚂蚁要从该几何体的顶点A处，沿着几何体的表面到几何体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是________分米．
【答案】； 13或
【解析】
【详解】
试题分析：把立体图展开可得
①
根据侧面展开图可由两点之间，线段最短，知AB最短，故根据勾股定理可求得AB=13分米；
②根据立体图形可知把AC，BE向外展开，得到直角边长为5+1+=7，把中间凹面展开可得到直角边为6+2+2=10，，然后根据勾股定理可求得最短距离为；
③同②的方式，得到两直角边分别为11和6，然后根据勾股定理求得最短距离为=．
考点：立体图形的侧面展开图，两点之间，线段最短，勾股定理
10．如图，△ABC是边长6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上均速移动，它们的速度分别为Vp=2cm/s，VQ=1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t=___s时，△PBQ为直角三角形．
【答案】或.
【解析】
【分析】
先分别表示出BP，BQ的值，当∠BQP和∠BPQ分别为直角时，由等边三角形的性质就可以求出结论．
【详解】
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=6cm，∠A=∠B=∠C=60°，
当∠PQB=90°时，∠BPQ=30°，
∴BP=2BQ．
∵BP=6-2t，BQ=t，
∴6-2t=2t，
解得t= ；
当∠QPB=90°时，∠PQB=30°，
∴BQ=2PB，
∴t=2(6-2t)，
解得t= ，
∵0∴t=或t=
故答案为或.
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质的运用，30°角的直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，利用分类讨论是解题的关键．
11．如图，三角形ABC三边的长分别为AB＝m2﹣n2，AC＝2mn，BC＝m2+n2，其中m、n都是正整数．以AB、AC、BC为边分别向外画正方形，面积分别为S1、S2、S3，那么S1、S2、S3之间的数量关系为_____．
【答案】S1+S2＝S3．
【解析】
【分析】
首先利用勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形，设Rt△ABC的三边分别为a、b、c，再分别用a、b、c表示S1、S2、S3的值，由勾股定理即可得出S1、S2、S3之间的数量关系．
【详解】
解：∵AB=m2-n2，AC=2mn，BC=m2+n2，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形，
设Rt△ABC的三边分别为a、b、c，
∴S1=c2，S2=b2，S3=a2，
∵△ABC是直角三角形，
∴b2+c2=a2，即S1+S2=S3．
故答案为S1+S2=S3．
【点睛】
本题考查勾股定理以及其逆定理的运用和正方形面积的应用，注意：分别以直角三角形的边作相同的图形，则两个小图形的面积等于大图形的面积．
12．如图，已知∠ADC=90°，AD=8m，CD=6m,BC=24m，AB=26m，则图中阴影部分的面积为_________;
【答案】96m2．
【解析】
【分析】
在Rt△ADC中，由勾股定理求得AC=10m，在利用勾股定理的逆定理判定△ACB为直角三角形，利用S阴影= AC×BC-AD×CD即可求解.
【详解】
在Rt△ADC中，
∵CD=6m，AD=8m，
∴AC2 =AD2 +CD2 =82 +62 =100，
∴AC=10m，(取正值)．
在△ABC中，
∵AC2 +BC2 =102 +242 =676，AB2 =262 =676．
∴AC2 +BC2 =AB2 ，
∴△ACB为直角三角形，∠ACB=90°．
∴S阴影= AC×BC-AD×CD=×10×24- ×8×6=96(m2 )．
故答案为96m2．
【点睛】
本题考查了直角三角形中勾股定理的运用及根据勾股定理判定直角三角形，证得△ABC是直角三角形是解题的关键．
13．如图，P是等边三角形ABC中的一个点，PA=2，PB=2 ， PC=4，则三角形ABC的边长为________
【答案】2
【解析】
【详解】
解：将△BAP绕B点逆时针旋转60°得△BCM，则BA与BC重合，如图，
∴BM＝BP，MC＝PA＝2，∠PBM＝60°．
∴△BPM是等边三角形，
∴PM＝PB＝，
在△MCP中，PC＝4，
∴PC2＝PM2＋MC2且PC＝2MC．
∴△PCM是直角三角形，且∠CMP＝90°，∠CPM＝30°．
又∵△PBM是等边三角形，∠BPM＝60°．
∴∠BPC＝90°，
∴BC2＝PB2＋PC2＝()2＋42＝28，
∴BC＝．
故答案为．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，还考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，通过旋转构造出直角三角形是解决此题的关键．
14．如图，点是等边内的一点，，，.若点是外的一点，且，则的度数为_____．
【答案】150°
【解析】
【分析】
由可知：PA＝P′A，∠P′AB＝∠PAC，BP′=CP，然后依据等式的性质可得到∠P′AP＝∠BAC＝60°，从而可得到△APP′为等边三角形，可求得PP′，由△APP′为等边三角形，得∠APP′＝60°，在△PP′B中，用勾股定理逆定理证出直角三角形，得出∠P′PB＝90°，进而可求∠APB的度数．
【详解】
连接PP′，
∵，
∴PA＝P′A=6，∠P′AB＝∠PAC，BP′=CP=10，
∴∠P′AP＝∠BAC＝60°，
∴△APP′为等边三角形，
∴PP′＝AP＝AP′＝6，
又∵，
∴PP′2＋BP2＝BP′2，
∴△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°
∴∠APB＝90°＋60°＝150°，
故答案是：150°
【点睛】
本题主要考查的是全等三角形的性质、等边三角形的判定、勾股定理的逆定理的应用，证得△APP′为等边三角形、△BPP′为直角三角形是解题的关键．
15．如图，每个小正方形边长为1，则△ABC边AC上的高BD的长为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据网格，利用勾股定理求出AC的长，AB的长，以及AB边上的高，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积，而三角形ABC面积可以由AC与BD乘积的一半来求，利用面积法即可求出BD的长．
【详解】
解：根据勾股定理得：AC＝＝5，
由网格得：S△ABC＝×2×4＝4，且S△ABC＝AC•BD＝×5BD，
∴×5BD＝4，
解得：BD＝．
故答案为：．
【点睛】
此题考查了勾股定理，以及三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解本题的关键
16．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，分别以Rt△ABC三边为直径作半圆，则阴影部分面积为_______.
【答案】6
【解析】
【分析】
先利用勾股定理列式求出BC，再根据阴影部分面积等于以AC、BC为直径的两个半圆的面积加上直角三角形ABC的面积减去以AB为直径的半圆的面积，列式计算即可得解．
【详解】
解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴AC2+BC2=AB2，
∵AB=5，AC=4，
∴，
S阴影=直径为AC的半圆的面积+直径为BC的半圆的面积+S△ABC－直径为AB的半圆的面积
=
=
=
=
=
=6.
【点睛】
本题考查了勾股定理，半圆的面积，熟记定理并观察图形表示出阴影部分的面积是解题的关键．
题组C 培优拔尖练
17．我市某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，DA=4m，BC=12m，CD=13m．
(1)求出空地ABCD的面积．
(2)若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？
【答案】(1)36；(2)7200元.
【解析】
【详解】
分析：(1)连接BD．在Rt△ABD中可求得BD的长，由BD、CD、BC的长度关系可得△DBC为直角三角形，DC为斜边；由四边形ABCD由Rt△ABD和Rt△DBC构成，则容易求解；
(2)根据总费用=面积×单价解答即可．
详解：(1)连接BD．在Rt△ABD中，BD2=AB2+AD2=32+42=52．在△CBD中，CD2=132，BC2=122，而122+52=132，即BC2+BD2=CD2，∴∠DBC=90°，
S四边形ABCD=S△BAD+S△DBC=•AD•AB+DB•BC=×4×3+×12×5=36．
(2)需费用36×200=7200(元)．
点睛：本题考查了勾股定理及逆定理的应用，通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三角形，这样解题较为简单．
18．如图，方格中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，求：
(1)△ABC的周长；
(2)请判断三角形ABC是否是直角三角形，并说明理由；
(3)△ABC的面积；
(4)点C到AB边的距离．
【答案】(1)；(2)△ABC不是直角三角形，理由见解析；(3)；(4)
【解析】
【分析】
(1)根据勾股定理求出△ABC的三条边长，再将三条边长相加即可得出该三角形的周长；
(2)根据勾股定理的逆定理判定即可；
(3)利用图形知S△ABC＝S正方形BDEF﹣S△BCD﹣S△ACE﹣S△ABF；
(4)设点C到AB的距离是h，则根据三角形的面积公式知AB•h＝，据此可以求得h的值．
【详解】
(1)根据勾股定理知，BC＝＝，AC＝＝，AB＝＝，
故△ABC的周长＝AB+BC+AC＝；
(2)△ABC不是直角三角形，理由如下：
由(1)可知，BC＝，AC＝，AB＝，AC＜BC＜AB，
∵，
∴△ABC不是直角三角形；
(3)如图，
S△ABC＝S正方形BDEF﹣S△BCD﹣S△ACE﹣S△ABF
＝3×3﹣×1×3﹣×1×2﹣×2×3
＝；
(3)设点C到AB的距离是h．
由(3)知，三角形ABC的面积是，则AB•h＝，即×h＝，
解得，h＝，即点C到AB的距离为．
【点睛】
本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积.解答(3)题时，正确的运用面积加减法计算结果是解题的关键.
19．在ABC中，AD⊥BC，点E在AD上，连接BE，CE，AC=BE
(1)若∠DAC＝∠DBE，求证：ADC≌BDE
(2)若∠ACE＝∠DBE，AE=3，CE=4，BC=9，求ED
【答案】(1)见解析；(2)
【解析】
【分析】
(1)利用AAS即可证明；
(2)在BC上截取BF=EC=4，证明△AEC≌△EFB，得到EF=AE=3，再求出CF，利用勾股定理的逆定理说明∠CEF=90°，最后利用面积法求出DE．
【详解】
解：(1)∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠BDE=90°，
在△ADC和△BDE中，
，
∴△ADC≌△BDE(AAS)；
(2)如图，在BC上截取BF=EC=4，
在△AEC和△EFB中，
，
∴△AEC≌△EFB(SAS)，
∴EF=AE=3，
∵BC=9，
∴CF=9-4=5，
∵，
∴∠CEF=90°，
∴DE==．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，面积法等知识，解题的难点在于(2)中要添加辅助线构造全等三角形．
20．阅读下列一段文字：在直角坐标系中，已知两点的坐标是M(x1，y1)，N(x2，y2))，M，N两点之间的距离可以用公式MN＝计算．解答下列问题：
(1)若点P(2，4)，Q(﹣3，﹣8)，求P，Q两点间的距离；
(2)若点A(1，2)，B(4，﹣2)，点O是坐标原点，判断△AOB是什么三角形，并说明理由．
【答案】(1)13；(2)△AOB是直角三角形.
【解析】
【分析】
(1)根据两点间的距离公式计算；
(2)根据勾股定理的逆定理解答．
【详解】
解：(1)P，Q两点间的距离＝＝13；
(2)△AOB是直角三角形，
理由如下：AO2＝(1﹣0)2+(2﹣0)2＝5，
BO2＝(4﹣0)2+(﹣2﹣0)2＝20，
AB2＝(4﹣1)2+(﹣2﹣2)2＝25，
则AO2+BO2＝AB2，
∴△AOB是直角三角形．
故答案为(1)13；(2)△AOB是直角三角形.
【点睛】
本题考查的是两点间的距离公式，勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．课程标准
1. 掌握勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．
2. 能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.
3. 能够理解勾股定理及逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围.
知识精讲
知识点01 勾股定理的逆定理
如果三角形的三条边长，满足 ，那么这个三角形是直角三角形.
注意：
(1)勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
(2)勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.
知识点02 如何判定一个三角形是否是直角三角形
首先确定 .
验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C=90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.
注意：
当时，此三角形为 三角形；
当时，此三角形为 三角形，其中为三角形的最大边.
知识点03 互逆命题
如果两个命题的题设与结论 ，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.
注意：
原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.
知识点04 勾股数
满足不定方程的三个 ，称为勾股数(又称为高数或毕达哥拉斯数)，显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.
熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：
3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……
如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.
注意：
(1) (是自然数)是直角三角形的三条边长；
(2) (是自然数)是直角三角形的三条边长；
(3) (是自然数)是直角三角形的三条边长；
能力拓展
考法01 原命题与逆命题
【典例1】写出下列命题的逆命题，并判断其真假：
(1)同位角相等，两直线平行；
(2)如果，那么；
(3)等腰三角形两底角相等；
(4)全等三角形的对应角相等．
(5)对顶角相等．
(6)线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
【即学即练】下列定理中，有逆定理的个数是( )
①有两边相等的三角形是等腰三角形；②若三角形三边满足，则该三角形是直角三角形；③全等三角形对应角相等；④若，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考法02 勾股定理逆定理的应用
【典例2】如图所示，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，AD＝，CD＝3，BC＝5，求∠ADC的度数．
【即学即练】△ABC三边满足，则△ABC是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形
【即学即练】如图所示，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内一点，且PA＝3，PB＝1，PC＝CD＝2，CD⊥CP，求∠BPC的度数．
【典例3】如图，已知在四边形ABCD中，AB=20cm，BC=15cm，CD=7cm，AD=24cm，∠ABC=90°．猜想∠A与∠C关系并加以证明．
【即学即练】下列各组数中，全是勾股数的一组是( )
A．2，3，4；6，8，10；5，12，13
B．3，4，5；10，24，26；7，24，25
C．，，；8，15，17；30，40，50
D．0.4，1.2，1.3；6，8，10；9，40，41
考法02 勾股定理逆定理的实际应用
【典例4】如图所示，MN以左为我国领海，以右为公海，上午9时50分我国缉私艇A发现在其正东方向有一走私艇C并以每小时13海里的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知距其5海里，并在MN线上巡逻的缉私艇B密切注意，并告知A和C两艇的距离是13海里，缉私艇B测得C与其距离为12海里，若走私艇C的速度不变，最早在什么时间进入我国海域？
分层提分
题组A 基础过关练
1．ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定ABC为直角三角形的是( )
A．∠A+∠B=∠CB．∠A：∠B：∠C=1：2：3
C．a2=c2﹣b2D．a：b：c=3：4：6
2．若一个直角三角形的两直角边的长为12和5，则第三边的长为( )
A．13或B．13或15C．13D．15
3．已知△ABC的三边分别是6，8，10，则△ABC的面积是( )
A．24B．30C．40D．48
4．已知，为正数，且，如果以，的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为( )
A．5B．25C．7D．15
5．若的三边长a、b、c满足，那么是( )
A．等腰三角形B．直角三角形
C．锐角三角形D．钝角三角形
6．已知，，是的三边，如果满足，则三角形的形状是
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形
7．如图，将△ABC放在正方形网格图中(图中每个小正方形的边长均为1)，点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么△ABC中BC边上的高是( )
A．B．C．D．
题组B 能力提升练
8．若一个三角形的三边长为3、4、x，则使此三角形是直角三角形的x的值是__________.
9．在一个长为8分米，宽为5分米，高为7分米的长方体上，截去一个长为6分米，宽为5分米，深为2分米的长方体后，得到一个如图所示的几何体．一只蚂蚁要从该几何体的顶点A处，沿着几何体的表面到几何体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是________分米．
10．如图，△ABC是边长6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上均速移动，它们的速度分别为Vp=2cm/s，VQ=1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t=___s时，△PBQ为直角三角形．
11．如图，三角形ABC三边的长分别为AB＝m2﹣n2，AC＝2mn，BC＝m2+n2，其中m、n都是正整数．以AB、AC、BC为边分别向外画正方形，面积分别为S1、S2、S3，那么S1、S2、S3之间的数量关系为_____．
12．如图，已知∠ADC=90°，AD=8m，CD=6m,BC=24m，AB=26m，则图中阴影部分的面积为_________;
13．如图，P是等边三角形ABC中的一个点，PA=2，PB=2 ， PC=4，则三角形ABC的边长为________
14．如图，点是等边内的一点，，，.若点是外的一点，且，则的度数为_____．
15．如图，每个小正方形边长为1，则△ABC边AC上的高BD的长为_____．
16．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，分别以Rt△ABC三边为直径作半圆，则阴影部分面积为_______.
题组C 培优拔尖练
17．我市某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，DA=4m，BC=12m，CD=13m．
(1)求出空地ABCD的面积．
(2)若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？
18．如图，方格中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，求：
(1)△ABC的周长；
(2)请判断三角形ABC是否是直角三角形，并说明理由；
(3)△ABC的面积；
(4)点C到AB边的距离．
19．在ABC中，AD⊥BC，点E在AD上，连接BE，CE，AC=BE
(1)若∠DAC＝∠DBE，求证：ADC≌BDE
(2)若∠ACE＝∠DBE，AE=3，CE=4，BC=9，求ED
20．阅读下列一段文字：在直角坐标系中，已知两点的坐标是M(x1，y1)，N(x2，y2))，M，N两点之间的距离可以用公式MN＝计算．解答下列问题：
(1)若点P(2，4)，Q(﹣3，﹣8)，求P，Q两点间的距离；
(2)若点A(1，2)，B(4，﹣2)，点O是坐标原点，判断△AOB是什么三角形，并说明理由．
课程标准
1. 掌握勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．
2. 能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.
3. 能够理解勾股定理及逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围.
第07课 勾股定理逆定理
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知识精讲
知识点01 勾股定理的逆定理
如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.
注意：
(1)勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
(2)勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.
知识点02 如何判定一个三角形是否是直角三角形
首先确定最大边(如).
验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C=90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.
注意：
当时，此三角形为钝角三角形；
当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.
知识点03 互逆命题
如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.
注意：
原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.
知识点04 勾股数
满足不定方程的三个正整数，称为勾股数(又称为高数或毕达哥拉斯数)，显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.
熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：
3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……
如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.
注意：
(1)(是自然数)是直角三角形的三条边长；
(2)(是自然数)是直角三角形的三条边长；
(3) (是自然数)是直角三角形的三条边长；
能力拓展
考法01 原命题与逆命题
【典例1】写出下列命题的逆命题，并判断其真假：
(1)同位角相等，两直线平行；
(2)如果，那么；
(3)等腰三角形两底角相等；
(4)全等三角形的对应角相等．
(5)对顶角相等．
(6)线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
【分析】写一个命题的逆命题的关键是分清它的题设和结论，然后将其交换位置，判断一个命题为真命题要经过证明，是假命题只需举出反例说明即可．
【答案与解析】
解：(1)逆命题是：两直线平行，同位角相等，它是真命题．
(2)逆命题是：如果，那么，它是假命题．
(3)逆命题是：有两个角相等的三角形是等腰三角形，它是真命题．
(4)逆命题是：对应角相等的两个三角形全等，它是假命题．
(5)逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，它是假命题．
(6)逆命题是：到线段两个端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上，它是真命题．
【点睛】写一个命题的逆命题的关键是分清它的题设和结论，然后将题设和结论交换位置，写出它的逆命题，可以借助“如果……那么”分清题设和结论．每一个命题都有逆命题，其中有真命题，也有假命题．
【即学即练】下列定理中，有逆定理的个数是( )
①有两边相等的三角形是等腰三角形；②若三角形三边满足，则该三角形是直角三角形；③全等三角形对应角相等；④若，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B；
提示：①的逆命题是：等腰三角形有两边相等，是真命题；②的逆命题是：若三角形是直角三角形，则三边满足(为斜边)；③但对应角相等的两个三角形不一定全等；④若，与不一定相等，所以③、④的逆命题是假命题，不可能是定理．
考法02 勾股定理逆定理的应用
【典例2】如图所示，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，AD＝，CD＝3，BC＝5，求∠ADC的度数．
【答案与解析】
解：∵ AB⊥AD，∴ ∠A＝90°，
在Rt△ABD中，．
∴ BD＝4，
∴ ，可知∠ADB＝30°，
在△BDC中，，，
∴ ，∴ ∠BDC＝90°，
∴ ∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝30°+90°＝120°．
【点睛】利用勾股定理的逆定理时，条件是三角形的三边长，结论是直角三角形，即由边的条件得到角的结论，所以在几何题中需要进行边角的转换时要联想勾股定理的逆定理．
【即学即练】△ABC三边满足，则△ABC是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形
【答案】D；
提示：由题意，，
因为，所以△ABC为直角三角形.
【即学即练】如图所示，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内一点，且PA＝3，PB＝1，PC＝CD＝2，CD⊥CP，求∠BPC的度数．
【答案】
解：连接BD．∵ CD⊥CP，且CD＝CP＝2，
∴ △CPD为等腰直角三角形，即∠CPD＝45°．
∵ ∠ACP+∠BCP＝∠BCP+∠BCD＝90°，
∴ ∠ACP＝∠BCD．
∵ CA＝CB，
∴ △CAP≌△CBD(SAS)，
∴ DB＝PA＝3．
在Rt△CPD中，．
又∵ PB＝1，则．
∵ ，
∴ ，
∴ △DPB为直角三角形，且∠DPB＝90°，
∴ ∠CPB＝∠CPD+∠DPB＝45°+90°＝135°．
【典例3】如图，已知在四边形ABCD中，AB=20cm，BC=15cm，CD=7cm，AD=24cm，∠ABC=90°．猜想∠A与∠C关系并加以证明．
【分析】连接AC，然后根据勾股定理求出AC的值，然后根据勾股定理的逆定理判断△ADC为Rt△，然后根据四边形的内角和定理即可得到∠A与∠C关系．
【答案与解析】
证明：猜想∠A与∠C关系为：∠A+∠C=180°．
连结AC，
∵∠ABC=90°，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AC==25cm，
∵AD2+DC2=625=252=AC2，
∴△ADC是直角三角形，且∠D=90°，
∵∠DAB+∠B+∠BCD+∠D=360°，
∴∠DAB+∠BCD=180°，
即∠A+∠C=180°．
【点睛】此题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，解题的关键是：根据勾股定理的逆定理判断△ADC是直角三角形．
【即学即练】下列各组数中，全是勾股数的一组是( )
A．2，3，4；6，8，10；5，12，13
B．3，4，5；10，24，26；7，24，25
C．，，；8，15，17；30，40，50
D．0.4，1.2，1.3；6，8，10；9，40，41
【答案】B；
解：A、2+3≠4，不是勾股数，此选项错误；
B、3+4=5，10+24=26，7+24=25，此选项正确；
C、，，不是勾股数，此选项错误；
D、0.4，1.2，1.3不是勾股数，此选项错误；
故选B．
考法02 勾股定理逆定理的实际应用
【典例4】如图所示，MN以左为我国领海，以右为公海，上午9时50分我国缉私艇A发现在其正东方向有一走私艇C并以每小时13海里的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知距其5海里，并在MN线上巡逻的缉私艇B密切注意，并告知A和C两艇的距离是13海里，缉私艇B测得C与其距离为12海里，若走私艇C的速度不变，最早在什么时间进入我国海域？
【答案与解析】
解：∵ ，
∴ △ABC为直角三角形．∴ ∠ABC＝90°．
又BD⊥AC，可设CD＝，
∴
①－②得，
解得．∴ ≈0.85(h)＝51(分)．
所以走私艇最早在10时41分进入我国领海．
【点睛】
(1)本题用勾股定理作相等关系列方程解决问题，(2)用勾股定理的逆定理判定直角三角形，为勾股定理的运用提供了条件．
分层提分
题组A 基础过关练
1．ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定ABC为直角三角形的是( )
A．∠A+∠B=∠CB．∠A：∠B：∠C=1：2：3
C．a2=c2﹣b2D．a：b：c=3：4：6
【答案】D
【解析】
【分析】
由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理进行判断即可．
【详解】
解：A、∠A＋∠B＝∠C，又∠A＋∠B＋∠C＝180°，则∠C＝90°，是直角三角形；
B、∠A：∠B：∠C＝1：2：3，又∠A＋∠B＋∠C＝180°，则∠C＝90°，是直角三角形；
C、由a2＝c2−b2，得a2＋b2＝c2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；
D、32＋42≠62，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形．
故选：D．
【点睛】
本题考查了直角三角形的判定，注意在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
2．若一个直角三角形的两直角边的长为12和5，则第三边的长为( )
A．13或B．13或15C．13D．15
【答案】C
【解析】
【分析】
直角三角形中斜边最长，结合已知数据，利用勾股定理可求出第三边的长.
【详解】
当12，5为直角边长时，第三边长为
故第三边的长为13.
故选:C.
【点睛】
本题考查了直角三角形的三边关系，熟练掌握勾股定理是解题的关键.
3．已知△ABC的三边分别是6，8，10，则△ABC的面积是( )
A．24B．30C．40D．48
【答案】A
【解析】
【详解】
已知△ABC的三边分别为6，10，8，由62+82=102，即可判定△ABC是直角三角形，两直角边是6，8，所以△ABC的面积为×6×8=24，故选A．
4．已知，为正数，且，如果以，的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为( )
A．5B．25C．7D．15
【答案】C
【解析】
【分析】
本题可根据两个非负数相加和为0，则这两个非负数的值均为0解出x、y的值，然后运用勾股定理求出斜边的长．斜边长的平方即为正方形的面积．
【详解】
依题意得：，
∴，
斜边长，
所以正方形的面积．
故选C．
考点：本题综合考查了勾股定理与非负数的性质
点评：解这类题的关键是利用直角三角形，用勾股定理来寻求未知系数的等量关系．
5．若的三边长a、b、c满足，那么是( )
A．等腰三角形B．直角三角形
C．锐角三角形D．钝角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】
先用完全平方公式进行因式分解求出a、b、c的值，再确定三角形的形状即可．
【详解】
解：，
移项得，，
，
，
，
，
，
，
是直角三角形，
故选：B．
【点睛】
本题考查了运用完全平方公式因式分解，勾股定理逆定理，非负数的性质，解题关键是通过等式的变形，恰当的拆数配成完全平方，再根据非负数的性质求边长．
6．已知，，是的三边，如果满足，则三角形的形状是
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】
将等号右侧式子移到左侧,再将其因式分解,然后根据：若xy=0,则x=0或y=0,判断即可.
【详解】
解:
∵，，是的三边
∴
∴或
解得: 或
∴是等腰三角形或直角三角形.
故选C.
【点睛】
此题考查的是因式分解、等腰三角形的判定和直角三角形的判定，掌握因式分解的各个方法、等腰三角形的定义和利用勾股定理的逆定理判定直角三角形是解决此题的关键.
7．如图，将△ABC放在正方形网格图中(图中每个小正方形的边长均为1)，点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么△ABC中BC边上的高是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【详解】
先用勾股定理耱出三角形的三边，再根据勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形，最后设BC边上的高为h，利用三角形面积公式建立方程即可得出答案.
解：由勾股定理得：
，，，
，即
∴△ABC是直角三角形，
设BC边上的高为h，
则，
∴.
故选A.
点睛：本题主要考查勾股理及其逆定理.借助网格利用勾股定理求边长，并用勾股定理的逆定理来判断三角形是否是直角三角形是解题的关键.
题组B 能力提升练
8．若一个三角形的三边长为3、4、x，则使此三角形是直角三角形的x的值是__________.
【答案】5或 ．
【解析】
【详解】
分析: 由于直角三角形的斜边不能确定，故应分4是斜边或直角边两种情况进行讨论．
详解：当4是直角三角形的斜边时，32+x2=42，解得x=；
当4是直角三角形的直角边时，32+42=x2，解得x=5．
故使此三角形是直角三角形的x的值是5或．
故答案为: 5或．
点睛:本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
9．在一个长为8分米，宽为5分米，高为7分米的长方体上，截去一个长为6分米，宽为5分米，深为2分米的长方体后，得到一个如图所示的几何体．一只蚂蚁要从该几何体的顶点A处，沿着几何体的表面到几何体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是________分米．
【答案】； 13或
【解析】
【详解】
试题分析：把立体图展开可得
①
根据侧面展开图可由两点之间，线段最短，知AB最短，故根据勾股定理可求得AB=13分米；
②根据立体图形可知把AC，BE向外展开，得到直角边长为5+1+=7，把中间凹面展开可得到直角边为6+2+2=10，，然后根据勾股定理可求得最短距离为；
③同②的方式，得到两直角边分别为11和6，然后根据勾股定理求得最短距离为=．
考点：立体图形的侧面展开图，两点之间，线段最短，勾股定理
10．如图，△ABC是边长6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上均速移动，它们的速度分别为Vp=2cm/s，VQ=1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t=___s时，△PBQ为直角三角形．
【答案】或.
【解析】
【分析】
先分别表示出BP，BQ的值，当∠BQP和∠BPQ分别为直角时，由等边三角形的性质就可以求出结论．
【详解】
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=6cm，∠A=∠B=∠C=60°，
当∠PQB=90°时，∠BPQ=30°，
∴BP=2BQ．
∵BP=6-2t，BQ=t，
∴6-2t=2t，
解得t= ；
当∠QPB=90°时，∠PQB=30°，
∴BQ=2PB，
∴t=2(6-2t)，
解得t= ，
∵0
故答案为或.
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质的运用，30°角的直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，利用分类讨论是解题的关键．
11．如图，三角形ABC三边的长分别为AB＝m2﹣n2，AC＝2mn，BC＝m2+n2，其中m、n都是正整数．以AB、AC、BC为边分别向外画正方形，面积分别为S1、S2、S3，那么S1、S2、S3之间的数量关系为_____．
【答案】S1+S2＝S3．
【解析】
【分析】
首先利用勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形，设Rt△ABC的三边分别为a、b、c，再分别用a、b、c表示S1、S2、S3的值，由勾股定理即可得出S1、S2、S3之间的数量关系．
【详解】
解：∵AB=m2-n2，AC=2mn，BC=m2+n2，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形，
设Rt△ABC的三边分别为a、b、c，
∴S1=c2，S2=b2，S3=a2，
∵△ABC是直角三角形，
∴b2+c2=a2，即S1+S2=S3．
故答案为S1+S2=S3．
【点睛】
本题考查勾股定理以及其逆定理的运用和正方形面积的应用，注意：分别以直角三角形的边作相同的图形，则两个小图形的面积等于大图形的面积．
12．如图，已知∠ADC=90°，AD=8m，CD=6m,BC=24m，AB=26m，则图中阴影部分的面积为_________;
【答案】96m2．
【解析】
【分析】
在Rt△ADC中，由勾股定理求得AC=10m，在利用勾股定理的逆定理判定△ACB为直角三角形，利用S阴影= AC×BC-AD×CD即可求解.
【详解】
在Rt△ADC中，
∵CD=6m，AD=8m，
∴AC2 =AD2 +CD2 =82 +62 =100，
∴AC=10m，(取正值)．
在△ABC中，
∵AC2 +BC2 =102 +242 =676，AB2 =262 =676．
∴AC2 +BC2 =AB2 ，
∴△ACB为直角三角形，∠ACB=90°．
∴S阴影= AC×BC-AD×CD=×10×24- ×8×6=96(m2 )．
故答案为96m2．
【点睛】
本题考查了直角三角形中勾股定理的运用及根据勾股定理判定直角三角形，证得△ABC是直角三角形是解题的关键．
13．如图，P是等边三角形ABC中的一个点，PA=2，PB=2 ， PC=4，则三角形ABC的边长为________
【答案】2
【解析】
【详解】
解：将△BAP绕B点逆时针旋转60°得△BCM，则BA与BC重合，如图，
∴BM＝BP，MC＝PA＝2，∠PBM＝60°．
∴△BPM是等边三角形，
∴PM＝PB＝，
在△MCP中，PC＝4，
∴PC2＝PM2＋MC2且PC＝2MC．
∴△PCM是直角三角形，且∠CMP＝90°，∠CPM＝30°．
又∵△PBM是等边三角形，∠BPM＝60°．
∴∠BPC＝90°，
∴BC2＝PB2＋PC2＝()2＋42＝28，
∴BC＝．
故答案为．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，还考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，通过旋转构造出直角三角形是解决此题的关键．
14．如图，点是等边内的一点，，，.若点是外的一点，且，则的度数为_____．
【答案】150°
【解析】
【分析】
由可知：PA＝P′A，∠P′AB＝∠PAC，BP′=CP，然后依据等式的性质可得到∠P′AP＝∠BAC＝60°，从而可得到△APP′为等边三角形，可求得PP′，由△APP′为等边三角形，得∠APP′＝60°，在△PP′B中，用勾股定理逆定理证出直角三角形，得出∠P′PB＝90°，进而可求∠APB的度数．
【详解】
连接PP′，
∵，
∴PA＝P′A=6，∠P′AB＝∠PAC，BP′=CP=10，
∴∠P′AP＝∠BAC＝60°，
∴△APP′为等边三角形，
∴PP′＝AP＝AP′＝6，
又∵，
∴PP′2＋BP2＝BP′2，
∴△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°
∴∠APB＝90°＋60°＝150°，
故答案是：150°
【点睛】
本题主要考查的是全等三角形的性质、等边三角形的判定、勾股定理的逆定理的应用，证得△APP′为等边三角形、△BPP′为直角三角形是解题的关键．
15．如图，每个小正方形边长为1，则△ABC边AC上的高BD的长为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据网格，利用勾股定理求出AC的长，AB的长，以及AB边上的高，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积，而三角形ABC面积可以由AC与BD乘积的一半来求，利用面积法即可求出BD的长．
【详解】
解：根据勾股定理得：AC＝＝5，
由网格得：S△ABC＝×2×4＝4，且S△ABC＝AC•BD＝×5BD，
∴×5BD＝4，
解得：BD＝．
故答案为：．
【点睛】
此题考查了勾股定理，以及三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解本题的关键
16．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，分别以Rt△ABC三边为直径作半圆，则阴影部分面积为_______.
【答案】6
【解析】
【分析】
先利用勾股定理列式求出BC，再根据阴影部分面积等于以AC、BC为直径的两个半圆的面积加上直角三角形ABC的面积减去以AB为直径的半圆的面积，列式计算即可得解．
【详解】
解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴AC2+BC2=AB2，
∵AB=5，AC=4，
∴，
S阴影=直径为AC的半圆的面积+直径为BC的半圆的面积+S△ABC－直径为AB的半圆的面积
=
=
=
=
=
=6.
【点睛】
本题考查了勾股定理，半圆的面积，熟记定理并观察图形表示出阴影部分的面积是解题的关键．
题组C 培优拔尖练
17．我市某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，DA=4m，BC=12m，CD=13m．
(1)求出空地ABCD的面积．
(2)若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？
【答案】(1)36；(2)7200元.
【解析】
【详解】
分析：(1)连接BD．在Rt△ABD中可求得BD的长，由BD、CD、BC的长度关系可得△DBC为直角三角形，DC为斜边；由四边形ABCD由Rt△ABD和Rt△DBC构成，则容易求解；
(2)根据总费用=面积×单价解答即可．
详解：(1)连接BD．在Rt△ABD中，BD2=AB2+AD2=32+42=52．在△CBD中，CD2=132，BC2=122，而122+52=132，即BC2+BD2=CD2，∴∠DBC=90°，
S四边形ABCD=S△BAD+S△DBC=•AD•AB+DB•BC=×4×3+×12×5=36．
(2)需费用36×200=7200(元)．
点睛：本题考查了勾股定理及逆定理的应用，通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三角形，这样解题较为简单．
18．如图，方格中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，求：
(1)△ABC的周长；
(2)请判断三角形ABC是否是直角三角形，并说明理由；
(3)△ABC的面积；
(4)点C到AB边的距离．
【答案】(1)；(2)△ABC不是直角三角形，理由见解析；(3)；(4)
【解析】
【分析】
(1)根据勾股定理求出△ABC的三条边长，再将三条边长相加即可得出该三角形的周长；
(2)根据勾股定理的逆定理判定即可；
(3)利用图形知S△ABC＝S正方形BDEF﹣S△BCD﹣S△ACE﹣S△ABF；
(4)设点C到AB的距离是h，则根据三角形的面积公式知AB•h＝，据此可以求得h的值．
【详解】
(1)根据勾股定理知，BC＝＝，AC＝＝，AB＝＝，
故△ABC的周长＝AB+BC+AC＝；
(2)△ABC不是直角三角形，理由如下：
由(1)可知，BC＝，AC＝，AB＝，AC＜BC＜AB，
∵，
∴△ABC不是直角三角形；
(3)如图，
S△ABC＝S正方形BDEF﹣S△BCD﹣S△ACE﹣S△ABF
＝3×3﹣×1×3﹣×1×2﹣×2×3
＝；
(3)设点C到AB的距离是h．
由(3)知，三角形ABC的面积是，则AB•h＝，即×h＝，
解得，h＝，即点C到AB的距离为．
【点睛】
本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积.解答(3)题时，正确的运用面积加减法计算结果是解题的关键.
19．在ABC中，AD⊥BC，点E在AD上，连接BE，CE，AC=BE
(1)若∠DAC＝∠DBE，求证：ADC≌BDE
(2)若∠ACE＝∠DBE，AE=3，CE=4，BC=9，求ED
【答案】(1)见解析；(2)
【解析】
【分析】
(1)利用AAS即可证明；
(2)在BC上截取BF=EC=4，证明△AEC≌△EFB，得到EF=AE=3，再求出CF，利用勾股定理的逆定理说明∠CEF=90°，最后利用面积法求出DE．
【详解】
解：(1)∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠BDE=90°，
在△ADC和△BDE中，
，
∴△ADC≌△BDE(AAS)；
(2)如图，在BC上截取BF=EC=4，
在△AEC和△EFB中，
，
∴△AEC≌△EFB(SAS)，
∴EF=AE=3，
∵BC=9，
∴CF=9-4=5，
∵，
∴∠CEF=90°，
∴DE==．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，面积法等知识，解题的难点在于(2)中要添加辅助线构造全等三角形．
20．阅读下列一段文字：在直角坐标系中，已知两点的坐标是M(x1，y1)，N(x2，y2))，M，N两点之间的距离可以用公式MN＝计算．解答下列问题：
(1)若点P(2，4)，Q(﹣3，﹣8)，求P，Q两点间的距离；
(2)若点A(1，2)，B(4，﹣2)，点O是坐标原点，判断△AOB是什么三角形，并说明理由．
【答案】(1)13；(2)△AOB是直角三角形.
【解析】
【分析】
(1)根据两点间的距离公式计算；
(2)根据勾股定理的逆定理解答．
【详解】
解：(1)P，Q两点间的距离＝＝13；
(2)△AOB是直角三角形，
理由如下：AO2＝(1﹣0)2+(2﹣0)2＝5，
BO2＝(4﹣0)2+(﹣2﹣0)2＝20，
AB2＝(4﹣1)2+(﹣2﹣2)2＝25，
则AO2+BO2＝AB2，
∴△AOB是直角三角形．
故答案为(1)13；(2)△AOB是直角三角形.
【点睛】
本题考查的是两点间的距离公式，勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．课程标准
1. 掌握勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．
2. 能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.
3. 能够理解勾股定理及逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围.
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