吉林省长春外国语学校2023-2024学年高二下学期开学考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份吉林省长春外国语学校2023-2024学年高二下学期开学考试数学试卷（Word版附解析），共5页。试卷主要包含了 【答案】或等内容，欢迎下载使用。

出题人 ：赵天 审题人：王先师
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共2页。考试结束后，将答题卡交回。
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第I卷（选择题）
一、单选题（本题共8小题，每题5分 ，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．已知向量，且，则（ ）
A．B．C．D．
2．在等比数列中，，，则公比（ ）
A．B．C．D．
3．若直线经过点 和圆C：的圆心,并且与直线垂直,则m的值为（ ）
A．-4B．4C．-1D．1
4．设点P，Q分别为直线与直线上的任意一点，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．D．
5．设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A．B．C．D．
6．下列命题正确的个数是（ ）
= 1 \* GB3 ①若A，B，C，D是空间任意四点，则有=
= 2 \* GB3 ②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面
= 3 \* GB3 ③若共线，则与所在直线平行
= 4 \* GB3 ④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若 (其中x、y、z∈R)，则P、A、B、C四点共面
A．0 B．1 C．2 D．3
7．正方体的棱长为为棱中点，为正方形内（舍边界）的动点，若，则动点的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
8．已知椭圆的左、右焦点分别为的上顶点为M，且，双曲线和椭圆有相同的焦点，P为与的一个公共点.若（O为坐标原点），则的离心率（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分。若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分。）
9．直线，圆，下列结论正确的是（ ）A．直线恒过定点
B．直线与圆必有两个交点
C．直线与圆的相交弦长的最大值为
D．当时，圆上存在3个点到直线距离等于1
10．数列中，，，若，都有恒成立，则（ ）
A．为等差数列 B．为等比数列
C． D．实数的最小值为
11．已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上，点，点P到点Q和到y轴的距离分别为，则（ ）
A．抛物线C的准线方程为
B．若，则周长的最小值等于3
C．若，则的最小值等于2
D．若，则的最小值等于
第 Ⅱ 卷（非选择题）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．顶点在原点，焦点在y轴上，且过点的抛物线的标准方程是____________.
13．在正方体中，点E，F分别是底面和侧面的中心，若，则______．
14．已知，直线上存在点，满足，则实数的取值范围是 ．
四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（13分）记为数列的前项和.
(1)若为等差数列，且，求的最小值；
(2)若为等比数列，且，求的值.
16．（15分）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过抛物线焦点的直线和抛物线相交于M，N两点，,求直线方程.
17．（15分）如图，在圆锥DO中，D为圆锥顶点，AB为圆锥底面的直径，O为底面圆的圆心，C为底面圆周上一点，四边形OAED为矩形．
（1）求证：平面BCD⊥平面ACE；
（2）若，，，求平面ADE和平面CDE夹角的余弦值
18．（17分）己知双曲线的一条渐近线为，其虚轴长为为双曲线上任意一点．
(1)求双曲线的方程；
(2)求证：到两条渐近线的距离之积为定值，并求出此定值；
(3)若双曲线的左顶点为，右焦点为，求的最小值．
19.（17分）已知数列中，，（）.
（1）求数列的通项；
（2）求数列的前n项和；
（3）若对于，使得恒成立，求实数的取值范围.
长春外国语学校2023-2024学年第二学期高二年级开学考试
数学试卷答案
选择题
二.填空
12. 13., 14.
三.解答题:
15. 【答案】(1)7 (2)2
【分析】（1）根据题意结合等差数列通项公式求得，进而求，解不等式即可；
（2）根据题意结合等比数列通项公式求得，，进而求，代入运算即可.
【详解】（1）设的公差为，
由条件可得，解得，
由，解得或，
且，所以的最小值为7.
（2）设的公比为，
由条件可得，即，解得，
则，
所以.
16. 【答案】（1）（2）或
【详解】（1）抛物线的焦点坐标为，所以椭圆中，因为椭圆的离心率为，即，所以，，所以椭圆方程为
（2）设过抛物线焦点的直线方程为，联立 得：，设，则，根据焦点弦公式可得：，解得：，，所以直线方程为或
17. 【答案】(1)略 (2)
【解析】（1）∵AB为圆锥底面的直径，C为底面圆周上一点，∴BC⊥AC．
∵四边形OAED为矩形，OD⊥平面ABC，∴AE//OD，AE⊥平面ABC，分
又平面ABC，，平面ACE，平面ACE，∴BC⊥平面ACE．
又平面BCD，∴平面BCD⊥平面ACE．分
（2）以C为坐标原点，AC，BC所在直线分别为x，y轴，过点C且与OD平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，
，，．分
设平面ADE的法向量为，
则，即，
令，得，所以．分
设平面CDE的法向量为，则，即，
令，得，，所以，分
所以，
所以平面ADE和平面CDE夹角的余弦值为．分
18. 【答案】(1) (2) (3)-4
（1）由题意可得，解得，
因此，双曲线的方程为
(2)设，则，渐近线为，
P到两条渐近线的距离之积分
（3）
由已知，得，设或，
在双曲线上，所以，
因此
或，
对称轴为，由于或，所以当时，取得最小值为分
19. 【答案】(1) (2) (3)
【解析】（1）因为①，
当时，②，
由①②得，整理得到，
又由，
当时，得到，即，分
故数列从第二项起，是以为首项，以为公比的等比数列，
所以，即，
又时，，所以分
（2）由（1）知，当时，，
当时，③，
④，分
由③④得到，
整理得，分
又时，，所以分
（3）因为，等价于，当时.，分
由（1）知，当时，，设，
则对恒成立，
所以，
故当时，，又，所以分1
2
3
4
5
6
7
8
D
A
C
C
D
B
A
D
9
10
11
ABD
AC
BD