人教版九年级数学上册同步精品讲义 第11课 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与性质（原卷版+解析）

这是一份人教版九年级数学上册同步精品讲义 第11课 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与性质（原卷版+解析），共41页。试卷主要包含了顶点式化成一般式，一般式化成顶点式，已知函数y＝a﹣2ax﹣1，二次函数的图象过点，，若当时，已知抛物线等内容，欢迎下载使用。
知识精讲
知识点01 二次函数与之间的相互关系
1．顶点式化成一般式
从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点 ，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式．
2．一般式化成顶点式
．
对照，可知 ， ．
∴ 抛物线的对称轴是直线 ，顶点坐标是 ．
【注意】
1．抛物线的对称轴是直线 ，顶点坐标是 ，可以当作公式加以记忆和运用．
2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
知识点02 二次函数的图象的画法
1．一般方法
列表、描点、连线
2．简易画法：五点定形法
步骤：
(1)先根据函数解析式，求 和 ，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴．
(2)求抛物线与 的交点，
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来．
【注意】
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，
知识点03 二次函数的图象与性质
1．二次函数图象与性质
2．二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系
知识点04 求二次函数的最大（小）值的方法
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大(或最小)值，即当 时， ．
【注意】
如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；当x＝x1时，，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况．
能力拓展
考法01 二次函数的图象与性质
【典例1】如图所示是二次函数的图象，以下结论：①；②；③的两个根是，；④，其中正确的是（ ）
A．③④B．①②C．②③D．②③④
【即学即练】如图，抛物线的对称轴为，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．当时，随的增大而减小D．当时，随的增大而减小
【典例2】已知4a-2b+c=0，9a+3b+c=0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点可能在（ ）
A．第一或第四象限B．第三或第四象限
C．第一或第二象限D．第二或第三象限
【即学即练】关于抛物线，下列说法错误的是（ ）
A．当时，对称轴是轴B．当时，经过坐标原点
C．不论为何值，都过定点D．时，对称轴在轴的左侧
考法02 二次函数的最值
【典例3】已知二次函数y=2x2−4x−1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【即学即练】已知二次函数＝﹣+2x+4，关于该函数在﹣2≤x≤2的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值4，有最小值0B．有最大值0，有最小值﹣4
C．有最大值4，有最小值﹣4D．有最大值5，有最小值﹣4
【典例4】已知二次函数y＝x2＋bx＋c，当x＞0时，函数的最小值为﹣3，当x≤0时，函数的最小值为﹣2，则b的值为（ ）
A．6B．2C．﹣2D．﹣3
【即学即练】已知抛物线过（1，m），（-1，3m）两点，若，且当时，y的最小值为-6，则m的值是（ ）
A．4B．2C．–2D．-4
考法03 二次函数性质的综合应用
【典例5】已知A(−3，−2) ，B(1，−2)，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：
①c≥−2 ；
②当x>0时，一定有y随x的增大而增大；
③若点D横坐标的最小值为−5，点C横坐标的最大值为3；
④当四边形ABCD为平行四边形时，a=．
其中正确的是（ ）
A．①③B．②③C．①④D．①③④
【即学即练】如图，已知抛物线经过点，，与y轴交于点，P为AC上的一个动点，则有以下结论：①抛物线的对称轴为直线；②抛物线的最大值为；③；④OP的最小值为．则正确的结论为（ ）
A．①②④B．①②C．①②③D．①③④
【典例6】已知抛物线的解析式为（m为常数），则下列说法正确的是____________．
①当时，点在抛物线上；
②对于任意的实数m，都是方程的一个根；
③若，当时，y随x的增大而增大；
④已知点，则当时，抛物线与线段有两个交点．
【即学即练】如图，已知抛物线与x轴相交于于点，，与轴的交于点．点在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设的面积为．下列结论：①；②；③，其中，正确结论的序号是________．（所有正确的序号都填上）
分层提分
题组A 基础过关练
1．抛物线经过点（m，3），则代数式的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
2．二次函数（a≠0）中x，y的部分对应值如下表：
则该二次函数图象的对称轴为（ ）
A．y轴B．直线x＝C．直线x＝1D．直线x＝
3．若二次函数y＝x2+2x+k的图象经过点（1，y1），（﹣2，y2），则y1，y2与的大小关系为（ ）
A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不能确定
4．已知(﹣4，y1)，(2.5，y2)，(5，y3)是抛物线y＝﹣3x2﹣6x+m上的点，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y3＞y2＞y1C．y1＞y3＞y2D．y2＞y1＞y3
5．已知函数y＝a﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（ ）
A．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小B．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大
C．当a＝1时，函数图像过点（﹣1，1）D．当a＝﹣2时，函数图像与x轴没有交点
6．已知二次函数的图象如图所示，有以下4个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．已知二次函数y=x2－4x－m的最小值是1，则m=_______．
8．二次函数的图象过点，，若当时．随着的增大而减小，则实数的取值范围是______．
9．已知抛物线y=ax2－2ax－3+2a2 （a0，开口向上，
∴在对称轴x=1的右侧，y随x的增大而增大，
∵当0≤x≤a时，即在对称轴右侧，y取得最大值为15，
∴当x=a时，y=15，
∴2（a-1）2-3=15，
解得：a=4或a=-2（舍去），
故a的值为4．
故选：D．
【即学即练】已知二次函数＝﹣+2x+4，关于该函数在﹣2≤x≤2的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值4，有最小值0B．有最大值0，有最小值﹣4
C．有最大值4，有最小值﹣4D．有最大值5，有最小值﹣4
【答案】D
【详解】∵二次函数＝﹣+2x+4＝﹣+5，
∴该函数的对称轴是直线＝1，函数图象开口向下，
∴当﹣2≤x≤2时，x＝1时取得最大值5，当x＝﹣2时，取得最小值﹣4，
故选：D．
【典例4】已知二次函数y＝x2＋bx＋c，当x＞0时，函数的最小值为﹣3，当x≤0时，函数的最小值为﹣2，则b的值为（ ）
A．6B．2C．﹣2D．﹣3
【答案】C
【详解】解：二次函数y＝x2＋bx＋c的开口向上，当x＞0时，函数的最小值为－3，当x≤0时，函数的最小值为－2，
该函数图象的对称轴所在直线在y轴的右侧，
，，且时，y=c=－2，
，，解得 ，
．
故选C．
【即学即练】已知抛物线过（1，m），（-1，3m）两点，若，且当时，y的最小值为-6，则m的值是（ ）
A．4B．2C．–2D．-4
【答案】C
【详解】解：将点（1，m），（-1，3m）代入抛物线，得
1+b+c=m，1-b+c=3m，
∴b=-m，c=2m-1
则，
对称轴为，
∵a=1＞0
∴最小值在x=-处，最小值为-6，
∴=-6，
=4c+24，
将b=-m，c=2m-1代入，得
-8m-20=0
解得m=-2或m=10
又
∴m=-2
故选：C.
考法03 二次函数性质的综合应用
【典例5】已知A(−3，−2) ，B(1，−2)，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：
①c≥−2 ；
②当x>0时，一定有y随x的增大而增大；
③若点D横坐标的最小值为−5，点C横坐标的最大值为3；
④当四边形ABCD为平行四边形时，a=．
其中正确的是（ ）
A．①③B．②③C．①④D．①③④
【答案】D
【详解】解：∵点A，B的坐标分别为(-3，-2)和(1，-2)，
∴线段AB与y轴的交点坐标为(0，-2)，
又∵抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为(0，c) ，
∴C≥-2，(顶点在y轴上时取“=”)，故①正确；
∵抛物线的顶点在线段AB上运动，开口向上，
∴当x＞1时，一定有y随x的增大而增大，故②错误；
若点D的横坐标最小值为-5，则此时对称轴为直线x=-3，
根据二次函数的对称性，点C的横坐标最大值为1+2=3，故③正确；
令y=0，则ax2+bx+c=0，
设该方程的两根为x1，x2，则x1+x2=-，x1x2=，
∴CD2=( x1-x2) 2=( x1+x2) 2-4x1x2，
根据顶点坐标公式，，
∴，即，
∵四边形ACDB为平行四边形，
∴CD=AB=1-（-3)=4，
∴=42=16，解得a=，故④正确；
综上所述，正确的结论有①③④．
故选：D．
【即学即练】如图，已知抛物线经过点，，与y轴交于点，P为AC上的一个动点，则有以下结论：①抛物线的对称轴为直线；②抛物线的最大值为；③；④OP的最小值为．则正确的结论为（ ）
A．①②④B．①②C．①②③D．①③④
【答案】D
【详解】解：∵抛物线经过点，，
∴抛物线的对称轴为直线，
故①正确；
设抛物线关系式为：，
∵抛物线经过点，
∴-4a=2，解得：，
∴抛物线关系式为：，
∴当时，y有最大值，
故②错误；
∴点B坐标为（-1，0），点A坐标为（4，0），
∴AB=5．
当x=0时，y=2，
∴点C坐标为（0，2），
∴，
∵，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，
故③正确；
当OP⊥AC时，OP取最小值，
此时根据三角形的面积可得，
∴，
解得OP=，
∴OP的最小值为．
故④正确；
故正确的有：①③④，
故选：D．
【典例6】已知抛物线的解析式为（m为常数），则下列说法正确的是____________．
①当时，点在抛物线上；
②对于任意的实数m，都是方程的一个根；
③若，当时，y随x的增大而增大；
④已知点，则当时，抛物线与线段有两个交点．
【答案】②
【详解】解：抛物线（为常数）中，
当时，抛物线，若，则，
点不在抛物线上，
即①说法错误，不符合题意，
方程即，
或，
解得，，
对于任意实数，都是方程的一个根，
即②说法正确，符合题意，
抛物线（为常熟）中，，开口向上，
对称轴是直线，当时，随的增大而增大，
即若，，当时，y随x的增大而增大，不一定正确，
即③说法错误，不符合题意，
抛物线（为常数）中，
当时，，
解得，，
抛物线与轴的交点坐标为、，
当时，，
“④已知点，则当时，抛物线与线段有两个交点”的说法错误，（因为当时只有一个交点），不符合题意，
综上所述，说法正确的是②，
故答案为：②．
【即学即练】如图，已知抛物线与x轴相交于于点，，与轴的交于点．点在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设的面积为．下列结论：①；②；③，其中，正确结论的序号是________．（所有正确的序号都填上）
【答案】①②③
【详解】∵抛物线与x轴相交于于点，，
∴令y=0得：，
解得：，
∴A（-1，0），B（3，0），
∴AB=4
故①正确；
∵抛物线与y轴相交于于点C，
∴令x=0得：y=6，
∴C（0，6），
∴OC=6，
故②正确；
过点作轴，交于点，如图1所示．
设直线的解析式为，
将、代入，
得，解得，
直线的解析式为．
点在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，
点的坐标为，则点的坐标为，
，
，
当时，面积取最大值，最大值为．
故③正确，
故答案为：①②③．
分层提分
题组A 基础过关练
1．抛物线经过点（m，3），则代数式的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【详解】解：将点（m，3）代入中得，
，
故代数式的值为3，
故选：D．
2．二次函数（a≠0）中x，y的部分对应值如下表：
则该二次函数图象的对称轴为（ ）
A．y轴B．直线x＝C．直线x＝1D．直线x＝
【答案】B
【详解】解：由图表可知：
x=0时，y=-6，
x=1时，y=-6，
∴二次函数的对称轴为：，
故选：B．
3．若二次函数y＝x2+2x+k的图象经过点（1，y1），（﹣2，y2），则y1，y2与的大小关系为（ ）
A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不能确定
【答案】A
【详解】解：当x＝1时，y1＝x2+2x+k＝1+2+k＝k+3；
当x＝﹣2时，y2＝x2+2x+k＝4﹣4+k＝k，
所以y1＞y2．
故选：A．
4．已知(﹣4，y1)，(2.5，y2)，(5，y3)是抛物线y＝﹣3x2﹣6x+m上的点，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y3＞y2＞y1C．y1＞y3＞y2D．y2＞y1＞y3
【答案】A
【详解】解：∵y＝﹣3x2﹣6x+m，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴与直线x＝﹣1距离越近的点的纵坐标越大，
∵﹣1﹣（﹣4）＜2.5﹣（﹣1）＜5﹣（﹣1），
∴y1＞y2＞y3，
故选：A．
5．已知函数y＝a﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（ ）
A．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小B．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大
C．当a＝1时，函数图像过点（﹣1，1）D．当a＝﹣2时，函数图像与x轴没有交点
【答案】B
【详解】解：A、抛物线的对称轴为直线：，则若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大，选项说法错误，不符合题意；
B、抛物线的对称轴为直线：，若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大，选项说法正确，符合题意；
C、当，时，，则当a＝1时，函数图像不经过点（﹣1，1），选项说法错误，不符合题意；
D、当a＝﹣2时，，，则函数图像与x轴有两个交点，选项说法错误，不符合题意；
故选B．
6．已知二次函数的图象如图所示，有以下4个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【详解】解：①抛物线开口向下，
，
∵，
∴，
，
抛物线与轴的交点在轴的正半轴，
，
，故错误；
②观察函数图象，可知：
当时，，
，故错误．
③抛物线的对称轴为，抛物线与轴的交点在轴的正半轴，
当时，，
，故正确；
④抛物线与轴有2个交点，
△，故正确．
故选：B．
7．已知二次函数y=x2－4x－m的最小值是1，则m=_______．
【答案】-5
【详解】解：由知，
当x=2时，y有最小值为-4-m，
∵该函数的最小值为1，
∴-4-m=1，
解得：m=-5，
故答案为：-5．
8．二次函数的图象过点，，若当时．随着的增大而减小，则实数的取值范围是______．
【答案】且
【详解】解：将代入得①，
将代入得②，
由②①得，
，，
抛物线的对称轴为直线，
当时．随着的增大而减小，
时，，
解得，
时，，
解得，
故答案为：且．
9．已知抛物线y=ax2－2ax－3+2a2 （a