江苏省高邮市2023-2024学年高三下学期开学考试数学试卷（Word版附答案）

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（考试时间：120分钟试卷满分：150分）
选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，，则中元素个数( )
A.B.C.D.
2.已知复数，则( )
A．B．C．D．
3.已知，则向量在向量方向上的投影向量为( )
A.B.C.D.
4.中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题：“今有俸粮三百零五石，令五等官（正一品、从一品、正二品、从二品、正三品）依品递差十三石分之，问，各若干？”其大意是，现有俸粮石，分给正一品、从一品、正二品、从二品、正三品这位官员，依照品级递减石分这些俸粮，问，每个人各分得多少俸粮？在这个问题中，从二品分得俸粮是( )
A．石B．石C．石D．石
5.已知实数，，满足，则的最小值为( )
A.B. C.D.
6.定义在上的函数和的图象关于轴对称，且函数是奇函数，则函数图象的对称中心为( )
A．B．C．D．
7.已知，，则( )
A．B．C．D．
8.在平面直角坐标系中，已知为圆上两点，点，且，则线段的长的取值范围是( )
A． B．
C． D．
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 某学校为了解高三学生的体重情况，采用分层随机抽样的方法从高三名学生中抽取了一个容量为的样本．其中，男生平均体重为千克，方差为；女生平均体重为千克，方差为，男女人数之比为，下列说法正确的是( )
A. 样本为该学校高三的学生B. 每一位学生被抽中的可能性为
C. 该校高三学生平均体重千克D. 该校高三学生体重的方差为
10.已知，函数，下列选项正确的有( )
A．若的最小正周期，则
B．当时，函数的图象向右平移后得到的图象
C．若在区间上单调递增，则的取值范围是
D．若在区间上有两个零点，则的取值范围是
11.已知正方体的棱长为，点分别是棱，的中点，点是侧面内一点(含边界). 若平面，则下列说法正确的有( )
A．点的轨迹为一条线段 B．三棱锥的体积为定值
C．的取值范围是 D．直线与所成角的余弦值的最小值为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡的横线上．
12.的展开式中的系数为_________．
13.如图所示，一个球的内接圆台上下底面的半径分别为和，
圆台的高为，则该球的表面积为________．
14.已知离散型随机事件发生的概率，，若，事件，，分别表示，不发生和至少有一个发生，则 ， ________.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）
已知锐角的内角的对边分别为，其外接圆半径满足．
（1）求的大小；
（2）若，，求的面积．
16.（15分）如图，在多面体中，四边形是边长为的正方形，，,，平面平面.
（1）求证：；
（2）求平面与平面所成角的余弦值．
17.（15分）已知圆和定点,是圆上任意一点，线段的垂直平分线交于点，设动点的轨迹为曲线E．
（1）求曲线的方程；
（2）设，过的直线交曲线于，两点（点M在轴上方），设直线AM与BN的斜率分别为，求证：为定值．
18.（17分）某手游公司开发了一款学习类的闯关益智游戏，每一关的难度分别有Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三级，并且下一关的难度与上一关的难度有关，若上一关的难度是Ⅰ或者Ⅱ，则下一关的难度依次是Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为，若上一关的难度是Ⅲ，则下一关的难度依次是Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为，已知第关的难度为Ⅰ．
（1）求第关的难度为Ⅲ的概率；
（2）用表示第关的难度为Ⅲ的概率，求；
（3）设，记，且对任意恒成立，求实数的最大值．
19.（17分）设函数.
（1）若，求函数图象在处的切线方程；
（2）若在处取得极小值，求的单调区间；
（3）若恰有三个零点，求的取值范围.