人教版九年级数学下册同步精品讲义 第06讲 锐角三角函数（原卷版+解析）

这是一份人教版九年级数学下册同步精品讲义 第06讲 锐角三角函数（原卷版+解析），共49页。试卷主要包含了1 锐角三角函数，锐角三角函数，三角函数的增减性，互余两角的正弦和余弦之间的关系，同角三角函数关系等内容，欢迎下载使用。

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知识精讲
知识点01 锐角三角函数
1.锐角三角函数
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.
(1)正弦：把锐角A的对边与斜边的比叫作∠A的正弦，记作sin A =ac.
(2)余弦：把锐角A的邻边与斜边的比叫作∠A的余弦，记作 csA==bc.
(3)正切：把锐角A的对边与邻边的比叫作∠A的正切，记作 tanA==ab.
锐角A的正弦、余弦、正切都叫作∠A的锐角三角函数。
【微点拨】锐角三角函数都不能取负值：00.
2.三角函数的增减性
(1)当角度在0°~90°间变化时，正弦值(正切值)随着角度的增大(或减小)而增大(或减小).
(2)当角度在0°~90°间变化时，余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大).
3.互余两角的正弦和余弦之间的关系
任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值.
即:若∠A+∠B=90°，则sinA=cs(90°-A)=cs B， cs A=sin(90°-A)=sin B.
4.同角三角函数关系
(1) sin²A+cs²A=1
2tanA=sinAcsA
【即学即练1】如图，已知是斜边边上的高，那么下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
知识点02 特殊角的三角函数值
【即学即练2】
能力拓展
考法01 由特殊角的三角函数值判断三角形的形状
【典例1】在ABC中， ，则ABC一定是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形
考法02 同角的三角函数关系
【典例2】如图，在△ABC中，∠C=90°, ∠A=30°．以点B为圆心画弧，分别交BC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN为半径画弧，两弧交于点P，画射线BP交AC于点D．若点D到AB的距离为1,则AC的长是（ ）
A．2B．3C．D．+1
分层提分
题组A 基础过关练
1．已知中，，，，则等于（ ）
A．6B．C．10D．8
2．已知在中，，那么下列三角比的值是的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在直角坐标平面内，点P与原点O的距离，线段OP与x轴正半轴的夹角为，且，则点P的坐标是（ ）
A．B．C．D．
4．在中，，若，，则等于（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在边长为1个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形顶点位置，那么的值为____．
6．已知等腰三角形两条边的长分别是底角为，则_____．
7．计算： ______________．
8．在RtABC中，，，，那么________．
9．在中，，，．
(1)求的长；
(2)求的值．

题组B 能力提升练
1．正方形网格中，如图放置，则的值为（ ）
A．B．C．1D．
2．如图，在中，，， 于点D．点P从点A出发，沿A→D→C的路径运动，运动到点C停止，过点P作于点E，作于点F．设点P运动的路程为x，四边形的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A．B．
C．D．
3．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在格点上，连接AB，BC，则的正切值为（ ）
A．B．C．1D．
4．如图，，点C在射线上．若，则点C到的距离等于（ ）
A．3B．C．D．6
5．若，则以为内角的的形状是 ___________．
6．有一块三角形材料如图所示，，，．用这块材料剪出一个，其中，点D，E，F分别在，，上．则剪出的的面积的最大值是______．
7．如图，四边形是正方形，以为边向外作为上的一点，连接．若四边形是菱形，则的度数为________．
8．如图，在中，是角平分线，的交点．若，，则的值是 __．
9．如图，是的直径，弦于点，连接，
(1)求证：．
(2)作于点，若的半径为，，求的长．
10．如图，矩形的对角线交于点O，点E在边上，交于点M．
(1)求证： ；
(2)已知，，．
①的长为____________；
②的值为_______．
题组C 培优拔尖练
1．如图，如图，是的直径，点是上一点，与过点的切线垂直，垂足为，直线与的延长线交于点，弦平分，交于点，连接，．下列四个结论：①平分；②；③若，则阴影部分的面积为；④若，则．其中正确的是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．如图，菱形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝和y＝的图象上，若∠BCD＝60°，则的值是（ ）
A．－B．－C．－D．－
3．如图，正方形中，点在边上，且．将沿对折至，延长交于点，连接、、．下列结论中：①设正方形的周长为，的周长为，则；②是的中点；③记，，则；④．其中正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
4．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理，在我国古书《周牌算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图①），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今，如图①是用四个全等的直角三角形拼成一个正方形，利用面积法可以证明勾股定理．如图2连接EG并延长交D的延长线于点M，如tanM＝，则的值为（ ）
A．2B．C．D．1.4
5．如图，点、分别是的、边上的点，，，于，四边形的面积为8，，__．
6．如图，在正方形中，对角线，相交于点，点在边上，且，连接交于点，过点作，连接并延长，交于点，过点作分别交、于点、，交的延长线于点，现给出下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有______________．
7．图，已知在中，，，，点P是斜边上一点，过点P作交AC于点M，过点P作的平行线，与过点M作的平行线交于点Q．如果点Q恰好在的平分线上，那么的长为________．
8．如图在中，∠ACB=90°，AC=BC，D在AB上，AD=8，BD=4，点E在CD上，∠AEB=135°，则CE=______．
9．如图所示，已知是⊙O的直径，A、D是⊙O上的两点，连接、、，线段与直径相交于点E．
(1)若，求的值．
(2)当时，
①若，，求的度数．
②若，，求线段的长．
10．如图，矩形中，，，点是边中点，将沿翻折得，与边交于点，点在边上，将沿翻折得，点恰好在边上．
(1)求的长；
(2)求的值．
11．在七年级第二学期14.7这一章节的课后练习部分，我们学习了以平习题，如图，已知B、C、E在一直线上，和都是等边三角形，联结，试说明和全等的现由．现在我们已经学习了相似三角形、锐角的三角比这两章节的内容．在此基础上我们继续探究：已知，，与交于点F．
(1)求证：；
(2)若，，求的正弦值．
12．如图1，在△ABC中，D是AB上一点，已知AC＝10，AC2＝AD•AB．
(1)若∠ADC＝90°时，求证：∠ACB＝90°．
(2)如图2，过点C作CEAB，且CE＝6，连结DE交BC于点F．
①若四边形ADEC是平行四边形，求的值；
②设AD＝x，，求y关于x的函数表达式．
课程标准
课标解读
1.利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（sin A，cs A，tan A），知道30°，45°，60°角的三角函数值。
2.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角。
1.理解和掌握正弦、余弦、正切的锐角三角函数的概念；
2.熟记特殊的角的锐角三角函数值，并能利用特殊角的锐角三角函数值求相应的角的数值。
第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
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知识精讲
知识点01 锐角三角函数
1.锐角三角函数
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.
(1)正弦：把锐角A的对边与斜边的比叫作∠A的正弦，记作sin A =ac.
(2)余弦：把锐角A的邻边与斜边的比叫作∠A的余弦，记作 csA==bc.
(3)正切：把锐角A的对边与邻边的比叫作∠A的正切，记作 tanA==ab.
锐角A的正弦、余弦、正切都叫作∠A的锐角三角函数。
【微点拨】锐角三角函数都不能取负值：00.
2.三角函数的增减性
(1)当角度在0°~90°间变化时，正弦值(正切值)随着角度的增大(或减小)而增大(或减小).
(2)当角度在0°~90°间变化时，余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大).
3.互余两角的正弦和余弦之间的关系
任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值.
即:若∠A+∠B=90°，则sinA=cs(90°-A)=cs B， cs A=sin(90°-A)=sin B.
4.同角三角函数关系
(1) sin²A+cs²A=1
2tanA=sinAcsA
【即学即练1】如图，已知是斜边边上的高，那么下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用直角三角形的边角间关系，计算得结论．
【详解】解：∵是斜边边上的高，
∴都是直角三角形．
在中，
∵，故选项B不正确；
在中，
∵，故选项A、C不正确．
在中，
∵，
∴．
∴，故选项D正确．
故选：D．
知识点02 特殊角的三角函数值
【即学即练2】
【答案】
【分析】代入特殊角三角函数值进行计算即可．
【详解】解：原式

．
能力拓展
考法01 由特殊角的三角函数值判断三角形的形状
【典例1】在ABC中， ，则ABC一定是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形
【答案】D
【分析】结合题意，根据乘方和绝对值的性质，得，，从而得，，根据特殊角度三角函数的性质，得，；根据等腰三角形和三角形内角和性质计算，即可得到答案．
【详解】解：∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴ABC一定是等腰直角三角形
故选：D．
考法02 同角的三角函数关系
【典例2】如图，在△ABC中，∠C=90°, ∠A=30°．以点B为圆心画弧，分别交BC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN为半径画弧，两弧交于点P，画射线BP交AC于点D．若点D到AB的距离为1,则AC的长是（ ）
A．2B．3C．D．+1
【答案】B
【分析】过点D作DEAB于E，则DE=1，先计算出∠ABD=30°，在中，由直角三角形的性质求出BE，利用等腰三角形的性质求出AB，最后在中求出AC的长．
【详解】解：如图，
过点D作DEAB于E，则DE=1，
∠C=90°, ∠A=30°，
由尺规作图，知PB是的平分线，
，
，
，
，
在中，
，
在中， ,
故选：B
分层提分
题组A 基础过关练
1．已知中，，，，则等于（ ）
A．6B．C．10D．8
【答案】C
【分析】直接利用锐角三角三角函数关系得出BC的长，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图所示：
，，
，
∵，
∴，
∴．
故选C．
2．已知在中，，那么下列三角比的值是的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据锐角三角函数的正弦，余弦，正切，余切的定义判断即可．
【详解】解：在中，，，，
，
，
故选：C．
3．如图，在直角坐标平面内，点P与原点O的距离，线段OP与x轴正半轴的夹角为，且，则点P的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意作x轴的垂线，根据，且，从而求出横坐标，再求点P的坐标就容易了．
【详解】过P作x轴的垂线，交x轴于点A，
∵，，
∴，
∴，
∴．
∴点P的坐标是．
故选：D．
4．在中，，若，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据勾股定理求出，再根据锐角三角函数的定义得出，再代入求出答案即可．
【详解】解：由勾股定理得：，
所以，
故选：B．
5．如图，在边长为1个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形顶点位置，那么的值为____．
【答案】
【分析】连接格点A、D．先利用勾股定理求出，再利用直角三角形的边角间关系求出的余弦．
【详解】解：如图，连接格点A、D．
∵，，，
∴．
∴．
故答案为：．
6．已知等腰三角形两条边的长分别是底角为，则_____．
【答案】或
【分析】分两种情况解答，即可求解．
【详解】解∶如图，当腰长为4时，过点A作于点D，
∴，
∴；
如图，当腰长为6时，过点A作于点D，
∴，
∴；
故答案为：或
7．计算： ______________．
【答案】
【分析】根据特殊角三角函数值的混合计算法则求解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
8．在RtABC中，，，，那么________．
【答案】
【分析】先用，求出，再由勾股定理求出即可．
【详解】解：如图:
在中，
，
即，
，
．
故答案为：．
9．在中，，，．
(1)求的长；
(2)求的值．
【答案】(1)3；(2)
【分析】（1）利用勾股定理即可求解；
（2）根据正切值的含义即可求解．
【详解】（1）∵，，，
∴，
即的长为3；
（2）∵，，，
∴，
即的值为：．
题组B 能力提升练
1．正方形网格中，如图放置，则的值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【分析】连接根据勾股定理可以得到，则是等腰三角形底边上的中线，根据三线合一定理，可以得到是直角三角形．根据三角函数的定义就可以求解．
【详解】如图，连接，设正方形的网格边长是1，则根据勾股定理可以得到：
，，
在中，由等腰三角形三线合一得：，
则，
∴，
故选：B．
2．如图，在中，，， 于点D．点P从点A出发，沿A→D→C的路径运动，运动到点C停止，过点P作于点E，作于点F．设点P运动的路程为x，四边形的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据中，，，可得，根据于点D．可得，是的平分线，点P从点A出发，沿A→D→C的路径运动，运动到点C停止，分两种情况讨论：根据于点E，作于点F，可得四边形是矩形和正方形，设点P运动的路程为x，四边形的面积为y，进而可得能反映y与x之间函数关系式，从而可以得函数的图象．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∵于点D，
∴，是的平分线，
∵于点E，作于点F，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵点P运动的路程为x，
∴当点P从点A出发，沿A→D路径运动时，
即时，，
则，
∴，
∵四边形的面积为y，
，
∴当时，抛物线开口向下，
当点P沿D→C路径运动时，
即时，
∵是的平分线，
∴，
∴四边形是正方形，如图，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当时，抛物线开口向上，
综上所述：能反映y与x之间函数关系的图象是：A．
故选：A．
3．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在格点上，连接AB，BC，则的正切值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】连接，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后在 中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【详解】解：如图：连接，
由题意得：，，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴，
故选：A．
4．如图，，点C在射线上．若，则点C到的距离等于（ ）
A．3B．C．D．6
【答案】A
【分析】构造直角三角形，利用锐角三角函数的定义，即可得答案．
【详解】解：如图，过点C作，垂足为，
在中，，
∴,
∴，
即点C到的距离为3，
故选：A．
5．若，则以为内角的的形状是 ___________．
【答案】直角三角形
【分析】直接利用非负数的性质得出，进而得出的形状．
【详解】解：∵，
∴，，
则，，
∴，
∴以为内角的的形状是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
6．有一块三角形材料如图所示，，，．用这块材料剪出一个，其中，点D，E，F分别在，，上．则剪出的的面积的最大值是______．
【答案】
【分析】根据含的直角三角形的性质，可得，设，则，根据平行四边形的性质，有，可得，利用锐角三角函数，可得，则，利用二次函数的性质，即可求出的面积的最大值．
【详解】解：，，，
，
设，则，
在中，，
，
在中，，
，
，
当时，的面积最大，最大值是．
故答案为：．
7．如图，四边形是正方形，以为边向外作为上的一点，连接．若四边形是菱形，则的度数为________．
【答案】
【分析】过点作的垂线，垂足分别为，四边形是矩形，得出，可得，进而即可求解．
【详解】∵四边形是正方形，
∴，，
如图，过点作的垂线，垂足分别为，
∴四边形是矩形，
∵四边形是菱形，
∴
∴，
∴，
∴．
8．如图，在中，是角平分线，的交点．若，，则的值是 __．
【答案】
【分析】过点作，垂足为，先利用等腰三角形的三线合一性质可得，，从而在中，利用勾股定理求出，再利用角平分线的定义可得，然后利用证明，从而利用全等三角形的性质，，进而求出，最后设，则，从而在中，利用勾股定理求出的值，进而在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【详解】解：过点作，垂足为，
，平分，
，，
在中，，
，
平分，
，
，，
，
，，
，
设，则，
在中，，
，
，
在中，，
故答案为：．
9．如图，是的直径，弦于点，连接，
(1)求证：．
(2)作于点，若的半径为，，求的长．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）解法一：根据是直径，得出，结合图形，利用等角的余角相等证明即可；解法二：根据垂径定理以及垂径定理的推论即可证明；
（2）利用勾股定理求出，再利用求解即可．
【详解】（1）证明：解法一：∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
解法二：连接，∵是直径，
∴，
∴．
（2）解：如图，连接．
在中，，
在中，，
∵，
∴，
∴．
10．如图，矩形的对角线交于点O，点E在边上，交于点M．
(1)求证： ；
(2)已知，，．
①的长为____________；
②的值为_______．
【答案】(1)见解析；
(2)①；②．
【分析】（1）利用矩形的性质可得 ，从而利用平行线的性质可得，，然后根据两角相等的两个三角形相似即可解答；
（2）①利用矩形的性质可得，，再在中，利用勾股定理可得，然后利用相似三角形的性质进行计算即可解答；②利用①的结论可得，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的值，即可解答．
【详解】（1）∵四边形是矩形，
∴，
∴，，
∴；
（2）①∵四边形是矩形，
∴ ，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
②∵，
∴，
在中，，
∴；
故答案为：①；②
题组C 培优拔尖练
1．如图，如图，是的直径，点是上一点，与过点的切线垂直，垂足为，直线与的延长线交于点，弦平分，交于点，连接，．下列四个结论：①平分；②；③若，则阴影部分的面积为；④若，则．其中正确的是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】①连接，根据是的切线，，推出，得到，根据，推出，得到，得到平分，此结论正确；
②根据是的直径，推出，得到，根据，推出，得到，根据，推出，推出，得到，根据平分，推出，根据，，推出，得到，得到，此结论正确；
③根据若，推出是斜边上的中线，推出，根据，推出，得到是等边三角形，得到，连接，则，根据，推出，得到，推出，此结论不正确；
④根据，，，推出，得到，根据，推出，得到，根据，推出，得到，根据，推出，此结论正确．
【详解】①连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
故平分正确；
②∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故正确；
③∵若，
∴是斜边上的中线，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
连接，则，
∵，
∴，
∴，
∴
，
故若，则阴影部分的面积为不正确；
④∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴,
∵，
∴,
∴，
∵，
∴．
故若，则正确．
故选：B．
2．如图，菱形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝和y＝的图象上，若∠BCD＝60°，则的值是（ ）
A．－B．－C．－D．－
【答案】A
【分析】连接AC、BD，根据菱形的性质和反比例函数的对称性，即可得出∠BOC=90°，∠BCO=∠BCD=30°，解直角三角形求得，作 BM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N，证得△OMB∽△CNO，得到，根据反比例函数系数 k的几何意义即可求得结果．
【详解】解：连接、，
∵四边形是菱形，
∴．
∵菱形的顶点分别在反比例函数和的图象上，
∴与、与关于原点对称，
∴、经过点，
∴．
∵，
∴．
作轴于，轴于，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
3．如图，正方形中，点在边上，且．将沿对折至，延长交于点，连接、、．下列结论中：①设正方形的周长为，的周长为，则；②是的中点；③记，，则；④．其中正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
【答案】C
【分析】根据证明，可得，由线段的和差关系可得，可判断①；由勾股定理可得，可判断②；由折叠的性质可得，可判断③；分别求出，的长，可判断④，即可求解．
【详解】解：①设正方形的周长为，的周长为，
∵四边形是正方形，
∴，，
由折叠的性质可知，，，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴的周长为：，
∴，
∴，
故①符合题意；
②设，则，
∵，
∴，，
∴，，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
即是的中点，
故②符合题意；
③∵，，
由折叠的性质可知：，
由，可得，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故③不符合题意；
④∵是的中点，，
∴，
在四边形中，
∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
故④符合题意．
故选：C．
4．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理，在我国古书《周牌算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图①），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今，如图①是用四个全等的直角三角形拼成一个正方形，利用面积法可以证明勾股定理．如图2连接EG并延长交D的延长线于点M，如tanM＝，则的值为（ ）
A．2B．C．D．1.4
【答案】B
【分析】在Rt△DGM中，根据，设，，从而利用勾股定理求出，再设，根据题意可得，，从而求出，然后在Rt△AEM中，利用锐角三角形函数的定义可得，从而求出，最后在Rt△HDG中，利用勾股定理求出，进行计算即可解答．
【详解】在Rt△DGM中，，
，
设，，
，
设，
由题意得：
，
，，
，
在Rt△AEM中，，
，
，
，
，
，
，
故选：．
5．如图，点、分别是的、边上的点，，，于，四边形的面积为8，，__．
【答案】5
【分析】过作于，过作于，由，设，则，，根据即得，，而是等腰直角三角形，知，由，即得，，又四边形的面积为8，即得，解得，从而．
【详解】解：过作于，过作于，如图：
，
，
设，则，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
在中，，
是等腰直角三角形，
，
，，，
，
，
在中，，
四边形的面积为8，
，
，即，
解得或（舍去），
，
故答案为：5．
6．如图，在正方形中，对角线，相交于点，点在边上，且，连接交于点，过点作，连接并延长，交于点，过点作分别交、于点、，交的延长线于点，现给出下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有______________．
【答案】①②③④
【分析】①证明，可得，由等腰三角形的性质可求；
②证明，可得；
③证明，可得，进而可得结论；
④由外角的性质可求，由勾股定理可求AG，即可求．
【详解】解：①∵四边形是正方形，，
∴，AC⊥BD，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，故①正确；
②如图，过点作于，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，故②正确；
③在和中，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，故③正确；
④∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故④正确．
故答案为：①②③④．
7．图，已知在中，，，，点P是斜边上一点，过点P作交AC于点M，过点P作的平行线，与过点M作的平行线交于点Q．如果点Q恰好在的平分线上，那么的长为________．
【答案】
【分析】根据直角三角形的边角关系可求出，，再根据相似三角形，用含有的代数式表示，再根据角平分线的定义以及等腰三角形的判定得出，进而列方程求出即可．
【详解】解：在中，，，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴＝＝，
设，则，，
∴，
∵，
∴＝＝，
∴，，
∵平分，，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
8．如图在中，∠ACB=90°，AC=BC，D在AB上，AD=8，BD=4，点E在CD上，∠AEB=135°，则CE=______．
【答案】
【分析】过点A作AP⊥CD，垂足为P，连接BP，过点D作DK⊥BC于点K，过点B作BM⊥AP，交AP的延长线于点M，交BC于点G，运用平行线分线段成比例定理，三角形全等，三角形相似，特殊角的三角函数，证明P与E重合，运用勾股定理计算即可．
【详解】解：如图，过点A作AP⊥CD，垂足为P，连接BP，过点D作DK⊥BC于点K，过点B作BM⊥AP，交AP的延长线于点M，交BC于点G，
因为∠ACB=90°，AC=BC，
所以∠DBK=∠BDK=45°，
所以DK=BK；
因为DKAC，
所以，
所以；
因为∠GAC=90°-∠ACP，∠DCK=90°-∠ACP，
所以∠GAC=∠DCK，
所以△GAC∽△DCK，
所以，
所以，
所以AC=2CG=BC=CG+BG,
所以BG=CG．
因为∠CPG=∠BMG=90°，∠CGP=∠BGM，
所以△GPC≌△GMB，
所以GP=GM，
所以四边形BPCM是平行四边形，
所以BPCM，
所以∠CMP=∠BPM，
因为∠ACB=∠AMB=90°，
所以A、C、M、B四点共圆，
所以∠AMC=∠ABC=45°，
所以∠MPB=45°，
所以∠APB=135°，
因为∠AEB=135°，
所以点P与点E重合，
所以AE⊥CD，
因为∠ACB=90°，AC=BC，AD=8，BD=4，
所以AC=BC=，
所以CG=，AG=，
所以，
所以=，
故答案为：．
9．如图所示，已知是⊙O的直径，A、D是⊙O上的两点，连接、、，线段与直径相交于点E．
(1)若，求的值．
(2)当时，
①若，，求的度数．
②若，，求线段的长．
【答案】(1)；
(2)①；②
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，首先得到直角三角形，然后求出的度数，利用特殊角的锐角三角函数值直接求解即可；
（2）①根据已知先求出的值，然后在直角三角形中利用的值即可求出，再利用圆周角定理得出和的关系即可求出的度数；
②利用已知容易得出，，进而得出，利用相似的性质得出比例式即可求出的长．
【详解】（1）解：∵是⊙O的直径，
∴，
∵，
∴，
∵＝，
∴，
∴，
所以的值为；
（2）解：①∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵＝，
∴，
∴，
即的度数为；
②∵＝，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴线段的长为．
10．如图，矩形中，，，点是边中点，将沿翻折得，与边交于点，点在边上，将沿翻折得，点恰好在边上．
(1)求的长；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）过作于，可得四边形为矩形，则，，由折叠性质和矩形的性质可得，，进而得到，利用勾股定理求得和即可解答；
（2）过点作于，利用等面积法求得，再利用正弦定义求解即可．
【详解】（1）解：过作于，则，
∵四边形是矩形，
∴， ，
∴四边形是矩形， ，
∴，，
∵点是的中点，，
∴，
由折叠性质得：，，
∴，
在中，，
设，则，
在中，，
解得：，即，
∴；
（2）解：过点作于，
∵，
∴，
解得：，
∵，
∴．
11．在七年级第二学期14.7这一章节的课后练习部分，我们学习了以平习题，如图，已知B、C、E在一直线上，和都是等边三角形，联结，试说明和全等的现由．现在我们已经学习了相似三角形、锐角的三角比这两章节的内容．在此基础上我们继续探究：已知，，与交于点F．
(1)求证：；
(2)若，，求的正弦值．
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】（1）根据等边三角形的性质和平行线的性质即可证明，再根据相似三角形的性质即可得出答案；
（2）由，过A作于M，根据勾股定理求出、、的值即可根据求解．
【详解】（1）∵和都是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）过A作于M，
∵
∴，
∴，
∴
∴．
12．如图1，在△ABC中，D是AB上一点，已知AC＝10，AC2＝AD•AB．
(1)若∠ADC＝90°时，求证：∠ACB＝90°．
(2)如图2，过点C作CEAB，且CE＝6，连结DE交BC于点F．
①若四边形ADEC是平行四边形，求的值；
②设AD＝x，，求y关于x的函数表达式．
【答案】(1)见解析
(2)①；②
【分析】（1）利用得到，结合∠A=∠A得到，利用相似三角形的对应角相等求解；
（2）①由平行四边形的性质可得AD=CE=6，，可证，可求解；
②通过证明，可得BC，由平行线分线段成比例可得 ，代入可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴．
∵∠A=∠A，
∴，
∴；
（2）∵四边形ADEC是平行四边形，
∴AD=CE=6，．
∵AC=10，，
∴．
∵，
∴，,
∴，
∴；
∵AC=10，，，
∴．
∵，
∴．
∵∠A=∠A，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，,
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
课程标准
课标解读
1.利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（sin A，cs A，tan A），知道30°，45°，60°角的三角函数值。
2.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角。
1.理解和掌握正弦、余弦、正切的锐角三角函数的概念；
2.熟记特殊的角的锐角三角函数值，并能利用特殊角的锐角三角函数值求相应的角的数值。