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初中数学22.1.1 二次函数达标测试
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这是一份初中数学22.1.1 二次函数达标测试，共33页。试卷主要包含了顶点式化成一般式，一般式化成顶点式，25，5，-6等内容，欢迎下载使用。
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知识精讲
知识点01 二次函数与之间的相互关系
1.顶点式化成一般式
从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点 ，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式．
2.一般式化成顶点式
．
对照，可知
∴ 抛物线的对称轴是直线 ，顶点坐标是 ．
要点诠释：
1．抛物线的对称轴是直线 ，顶点坐标是 ，可以当作公式加以记忆和运用．
2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
知识点02 二次函数的图象的画法
1.一般方法：列表、描点、连线；
2.简易画法：五点定形法.
其步骤为：
(1)先根据函数解析式，求 和 ，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴．
(2)求抛物线与 的交点，
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来．
要点诠释：
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，
知识点03 二次函数的图象与性质
1.二次函数图象与性质
2.二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系
知识点04 求二次函数的最大(小)值的方法
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大(或最小)值，即
当 时， ．
要点诠释：
如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；当x＝x1时，，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况．
能力拓展
考法01 二次函数的图象与性质
【典例1】如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(﹣1，0)，与y轴的交点B在(0，﹣2)和(0，﹣1)之间(不包括这两点)，对称轴为直线x=1．下列结论：
①abc＞0
②4a+2b+c＞0
③4ac﹣b2＜8a
④
⑤b＞c．
其中含所有正确结论的选项是( )
A．①③B．①③④C．②④⑤D．①③④⑤
【即学即练1】若二次函数()的图象如图所示，则的值是 ．
考法02 二次函数的最值
【典例2】分别在下列范围内求函数的最大值或最小值．
(1)0＜x＜2； (2)2≤x≤3．
考法03 二次函数性质的综合应用
【典例3】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a＞0)经过点A(2，0)，B(6，0)，交y轴于点C，且S△ABC=16．
(1)求点C的坐标；
(2)求抛物线的解析式及其对称轴；
(3)若正方形DEFG内接于抛物线和x轴(边FG在x轴上，点D，E分别在抛物线上)，求S正方形DEFG．
【典例4】一条抛物线经过A(2，0)和B(6，0)，最高点C的纵坐标是1．
(1)求这条抛物线的解析式，并用描点法画出抛物线；
(2)设抛物线的对称轴与轴的交点为D，抛物线与y轴的交点为E，请你在抛物线上另找一点P(除点A、B、C、E外)，先求点C、A、E、P分别到点D的距离，再求这些点分别到直线的距离；
(3)观察(2)的计算结果，你发现这条抛物线上的点具有何种规律?请用文字写出这个规律．
【即学即练2】已知二次函数(其中a>0，b>0，c<0)，关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x轴的交点至少有一个
在y轴的右侧．以上说法正确的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
分层提分
题组A 基础过关练
1．将二次函数化为的形式，结果为( )
A． B．
C． D．
2．关于抛物线y＝x2﹣2x+1，下列说法错误的是( )
A．开口向上
B．对称轴是直线x＝1
C．与x轴没有交点
D．与y轴的交点坐标是(0，1)
3．抛物线的图象先向右平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度，所得图象的解析式是，则
A．13B．11C．10D．12
4．抛物线y＝ax2+bx+c经过点A(3，0)，对称轴是直线x＝1，则a+b+c的值为( )
A．B．1C．0D．
5．二次函数，当________时，的最小值是_______.
6．已知抛物线经过两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求图象的开口方向、对称轴、顶点坐标．
7．已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，下列关于此函数图象的描述中，错误的是( )
A．对称轴是直线x＝1B．当x＜0时，函数y随x增大而增大
C．图象的顶点坐标是(1，4)D．图象与x轴的另一个交点是(4，0)
8．已知二次函数y＝﹣x2+2x+3．
(1)写出这个二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标和最大值；
(2)求出这个抛物线与坐标轴的交点坐标．
题组B 能力提升练
1．如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c图象相交于P、Q两点，则函数y＝ax2＋(b－1)x＋c的图象可能是( )
A．B．C．D．
2．若二次函数的图象，过不同的六点、、、、、，则、、的大小关系是( )
A．B．C．D．
3．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④(为实数)．其中结论正确的个数为( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．如图抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上任意一点，若点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，连接DE，DF，则DE+DF的最小值为_____．
5．如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(2，0)，B(-4，0)两点.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求出抛物线的对称轴和顶点坐标；
(3) 若抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
题组C 培优拔尖练
1．二次函数的图象如图所示，若，．则、的大小关系为_____．(填“”、“”或“”)
2．如果函数y＝b的图象与函数y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3的图象恰有三个交点，则b的可能值是_____．
3．如图，抛物线与x轴相交于两点(点在点的左侧)，与轴相交于点．为抛物线上一点，横坐标为，且．
⑴求此抛物线的解析式；
⑵当点位于轴下方时，求面积的最大值；
⑶设此抛物线在点与点之间部分(含点和点)最高点与最低点的纵坐标之差为．
①求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
②当时，直接写出的面积．
4．在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线有且只有一个公共点．
(1)直接写出抛物线的顶点的坐标，并求出与的关系式；
(2)若点为抛物线上一点，当时，均满足，求的取值范围；
(3)过抛物线上动点(其中)作轴的垂线，设与直线交于点，若、两点间的距离恒大于等于1，求的取值范围．
课程标准
1. 会用描点法画二次函数的图象；会用配方法将二次函数的解析式写成的形式；
2.通过图象能熟练地掌握二次函数的性质；
3.经历探索与的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想．
函数
二次函数(a、b、c为常数，a≠0)
图象
开口方向
对称轴
顶点坐标
增减性
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而 ；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而 ．简记：
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而 ；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而 ．简记：
最大(小)值
抛物线有最低点，当时，y有最 值，
抛物线有最高点，当时，y有最 值，
项目
字母
字母的符号
图象的特征
a
开口向上
开口向下
b
对称轴在y轴左侧
对称轴在y轴右侧
c
图象过原点
与y轴正半轴相交
与y轴负半轴相交
b2-4ac
与x轴有唯一交点
与x轴有两个交点
与x轴没有交点
第12课 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质
目标导航
知识精讲
知识点01 二次函数与之间的相互关系
1.顶点式化成一般式
从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式．
2.一般式化成顶点式
．
对照，可知，．
∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．
要点诠释：
1．抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，可以当作公式加以记忆和运用．
2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
知识点02 二次函数的图象的画法
1.一般方法：列表、描点、连线；
2.简易画法：五点定形法.
其步骤为：
(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴．
(2)求抛物线与坐标轴的交点，
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来．
要点诠释：
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，
知识点03 二次函数的图象与性质
1.二次函数图象与性质
2.二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系
知识点04 求二次函数的最大(小)值的方法
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大(或最小)值，即当时，．
要点诠释：
如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；当x＝x1时，，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况．
能力拓展
考法01 二次函数的图象与性质
【典例1】如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(﹣1，0)，与y轴的交点B在(0，﹣2)和(0，﹣1)之间(不包括这两点)，对称轴为直线x=1．下列结论：
①abc＞0
②4a+2b+c＞0
③4ac﹣b2＜8a
④
⑤b＞c．
其中含所有正确结论的选项是( )
A．①③B．①③④C．②④⑤D．①③④⑤
【思路点拨】根据对称轴为直线x=1及图象开口向下可判断出a、b、c的符号，从而判断①；根据对称轴得到函数图象经过(3，0)，则得②的判断；根据图象经过(﹣1，0)可得到a、b、c之间的关系，从而对②⑤作判断；从图象与y轴的交点B在(0，﹣2)和(0，﹣1)之间可以判断c的大小得出④的正误．
【答案】D．
【解析】
解：①∵函数开口方向向上，
∴a＞0；
∵对称轴在y轴右侧
∴ab异号，
∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
②∵图象与x轴交于点A(﹣1，0)，对称轴为直线x=﹣1，
∴图象与x轴的另一个交点为(3，0)，
∴当x=2时，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，
故②错误；
③∵图象与x轴交于点A(﹣1，0)，
∴当x=﹣1时，y=(﹣1)2a+b×(﹣1)+c=0，
∴a﹣b+c=0，即a=b﹣c，c=b﹣a，
∵对称轴为直线x=1
∴=1，即b=﹣2a，
∴c=b﹣a=(﹣2a)﹣a=﹣3a，
∴4ac﹣b2=4•a•(﹣3a)﹣(﹣2a)2=﹣16a2＜0
∵8a＞0
∴4ac﹣b2＜8a
故③正确
④∵图象与y轴的交点B在(0，﹣2)和(0，﹣1)之间，
∴﹣2＜c＜﹣1
∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，
∴＞a＞；
故④正确
⑤∵a＞0，
∴b﹣c＞0，即b＞c；
故⑤正确；
故选：D．
【总结升华】主要考查图象与二次函数系数之间的关系．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．
【即学即练1】若二次函数()的图象如图所示，则的值是 ．
【答案】-1.
考法02 二次函数的最值
【典例2】分别在下列范围内求函数的最大值或最小值．
(1)0＜x＜2； (2)2≤x≤3．
【答案与解析】
∵ ，
∴ 顶点坐标为(1，-4)．
(1)∵ x＝1在0＜x＜2范围内，且a＝1＞0，
∴ 当x＝1时y有最小值，．
∵ x＝1是0＜x＜2范围的中点，在x＝1两侧图象左右对称，端点处取不到，不存在最大值．
(2)∵ x＝1不在2≤x≤3范围内(如图所示)，又因为函数(2≤x≤3)的图象是
抛物线的一部分，且当2≤x≤3时，y随x的增大而增大，
∴ 当x＝3时，；当x＝2时，．
【总结升华】先求出抛物线的顶点坐标，然后看顶点的横坐标是否在所规定的自变量的取值范围内，根据不同情况求解，也可画出图象，借助于图象的直观性求解，如图所示，2≤x≤3为图中实线部分，易看出x＝3时，；x＝2时，．
考法03 二次函数性质的综合应用
【典例3】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a＞0)经过点A(2，0)，B(6，0)，交y轴于点C，且S△ABC=16．
(1)求点C的坐标；
(2)求抛物线的解析式及其对称轴；
(3)若正方形DEFG内接于抛物线和x轴(边FG在x轴上，点D，E分别在抛物线上)，求S正方形DEFG．
【答案与解析】
解：(1)∵A(2，0)，B(6，0)，
∴AB=6﹣2=4．
∵S△ABC=16，
∴×4•OC=16，
∴OC=8，
∴点C的坐标为(0，8)；
(2)∵抛物线y=ax2+bx+c(a＞0)经过点A(2，0)，B(6，0)，
∴可设抛物线的解析式为y=a(x﹣2)(x﹣6)，
将C(0，8)代入，得8=12a，
解得a=，
∴y=(x﹣2)(x﹣6)=x2﹣x+8，
故抛物线的解析式为y=x2﹣x+8，其对称轴为直线x=4；
(3)设正方形DEFG的边长为m，则m＞0，
∵正方形DEFG内接于抛物线和x轴(边FG在x轴上，点D，E分别在抛物线上)，
∴D(4﹣m，﹣m)，E(4+m，﹣m)．
将E(4+m，﹣m)代入y=x2﹣x+8，
得﹣m=×(4+m)2﹣×(4+m)+8，
整理得，m2+6m﹣16=0，
解得m1=2，m2=﹣8(不合题意舍去)，
∴正方形DEFG的边长为2，
∴S正方形DEFG=22=4．
【总结升华】熟练掌握待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的图象与性质是解题综合题的前提.第(3)问中设出正方形DEFG的边长为m，根据二次函数与正方形的性质用含m的代数式正确表示点D与点E的坐标是解题的关键．
【典例4】一条抛物线经过A(2，0)和B(6，0)，最高点C的纵坐标是1．
(1)求这条抛物线的解析式，并用描点法画出抛物线；
(2)设抛物线的对称轴与轴的交点为D，抛物线与y轴的交点为E，请你在抛物线上另找一点P(除点A、B、C、E外)，先求点C、A、E、P分别到点D的距离，再求这些点分别到直线的距离；
(3)观察(2)的计算结果，你发现这条抛物线上的点具有何种规律?请用文字写出这个规律．
【答案与解析】
(1)由已知可得抛物线的对称轴是．
∴ 最高点C的坐标为(4，1)．
则 解得
∴ 所求抛物线的解析式为．
列表：
描点、连线，如图所示：
(2)取点(-2，-8)为所要找的点P，如图所示，运用勾股定理求得ED＝5，PD＝10，
观察图象知AD＝2，CD＝1，点E、P、A、C到直线y＝2的距离分别是5、10、2、1．
(3)抛物线上任一点到点D的距离等于该点到直线y＝2的距离．
【总结升华】(1)描点画图时，应先确定抛物线的对称轴，然后以对称轴为参照，左右对称取点．
(2)计算两点之间的距离应构造两直角边分别平行于两坐标轴的直角三角形，
然后运用勾股定理求得．
【即学即练2】已知二次函数(其中a>0，b>0，c<0)，关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x轴的交点至少有一个
在y轴的右侧．以上说法正确的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C.
分层提分
题组A 基础过关练
1．将二次函数化为的形式，结果为( )
A． B．
C． D．
【答案】D．
【解析】
试题分析：y=x2﹣4x﹣1=x2﹣4x+4﹣5=(x﹣2)2﹣5．
故选D．
考点：二次函数的顶点式．
2．关于抛物线y＝x2﹣2x+1，下列说法错误的是( )
A．开口向上
B．对称轴是直线x＝1
C．与x轴没有交点
D．与y轴的交点坐标是(0，1)
【答案】C
【分析】
根据题目中的函数解析式，利用二次函数的性质依次判断各项即可解答．
【详解】
∵抛物线y＝x2﹣2x+1＝(x﹣1)2，
∴该函数图象开口向上，选项A正确，
对称轴是直线x＝1，选项B正确，
当x＝1时，y＝0，即抛物线与x轴的交点是(1,0)选项C错误
当x＝0时，y＝1，选项D正确，
故选C．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
3．抛物线的图象先向右平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度，所得图象的解析式是，则
A．13B．11C．10D．12
【答案】B
【分析】
因为抛物线y=ax2+bx+c的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到图象的解析式是y=x2﹣3x+5，所以y=x2﹣3x+5向左平移3个单位，再向上平移2个单位后，可得抛物线y=ax2+bx+c的图象，先由y=x2﹣3x+5的平移求出y=ax2+bx+c的解析式，再求a+b+c的值．
【详解】
∵y=x2﹣3x+5=(x﹣)2+，当y=x2﹣3x+5向左平移3个单位，再向上平移2个单位后，可得抛物线y=ax2+bx+c的图象，∴y=(x﹣+3)2++2=x2+3x+7；
∴a+b+c=11．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
4．抛物线y＝ax2+bx+c经过点A(3，0)，对称轴是直线x＝1，则a+b+c的值为( )
A．B．1C．0D．
【答案】C
【分析】
根据二次函数对称性可求出点(－3，0)关于对称轴x＝－1的对称点为(1，0)，然后把(1，0)代入y＝ax2＋bx＋c即可求出答案．
【详解】
解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为x＝－1，
∴根据二次函数的对称性得：点A(－3，0)的对称点为(1，0)，
∴当x＝1时，y＝a＋b＋c＝0，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的性质，解答本题的关键是求出点A关于对称轴的对称点，难度不大．
5．二次函数，当________时，的最小值是_______.
【答案】-1， -4
【分析】
根据完全平方式和顶点式的意义，可直接得出二次函数的最小值．
【详解】
由于(x+1)2≥0，
所以当x=-1时，(x+1)2取得最小值，
则二次函数y=2(x+1)2-4最小值为-4．
故答案为：-1,-4．
【点睛】
此题考查二次函数的性质，解题关键在于要熟悉非负数的性质，找到完全平方式的最小值即为函数的最小值．
6．已知抛物线经过两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求图象的开口方向、对称轴、顶点坐标．
【答案】(1)y=x2-3x；(2)开口向上，直线x=，(，)
【分析】
(1)把点A、B的坐标代入函数解析式，根据待定系数法列式求解即可．
(2)配成顶点式，再根据二次函数的性质求解．
【详解】
解：(1)∵抛物线经过两点，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式是：y=x2-3x；
(2)，
∵a=1＞0，
∴抛物线开口向上，
对称轴为直线x=，顶点坐标为(，)．
【点睛】
本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二函数的性质，是基础题，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
7．已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，下列关于此函数图象的描述中，错误的是( )
A．对称轴是直线x＝1B．当x＜0时，函数y随x增大而增大
C．图象的顶点坐标是(1，4)D．图象与x轴的另一个交点是(4，0)
【答案】D
【分析】
利用二次函数的图像与性质，判断选项的正误即可.
【详解】
由函数图像可知，对称轴是直线x＝1故选项A正确；
当x＜0时，函数y随x增大而增大，故选项B正确；
图象的顶点坐标是(1，4)，故选项C正确；
图象与x轴的另一个交点是(3，0)，故选项D错误.
故选D
【点睛】
本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握性质是解题的关键.
8．已知二次函数y＝﹣x2+2x+3．
(1)写出这个二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标和最大值；
(2)求出这个抛物线与坐标轴的交点坐标．
【答案】(1)见解析;(2) 与x轴的交点坐标是(﹣1，0)，(3，0)，与y轴的交点坐标是(0，3)．
【解析】
【分析】
(1)根据二次项系数确定开口方向，根据顶点坐标公式确定顶点坐标和对称轴．
(2)当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解方程可求得与x轴的交点为(﹣1，0)，(3，0)；当x＝0时，y＝3，即求得与y轴的交点坐标为(0，3)．
【详解】
解：∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣(x﹣1)2+4
∴开口方向向下，对称轴x＝1，顶点坐标是(1，4)
当x＝1时，y有最大值是4；
(2)∵当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3
当x＝0时，y＝3
∴抛物线与x轴的交点坐标是(﹣1，0)，(3，0)，与y轴的交点坐标是(0，3)．
故答案为(1)见解析;(2) 与x轴的交点坐标是(﹣1，0)，(3，0)，与y轴的交点坐标是(0，3)．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，解题的关键是利用解析式求坐标轴的交点以及顶点坐标公式．
题组B 能力提升练
1．如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c图象相交于P、Q两点，则函数y＝ax2＋(b－1)x＋c的图象可能是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
由一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，得出方程ax2+(b-1)x+c=0有两个不相等的根，进而得出函数y=ax2+(b-1)x+c与x轴有两个交点，根据方程根与系数的关系得出函数y=ax2+(b-1)x+c的对称轴x=-＞0，即可进行判断．
【详解】
点P在抛物线上，设点P(x，ax2+bx+c)，又因点P在直线y=x上，
∴x=ax2+bx+c，
∴ax2+(b-1)x+c=0；
由图象可知一次函数y=x与二次函数y=ax2+bx+c交于第一象限的P、Q两点，
∴方程ax2+(b-1)x+c=0有两个正实数根．
∴函数y=ax2+(b-1)x+c与x轴有两个交点，
又∵-＞0，a＞0
∴-=-+＞0
∴函数y=ax2+(b-1)x+c的对称轴x=-＞0，
∴A符合条件，
故选A．
2．若二次函数的图象，过不同的六点、、、、、，则、、的大小关系是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据题意，把A、B、C三点代入解析式，求出，再求出抛物线的对称轴，利用二次根式的对称性，即可得到答案．
【详解】
解：根据题意，把点、、代入，则
，
消去c，则得到，
解得：，
∴抛物线的对称轴为：，
∵与对称轴的距离最近；与对称轴的距离最远；抛物线开口向上，
∴；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征的理解和掌握，以及二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质，正确求出抛物线的对称轴进行解题．
3．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④(为实数)．其中结论正确的个数为( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】
①由抛物线开口方向得到，对称轴在轴右侧，得到与异号，又抛物线与轴正半轴相交，得到，可得出，选项①错误；
②把代入中得，所以②正确；
③由时对应的函数值，可得出，得到，由，，，得到，选项③正确；
④由对称轴为直线，即时，有最小值，可得结论，即可得到④正确．
【详解】
解：①∵抛物线开口向上，∴，
∵抛物线的对称轴在轴右侧，∴，
∵抛物线与轴交于负半轴，
∴，
∴，①错误；
②当时，，∴，
∵，∴，
把代入中得，所以②正确；
③当时，，∴，
∴，
∵，，，
∴，即，所以③正确；
④∵抛物线的对称轴为直线，
∴时，函数的最小值为，
∴，
即，所以④正确．
故选C．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时，对称轴在轴左；当与异号时，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于．抛物线与轴交点个数由判别式确定：时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴没有交点．
4．如图抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上任意一点，若点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，连接DE，DF，则DE+DF的最小值为_____．
【答案】
【分析】
连接AC,与对称轴交于点P, 此时DE+DF最小，求解即可.
【详解】
连接AC,与对称轴交于点P,
此时DE+DF最小，
点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，
在二次函数y=x2+2x﹣3中，当时，
当时，或
即
点P是抛物线对称轴上任意一点，
则PA=PB,
PA+PC=AC,
PB+PC=
DE+DF的最小值为：
故答案为
【点睛】
考查二次函数图象上点的坐标特征，三角形的中位线，勾股定理等知识点，找出点P的位置是解题的关键.
5．如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(2，0)，B(-4，0)两点.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求出抛物线的对称轴和顶点坐标；
(3) 若抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)对称轴是直线x=﹣1，顶点坐标为(-1，9)；(3)存在，Q(-1，6)
【分析】
(1)将A、B两点坐标代入y=-x2+bx+c中，解方程组即可求解；
(2)将抛物线方程化为顶点式，即可求得对称轴和顶点坐标；
(3)由于A、B两点关于抛物线的对称轴对称，所以直线BC与对称轴的交点即为Q点，此时周长最小，求出直线BC的解析式，令x=1，求出y值，即可知点Q的坐标．
【详解】
解：(1)将A(2，0)，B(-4，0)代入y=-x2+bx+c中，
得：，
解得：，
∴抛物线的方程为；
(2)∵，
∴对称轴为直线x=﹣1，顶点坐标为(﹣1，9)；
(3)存在，理由：
∵△QAC的周长=AC+QA+QC,
∴要使△QAC的周长最小，只需QA+QC最小，
根据题意，A、B两点关于对称轴x=﹣1对称，
∴直线BC与直线x=﹣1的交点即为Q点，此时QA+QC最小，即△AQC周长最小，
对于，令x=0，则y=8，
∴C(0，8)，
设直线BC的解析式为y=kx+8(k≠0)，
将点B(﹣4，0)代入，得：﹣4k+8=0，解得：k=2,
∴直线BC的解析式为y=2x+8，
当x=﹣1时，y=2×(﹣1)+8=6，
∴Q(﹣1，6)．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、利用二次函数的对称性求最短路径问题，解答的关键是认真审题，找寻相关联信息，利用数形结合思想进行推理、探究和计算．
题组C 培优拔尖练
1．二次函数的图象如图所示，若，．则、的大小关系为_____．(填“”、“”或“”)
【答案】<
【分析】
由图像可知，当时，，当时，，然后用作差法比较即可.
【详解】
当时，，
当时，，
，
即，
故答案为
【点睛】
本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，作差法比较代数式的大小，熟练掌握二次函数图像上点的坐标满足二次函数解析式是解答本题的关键.
2．如果函数y＝b的图象与函数y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3的图象恰有三个交点，则b的可能值是_____．
【答案】-6或-6.25
【分析】
由y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3，得：，进而画出函数的图象，即可得到答案.
【详解】
∵y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3，
∴，
在平面直角坐标系中，画出图象，如图所示：
∵由图象可知：A(0，-6)，B(0.5，-6.25)，C(1，-6)，直线y=-6和直线y=-6.25与函数图象恰有三个交点，
∴b的可能值是：-6或-6.25.
故答案是：-6或-6.25.
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象，分类讨论，画出二次函数的图象，是解题的关键.
3．如图，抛物线与x轴相交于两点(点在点的左侧)，与轴相交于点．为抛物线上一点，横坐标为，且．
⑴求此抛物线的解析式；
⑵当点位于轴下方时，求面积的最大值；
⑶设此抛物线在点与点之间部分(含点和点)最高点与最低点的纵坐标之差为．
①求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
②当时，直接写出的面积．
【答案】(1)；(2)8；(3)①()，()，()；②6.
【分析】
(1)将点C(0，-3)代入y=(x-1)2+k即可；
(2)易求A(-1，0)，B(3，0)，抛物线顶点为(1，-4)，当P位于抛物线顶点时，△ABP的面积有最大值；
(3)①当0＜m≤1时，h=-3-(m2-2m-3)=-m2+2m；当1＜m≤2时，h=-1-(-4)=1；当m＞2时，h=m2-2m-3-(-4)=m2-2m+1；
②当h=9时若-m2+2m=9，此时△＜0，m无解；若m2-2m+1=9，则m=4，则P(4，5)，△BCP的面积=(4+1)×3=6；
【详解】
解：(1)因为抛物线与轴交于点，
把代入，得
，
解得，
所以此抛物线的解析式为，
即；
(2)令，得，
解得，
所以，
所以；
解法一：
由(1)知，抛物线顶点坐标为，
由题意，当点位于抛物线顶点时，的面积有最大值，
最大值为；
解法二
由题意，得，
所以
，
所以当时，有最大值8；
(3)①当时，；
当时，；
当时，；
②当h=9时
若-m2+2m=9，此时△＜0，m无解；
若m2-2m+1=9，则m=4，
∴P(4，5)，
∵B(3，0)，C(0，-3)，
∴△BCP的面积=(4+1)×3=6；
【点睛】
本题考查二次函数的图象及性质，是二次函数综合题；熟练掌握二次函数的性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．
4．在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线有且只有一个公共点．
(1)直接写出抛物线的顶点的坐标，并求出与的关系式；
(2)若点为抛物线上一点，当时，均满足，求的取值范围；
(3)过抛物线上动点(其中)作轴的垂线，设与直线交于点，若、两点间的距离恒大于等于1，求的取值范围．
【答案】(1)，；(2)；(3)或
【分析】
(1)由题意可得D在直线y=-3上且D在二次数对称轴上，由此可以得到D点坐标并求出c与a的关系式；
(2)分a>0与a<0两种情况，根据二次函数的增减性进行求解；
(3)把MN用a表示出来可以得到关于a的不等式，解不等式即可得到a的取值范围．
【详解】
解：(1)由题意得D在直线y=-3上且D在二次数对称轴x=1上，
∴D(1-3)，将其代入得-3=a-2a+c，化简得c=a-3；
(2)当a>0时，二次函数图象开口向上，
如图，抛物线的开口向上，当，即，
此时：当时，满足，
当时，函数值最大，则
解得：，不合题意，舍去
当＜＜时，则＜＜，如图，
此时：当时，满足，
当时，函数值最大，则
解得：，不合题意，舍去
当时，则，如图，
此时：当时，满足，
当时，函数值最大，
则
恒成立，
当a<0时，二次函数图象开口向下，此时函数有最大值，不满足，此情况不存在；
综上；
(3)|MN|≥1即，即
①(x≥3恒成立要求a＞0，其对称轴为x，
只需要求x=3时即9a-3a-a≥1，
解得；
②(x≥3恒成立要求a﹤0)，
只需要求x=3时即9a-3a-a≤-1，
解得．
【点睛】
本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象与性质及二次函数、一次函数与不等式的关系是解题关键．课程标准
1. 会用描点法画二次函数的图象；会用配方法将二次函数的解析式写成的形式；
2.通过图象能熟练地掌握二次函数的性质；
3.经历探索与的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想．
函数
二次函数(a、b、c为常数，a≠0)
图象
开口方向
向上
向下
对称轴
直线
直线
顶点坐标
增减性
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减
最大(小)值
抛物线有最低点，当时，y有最小值，
抛物线有最高点，当时，y有最大值，
项目
字母
字母的符号
图象的特征
a
a＞0
开口向上
a＜0
开口向下
b
ab＞0(a，b同号)
对称轴在y轴左侧
ab＜0(a，b异号)
对称轴在y轴右侧
c
c=0
图象过原点
c＞0
与y轴正半轴相交
c＜0
与y轴负半轴相交
b2-4ac
b2-4ac=0
与x轴有唯一交点
b2-4ac＞0
与x轴有两个交点
b2-4ac＜0
与x轴没有交点
-2
0
2
4
6
8
10
-8
-3
0
1
0
-3
-8
目标导航
知识精讲
知识点01 二次函数与之间的相互关系
1.顶点式化成一般式
从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点 ，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式．
2.一般式化成顶点式
．
对照，可知
∴ 抛物线的对称轴是直线 ，顶点坐标是 ．
要点诠释：
1．抛物线的对称轴是直线 ，顶点坐标是 ，可以当作公式加以记忆和运用．
2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
知识点02 二次函数的图象的画法
1.一般方法：列表、描点、连线；
2.简易画法：五点定形法.
其步骤为：
(1)先根据函数解析式，求 和 ，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴．
(2)求抛物线与 的交点，
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来．
要点诠释：
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，
知识点03 二次函数的图象与性质
1.二次函数图象与性质
2.二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系
知识点04 求二次函数的最大(小)值的方法
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大(或最小)值，即
当 时， ．
要点诠释：
如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；当x＝x1时，，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况．
能力拓展
考法01 二次函数的图象与性质
【典例1】如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(﹣1，0)，与y轴的交点B在(0，﹣2)和(0，﹣1)之间(不包括这两点)，对称轴为直线x=1．下列结论：
①abc＞0
②4a+2b+c＞0
③4ac﹣b2＜8a
④
⑤b＞c．
其中含所有正确结论的选项是( )
A．①③B．①③④C．②④⑤D．①③④⑤
【即学即练1】若二次函数()的图象如图所示，则的值是 ．
考法02 二次函数的最值
【典例2】分别在下列范围内求函数的最大值或最小值．
(1)0＜x＜2； (2)2≤x≤3．
考法03 二次函数性质的综合应用
【典例3】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a＞0)经过点A(2，0)，B(6，0)，交y轴于点C，且S△ABC=16．
(1)求点C的坐标；
(2)求抛物线的解析式及其对称轴；
(3)若正方形DEFG内接于抛物线和x轴(边FG在x轴上，点D，E分别在抛物线上)，求S正方形DEFG．
【典例4】一条抛物线经过A(2，0)和B(6，0)，最高点C的纵坐标是1．
(1)求这条抛物线的解析式，并用描点法画出抛物线；
(2)设抛物线的对称轴与轴的交点为D，抛物线与y轴的交点为E，请你在抛物线上另找一点P(除点A、B、C、E外)，先求点C、A、E、P分别到点D的距离，再求这些点分别到直线的距离；
(3)观察(2)的计算结果，你发现这条抛物线上的点具有何种规律?请用文字写出这个规律．
【即学即练2】已知二次函数(其中a>0，b>0，c<0)，关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x轴的交点至少有一个
在y轴的右侧．以上说法正确的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
分层提分
题组A 基础过关练
1．将二次函数化为的形式，结果为( )
A． B．
C． D．
2．关于抛物线y＝x2﹣2x+1，下列说法错误的是( )
A．开口向上
B．对称轴是直线x＝1
C．与x轴没有交点
D．与y轴的交点坐标是(0，1)
3．抛物线的图象先向右平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度，所得图象的解析式是，则
A．13B．11C．10D．12
4．抛物线y＝ax2+bx+c经过点A(3，0)，对称轴是直线x＝1，则a+b+c的值为( )
A．B．1C．0D．
5．二次函数，当________时，的最小值是_______.
6．已知抛物线经过两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求图象的开口方向、对称轴、顶点坐标．
7．已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，下列关于此函数图象的描述中，错误的是( )
A．对称轴是直线x＝1B．当x＜0时，函数y随x增大而增大
C．图象的顶点坐标是(1，4)D．图象与x轴的另一个交点是(4，0)
8．已知二次函数y＝﹣x2+2x+3．
(1)写出这个二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标和最大值；
(2)求出这个抛物线与坐标轴的交点坐标．
题组B 能力提升练
1．如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c图象相交于P、Q两点，则函数y＝ax2＋(b－1)x＋c的图象可能是( )
A．B．C．D．
2．若二次函数的图象，过不同的六点、、、、、，则、、的大小关系是( )
A．B．C．D．
3．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④(为实数)．其中结论正确的个数为( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．如图抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上任意一点，若点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，连接DE，DF，则DE+DF的最小值为_____．
5．如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(2，0)，B(-4，0)两点.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求出抛物线的对称轴和顶点坐标；
(3) 若抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
题组C 培优拔尖练
1．二次函数的图象如图所示，若，．则、的大小关系为_____．(填“”、“”或“”)
2．如果函数y＝b的图象与函数y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3的图象恰有三个交点，则b的可能值是_____．
3．如图，抛物线与x轴相交于两点(点在点的左侧)，与轴相交于点．为抛物线上一点，横坐标为，且．
⑴求此抛物线的解析式；
⑵当点位于轴下方时，求面积的最大值；
⑶设此抛物线在点与点之间部分(含点和点)最高点与最低点的纵坐标之差为．
①求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
②当时，直接写出的面积．
4．在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线有且只有一个公共点．
(1)直接写出抛物线的顶点的坐标，并求出与的关系式；
(2)若点为抛物线上一点，当时，均满足，求的取值范围；
(3)过抛物线上动点(其中)作轴的垂线，设与直线交于点，若、两点间的距离恒大于等于1，求的取值范围．
课程标准
1. 会用描点法画二次函数的图象；会用配方法将二次函数的解析式写成的形式；
2.通过图象能熟练地掌握二次函数的性质；
3.经历探索与的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想．
函数
二次函数(a、b、c为常数，a≠0)
图象
开口方向
对称轴
顶点坐标
增减性
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而 ；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而 ．简记：
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而 ；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而 ．简记：
最大(小)值
抛物线有最低点，当时，y有最 值，
抛物线有最高点，当时，y有最 值，
项目
字母
字母的符号
图象的特征
a
开口向上
开口向下
b
对称轴在y轴左侧
对称轴在y轴右侧
c
图象过原点
与y轴正半轴相交
与y轴负半轴相交
b2-4ac
与x轴有唯一交点
与x轴有两个交点
与x轴没有交点
第12课 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质
目标导航
知识精讲
知识点01 二次函数与之间的相互关系
1.顶点式化成一般式
从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式．
2.一般式化成顶点式
．
对照，可知，．
∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．
要点诠释：
1．抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，可以当作公式加以记忆和运用．
2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
知识点02 二次函数的图象的画法
1.一般方法：列表、描点、连线；
2.简易画法：五点定形法.
其步骤为：
(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴．
(2)求抛物线与坐标轴的交点，
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来．
要点诠释：
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，
知识点03 二次函数的图象与性质
1.二次函数图象与性质
2.二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系
知识点04 求二次函数的最大(小)值的方法
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大(或最小)值，即当时，．
要点诠释：
如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；当x＝x1时，，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况．
能力拓展
考法01 二次函数的图象与性质
【典例1】如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(﹣1，0)，与y轴的交点B在(0，﹣2)和(0，﹣1)之间(不包括这两点)，对称轴为直线x=1．下列结论：
①abc＞0
②4a+2b+c＞0
③4ac﹣b2＜8a
④
⑤b＞c．
其中含所有正确结论的选项是( )
A．①③B．①③④C．②④⑤D．①③④⑤
【思路点拨】根据对称轴为直线x=1及图象开口向下可判断出a、b、c的符号，从而判断①；根据对称轴得到函数图象经过(3，0)，则得②的判断；根据图象经过(﹣1，0)可得到a、b、c之间的关系，从而对②⑤作判断；从图象与y轴的交点B在(0，﹣2)和(0，﹣1)之间可以判断c的大小得出④的正误．
【答案】D．
【解析】
解：①∵函数开口方向向上，
∴a＞0；
∵对称轴在y轴右侧
∴ab异号，
∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
②∵图象与x轴交于点A(﹣1，0)，对称轴为直线x=﹣1，
∴图象与x轴的另一个交点为(3，0)，
∴当x=2时，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，
故②错误；
③∵图象与x轴交于点A(﹣1，0)，
∴当x=﹣1时，y=(﹣1)2a+b×(﹣1)+c=0，
∴a﹣b+c=0，即a=b﹣c，c=b﹣a，
∵对称轴为直线x=1
∴=1，即b=﹣2a，
∴c=b﹣a=(﹣2a)﹣a=﹣3a，
∴4ac﹣b2=4•a•(﹣3a)﹣(﹣2a)2=﹣16a2＜0
∵8a＞0
∴4ac﹣b2＜8a
故③正确
④∵图象与y轴的交点B在(0，﹣2)和(0，﹣1)之间，
∴﹣2＜c＜﹣1
∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，
∴＞a＞；
故④正确
⑤∵a＞0，
∴b﹣c＞0，即b＞c；
故⑤正确；
故选：D．
【总结升华】主要考查图象与二次函数系数之间的关系．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．
【即学即练1】若二次函数()的图象如图所示，则的值是 ．
【答案】-1.
考法02 二次函数的最值
【典例2】分别在下列范围内求函数的最大值或最小值．
(1)0＜x＜2； (2)2≤x≤3．
【答案与解析】
∵ ，
∴ 顶点坐标为(1，-4)．
(1)∵ x＝1在0＜x＜2范围内，且a＝1＞0，
∴ 当x＝1时y有最小值，．
∵ x＝1是0＜x＜2范围的中点，在x＝1两侧图象左右对称，端点处取不到，不存在最大值．
(2)∵ x＝1不在2≤x≤3范围内(如图所示)，又因为函数(2≤x≤3)的图象是
抛物线的一部分，且当2≤x≤3时，y随x的增大而增大，
∴ 当x＝3时，；当x＝2时，．
【总结升华】先求出抛物线的顶点坐标，然后看顶点的横坐标是否在所规定的自变量的取值范围内，根据不同情况求解，也可画出图象，借助于图象的直观性求解，如图所示，2≤x≤3为图中实线部分，易看出x＝3时，；x＝2时，．
考法03 二次函数性质的综合应用
【典例3】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a＞0)经过点A(2，0)，B(6，0)，交y轴于点C，且S△ABC=16．
(1)求点C的坐标；
(2)求抛物线的解析式及其对称轴；
(3)若正方形DEFG内接于抛物线和x轴(边FG在x轴上，点D，E分别在抛物线上)，求S正方形DEFG．
【答案与解析】
解：(1)∵A(2，0)，B(6，0)，
∴AB=6﹣2=4．
∵S△ABC=16，
∴×4•OC=16，
∴OC=8，
∴点C的坐标为(0，8)；
(2)∵抛物线y=ax2+bx+c(a＞0)经过点A(2，0)，B(6，0)，
∴可设抛物线的解析式为y=a(x﹣2)(x﹣6)，
将C(0，8)代入，得8=12a，
解得a=，
∴y=(x﹣2)(x﹣6)=x2﹣x+8，
故抛物线的解析式为y=x2﹣x+8，其对称轴为直线x=4；
(3)设正方形DEFG的边长为m，则m＞0，
∵正方形DEFG内接于抛物线和x轴(边FG在x轴上，点D，E分别在抛物线上)，
∴D(4﹣m，﹣m)，E(4+m，﹣m)．
将E(4+m，﹣m)代入y=x2﹣x+8，
得﹣m=×(4+m)2﹣×(4+m)+8，
整理得，m2+6m﹣16=0，
解得m1=2，m2=﹣8(不合题意舍去)，
∴正方形DEFG的边长为2，
∴S正方形DEFG=22=4．
【总结升华】熟练掌握待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的图象与性质是解题综合题的前提.第(3)问中设出正方形DEFG的边长为m，根据二次函数与正方形的性质用含m的代数式正确表示点D与点E的坐标是解题的关键．
【典例4】一条抛物线经过A(2，0)和B(6，0)，最高点C的纵坐标是1．
(1)求这条抛物线的解析式，并用描点法画出抛物线；
(2)设抛物线的对称轴与轴的交点为D，抛物线与y轴的交点为E，请你在抛物线上另找一点P(除点A、B、C、E外)，先求点C、A、E、P分别到点D的距离，再求这些点分别到直线的距离；
(3)观察(2)的计算结果，你发现这条抛物线上的点具有何种规律?请用文字写出这个规律．
【答案与解析】
(1)由已知可得抛物线的对称轴是．
∴ 最高点C的坐标为(4，1)．
则 解得
∴ 所求抛物线的解析式为．
列表：
描点、连线，如图所示：
(2)取点(-2，-8)为所要找的点P，如图所示，运用勾股定理求得ED＝5，PD＝10，
观察图象知AD＝2，CD＝1，点E、P、A、C到直线y＝2的距离分别是5、10、2、1．
(3)抛物线上任一点到点D的距离等于该点到直线y＝2的距离．
【总结升华】(1)描点画图时，应先确定抛物线的对称轴，然后以对称轴为参照，左右对称取点．
(2)计算两点之间的距离应构造两直角边分别平行于两坐标轴的直角三角形，
然后运用勾股定理求得．
【即学即练2】已知二次函数(其中a>0，b>0，c<0)，关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x轴的交点至少有一个
在y轴的右侧．以上说法正确的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C.
分层提分
题组A 基础过关练
1．将二次函数化为的形式，结果为( )
A． B．
C． D．
【答案】D．
【解析】
试题分析：y=x2﹣4x﹣1=x2﹣4x+4﹣5=(x﹣2)2﹣5．
故选D．
考点：二次函数的顶点式．
2．关于抛物线y＝x2﹣2x+1，下列说法错误的是( )
A．开口向上
B．对称轴是直线x＝1
C．与x轴没有交点
D．与y轴的交点坐标是(0，1)
【答案】C
【分析】
根据题目中的函数解析式，利用二次函数的性质依次判断各项即可解答．
【详解】
∵抛物线y＝x2﹣2x+1＝(x﹣1)2，
∴该函数图象开口向上，选项A正确，
对称轴是直线x＝1，选项B正确，
当x＝1时，y＝0，即抛物线与x轴的交点是(1,0)选项C错误
当x＝0时，y＝1，选项D正确，
故选C．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
3．抛物线的图象先向右平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度，所得图象的解析式是，则
A．13B．11C．10D．12
【答案】B
【分析】
因为抛物线y=ax2+bx+c的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到图象的解析式是y=x2﹣3x+5，所以y=x2﹣3x+5向左平移3个单位，再向上平移2个单位后，可得抛物线y=ax2+bx+c的图象，先由y=x2﹣3x+5的平移求出y=ax2+bx+c的解析式，再求a+b+c的值．
【详解】
∵y=x2﹣3x+5=(x﹣)2+，当y=x2﹣3x+5向左平移3个单位，再向上平移2个单位后，可得抛物线y=ax2+bx+c的图象，∴y=(x﹣+3)2++2=x2+3x+7；
∴a+b+c=11．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
4．抛物线y＝ax2+bx+c经过点A(3，0)，对称轴是直线x＝1，则a+b+c的值为( )
A．B．1C．0D．
【答案】C
【分析】
根据二次函数对称性可求出点(－3，0)关于对称轴x＝－1的对称点为(1，0)，然后把(1，0)代入y＝ax2＋bx＋c即可求出答案．
【详解】
解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为x＝－1，
∴根据二次函数的对称性得：点A(－3，0)的对称点为(1，0)，
∴当x＝1时，y＝a＋b＋c＝0，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的性质，解答本题的关键是求出点A关于对称轴的对称点，难度不大．
5．二次函数，当________时，的最小值是_______.
【答案】-1， -4
【分析】
根据完全平方式和顶点式的意义，可直接得出二次函数的最小值．
【详解】
由于(x+1)2≥0，
所以当x=-1时，(x+1)2取得最小值，
则二次函数y=2(x+1)2-4最小值为-4．
故答案为：-1,-4．
【点睛】
此题考查二次函数的性质，解题关键在于要熟悉非负数的性质，找到完全平方式的最小值即为函数的最小值．
6．已知抛物线经过两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求图象的开口方向、对称轴、顶点坐标．
【答案】(1)y=x2-3x；(2)开口向上，直线x=，(，)
【分析】
(1)把点A、B的坐标代入函数解析式，根据待定系数法列式求解即可．
(2)配成顶点式，再根据二次函数的性质求解．
【详解】
解：(1)∵抛物线经过两点，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式是：y=x2-3x；
(2)，
∵a=1＞0，
∴抛物线开口向上，
对称轴为直线x=，顶点坐标为(，)．
【点睛】
本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二函数的性质，是基础题，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
7．已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，下列关于此函数图象的描述中，错误的是( )
A．对称轴是直线x＝1B．当x＜0时，函数y随x增大而增大
C．图象的顶点坐标是(1，4)D．图象与x轴的另一个交点是(4，0)
【答案】D
【分析】
利用二次函数的图像与性质，判断选项的正误即可.
【详解】
由函数图像可知，对称轴是直线x＝1故选项A正确；
当x＜0时，函数y随x增大而增大，故选项B正确；
图象的顶点坐标是(1，4)，故选项C正确；
图象与x轴的另一个交点是(3，0)，故选项D错误.
故选D
【点睛】
本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握性质是解题的关键.
8．已知二次函数y＝﹣x2+2x+3．
(1)写出这个二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标和最大值；
(2)求出这个抛物线与坐标轴的交点坐标．
【答案】(1)见解析;(2) 与x轴的交点坐标是(﹣1，0)，(3，0)，与y轴的交点坐标是(0，3)．
【解析】
【分析】
(1)根据二次项系数确定开口方向，根据顶点坐标公式确定顶点坐标和对称轴．
(2)当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解方程可求得与x轴的交点为(﹣1，0)，(3，0)；当x＝0时，y＝3，即求得与y轴的交点坐标为(0，3)．
【详解】
解：∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣(x﹣1)2+4
∴开口方向向下，对称轴x＝1，顶点坐标是(1，4)
当x＝1时，y有最大值是4；
(2)∵当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3
当x＝0时，y＝3
∴抛物线与x轴的交点坐标是(﹣1，0)，(3，0)，与y轴的交点坐标是(0，3)．
故答案为(1)见解析;(2) 与x轴的交点坐标是(﹣1，0)，(3，0)，与y轴的交点坐标是(0，3)．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，解题的关键是利用解析式求坐标轴的交点以及顶点坐标公式．
题组B 能力提升练
1．如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c图象相交于P、Q两点，则函数y＝ax2＋(b－1)x＋c的图象可能是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
由一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，得出方程ax2+(b-1)x+c=0有两个不相等的根，进而得出函数y=ax2+(b-1)x+c与x轴有两个交点，根据方程根与系数的关系得出函数y=ax2+(b-1)x+c的对称轴x=-＞0，即可进行判断．
【详解】
点P在抛物线上，设点P(x，ax2+bx+c)，又因点P在直线y=x上，
∴x=ax2+bx+c，
∴ax2+(b-1)x+c=0；
由图象可知一次函数y=x与二次函数y=ax2+bx+c交于第一象限的P、Q两点，
∴方程ax2+(b-1)x+c=0有两个正实数根．
∴函数y=ax2+(b-1)x+c与x轴有两个交点，
又∵-＞0，a＞0
∴-=-+＞0
∴函数y=ax2+(b-1)x+c的对称轴x=-＞0，
∴A符合条件，
故选A．
2．若二次函数的图象，过不同的六点、、、、、，则、、的大小关系是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据题意，把A、B、C三点代入解析式，求出，再求出抛物线的对称轴，利用二次根式的对称性，即可得到答案．
【详解】
解：根据题意，把点、、代入，则
，
消去c，则得到，
解得：，
∴抛物线的对称轴为：，
∵与对称轴的距离最近；与对称轴的距离最远；抛物线开口向上，
∴；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征的理解和掌握，以及二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质，正确求出抛物线的对称轴进行解题．
3．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④(为实数)．其中结论正确的个数为( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】
①由抛物线开口方向得到，对称轴在轴右侧，得到与异号，又抛物线与轴正半轴相交，得到，可得出，选项①错误；
②把代入中得，所以②正确；
③由时对应的函数值，可得出，得到，由，，，得到，选项③正确；
④由对称轴为直线，即时，有最小值，可得结论，即可得到④正确．
【详解】
解：①∵抛物线开口向上，∴，
∵抛物线的对称轴在轴右侧，∴，
∵抛物线与轴交于负半轴，
∴，
∴，①错误；
②当时，，∴，
∵，∴，
把代入中得，所以②正确；
③当时，，∴，
∴，
∵，，，
∴，即，所以③正确；
④∵抛物线的对称轴为直线，
∴时，函数的最小值为，
∴，
即，所以④正确．
故选C．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时，对称轴在轴左；当与异号时，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于．抛物线与轴交点个数由判别式确定：时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴没有交点．
4．如图抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上任意一点，若点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，连接DE，DF，则DE+DF的最小值为_____．
【答案】
【分析】
连接AC,与对称轴交于点P, 此时DE+DF最小，求解即可.
【详解】
连接AC,与对称轴交于点P,
此时DE+DF最小，
点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，
在二次函数y=x2+2x﹣3中，当时，
当时，或
即
点P是抛物线对称轴上任意一点，
则PA=PB,
PA+PC=AC,
PB+PC=
DE+DF的最小值为：
故答案为
【点睛】
考查二次函数图象上点的坐标特征，三角形的中位线，勾股定理等知识点，找出点P的位置是解题的关键.
5．如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(2，0)，B(-4，0)两点.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求出抛物线的对称轴和顶点坐标；
(3) 若抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)对称轴是直线x=﹣1，顶点坐标为(-1，9)；(3)存在，Q(-1，6)
【分析】
(1)将A、B两点坐标代入y=-x2+bx+c中，解方程组即可求解；
(2)将抛物线方程化为顶点式，即可求得对称轴和顶点坐标；
(3)由于A、B两点关于抛物线的对称轴对称，所以直线BC与对称轴的交点即为Q点，此时周长最小，求出直线BC的解析式，令x=1，求出y值，即可知点Q的坐标．
【详解】
解：(1)将A(2，0)，B(-4，0)代入y=-x2+bx+c中，
得：，
解得：，
∴抛物线的方程为；
(2)∵，
∴对称轴为直线x=﹣1，顶点坐标为(﹣1，9)；
(3)存在，理由：
∵△QAC的周长=AC+QA+QC,
∴要使△QAC的周长最小，只需QA+QC最小，
根据题意，A、B两点关于对称轴x=﹣1对称，
∴直线BC与直线x=﹣1的交点即为Q点，此时QA+QC最小，即△AQC周长最小，
对于，令x=0，则y=8，
∴C(0，8)，
设直线BC的解析式为y=kx+8(k≠0)，
将点B(﹣4，0)代入，得：﹣4k+8=0，解得：k=2,
∴直线BC的解析式为y=2x+8，
当x=﹣1时，y=2×(﹣1)+8=6，
∴Q(﹣1，6)．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、利用二次函数的对称性求最短路径问题，解答的关键是认真审题，找寻相关联信息，利用数形结合思想进行推理、探究和计算．
题组C 培优拔尖练
1．二次函数的图象如图所示，若，．则、的大小关系为_____．(填“”、“”或“”)
【答案】<
【分析】
由图像可知，当时，，当时，，然后用作差法比较即可.
【详解】
当时，，
当时，，
，
即，
故答案为
【点睛】
本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，作差法比较代数式的大小，熟练掌握二次函数图像上点的坐标满足二次函数解析式是解答本题的关键.
2．如果函数y＝b的图象与函数y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3的图象恰有三个交点，则b的可能值是_____．
【答案】-6或-6.25
【分析】
由y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3，得：，进而画出函数的图象，即可得到答案.
【详解】
∵y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3，
∴，
在平面直角坐标系中，画出图象，如图所示：
∵由图象可知：A(0，-6)，B(0.5，-6.25)，C(1，-6)，直线y=-6和直线y=-6.25与函数图象恰有三个交点，
∴b的可能值是：-6或-6.25.
故答案是：-6或-6.25.
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象，分类讨论，画出二次函数的图象，是解题的关键.
3．如图，抛物线与x轴相交于两点(点在点的左侧)，与轴相交于点．为抛物线上一点，横坐标为，且．
⑴求此抛物线的解析式；
⑵当点位于轴下方时，求面积的最大值；
⑶设此抛物线在点与点之间部分(含点和点)最高点与最低点的纵坐标之差为．
①求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
②当时，直接写出的面积．
【答案】(1)；(2)8；(3)①()，()，()；②6.
【分析】
(1)将点C(0，-3)代入y=(x-1)2+k即可；
(2)易求A(-1，0)，B(3，0)，抛物线顶点为(1，-4)，当P位于抛物线顶点时，△ABP的面积有最大值；
(3)①当0＜m≤1时，h=-3-(m2-2m-3)=-m2+2m；当1＜m≤2时，h=-1-(-4)=1；当m＞2时，h=m2-2m-3-(-4)=m2-2m+1；
②当h=9时若-m2+2m=9，此时△＜0，m无解；若m2-2m+1=9，则m=4，则P(4，5)，△BCP的面积=(4+1)×3=6；
【详解】
解：(1)因为抛物线与轴交于点，
把代入，得
，
解得，
所以此抛物线的解析式为，
即；
(2)令，得，
解得，
所以，
所以；
解法一：
由(1)知，抛物线顶点坐标为，
由题意，当点位于抛物线顶点时，的面积有最大值，
最大值为；
解法二
由题意，得，
所以
，
所以当时，有最大值8；
(3)①当时，；
当时，；
当时，；
②当h=9时
若-m2+2m=9，此时△＜0，m无解；
若m2-2m+1=9，则m=4，
∴P(4，5)，
∵B(3，0)，C(0，-3)，
∴△BCP的面积=(4+1)×3=6；
【点睛】
本题考查二次函数的图象及性质，是二次函数综合题；熟练掌握二次函数的性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．
4．在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线有且只有一个公共点．
(1)直接写出抛物线的顶点的坐标，并求出与的关系式；
(2)若点为抛物线上一点，当时，均满足，求的取值范围；
(3)过抛物线上动点(其中)作轴的垂线，设与直线交于点，若、两点间的距离恒大于等于1，求的取值范围．
【答案】(1)，；(2)；(3)或
【分析】
(1)由题意可得D在直线y=-3上且D在二次数对称轴上，由此可以得到D点坐标并求出c与a的关系式；
(2)分a>0与a<0两种情况，根据二次函数的增减性进行求解；
(3)把MN用a表示出来可以得到关于a的不等式，解不等式即可得到a的取值范围．
【详解】
解：(1)由题意得D在直线y=-3上且D在二次数对称轴x=1上，
∴D(1-3)，将其代入得-3=a-2a+c，化简得c=a-3；
(2)当a>0时，二次函数图象开口向上，
如图，抛物线的开口向上，当，即，
此时：当时，满足，
当时，函数值最大，则
解得：，不合题意，舍去
当＜＜时，则＜＜，如图，
此时：当时，满足，
当时，函数值最大，则
解得：，不合题意，舍去
当时，则，如图，
此时：当时，满足，
当时，函数值最大，
则
恒成立，
当a<0时，二次函数图象开口向下，此时函数有最大值，不满足，此情况不存在；
综上；
(3)|MN|≥1即，即
①(x≥3恒成立要求a＞0，其对称轴为x，
只需要求x=3时即9a-3a-a≥1，
解得；
②(x≥3恒成立要求a﹤0)，
只需要求x=3时即9a-3a-a≤-1，
解得．
【点睛】
本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象与性质及二次函数、一次函数与不等式的关系是解题关键．课程标准
1. 会用描点法画二次函数的图象；会用配方法将二次函数的解析式写成的形式；
2.通过图象能熟练地掌握二次函数的性质；
3.经历探索与的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想．
函数
二次函数(a、b、c为常数，a≠0)
图象
开口方向
向上
向下
对称轴
直线
直线
顶点坐标
增减性
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减
最大(小)值
抛物线有最低点，当时，y有最小值，
抛物线有最高点，当时，y有最大值，
项目
字母
字母的符号
图象的特征
a
a＞0
开口向上
a＜0
开口向下
b
ab＞0(a，b同号)
对称轴在y轴左侧
ab＜0(a，b异号)
对称轴在y轴右侧
c
c=0
图象过原点
c＞0
与y轴正半轴相交
c＜0
与y轴负半轴相交
b2-4ac
b2-4ac=0
与x轴有唯一交点
b2-4ac＞0
与x轴有两个交点
b2-4ac＜0
与x轴没有交点
-2
0
2
4
6
8
10
-8
-3
0
1
0
-3
-8
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