人教版九年级数学上册同步练习 第04课一元二次方程的解法（三）因式分解法（原卷版+解析）

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第04课 一元二次方程的解法(三)--因式分解法目标导航知识精讲知识点01 因式分解法解一元二次方程因式分解法的原理为：如果 ，那么 或 ；推广到一元二次方程中：若一元二次方程 ，那么 或 ，解得两个实数根。1.c特殊因式分解法解一元二次方程：我们已知中，c=0时，方程必有一根为0： 因此，当一元二次方程中常数项c=0时，该一元二次方程可以用因式分解法简便运算。2.常用的因式分解法提公因式分法，公式法(平方差公式、完全平方公式)，十字相乘法等.【知识拓展】(1)能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；(2)用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；(3)用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.知识点02十字相乘法解一元二次方程若一元二次方程 有两个实数根，那么可以将一元二次方程写成： ，化简得；有对应相等得： 可得：当二次项系数为1时，一次项系数b为两实数根和的相反数；常数项c为两实数根的积；对于简单的方程可以进行因式分解法解方程来简化运算。【即学即练】能力拓展考法01 因式分解法解方程【典例1】； 【即学即练1】 【即学即练2】3x(x﹣1)＝2﹣2x 【即学即练3】 【典例3】． 【即学即练4】(x+2)2+6(x+2)﹣91=0； 【典例4】 【即学即练5】； 考法02 十字相乘法解方程【典例5】 【即学即练6】 【即学即练7】 题组A 基础过关练1．方程的根是( )A．x=2 B．x=0 C．x1=0，x2=-2 D． x1=0，x2=2 2．若关于 x的方程 的一个根是0，则另一个根是(    ) 3．若方程，则的值为 A． B． C． D．7或 4．方程的解是A． B． C． D． 5．一元二次方程的根是A．﹣1 B．2 C．1和2 D．﹣1和2 6．经计算整式 x+1与 x-4的积为 ，则 =0的所有根为(    )A．B． C．D．​ 7．解方程(5x﹣1)2=3(5x﹣1)的适当方法是(　　)A．开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法 8．方程 正确解法是(     )A．直接开方得 B．化为一般形式 ​C．分解因式得 D．直接得 x+1=0或 x-1=0 9．选择适当的方法解下列方程：(1)x2－4x－3＝0； 　(2)x(x＋2)＝3(x＋2)． 题组B 能力提升练1．用因式分解法解方程，下列方法中正确的是( )A．，∴或B．，∴或C．，∴或D．，∴ 2．若关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实根分别为5，﹣6，则二次三项式x2+mx+n可分解为(　　)A．(x+5)(x﹣6) B．(x﹣5)(x+6) C．(x+5)(x+6) D．(x﹣5)(x﹣6) 3．一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是( )A．12 B．9 C．13 D．12或9 4．若关于的一元二次方程有一个根为0，则的值( )A．0 B．1或2 C．1 D．2 5．若 ，则 的值为(    ).A．－3B．－1或4C．4D．无法计算 6．已知关于x的一元二次方程的一个根比另一个根大2，则m的值为_____． 7．方程和方程同解，________． 8．已知实数满足，则代数式的值为________． 题组C 培优拔尖练1．方程(x+1)(x-3)=5的解是A．x1=1，x2=-3 B．x1=4，x2=-2C．x1=-1，x2=3 D．x1=-4，x2=2 2．方程的根的个数是( )A．4 B．2 C．1 D．0 3．方程的解是________． 4．已知方程x2＋x﹣＝2，则2x2＋2x＝_____． 5．已知c为实数，并且方程x2﹣3x+c=0的一个根的相反数是方程x2+3x﹣c=0的一个根，则方程x2+3x﹣c=0的解是______． 课程标准课标解读1.掌握因式分解法解方程的原理和常见方法；2.掌握基础的十字相乘法解方程的简便算法。掌握一元二次方程的简便算法；提公因式法 使用场景：有公因式，可将多项式化为乘积方式；完全平方公式法使用场景：等号一侧为完全平方式(即计算△=0)平方差公式法使用场景：平方减平方形式：例如十字相乘法使用场景：前两种方法都不能用时；序号一元二次方程十字相乘法分解结果① ② ③ ④ ⑤ 第04课 一元二次方程的解法(三)--因式分解法目标导航知识精讲知识点01 因式分解法解一元二次方程因式分解法的原理为：如果 ，那么 或 ；推广到一元二次方程中：若一元二次方程 ，那么或，解得两个实数根。1.c特殊因式分解法解一元二次方程：我们已知中，c=0时，方程必有一根为0：因此，当一元二次方程中常数项c=0时，该一元二次方程可以用因式分解法简便运算。2.常用的因式分解法提公因式分法，公式法(平方差公式、完全平方公式)，十字相乘法等.【知识拓展】(1)能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；(2)用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；(3)用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.知识点02十字相乘法解一元二次方程若一元二次方程 有两个实数根，那么可以将一元二次方程写成： ，化简得；有对应相等得： 可得：当二次项系数为1时，一次项系数b为两实数根和的相反数；常数项c为两实数根的积；对于简单的方程可以进行因式分解法解方程来简化运算。【即学即练】能力拓展考法01 因式分解法解方程【典例1】；【答案】(1)或；【详解】解：(1)原方程可化为： 解得：，【典例2】 【答案】x1=3，x2=-1；【分析】(1)移项，再利用因式分解法求解可得．【详解】解：(1)，移项化简可得：，∴x-3=0，x+1=0，解得：x1=3，x2=-1．【即学即练1】【答案】x1=2，x2=3【分析】利用因式分解法求解即可．【详解】，∴，∴，∴4-2x=0或x-3=0，解得：x1=2，x2=3．【即学即练2】3x(x﹣1)＝2﹣2x【答案】x1＝1，x2＝．【分析】将等号左边的式子移动到等号右边,然后根据提公因式法进行因式分解,再进行解一元一次方程即可求解,【详解】3x(x﹣1)+2(x﹣1)＝0,(x﹣1)(3x+2)＝0,x﹣1＝0或3x+2＝0,所以x1＝1,x2＝﹣．【即学即练3】【答案】.【分析】把x-1看做一个整体，先移项，再利用因式分解法，化为ab=0的形式解方程即可.【详解】移项得-x(x-1)=0(x-1)[4(x-1)-x]=0即x-1=0或3x-4=0解得【典例3】．【答案】或．【分析】利用直接开平方法把方程化为：从而可得答案．【详解】原方程可化为： 由此得出： 或解得： ，．【点睛】本题考查的是因式分解法，直接开平方法解一元二次方程，掌握以上解一元二次方程的方法是解题的关键．【即学即练4】(x+2)2+6(x+2)﹣91=0；【答案】(1) x1=5, x2=﹣15【解析】(x+2)2+6(x+2)﹣91=0；设y=x+2，则原方程可变形为：y2+6y﹣91=0，解得：y1=7，y2=﹣13，当y1=7时，x+2=7，x1=5；当y2=﹣13时，x+2=﹣13，x2=﹣15；【典例4】【答案】x1＝0，x2＝；【分析】将等号左边的式子移动到等号右边,然后根据平方差公式进行因式分解,再进行解一元一次方程即可求解；【详解】3x﹣1＝±(x﹣1),即3x﹣1＝x﹣1或3x﹣1＝﹣(x﹣1),所以x1＝0,x2＝；【点睛】本题主要考查因式分解法解一元二次方程,解决本题的关键是要熟练掌握因式分解的方法.【即学即练5】； 【答案】；【分析】先移项，然后按平方差公式因式分解，即可ab=0方式解方程即可；【详解】，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ；考法02 十字相乘法解方程【典例5】 【答案】【分析】根据十字相乘法因式分解后，按ab=0方式解方程即可；【详解】，∴ ，∴ ；【即学即练6】【答案】【分析】利用因式分解法解方程得出答案；【详解】解得：【即学即练7】 【答案】，【分析】把方程左边进行因式分解得到(x-9)(x-1)=0，再解两个一元一次方程即可；【详解】∵，∴，∴或，∴，；分层提分题组A 基础过关练1．方程的根是( )A．x=2 B．x=0 C．x1=0，x2=-2 D． x1=0，x2=2【答案】C【解析】试题解析：x(x+2)=0，⇒x=0或x+2=0，解得x1=0，x2=-2．故选C．2．若关于 x的方程 的一个根是0，则另一个根是(    )A．1B．－1C．5D．【答案】C【解析】根据方程的解，可直接把x=0代入，可得k=0，则原方程为，因式分解为x(x-5)=0，解得x=0或x=5，另一个解为x=5.故选C.3．若方程，则的值为 A． B． C． D．7或【答案】D【分析】根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解得到x的值，将x的值代入中，即可求出值．【详解】方程，可得或，解得：，当时，；当时，．故选D．【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法，利用此方法解方程时首先将方程右边化为0，左边的多项式分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．4．方程的解是A． B． C． D．【答案】D【解析】．故选D．5．一元二次方程的根是A．﹣1 B．2 C．1和2 D．﹣1和2【答案】D【分析】先移项得到，然后利用提公因式因式分解，最后转化为两个一元一次方程，解方程即可.【详解】,故选D.6．经计算整式 x+1与 x-4的积为 ，则 =0的所有根为(    )A．B．C．D．​【答案】B【解析】根据整式x+1与x-4的积为x2-3x-4，则方程x2-3x-4=0，即是(x+1)(x-4)=0，根据两个式子的积是0，则两个式子中至少有一个是0，即可得到x+1=0或x-4=0，解得x1=-1，x2=4.故选：B点睛：利用因而分解法解一元二次方程的关键是正确分解因式，理解因式分解法的依据．7．解方程(5x﹣1)2=3(5x﹣1)的适当方法是(　　)A．开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法【答案】D【解析】试题解析： 即用了因式分解法，故选D．8．方程 正确解法是(     )A．直接开方得 B．化为一般形式 ​C．分解因式得 D．直接得 x+1=0或 x-1=0【答案】C【解析】A：直接开平方应得到两个方程：3(x+1)=2(x-1)和3(x+1)=-2(x-1)，所以A不正确；B：化成一般形式应是：5x2+26x+5=0；所以B不正确；C：方程左边满足平方差形式，可以用平方差公式因式分解为：[3(x+1)+2(x-1)][3(x+1)-2(x-1)]=0，所以C正确．D：两个完全平方的差为0，不能直接得到两个式子分别是0，只有两个完全平方的和是0，才能直接得到两个式子分别是0，所以D不对．故选：C．点睛：本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，根据题目的结构特点，用平方差公式因式分解．9．选择适当的方法解下列方程：(1)x2－4x－3＝0； 　(2)x(x＋2)＝3(x＋2)．【答案】(1)x1＝2＋，x2＝2－；(2)x1＝3，x2＝－2.【解析】【分析】第一题利用配方法解方程；第二题先移项再利用因式分解求解即可.【详解】(1)x2－4x－3＝0；配方得(x－2)2＝7，x－2＝±，∴x1＝2＋，x2＝2－；　　　(2)x(x＋2)＝3(x＋2)．移项得(x－3)(x＋2)＝0，x－3＝0或x＋2＝0，∴x1＝3，x2＝－2.【点睛】本题考查了解一元二次方程的常见解法，熟练掌握并运用这些方法解方程是解答本题的关键.题组B 能力提升练1．用因式分解法解方程，下列方法中正确的是( )A．，∴或B．，∴或C．，∴或D．，∴【答案】A【解析】分析: 用因式分解法时，方程的右边为0，才可以达到化为两个一次方程的目的．因此第二、第三个不对，第四个漏了一个一次方程，应该是x＝0，x＋2＝0．详解: 用因式分解法时，方程的右边为0，才可以达到化为两个一次方程的目的．因此第二、第三个不对，第四个漏了一个一次方程，应该是x＝0，x＋2＝0．所以第一个正确．故选A．点睛: 此题考查了学生对因式分解方法应用的条件的理解，提高了学生学以致用的能力．2．若关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实根分别为5，﹣6，则二次三项式x2+mx+n可分解为(　　)A．(x+5)(x﹣6) B．(x﹣5)(x+6) C．(x+5)(x+6) D．(x﹣5)(x﹣6)【答案】B【分析】根据题意，把x=5和x=-6分别代入方程，构成含m、n的二元一次方程组，解出m、n的值，然后可得二次三项式，再根据“十字相乘法”因式分解即可.【详解】根据题意可得 解得 所以二次三项式为x2+x-30因式分解为x2+x-30=(x﹣5)(x+6)故选B.【点睛】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程的应用，关键是利用x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)进行解答.3．一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是( )A．12 B．9 C．13 D．12或9【答案】A【详解】因式分解可得：(x－2)(x－5)=0，解得：=2，=5，当2为底，5为腰时，则三角形的周长为12；当5为底，2为腰时，则无法构成三角形，故选A.4．若关于的一元二次方程有一个根为0，则的值( )A．0 B．1或2 C．1 D．2【答案】D【分析】把x=0代入已知方程得到关于m的一元二次方程，通过解方程求得m的值；注意二次项系数不为零，即m-1≠0．【详解】解：根据题意，将x=0代入方程，得：m2-3m+2=0，解得：m=1或m=2，又m-1≠0，即m≠1，∴m=2，故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的解定义和一元二次方程的定义．注意：本题中所求得的m的值必须满足：m-1≠0这一条件．5．若 ，则 的值为(    ).A．－3B．－1或4C．4D．无法计算【答案】C【解析】把看做一个整体，则方程可看作，然后分解因式为(+1)(-4)=0，解得=-1(舍去)或=4.故选C.6．已知关于x的一元二次方程的一个根比另一个根大2，则m的值为_____．【答案】1【分析】利用因式分解法求出x1,x2，再根据根的关系即可求解．【详解】解(x-3m)(x-m)=0∴x-3m=0或x-m=0解得x1=3m,x2=m，∴3m-m=2解得m=1故答案为：1．【点睛】此题主要考查解一元二次方程，解题的关键是熟知因式分解法的运用．7．方程和方程同解，________．【答案】【解析】【分析】分别求解两个方程的根即可.【详解】解：，解得x=3或m；，解得x=3或-1，则m=-1，故答案为：-1.【点睛】本题考查了运用因式分解法解一元二次方程.8．已知实数满足，则代数式的值为________．【答案】【分析】把看作一个整体，利用因式分解法把方程分解为，由此即可求得的值.【详解】，，，,∴m2-m=7或m2-m=-3．∵，△=1-12=-11＜0，∴方程无解，∴.故答案为7.【点睛】本题考查了一元二次方程的解法——因式分解法，因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．题组C 培优拔尖练1．方程(x+1)(x-3)=5的解是A．x1=1，x2=-3 B．x1=4，x2=-2C．x1=-1，x2=3 D．x1=-4，x2=2【答案】B【解析】(x+1) (x-3) =5，x²-3x+x-3-5=0，x²-2x-8=0，(x+2)(x-4)=0，x1=-2，x2=4，故选B.2．方程的根的个数是( )A．4 B．2 C．1 D．0【答案】B【分析】对方程分两种情况进行计算即可.【详解】当时，原方程可化为，解得，(舍去)；当时，原方程可化为，解得，(舍去)．∴原方程有2个根．故选B．【点睛】本题考查了绝对值的意义及因式分解法解一元二次方程.3．方程的解是________．【答案】或【解析】【分析】分两种情况：①x＞-；②x≤-；先化为一般形式，再根据方程的特点选用合适的方法求解即可.【详解】分两种情况：①x＞-时，原方程可变形为：x2-2x-5=0，∴x1=1+，x2=1-(舍去)；②x≤-时，原方程变形为：x2+2x-3=0，即(x+3)(x-1)=0，∴x1=-3，x2=1(舍去)，因此本题的解为x=1+或x=-3，故答案为：x=1+或x=-3．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法和绝对值的性质．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是公式法与因式分解法．4．已知方程x2＋x﹣＝2，则2x2＋2x＝_____．【答案】6．【分析】利用换元法，设x2＋x＝y，解分式方程，解得y后，再求得x．【详解】设x2＋x＝y，则原方程变为y﹣＝2，整理得：y2﹣2y﹣3＝0，分解因式得：(y﹣3)(y＋1)＝0，则y﹣3＝0，y＋1＝0，解得：y1＝3，y2＝﹣1，经检验：y1＝3，y2＝﹣1是原分式方程的根，所以x2＋x＝3或﹣1，因为x2＋x＝﹣1无解，故2x2＋2x＝6，故答案为：6．【点睛】本题考查复杂分式方程的解法，通常采用换元法使分式方程简化，需要注意的是换元得到的根也需要验根．5．已知c为实数，并且方程x2﹣3x+c=0的一个根的相反数是方程x2+3x﹣c=0的一个根，则方程x2+3x﹣c=0的解是______．【答案】x1=0，x2=﹣3．【解析】解：设方程x2﹣3x+c=0一个根为t，则t2﹣3t+c=0①，因为﹣t为方程x2+3x﹣c=0的一个根，所以t2﹣3t﹣c=0②，由①②得：c=0，解方程x2+3x=0得：x1=0，x2=﹣3．故答案为：x1=0，x2=﹣3．课程标准课标解读1.掌握因式分解法解方程的原理和常见方法；2.掌握基础的十字相乘法解方程的简便算法。掌握一元二次方程的简便算法；提公因式法 使用场景：有公因式，可将多项式化为乘积方式；完全平方公式法使用场景：等号一侧为完全平方式(即计算△=0)平方差公式法使用场景：平方减平方形式：例如十字相乘法使用场景：前两种方法都不能用时；序号一元二次方程十字相乘法分解结果①②③④⑤