苏科版 八年级数学下册尖子生培优必刷题 专题9.7菱形的性质专项提升训练（重难点培优）（原卷版+解析）

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【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【苏科版】专题9.7菱形的性质专项提升训练（重难点培优）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，其中选择8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2023秋·江苏苏州·八年级校考期中）菱形具有矩形不一定具有的性质是（    ）A．中心对称图形 B．对角相等 C．对边平行 D．对角线互相垂直2．(2023秋·江苏苏州·八年级苏州市振华中学校校考期中）在菱形ABCD中，若∠B+∠D=160°，则∠C是（    ）°A．60 B．20 C．80 D．1003．(2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，已知E为邻边相等的平行四边形ABCD的边BC上一点，且∠DAE=∠B=80º，那么∠CDE的度数为（    ）A．20º B．25º C．30º D．35º4．(2023秋·江苏连云港·八年级统考期中）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点E，交AB于点F，连接DE，则∠CDE等于（    ）A．80° B．70° C．65° D．60°5．(2023秋·江苏泰州·八年级校联考期中）如图，等边△AEF的边长与菱形ABCD的边长相等，点E、F分别在边BC、CD上，则∠B的度数是（     ）A．60° B．70° C．75° D．80°6．(2023秋·江苏苏州·八年级苏州工业园区星湾学校校考期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，将△BOC绕着点C旋转180°得到△B′O′C，若AC=2，AB′＝5，则菱形ABCD的边长是（　　）A．3 B．4 C．15 D．177．(2023秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC=4，BD=16，将△BOC绕着点C旋转180°得到△B′O′C，则点A与点B′之间的距离为（    ）A．6 B．8 C．10 D．128．(2023秋·江苏无锡·八年级校联考期中）如图1，点Q为菱形ABCD的边BC上一点，将菱形 ABCD沿直线AQ 翻折，点B的对应点P落在BC的延长线上.已知动点M从点B出发，在射线 BC上以每秒1个单位长度运动.设点M运动的时间为x，△APM的面积为y．图2为y关于x的函数图象，则菱形 ABCD的面积为（   ）A．12 B．24 C．10 D．20二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上9．(2023春·福建三明·九年级三明市列东中学校考阶段练习）菱形的对角线长分别为6和8，则该菱形的面积是 _____．10．(2023·四川眉山·校考模拟预测）如图，菱形ABCD中，已知∠ABD=20°，则∠C的大小是____________．11．(2023春·山东枣庄·九年级校考阶段练习）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=24，BD=10，则菱形ABCD的周长为____．12．(2023春·山东济南·九年级校考阶段练习）如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，点E在OB上，连接AE，点F为CD的中点，连接OF．若AE=BE,OE=3,OA=4，则线段OF的长为____________．13．(2023春·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E为AB的中点，F是AC上的一动点，则EF+BF的最小值为________14．(2023春·四川成都·九年级成都七中校考阶段练习）我们规定菱形与正方形接近程度称为“接近度”，设菱形相邻两个内角的度数分别为α°，β°，将菱形的“接近度”定义为α−β，于是α−β越小，菱形越接近正方形．①若菱形的一个内角为80°，则该菱形的“接近度”为___________；②当菱形的“接近度”等于___________时，菱形是正方形．15．(2023春·广东深圳·九年级深圳市宝安中学（集团）校考期末）如图，菱形ABCD中，点E是边CD的中点，EF垂直AB交AB的延长线于点F，若BF:CE=1:2，EF=7，则菱形ABCD的边长是________________．16．(2023春·福建福州·九年级统考期中）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，点N是菱形内一动点，且满足MN=1，连接CN，则CN的最小值为______．三、解答题（本大题共8小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．(2023秋·新疆省直辖县级单位·八年级校联考期末）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，∠BAD＝60°，菱形ABCD的周长为24．(1)求对角线BD的长；(2)求菱形ABCD的面积．18．(2023春·陕西西安·九年级西安市第六中学校考期中）如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，BE⊥AD，垂足为E．当菱形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6时，求BE的长．19．(2023春·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨风华中学校考期中）如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB和线段CD，点A，B，C，D均在小正方形的顶点上．(1)在方格纸中画以AB为一边的菱形ABEF，点E，F在小正方形的顶点上，且菱形ABEF的面积为3；(2)在方格纸中画以CD为一边的等腰△CDG，点G在小正方形的顶点上，连接EG，使∠BEG=90°，并直接写出线段EG的长．20．(2023春·辽宁抚顺·九年级统考期末）如图，在菱形ABCD中，E、F分别为边AD和CD上的点，且AE=CF．连接AF、CE交于点G．求证：∠DGE=∠DGF．21．(2023春·安徽合肥·九年级合肥市第四十五中学校考期中）如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上一点，连接DP并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点E．求证：（1）△APB≌△APD；（2）PD2＝PE•PF．22．(2023春·江西九江·九年级统考期末）如图，菱形ABCD中，AC与BD交于点O，DE∥AC， DE=12AC．(1)求证：四边形OCED是矩形；(2)连接AE，交OD于点F，连接CF，若CF=CE=1，求AC长．23．(2023·吉林长春·校联考模拟预测）【教材呈现】在华师版八年级下册数学教材第111页学习了以下内容：菱形的对角线互相垂直．【结论运用】(1)如图①，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AD=5，OD=4，则菱形ABCD的面积是 　　；(2)如图②，四边形ABCD是平行四边形，点F在AD上，四边形CDEF是菱形，连接AE、AC、BF，求证：AC=BF；(3)如图③，四边形ACBD是菱形，点F在AD上，四边形CDEF是菱形，连接AE，若∠DAE=40°，则∠ACF=　　度．24．(2023春·辽宁沈阳·九年级统考期中）已知，菱形ABCD中，∠BAD=120°，∠EAF=60°，线段AE，AF分别与BC，DC两边相交，且AE=AF=AB=6．(1)如图1，设线段AE，AF分别交BC，DC两边于点M，N，连接MN，当AE⊥BC时，请直接写出MN的长；(2)将∠EAF绕着顶点A旋转，射线BE，DF交于点Q．①如图2，连接CQ，CF，若CQ=CF，求出DF，CF，EQ之间的数量关系；②∠EAF旋转过程中，四边形AEQF的面积是否有最大值，如果有，请直接写出最大值；如果没有，请说明理由．【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【苏科版】专题9.7菱形的性质专项提升训练（重难点培优）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，其中选择8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2023秋·江苏苏州·八年级校考期中）菱形具有矩形不一定具有的性质是（    ）A．中心对称图形 B．对角相等 C．对边平行 D．对角线互相垂直【答案】D【分析】直接根据中心对称图形的定义（把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形）、菱形的性质、矩形的性质逐项判断即可得．【详解】解：A、菱形和矩形都是中心对称图形，则此项不符合题意；B、菱形和矩形都具有对角相等的性质，则此项不符合题意；C、菱形和矩形都具有对边平行的性质，则此项不符合题意；D、菱形的对角线互相垂直，而矩形的对角线不一定互相垂直，则此项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的性质、中心对称图形，熟练掌握菱形和矩形的性质是解题关键．2．(2023秋·江苏苏州·八年级苏州市振华中学校校考期中）在菱形ABCD中，若∠B+∠D=160°，则∠C是（    ）°A．60 B．20 C．80 D．100【答案】C【分析】根据菱形的性质可直接进行求解．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD//BC,∠B=∠D，∴∠C+∠D=180°，∵∠B+∠D=160°，∴∠D=80°，∴∠C=100°；故选C．【点睛】本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．3．(2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，已知E为邻边相等的平行四边形ABCD的边BC上一点，且∠DAE=∠B=80º，那么∠CDE的度数为（    ）A．20º B．25º C．30º D．35º【答案】C【分析】依题意得出AE=AB=AD，∠ADE=50°，又因为∠B=80°故可推出∠ADC=80°，∠CDE=∠ADC-∠ADE，从而求解．【详解】∵AD∥BC，∴∠AEB=∠DAE=∠B=80°，∴AE=AB=AD，在三角形AED中，AE=AD，∠DAE=80°，∴∠ADE=50°，又∵∠B=80°，∴∠ADC=80°，∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=30°．故选：C．【点睛】考查菱形的边的性质，同时综合利用三角形的内角和及等腰三角形的性质，解题关键是利用等腰三角形的性质求得∠ADE的度数．4．(2023秋·江苏连云港·八年级统考期中）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点E，交AB于点F，连接DE，则∠CDE等于（    ）A．80° B．70° C．65° D．60°【答案】D【分析】连接BD,BE，先根据菱形的性质可得∠CAD=40°,AB∥CD，AC垂直平分BD，根据平行线的性质、线段垂直平分线的性质可得∠ADC=100°,DE=BE=AE，再根据等腰三角形的性质可得∠ADE=∠CAD=40°，然后根据角的和差即可得．【详解】解：如图，连接BD,BE，∵四边形ABCD是菱形，且∠BAD=80°，∴∠CAD=40°,AB∥CD，AC垂直平分BD，∴∠ADC=180°−∠BAD=100°,BE=DE，∵EF垂直平分AB，∴AE=BE，∴AE=DE，∴∠ADE=∠CAD=40°，∴∠CDE=∠ADC−∠ADE=60°，故选：D．【点睛】本题考查了菱形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握菱形的性质是解题关键．5．(2023秋·江苏泰州·八年级校联考期中）如图，等边△AEF的边长与菱形ABCD的边长相等，点E、F分别在边BC、CD上，则∠B的度数是（     ）A．60° B．70° C．75° D．80°【答案】D【分析】根据等边△AEF的边长与菱形ABCD的边长相等，可以得到AB=AE，AD=AF，则∠BAE=180°-2∠B，∠DAF=180°-2∠D，再根据菱形的性质得，∠B=∠D，根据平行线的性质得：∠BAD+∠B =180°，即：∠BAE+∠EAF+∠DAF+∠B =180°，代入即可求解．【详解】解：∵等边△AEF的边长与菱形ABCD的边长相等，∴AB=AE，AD=AF，∴∠BAE=180°-2∠B，∠DAF=180°-2∠D，∵在菱形ABCD中，∠B=∠D，AD∥BC，∴∠BAD+∠B =180°，又∵∠EAF=60°，∴∠BAE+∠EAF+∠DAF+∠B =180°，∴180°-2∠B+60°+180°-2∠D+∠B=180°，整理得，3∠B=240°，解得∠B=80°．故选：D．【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，根据菱形的邻角互补列出方程是解题的关键．6．(2023秋·江苏苏州·八年级苏州工业园区星湾学校校考期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，将△BOC绕着点C旋转180°得到△B′O′C，若AC=2，AB′＝5，则菱形ABCD的边长是（　　）A．3 B．4 C．15 D．17【答案】D【分析】连接AB′，根据菱形的性质、旋转的性质，得到OA=OC=O′C=1，OB⊥OC，O′B′⊥O′C、BC=B′C，根据AB′=5，利用勾股定理计算O′B′，再次利用勾股定理计算B′C即可．【详解】解：连接AB′，如图：∵四边形ABCD是菱形，且△BOC绕着点C旋转180°得到△B′O′C，且AC=2，∴OA=OC=O′C=1，OB⊥OC，BC=B′C∴O′B′⊥O′C，O′A=AC+O′C=2+1=3，∵AB′=5，∴O′B′=AB′2−O′A2=5−32=4，∴B′C=O′B′2+O′C2=42+12=17，∴BC=B′C=17，即菱形ABCD的边长是17，故选：D．【点睛】本题考查了菱形的性质、旋转的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的基本形式并灵活运用勾股定理是解决本题的关键．7．(2023秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC=4，BD=16，将△BOC绕着点C旋转180°得到△B′O′C，则点A与点B′之间的距离为（    ）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【分析】根据菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC=4，BD=16，可得AC⊥BD，所以∠BOC=90°，根据△BOC绕着点C旋转180°得到△B′O′C，所以∠CO′B′=∠BOC=90°，AO′=6，OB′=8，再根据勾股定理即可求出点A与点B′之间的距离．【详解】解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC=4，BD=16，∴AC⊥BD，∴∠BOC=90°，∵△BOC绕着点C旋转180°得到△B′O′C，∴∠CO′B′=∠BOC=90°，∴O′C=OC=OA=12AC=2，∴AO′=6，∵OB=OD=O′B′=12BD=8，在Rt△AO′B′中，根据勾股定理，得：AB′=AO′2+O′B′2=62+82=10．则点A与点B′之间的距离为10．故选：C．【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，勾股定理等知识，解决本题的关键是掌握旋转的性质．8．(2023秋·江苏无锡·八年级校联考期中）如图1，点Q为菱形ABCD的边BC上一点，将菱形 ABCD沿直线AQ 翻折，点B的对应点P落在BC的延长线上.已知动点M从点B出发，在射线 BC上以每秒1个单位长度运动.设点M运动的时间为x，△APM的面积为y．图2为y关于x的函数图象，则菱形 ABCD的面积为（   ）A．12 B．24 C．10 D．20【答案】D【分析】由图2，可知BP=6，S△ABP=12，由图1翻折可知，AQ⊥BP，进而得出AQ=4，由勾股定理，可知BC=AB=5，菱形 ABCD的面积为BC×AQ即可求出.【详解】解：由图2，得BP=6，S△ABP=12∴AQ=4由翻折可知，AQ⊥BP由勾股定理，得BC=AB=42+32=5∴菱形 ABCD的面积为BC×AQ=5×4=20故选：D【点睛】本题是一道几何变换综合题，解决本题主要用到勾股定理，翻折的性质，根据函数图象找出几何图形中的对应关系是解决本题的关键.二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上9．(2023春·福建三明·九年级三明市列东中学校考阶段练习）菱形的对角线长分别为6和8，则该菱形的面积是 _____．【答案】24【分析】由菱形的面积公式即可求解．【详解】解：菱形的面积=6×82=24，故答案为：24．【点睛】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．10．(2023·四川眉山·校考模拟预测）如图，菱形ABCD中，已知∠ABD=20°，则∠C的大小是____________．【答案】140°##140度【分析】根据菱形的对角线平分一组对角，以及邻角互补，即可得解．【详解】解：∵菱形ABCD中，∠ABD=20°，∴∠ABC=2∠ABD=40°，∴∠C=180°−∠ABC=140°；故答案为：140°．【点睛】本题考查菱形的性质．熟练掌握菱形的对角线平分一组对角，是解题的关键．11．(2023春·山东枣庄·九年级校考阶段练习）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=24，BD=10，则菱形ABCD的周长为____．【答案】52【分析】根据菱形的性质，对角线相互垂直且相互平分，则有直角三角形中OAD，由此即可求解．【详解】解：∵菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∴OA=OC=12AC=12×24=12，OB=OD=12BD=12×10=5，在Rt△OAD中，AD=OA2+OD2=122+52=13，∴菱形ABCD的周长为13×4=52，故答案是：52．【点睛】本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．12．(2023春·山东济南·九年级校考阶段练习）如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，点E在OB上，连接AE，点F为CD的中点，连接OF．若AE=BE,OE=3,OA=4，则线段OF的长为____________．【答案】25【分析】根据菱形的性质可得AC⊥BD，OC=OA=4，由勾股定理可得BE=AE=5，从而得到OB=BE+OE=8，再由勾股定理求出BC，然后根据三角形中位线定理，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OC=OA=4，∵OE=3,OA=4，∴AE=OA2+OE2=5，∵BE=AE，∴BE=AE=5，∴OB=BE+OE=8，∴BC=OB2+OC2=82+42=45，∵点F为CD的中点，∴OF=12BC=25．故答案为：25【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，三角形中位线定理是解题的关键．13．(2023春·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E为AB的中点，F是AC上的一动点，则EF+BF的最小值为________【答案】33【分析】连接DE，DF根据题意得出DE就是所求的EF+BF的最小值的线段，根据等边三角形的性质，结合∠DAB=60°，得出△ABD为等边三角形，根据E为AB的中点，得出DE⊥AB，根据勾股定理，计算出DE即可．【详解】∵在菱形ABCD中，AC与BD互相垂直平分，∴点B、D关于AC对称，连接ED，则EF+BF=DF+BF≥DE，则ED就是所求的EF+BF的最小值的线段，∵E为AB的中点，∠DAB=60°，∴DE⊥AB，∠ADE=30°，∴AE=12AD=3，∴ED=AD2−AE2=62−32=33，∴EF+BF的最小值为33．故答案为：33．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，根据题意得出ED就是所求的EF+BF的最小值的线段，是解题的关键．14．(2023春·四川成都·九年级成都七中校考阶段练习）我们规定菱形与正方形接近程度称为“接近度”，设菱形相邻两个内角的度数分别为α°，β°，将菱形的“接近度”定义为α−β，于是α−β越小，菱形越接近正方形．①若菱形的一个内角为80°，则该菱形的“接近度”为___________；②当菱形的“接近度”等于___________时，菱形是正方形．【答案】     20     0【分析】由菱形的性质可得出α+β=180，即可求出β=100，再根据“接近度”的定义求解即可；由正方形的判定可得出当α=β=90时，菱形是正方形，从而得出当α−β=0时，菱形是正方形．【详解】∵菱形相邻两个内角的度数和为180°，∴α+β=180，即80+β=180，解得：β=100∴该菱形的“接近度”为α−β=80−100=20；∵四个角都为直角的菱形是正方形，∴当α=β=90时，菱形是正方形，∴α−β=0时，菱形是正方形．故答案为：20，0．【点睛】本题考查菱形的性质，正方形的判定，对新定义的理解．读懂题意，理解“接近度”是解题关键．15．(2023春·广东深圳·九年级深圳市宝安中学（集团）校考期末）如图，菱形ABCD中，点E是边CD的中点，EF垂直AB交AB的延长线于点F，若BF:CE=1:2，EF=7，则菱形ABCD的边长是________________．【答案】4【分析】过C作CM⊥AB延长线于M，根据BF:CE=1:2设BF=x,CE=2x，由菱形的性质表示出BC=4x，BM=3x，根据勾股定理列方程计算即可．【详解】过C作CM⊥AB延长线于M，∵BF:CE=1:2∴设BF=x,CE=2x∵点E是边CD的中点∴CD=2CE=4x∵菱形ABCD∴CD=BC=4x，CE//AB∵EF⊥AB，CM⊥AB∴四边形EFMC是矩形∴CM=EF=7，MF=CE=2x∴BM=3x在Rt△BCM中，BM2+CM2=BC2∴(3x)2+(7)2=(4x)2，解得x=1或x=−1（舍去）∴CD=4x=4故答案为：4．【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理，关键在于熟悉各个知识点在本题的灵活运用．16．(2023春·福建福州·九年级统考期中）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，点N是菱形内一动点，且满足MN=1，连接CN，则CN的最小值为______．【答案】7−1【分析】过点M作MH⊥CD交CD的延长线于点H，根据菱形的性质以及直角三角形的性质求出CM=7，当点N运动到线段CM上的点N'时，CN取得最小值，进一步求解即可．【详解】过点M作MH⊥CD交CD的延长线于点H，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，∴AB∥CD，∴∠HDM=∠A=60°，∴∠HMD=30°，∵点M是AD边的中点，∴DM=12AD=1，∴DH=12DH=12，根据勾股定理，得：HM=DM2−DH2=12−122=32，∵CD=2，∴CH=CD+DH=2+12=52，根据勾股定理，得：CM=HM2+CH2=322+522=7，∵MN=1，当点N运动到线段CM上的点N'时，CN取得最小值，CN'=CM−MN=7−1，∴CN的最小值为7−1，故答案为：7−1．【点睛】本题考查菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、线段最短问题，解题的关键是利用所学知识点求出CM=7．三、解答题（本大题共8小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．(2023秋·新疆省直辖县级单位·八年级校联考期末）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，∠BAD＝60°，菱形ABCD的周长为24．(1)求对角线BD的长；(2)求菱形ABCD的面积．【答案】(1)6(2)183【分析】（1）由菱形的性质知AB=AD，又∠BAD＝60°，可知ΔABD是等边三角形，推出BD=AB，即可求解；（2）由菱形的对角线互相垂直且平分，求出OB，利用勾股定理由出AO，进而求出AC，根据菱形面积为对角线乘积的一半，即可求解．（1）解：∵菱形ABCD的周长为24，∴AB=AD=BC=CD=244=6，又∵∠BAD＝60°，∴ΔABD是等边三角形，∴BD=AB=AD=6，故对角线BD的长为6；（2）解：由菱形的性质可知，对角线AC与BD互相垂直且平分，∴OB=12BD=12×6=3，∠AOB=90°，又∵ AB=6，∴AO=AB2−OB2=62−32=33，∴AC=2AO=63，∴菱形ABCD的面积=12AC⋅BD=12×63×6=183，故菱形ABCD的面积是183．【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的面积公式，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．18．(2023春·陕西西安·九年级西安市第六中学校考期中）如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，BE⊥AD，垂足为E．当菱形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6时，求BE的长．【答案】245【分析】先求出菱形的面积和边长，再求高BE即可．【详解】解：∵菱形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，AC＝8，BD＝6，∴∠AOB=90°，AO＝4，BO＝3，AB=OA2+OB2=5，菱形的面积为12AC×BD=12×8×6=24，∴AB×BE=24，BE=245．【点睛】本题考查了菱形的性质，解题关键根据菱形对角线互相垂直求出边长和面积，利用等积法求出高．19．(2023春·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨风华中学校考期中）如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB和线段CD，点A，B，C，D均在小正方形的顶点上．(1)在方格纸中画以AB为一边的菱形ABEF，点E，F在小正方形的顶点上，且菱形ABEF的面积为3；(2)在方格纸中画以CD为一边的等腰△CDG，点G在小正方形的顶点上，连接EG，使∠BEG=90°，并直接写出线段EG的长．【答案】(1)见解析(2)图见解析，EG=5．【分析】（1）根据题意、菱形的四边相等，菱形面积公式画图对角线BF=2，AE=32即可；（2）根据等腰直角的性质和题意画图即可．(1)解：如图所示：(2)解：如图所示：EG=12+22=5．【点睛】本题考查的是设计作图、菱形的性质，勾股定理的应用，正确理解题意和菱形的性质是解题的关键．20．(2023春·辽宁抚顺·九年级统考期末）如图，在菱形ABCD中，E、F分别为边AD和CD上的点，且AE=CF．连接AF、CE交于点G．求证：∠DGE=∠DGF．【答案】证明见解析．【分析】先证△DAF≌△DCE，再证△AEG≌△CFG，最后证△DGE≌△DGF，根据全等三角形的性质即可得到∠DGE＝∠DGF．【详解】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴DA＝DC＝AB＝BC，∵AE＝CF，∴DE＝DF在△DAF和△DCE中，DF=DE∠ADF=∠CDEAD=CD，∴△DAF≌△DCE（SAS），∴∠EAG＝∠FCG，在△AEG和△CFG中，∠EAG=∠FCG∠AGE=∠CGFAE=CF，∴△AEG≌△CFG（AAS），∴EG＝FG，在△DGE和△DGF中，DE=DFEG=FGDG=DG，∴△DGE≌△DGF（SSS），∴∠DGE＝∠DGF．【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．21．(2023春·安徽合肥·九年级合肥市第四十五中学校考期中）如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上一点，连接DP并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点E．求证：（1）△APB≌△APD；（2）PD2＝PE•PF．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由菱形的性质可得AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，由“SAS”可证△ABP≌△ADP；（2）由全等三角形的性质可得PB＝PD，∠ADP＝∠ABP，通过证明△EPB∽△BPF，可得BPPF=PEPB，可得结论．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，在△ABP和△ADP中，AD=AB∠BAP=∠DAPAP=AP，∴△ABP≌△ADP（SAS）；（2）∵△ABP≌△ADP，∴PB＝PD，∠ADP＝∠ABP，∵AD//BC，∴∠ADP＝∠E，∴∠E＝∠ABP，又∵∠FPB＝∠EPB，∴△EPB∽△BPF，∴BPPF=PEPB，∴PB2＝PE•PF，∴PD2＝PE•PF．【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等与相似的判定方法．22．(2023春·江西九江·九年级统考期末）如图，菱形ABCD中，AC与BD交于点O，DE∥AC， DE=12AC．(1)求证：四边形OCED是矩形；(2)连接AE，交OD于点F，连接CF，若CF=CE=1，求AC长．【答案】(1)见解析(2)3【分析】（1）根据菱形的性质，得到AC⊥BD，OA=OC=12AC，再根据等量代换，得出OC=DE，再根据矩形的判定定理，即可得到结论；（2）根据直角三角形的性质，得到CF=AF=EF，进而得出AE=2，再根据勾股定理，计算即可得到答案．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD， OA=OC=12AC，∴∠DOC=90°，∵DE∥AC， DE=12AC，∴OC=DE，∴四边形OCED为平行四边形，又∵∠DOC=90°，∴四边形OCED是矩形；（2）解：由（1）得：四边形OCED是矩形，∴OD∥CE，∠OCE=90°，∵O是AC中点，∴F为AE中点，∴CF=AF=EF，∵CF=CE=1，∴EF=1，∴AE=2，∴AC=AE2−CE2=22−12=3．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定和性质是解题的关键．23．(2023·吉林长春·校联考模拟预测）【教材呈现】在华师版八年级下册数学教材第111页学习了以下内容：菱形的对角线互相垂直．【结论运用】(1)如图①，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AD=5，OD=4，则菱形ABCD的面积是 　　；(2)如图②，四边形ABCD是平行四边形，点F在AD上，四边形CDEF是菱形，连接AE、AC、BF，求证：AC=BF；(3)如图③，四边形ACBD是菱形，点F在AD上，四边形CDEF是菱形，连接AE，若∠DAE=40°，则∠ACF=　　度．【答案】(1)24(2)见解析(3)30【分析】（1）由菱形的性质可得AC⊥BD，AO=OC，BO=DO，由勾股定理可求AC，由菱形的面积公式可以求解；（2）先证四边形ABFE是平行四边形，可得AE=BF，由线段垂直平分线的性质可得结论；（3）先证ΔADC≅ΔADE，可得∠DAE=∠DAC=40°，由等腰三角形的性质和外角的性质可求解．【详解】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO=OC，BO=DO，∵AD=5，OD=4，∴AO=AD2−DO2=25−16=3，BD=2OD=8，∴AC=6，∴菱形ABCD的面积=12×AC×BD=12×6×8=24，故答案为：24；（2）证明：如图，连接CE，交AD于H，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∵四边形CDEF是菱形，∴EF∥CD，EF=CD，EC⊥FD，EH=CH，∴AB=CD=EF，AB∥CD∥EF，AD垂直平分EC，∴四边形ABFE是平行四边形，AC=AE，∴AE=BF，∴AC=BF；（3）解：∵四边形ACBD是菱形，四边形CDEF是菱形，∴AD=AC，CD=CF=DE，∠ADE=∠ADC，∵AD=AD，∠ADE=∠ADC，CD=ED，∴ΔADC≅ΔADE(SAS)，∴∠DAE=∠DAC=40°，∵AD=AC，∴∠ADC=∠ACD=70°，∵CD=CF，∴∠ADC=∠CFD=70°，∴∠ACF=∠CFD−∠DAC=70°−40°=30°，故答案为：30．【点睛】本题考查四边形综合题，考查菱形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．24．(2023春·辽宁沈阳·九年级统考期中）已知，菱形ABCD中，∠BAD=120°，∠EAF=60°，线段AE，AF分别与BC，DC两边相交，且AE=AF=AB=6．(1)如图1，设线段AE，AF分别交BC，DC两边于点M，N，连接MN，当AE⊥BC时，请直接写出MN的长；(2)将∠EAF绕着顶点A旋转，射线BE，DF交于点Q．①如图2，连接CQ，CF，若CQ=CF，求出DF，CF，EQ之间的数量关系；②∠EAF旋转过程中，四边形AEQF的面积是否有最大值，如果有，请直接写出最大值；如果没有，请说明理由．【答案】(1)MN=33(2)①DF2+CF2=EQ2，理由见详解；②四边形AEQF的面积有最大值，最大值为93+9【分析】（1）四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，∠EAF=60°，易证△AMB≌△AND(AAS)，可知△AMN是等边三角形，AB=6，∠B=60°，由此即可求解；（2）①将∠EAF绕着顶点A旋转，根据旋转的性质可证△ABE≌△ACF(SAS)，△ACE≌△ADF(SAS)，△BEC≌△CFD(SSS)，从而得出CE2+CQ2=EQ2，由此即可求解；②∠EAF旋转过程中，判断四边形AEQF的面积何时为最大值即可，如图所示（见相机），连接EF，过点A作AP⊥EF于点P，则可求出S△AEF，四边形AEQF的面积=S△AEF+S△EFQ，当△EFQ的面积最大时，四边形AEQF的面积最大，由此找出△EFQ的面积最大即可，当EQ=FQ时，由EQ，FQ为边组成正方形时，△EFQ的面积最大，且△EFQ的最大面积=12×18=9，由此即可求解．【详解】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD=CD=BC，AD∥BC，∵∠BAD=120°，∴∠B=180°−∠BAD=60°，∠C=120°，∴∠D=60°，∵AE⊥BC，∴∠AMC=90°，∵∠EAF=60°，∴∠ANC=360°−120°−60°−90°=90°，∴∠AMB=∠AND=90°，在△AMB和△AND中，∠B=∠D∠AMB=∠AND=90°AB=AD，∴△AMB≌△AND(AAS)，∴AM=AN，∵∠EAF=60°，∴△AMN是等边三角形，∴MN=AM，∵AB=6，∠B=60°，∴AM=33，∴MN=33．（2）解：①DF2+CF2=EQ2，理由如下，如图所示，连接AC，CE，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，AD∥BC，∵∠BAD=120°，∴∠ABC=180°−∠BAD=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=∠ACD=60°，∵∠EAF=60°，∴∠BAC=∠EAF，∴∠BAC−∠CAE=∠EAF−∠CAE，∴∠BAE=∠CAF，∵AE=AF=AB，在△ABE和△ACF中，AB=AC∠BAE=∠CAFAE=AF，∴△ABE≌△ACF(SAS)，∴BE=CF，∵CQ=CF，∴BE=CF=CQ，同理△ACE≌△ADF(SAS)，∴CE=DF，∵BC=CD，∴△BEC≌△CFD(SSS)，∴∠BCE=∠CDF，∠EBC=∠FCD，设∠BAE=α，∵AB=AE，∴∠ABE=∠AEB=12(180°−α)=90°−12α，∴∠EBC=90°−12α−60°=30°−12α，∵∠BAC=60°，∴∠EAC=60°−α，∵AE=AC，∴∠ACE=∠AEC=12(180°−60°+α)=60°+12α，∴∠ECB=60°+12α−60°=12α，∴∠QEC=∠EBC+∠ECB=30°−12α+12α=30°，∴∠QFC=∠FDC+∠FCD=30°，∵CQ=CF，∴∠QFC=∠CQF=30°，∵∠EBC=∠CDF=30，∴∠BQD=360°−120°−60°−60°−30°=90°，∴∠EQC=90°−30°=60°，∴∠QCE=180°−30°−60°=90°，∴CE2+CQ2=EQ2，∵CE=DF，CQ=CF，∴DF2+CF2=EQ2；②如图所示，连接EF，过点A作AP⊥EF于点P，∵∠EAF=60°，AE=AF=6，∴△AEF是等边三角形，∴EF=AE=6，∴AP=33，∴S△AEF=12×EF·AP=12×6×33=93，∵四边形AEQF的面积=S△AEF+S△EFQ=93+S△EFQ，∴当△EFQ的面积最大时，四边形AEQF的面积最大，∵∠EQF=90°，∴当EQ=FQ时，即由EQ，FQ为边组成正方形时，△EFQ的面积最大，∵EF是由EQ，FQ为边组成正方形的对角线，∴正方形面积为12EF2=18，∴△EFQ的最大面积=12×18=9，∴四边形AEQF的面积=S△AEF+S△EFQ=93+9．∴四边形AEQF的面积有最大值，最大值为93+9．【点睛】本题主要考查菱形的性质，等边三角形的性质，图形旋转的性质的综合运用，掌握根据菱形的性质，等边三角形的性质以及旋转的性质找出角与角，线段与线段的关系是解题的关键．