广东省广州市黄埔区火电学校2023-2024学年八年级上学期期中考试数学试卷

这是一份广东省广州市黄埔区火电学校2023-2024学年八年级上学期期中考试数学试卷，共17页。
1．（3分）下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．2，2，4B．3，6，11C．4，3，5D．5，8，14
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．2a2•3a2＝6a2B．（a3）2＝a6
C．a3+a2＝a5D．3a6÷a2＝3a3
4．（3分）已知点A（2a+3b，﹣2）和点B（8，3a+2b）关于x轴对称，那么a+b＝（ ）
A．2B．﹣2C．0D．4
5．（3分）若一个多边形的内角和是外角和的2.5倍，则该多边形为（ ）
A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形
6．（3分）如图，点E在△ABC的外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若∠1＝∠2＝∠3，AC＝AE，则有（ ）
A．△ABD≌△AFDB．△ABC≌△ADEC．△AFE≌△ADCD．△AFE≌△DFC
7．（3分）点P在∠AOB的角平分线上，点P到OB边的距离等于6，点Q是OA边上任意一点，则PQ的最小值是（ ）
A．7B．6C．5D．4
8．（3分）如图，小宾利用尺规进行作图：作∠ABC的角平分线BP，圆弧与角的两边分别交于A，C两点，连结AC交BP于点O，在射线OP上截取OD＝OB，连结AD，CD．若∠ABO＝20°，则∠ACD的大小是（ ）
A．90°B．80°C．70°D．60°
9．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，BD平分∠ABC，那么图中相等的线段有（ ）
A．2对B．3对C．4对D．5对
10．（3分）如图，∠A＝90°，E为BC上一点，A和E关于BD对称，B点和C点关于DE对称，则∠C的度数为（ ）
A．25°B．30°C．35°D．29°
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）分解因式：﹣4a3+4a2﹣a＝ ．
12．（3分）已知一等腰三角形的两边长分别是5和6，则它的周长为 ．
13．（3分）如图，∠A＝60°，∠B＝20°，则∠ACD＝ ．
14．（3分）如果an＝5，bn＝3，那么（ab）n＝ ．
15．（3分）下图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是8m，则乘电梯次点B到点C上升的高度h是 m．
16．（3分）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E交CD于点F，H是BC边的中点，连接DH交BE于点G，考查下列结论：①AC＝BF；②BF＝2CE；③S四边形ADGE＝S四边形GHCE；④△DGF为等腰三角形．其中正确的有 ．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（4分）已知5x＝2，5y＝3，求53x+2y的值．
18．（4分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D．
（1）尺规作图：作∠CAB的角平分线，交CD于点P，交BC于点Q（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若∠ABC＝54°，求∠CPQ的度数．
19．（6分）计算：（3a2）3+（2a3）3÷（﹣a3）；
20．（6分）已知：如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．求证：AD＝BC，AB＝CD．
21．（8分）化简求值：（﹣2y﹣x）（2y﹣x）﹣（x+2y）2，其中x＝﹣1，y＝﹣2．
22．（10分）如图，在10×8的方格图中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，每个小正方形的顶点叫做格点．已知△ABC的三个顶点在格点上．
（1）画出△A'B'C'，使它与△ABC关于直线m对称；
（2）在直线m上找一点D，使得△BCD周长最小；（保留作图痕迹）
（3）延长BC交直线m于E，若△BEF是以BE为底边的等腰三角形，那么这样的格点F共有 个．
23．（10分）两个不相等的实数a，b满足a2+b2＝5．
（1）若ab＝2，求a+b的值；
（2）若a2﹣2a＝m，b2﹣2b＝m，求a+b和m的值．
24．（12分）已知∠ABC＝90°，D是直线AB上的点，AD＝BC，作FA⊥AB于点A，且AF＝BD，连结DC、DF．
（1）自主探究：如图1，当点D在线段AB上，点F在点A右侧时，DF与DC的数量关系为 ，位置关系为 ；
（2）思考拓展：如图2，当点D在线段AB的延长线上，点F在点A的左侧时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；
（3）能力提升：当点D在线段BA的延长线上，点F在点A的 侧时，（1）中的两个结论依然成立，若此时BC＝2，AB＝1，则AF的长度为 ．
25．（12分）如图①，等腰△ABC中，AB＝AC．点D是AC上一动点，点E、P分别在BD延长线上．且AB＝AE，CP＝EP．
问题思考
在图①中，求证：∠BPC＝∠BAC；
问题再探
若∠BAC＝60°，如图②．探究线段AP、BP、EP之间的数量关系，并证明你的结论；
问题拓展
若∠BAC＝90°且BD平分∠ABC，如图③，请直接写出的值为 ．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：选项A、C、D的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
选项B的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：B．
2． 解：A．∵2+2＝4，
∴不能组成三角形，不符合题意；
B．∵3+6＜11，
∴不能组成三角形，不符合题意；
C．∵3+4＝7＞5，
∴能组成三角形，符合题意；
D．∵5+8＜14，
∴不能组成三角形，不符合题意．
故选：C．
3． 解：A、2a2⋅3a2＝6a4，故A错误，不符合题意；
B、（a3）2＝a6，故B正确，符合题意；
C、a3+a2不能合并，故C错误，不符合题意；
D、3a6÷a2＝3a4，故D错误，不符合题意；
故选：B．
4． 解：∵点A（2a+3b，﹣2）和点B（8，3a+2b）关于x轴对称，
∴，
①+②得：5（a+b）＝10，
a+b＝2，
故选：A．
5． 解：设多边形的边数是n，根据题意得，
（n﹣2）•180°＝2.5×360°，
解得n＝7．
故这个多边形是七边形．
故选：C．
6． 解：∵∠2＝∠3，∠2+∠AFE+∠E＝180°，∠3+∠DFC+∠C＝180°，∠AFE＝∠DFC，
∴∠E＝∠C，
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC，
即∠BAC＝∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（ASA），
故选：B．
7． 解：过P作PD⊥OA于D，
∵PC⊥OB，PD⊥OA，OP平分∠AOB，
∴PC＝PD，
∵点P到OB边的距离等于6，
∴PD＝PC＝6，
∴PQ≥6（当Q与点D重合时，PQ＝6），
∴PQ的最小值为6．
故选：B．
8． 解：∵圆弧与角的两边分别交于A，C两点，
∴AB＝BC，
∵∠ABO＝20°，BP是∠ABC的角平分线，
∴∠DBC＝∠ABO＝20°，AC⊥BD，
∵OD＝OB，
∴∠DBC＝∠BDC＝20°，
∴∠BCD＝180°﹣20°×2＝140°，
∴∠ACD＝∠BCD＝70°．
故选：C．
9． 解：∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，DA＝DB，
∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝DC，BC＝BE，
∵AE＝BE，BC＝BE，
∴AE＝BC，
∴图中相等的线段有5对，
故选：D．
10． 解：∵A和E关于BD对称
∴∠ABD＝∠DBE
∵B点和C点关于DE对称
∴∠DBE＝∠C
∴∠ABD＝∠DBE＝∠C
设∠C＝x，则∠ABC＝2x
在△ABC中，x+2x+90°＝180°
解得x＝30°，即∠C＝30°．
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11． 解：原式＝﹣a（4a2﹣4a+1）
＝﹣a（2a﹣1）2．
故答案为：﹣a（2a﹣1）2．
12． 解：分两种情况：
当腰长为5，底边长为6时，这个等腰三角形的周长＝5+5+6＝16；
当腰长为6，底边长为5时，这个等腰三角形的周长＝6+6+5＝17；
综上所述：这个等腰三角形的周长等于16或17，
故答案为：16或17．
13． 解：∵∠ACD是△ABC的外角，∠A＝60°，∠B＝20°，
∴∠ACD＝∠A+∠B＝60°+20°＝80°，
故答案为：80°．
14． 解：∵an＝5，bn＝3，
∴（ab）n
＝an•bn
＝5×3
＝15，
故答案为：15．
15． 解：过C作CE⊥AB，交AB的延长线于E；
在Rt△CBE中，∠CBE＝180°﹣∠CBA＝30°；
已知BC＝8m，则CE＝BC＝4m，即h＝4m．
16． 解：①∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝∠BDF＝90°，∠DBF+∠DFB＝180°﹣∠BDF＝90°，
又∵BE⊥AC，
∴∠BEA＝90°，
∴∠DBF+∠DAC＝180°﹣∠BEA＝90°，
∴∠DAC＝∠DFB，
又∵∠ABC＝45°，
∴∠DCB＝180°﹣∠ABC﹣∠BDF＝45°，△BCD是等腰直角三角形，
∴BD＝CD，
∴在△ACD和△FBD中，
，
∴△ACD≌△FBD（AAS），
∴AC＝BF．
故①正确；
②∵BE平分∠ABC，BE⊥AC，
∴∠ABE＝∠CBE，∠BEA＝∠BEC＝90°，
∴在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（ASA），
∴AE＝CE，
∴AC＝AE+CE＝2CE，
又∵AC＝BF，
∴BF＝2CE
故②正确；
③如图所示，过G作GM⊥BD于点M，
∵H为等腰直角△BCD斜边BC的中点，
∴DH⊥BC，即∠GHB＝90°，
又∵BE平分∠ABC，GM⊥BD，
∴GM＝GH，
又∵BD＞BH，
∴S△BDG＞S△BGH，
又∵△ABE≌△CBE，
∴S△ABE＝S△CBE，
∴S四边形ADGE＝S△ABE﹣S△BDG，S四边形GHCE＝S△CBE﹣S△BGH，
∴S四边形ADGE＜S四边形GHCE，
故③错误；
④∵∠HBG+∠BGH＝180°﹣∠GHB＝90°，∠DBF+∠DFG＝180°﹣∠BDF＝90°，∠HBG＝∠DBF，
∴∠BGH＝∠DFG，
又∵∠BGH＝∠DGF，
∴∠DGF＝∠DFG，
∴△DGF为等腰三角形．
故答案为①②④．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17． 解：∵5x＝2，5y＝3，
∴原式＝53x×52y＝（5x）3×（5y）2＝23×32＝72．
18． 解：（1）如图，射线AQ即为所求；
（2）∵∠ACB＝90°，∠B＝54°，
∴∠CAB＝36°，
∵AQ平分∠ACB，
∴∠CAQ＝∠CAB＝18°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝54°，
∴∠CPQ＝∠CAQ+∠ACD＝18°+54°＝72°，
即∠CPQ的度数为72°．
19． 解：（3a2）3+（2a3）3÷（﹣a3）
＝27a6+8a9÷（﹣a3）
＝27a6﹣8a6
＝19a6．
20． 证明：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，∠ABD＝∠CDB，
在△ADB和△CBD中
∴△ADB≌△CBD，（ASA）
∴AD＝BC，AB＝CD．
21． 解：（﹣2y﹣x）（2y﹣x）﹣（x+2y）2
＝（x+2y）（x﹣2y）﹣（x2+4xy+4y2）
＝x2﹣4y2﹣x2﹣4xy﹣4y2
＝﹣4xy﹣8y2，
当x＝﹣1，y＝﹣2时，原式＝﹣4×（﹣1）×（﹣2）﹣8×（﹣2）2＝﹣40．
22． 解：（1）如图，△A'B'C'即为所求．
（2）如图，连接BC'，交直线m于点D，连接CD，
此时BD+CD最小，
∴BD+CD+BC最小，
∴△BCD周长最小，
则点D即为所求．
（3）如图，作线段BE的垂直平分线，交格点于点F1，F2，F3，
∴BF1＝EF1，BF2＝EF2，BF3＝EF3，
∴点F1，F2，F3均为满足题意的点F，
∴这样的格点F共有3个．
故答案为：3．
23． 解：（1）∵a2+b2＝5，ab＝2，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝5+2×2＝9，
∴a+b＝±3；
（2）∵a2﹣2a＝m，b2﹣2b＝m，
∴a2﹣2a＝b2﹣2b，a2﹣2a+b2﹣2b＝2m，
∴a2﹣b2﹣2（a﹣b）＝0，
∴（a﹣b）（a+b﹣2）＝0，
∵a≠b，
∴a+b﹣2＝0，
∴a+b＝2，
∵a2﹣2a+b2﹣2b＝2m，
∴a2+b2﹣2（a+b）＝2m，
∵a2+b2＝5，
∴5﹣2×2＝2m，
解得：m＝，
即a+b＝2，m＝．
24． 解：（1）∵FA⊥AB，∠ABC＝90°，
∴∠A＝∠DBC，
在△FAD和△DBC中，
，
∴△FAD≌△DBC（SAS），
∴DF＝DC，∠FDA＝∠DCB，
∵∠BDC+∠DCB＝90°，
∴∠BDC+∠FDA＝90°，
∴∠CDF＝180°﹣90°＝90°，
∴DF⊥DC，
故答案为：DF＝DC，DF⊥DC；
（2）（1）中的结论还成立，理由如下：
∵∠ABC＝90°，
∴∠DBC＝180°﹣90°＝90°，
同（1）得：△FAD≌△DBC（SAS），
∴DF＝DC，∠FDA＝∠DCB，
∵∠BDC+∠DCB＝90°，
∴∠BDC+∠FDA＝90°，
即∠CDF＝90°，
∴DF⊥DC；
（3）如图3，当点D在线段BA的延长线上，点F在点A的左侧时，（1）中的两个结论依然成立，理由如下：
同（1）得：△FAD≌△DBC（SAS），
∴DF＝DC，AF＝BD，∠FDA＝∠DCB，
∵∠BDC+∠DCB＝90°，
∴∠BDC+∠FDA＝90°，
即∠CDF＝90°，
∴DF⊥DC，
∵AD＝BC＝2，AB＝1，
∴BD＝AD+AB＝2+1＝3，
∴AF＝3，
故答案为：左，3．
25． 问题思考：证明：∵AB＝AC，AB＝AE，
∴AC＝AE，
在△APC和△APE中，
，
∴△CAP≌△EAP（SSS），
∴∠E＝∠ACP，
又∵AB＝AE，
∴∠E＝∠ABE，
∴∠ABE＝∠ACP，
又∵∠ADB＝∠PDC，
∴∠BPC＝∠BAC；
问题再探：解：线段AP、BP、EP之间的数量关系为AP+EP＝BP．理由如下：
如图2中，在BP上取点G，使PG＝PC，连接CG．
∵∠BAC＝60°，
∴∠BPC＝60°，
∵PG＝PC，
∴△GPC为等边三角形，
又∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝∠GCP＝60°，
∴∠BCG＝∠ACP，
又∵BC＝AC，GC＝PC，
∴△BGC≌△APC（SAS），
∴AP＝BG，
由（1）得△ACP≌△AEP．EP＝CP，
∵CP＝GP，
∴EP＝GP．
∵BP＝BG+GP，
∴BP＝AP+EP；
问题拓展：如图3中，延长BA，CP交于点H．
∵∠BPC＝∠BAC＝90°，
∴∠BPC＝∠BPH＝90°，BD平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠CBP，
又∵BP＝BP，
∴△HBP≌△CBP（ASA），
∴CP＝HP＝CH，
又∵∠BAC＝∠HAC＝90°，AB＝AC，∠ABD＝∠ACH，
∴△ABD≌△ACH（ASA），
∴BD＝CH＝2CP，
∵CP＝EP，
∴BD＝2EP，
∴＝，
故答案为：．