湖南省岳阳市部分校联考2023-2024学年八年级上学期期末考试数学试题

这是一份湖南省岳阳市部分校联考2023-2024学年八年级上学期期末考试数学试题，共15页。
【考试说明】
请将答题内容填写在答题卡上，题卷上作答无效；
涂填选择题答案时请用2B铅笔，保持答题卡卷面整洁；
不得提前交卷，考试结束上交答题卡．
一、选择题(本题共10小题，每小题3分，合计30分，请将唯一正确选项的代号涂填在指定位置)
1．在下列长度的四根木棒中，能与5cm、7cm长的两根木棒钉成一个三角形的是( )
A．2cm B．8cm C．12cm D．13cm
2．下列计算正确的是（ ）
A．EQ \R(,(－3)\s\up3(2))＝－3 B．EQ \R(,36)＝±6 C．EQ \R(\S\DO(3),9)＝3 D．－EQ \R(\S\DO(3),27)＝－3
3．如图，△ABD≌△EBC，AB＝5，BC＝12，则DE长为( )
A．5B．6C．7D．8
4．中国第一代14纳米芯片FinFET技术取得了突破性进展并进入量产，代表了中国大陆自主研发集成电路的最先进水平，14纳米＝0.000000014米，0.000000014用科学记数法表示为( )
A．1.4×10﹣7B．14×10﹣7C．1.4×10﹣8D．1.4×10﹣9
5．若关于x的不等式3－x＞a的解集为x＜4，则关于m的不等式2m+3a＜1的解为（ ）
A．m＜2 B．m＞1 C．m＞－2 D．m＜－1
6．化简2eq \r(8)－eq \r(2)(eq \r(2)＋4)得( )
A．－2 B.eq \r(2)－4 C．－4 D．8eq \r(2)－4
7．工人师傅常用角尺平分一个任意角做法如下：如图所示，在∠AOB的两边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线OC即是∠AOB的平分线，画法中用到三角形全等的判定方法是( )
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
(3)(7) (8)
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝20°，PQ垂直平分AB，垂足为Q，交BC于点P．按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC，AB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，以大于
EQ \F(1,2)DE的长为半径作弧，两弧相交于点F；③作射线AF．若AF与PQ的夹角为α，则α的度数为（ ）
A．50° B．55° C．45° D．60°
9．化简EQ \F(1,x－4)－EQ \F(2x,x2－16)的结果是( )
A．EQ \F(1,x＋4)B．－EQ \F(1,x＋4)C．－EQ \F(1,x－4)D．EQ \F(1,x－4)
10．已知关于x的不等式组EQ \B\lc\{(\a\al(x－\F(3x－5,2)＜2,2x－a≤－1))，下列四个结论：
①若它的解集是1＜x≤3，则a＝7； ②当a＝3，不等式组有解；
③若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是11≤a＜13； ④若它有解，则a＞3．
其中正确的结论个数（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题(共6小题)
11．计算：eq \r(,18)－2eq \r(,\f(1,2))＝ ．
12．关于x的方程3(x+2)＝k+2的解是正数，则k的取值范围是 ．
13．如图，已知AC＝BD，要使△ABC≌△DCB，则只需添加一个适当的条件是 ．(填一个即可)
（13）（16）
14．若a、b均为正整数，当0＜EQ \R(,a)－b＜1时，我们称b是EQ \R(,a)的“整值”， 则EQ \R(,37)的整值是 ．
15．若a、b、c为△ABC的三边长，且满足EQ \R(3,(a－4)2)+ EQ \R(,b－2)＝0，则c的取值范围是 ．
16．如图，在△ABC中，AC＝BC，AB＝6，△ABC的面积为12，CD⊥AB于点D，直线EF的垂直平分线BC交AB于点E，交BC于点F，P是线段EF上的一个动点，则△PBD的周长的最小值是 ．
三．解答题(共9小题)
17．计算题：(1)EQ \R(,16)－(－EQ \F(1,2))－2+(π－5)0－EQ \R(,3)×EQ \R(\S\DO(),\F(1,3))． (2) (﹣3a3)2•(ab2)÷3ab2．
18．先化简，再求值：(1－EQ \F(1,x－1))÷EQ \F(x2－4x＋4,x2－x) ，其中x＝3．
19．解方程或不等式组：⑴EQ \F(3x,x－7)－EQ \F(3,7－x)＝1． ⑵EQ \B\lc\{(\a\al(\F(1,2)（x＋1）≤2,\F(x＋2,2)≥\F(x＋3,3)))
20．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上一点，PE⊥AD交BC的延长线于点E，若∠B＝35°，∠ACB＝85°，求∠E的度数．
21．已知正数x的两个平方根分别是3a－1和a+5，负数y的立方根与它本身相同．
（1）求a、x、y的值； （2）求x－9y的算术平方根．
22．如图，在△ABC和△ADE中，D是BC边上一点，且AD＝AB，AC＝AE，BC＝DE．
(1)求证：△ABC≌△ADE；
(2)AD平分∠BDE是否成立？请判断并说明理由．
23．为落实“宜居岳阳”的工作部署，市政府计划对城区道路进行了改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的1.5倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天．
（1）甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？
（2）若甲队工作一天需付费用7万元，乙队工作一天需付费用5万元，如需改造的道路全长1200米，改造总费用不超过145万元，至少安排甲队工作多少天？
24．观察下列各式：
第1个等式：EQ \R(,1－\F(1,1))＝EQ \F(0,1)；第2个等式：EQ \R(,1－\F(3,4))＝EQ \F(1,2)；
第3个等式：EQ \R(,1－\F(5,9))＝EQ \F(2,3)；第4个等式：EQ \R(,1－\F(7,16))＝EQ \F(3,4)；…
根据上述规律，解答下面的问题：
⑴若EQ \R(,1－\F(a,b))＝EQ \F(7,8)；则a＝______，b＝______．
⑵EQ \R(,1－\F(199,10000))的值为____________．
⑶请写出第n个等式（n是正整数，用含n的式子表示），并证明．
25．【问题背景】等边△ABC中，D是BC上一点，E是平面上一点，且DE＝AD，∠ADE＝60°，连接CE．
【特例尝试】（1）当点D是线段BC的中点时，如图1．判断线段BD与CE的数量关系，并说明理由；
【初步研讨】（2）当点D是线段BC上任意一点时，如图2．请找出线段AB，CE，CD三者之间的数量关系，并说明理由；
【深入探究】（3）当点D在线段BC的延长线上时，如图3，若△ABC边长为6，设CD＝x,试用含x的代数式表示线段CE．
参考答案
一．选择题(共10小题)
1．B． 2．D． 3．C． 4．C． 5． A．
6．A． 7．A． 8．B． 9．B． 10．B．
10．解：EQ \B\lc\{(\a\al(x－\F(3x－5,2)＜2 ①,2x－a≤－1 ②))，
解不等式①，得x＞1．
解不等式②，得x≤EQ \F(a－1,2)，
所以不等式组的解集为1＜x≤EQ \F(a－1,2)，
①∵它的解集是1＜x≤3，∴EQ \F(a－1,2)＝3，
解得a＝7，故原结论正确；
②∵a＝3，∴EQ \F(a－1,2)＝EQ \F (3－1,2)＝1，
故不等式组无解，故原结论错误；
③∵它的整数解仅有3个，∴4≤EQ \F(a－1,2)＜5，
解得9≤a＜11． 则a的取值范围是9≤a＜11，故原结论错误；
④∵不等式组有解， ∴EQ \F(a－1,2)＞1，
∴a＞3，故本小题正确．
所以正确的结论个数是2个．
二．填空题
11．2EQ \R(,2)．
12．k＞4．
13．【解答】解：∵AC＝BD，BC是公共边，
∴要使△ABC≌△DCB，需添加：①AB＝DC(SSS)，②∠ACB＝∠DBC(SAS)．
答案：AB＝DC或∠ACB＝∠DBC．
14．6．
15．2＜c＜6．
16．【解】：如图，连接CP，
∵AC＝BC，CD⊥AB，
∴BD＝AD＝3，
∵S△ABC＝EQ \F(1,2)•AB•CD＝12，
∴CD＝4，
∵EF垂直平分BC，
∴PB＝PC，
∴PB+PD＝PC+PD，
∵PC+PD≥CD，
∴PC+PD≥4，
∴PC+PD的最小值为4，
∴△PBD的最小值为4+3＝7．
答案：7．
三．解答题(共9小题)
17．【解】：(1)原式＝0
(2) (﹣3a3)2•(ab2)÷3ab2＝9a6•(ab2)÷3ab2＝9a7b2÷3ab2＝3a6．
18．【解】原式＝EQ \F(x,x－2)，
当x＝3时，原式＝3．
19．【解】：⑴去分母，得3x+3＝x﹣7，
∴2x＝﹣10，
∴x＝－5
x＝－5时，x﹣7≠0，
∴x＝－5是原方程的解．
⑵解不等式①得：x≤3，
解不等式②得：x≥0．
故不等式组的解集为0≤x≤3．
在数轴上表示为：
．
20．【解】：∵∠B＝35°，∠ACB＝85°，
∴∠BAC＝60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝30°，
∴∠ADC＝65°，
∴∠E＝25°．
21．解：（1）依题意，得3a－1+a+5＝0，
解得a＝－1，
∴3a－1＝－4，a+5＝4，
∴x＝42＝16．
∵负数y的立方根与它本身相同，
∴y＝－1；
（2）当x＝16，y＝－1时，x－9y＝16－9×（－1）＝25，
∴x－9y的算术平方根为5．
22．【解】(1)证明：在△ABC与△ADE中，EQ \B\lc\{(\a\al(AD＝AB,AC＝AE,DE＝BC))，
∴△ABC≌△ADE(SSS)；
(2)解：成立，理由如下：
由(1)知，△ABC≌△ADE，
∴∠ADE＝∠ABD，
又∵AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB，
∴∠ADB＝∠ADE，
∴AD平分∠BDE．
23．解：（1）设乙工程队每天能改造道路的长度是x米，则甲工程队每天能改造道路的长度是1.5x米，
根据题意得：EQ \F(360,x)－\F(360,1.5x)＝3，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是所列方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝1.5×40＝60．
答：甲工程队每天能改造道路的长度是60米，乙工程队每天能改造道路的长度是40米；
（2）设安排甲队工作m天，则安排乙队工作EQ \F(1200－60m,40)天，
根据题意得：7m+5×EQ \F(1200－60m,40)≤145，
解得：m≥10，
∴m的最小值为10．
答：至少安排甲队工作10天．
24．解：⑴b＝64，a＝15；
⑵EQ \R(,1－\F(199,10000))＝EQ \R(,1－\F(2×100－1,1002))＝EQ \F(100－1,100)＝EQ \F(99,100)．
⑶第n个等式是：EQ \R(,1－\F(2n－1,n2))＝EQ \F(n－1,n)（正整数n≥1）．
证明：左边＝EQ \R(,1－\F(2n－1,n2))＝EQ \R(,\F(n2－(2n－1),n2))＝EQ \R(,\F((n－1)2,n2))＝EQ \F(n－1,n)＝右边．
25．解：（1）BD＝CE，
证明：如图1，连接AE，
∵DE＝AD，∠ADE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠DAE＝60°，
∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，
∴AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝30°，
∵∠DAE＝60°，
∴AC平分∠DAE，
∵△ADE是等边三角形，
∴AC垂直平分DE，
∴CE＝CD，
∵BD＝CD，
∴CE＝BD；
（2）AB＝CE+CD，
证明：如图2，连接AE，
∵DE＝AD，∠ADE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE，∠DAE＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴∠BAC-∠DAC＝∠DAE-∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，EQ \B\lc\{(\a\al(AB＝AC,∠BAD＝∠CAE,AD＝AE))，
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴BD＝CE，
∴AB＝BC＝BD+CD＝CE+CD；
（3）如图3，连接AE，
∵DE＝AD，∠ADE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE，∠DAE＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，EQ \B\lc\{(\a\al(AB＝AC,∠BAD＝∠CAE,AD＝AE))，
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴BD＝CE，
∴CE＝BD＝BC+CD＝x+6，
答案：x+6．
【备用题】
如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝15cm．AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E．AC的垂直平分线交AC于点G，交BC于点F．则EF的长为( C )
A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm
【解】：连接AE，AF，
∵AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E；AC的垂直平分线交AC于点G，交BC于点F．
∴BE＝AE，CF＝AF，
∴∠EAB＝∠B，∠CAF＝∠C，
∵∠BAC＝120°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴∠BAE+∠CAF＝60°，∠AEF＝∠AFE＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE＝AF＝EF，
∴BE＝EF＝FC，
∵BC＝15cm，
∴EF＝5cm．
如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点PQ同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为点P每秒2cm，点Q每秒1cm，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t秒．
(1)当t为何值时，△PBQ为等边三角形；
(2)当t为何值时，△PBQ为直角三角形．
【解】：由题意可知AP＝2t，BQ＝t，
则BP＝AB﹣AP＝6﹣2t，
(1)当△PBQ为等边三角形时，
则有BP＝BQ，即6﹣2t＝t，
解得t＝2，
即当t＝2时，△PBQ为等边三角形；
(2)当PQ⊥BQ时，
∵∠B＝60°，
∴∠BPQ＝30°，
在Rt△PBQ中，BP＝2BQ，
即6﹣2t＝2t，
解得t＝1.5；
当PQ⊥BP时，
同理可得BQ＝2BP，即t＝2(6﹣2t)，
解得t＝2.4，
综上可知当t为1.5或2.4时，△PBQ为直角三角形．
珠海到韶关的距离约为360千米，小刘驾驶小轿车，小张驾驶大货车，两人都从珠海去韶关，小刘比小张晚出发90分钟，最后两车同时到达韶关，已知小轿车的速度是大货车速度的1.5倍．
(1)分别求小轿车和大货车的速度；
(2)当小刘行驶了2小时，此时两车相距多少千米？
【解】：(1)设货车的速度为x千米/时，依题得：
EQ \F(360,x)－\F(360,1.5x)＝\F(90,60)，
解得 x＝80，
经检验 x＝80为原方程的解，
∴1.5x＝120，
答：货车的速度为80千米/时，小汽车的速度为120千米/时．
(2)3.5×80﹣2×120＝40(千米)，
答：两车的距离是40千米．
综合与探究
如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，CE的延长线交BD于点F．
(1)求证：△ACE≌△ABD．
(2)若∠BAC＝∠DAE＝50°，请直接写出∠BFC的度数．
(3)过点A作AH⊥BD于点H，求证：EF+DH＝HF．
【解】(1)证明：∵∠BAC＝∠DAE．
∴∠CAE＝∠BAD．
在△ACE和△ABD中，EQ \B\lc\{(\a\al(AC＝AB,∠CAE＝∠BAD,AE＝AD))，
∴△ACE≌△ABD(SAS)；
(2)解：∵△ACE≌△ABD，
∴∠AEC＝∠ADB，
∴∠AEF+∠AEC＝∠AEF+∠ADB＝180°．
∴∠DAE+∠DFE＝180°，
∵∠BFC+∠DFE＝180°，
∴∠BFC＝∠DAE＝∠BAC＝50°；
(3)证明：如图，连接AF，过点A作AJ⊥CF于点J．
∵△ACE≌△ABD，
∴S△ACE＝S△ABD，CE＝BD，
∵AJ⊥CE，AH⊥BD．
∴EQ \F(1,2)CEAJ＝EQ \F(1,2)BDAH，
∴AJ＝AH．
在Rt△AFJ和Rt△AFH中，EQ \B\lc\{(\a\al(AF＝AF,AJ＝AH))，
∴Rt△AFJ≌Rt△AFH(HL)，
∴FJ＝FH．
在Rt△AJE和Rt△AHD中，EQ \B\lc\{(\a\al(AE＝AD,AJ＝AH))，
∴Rt△AJE≌Rt△AHD(HL)，
∴EJ＝DH，
∴EF+DH＝EF+EJ＝FJ＝FH．