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陕西省咸阳市永寿县御家宫中学2021-2022学年九年级上学期期中数学试题(原卷版+解析版)
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这是一份陕西省咸阳市永寿县御家宫中学2021-2022学年九年级上学期期中数学试题(原卷版+解析版),文件包含精品解析陕西省咸阳市永寿县御家宫中学2021-2022学年九年级上学期期中数学试题原卷版docx、精品解析陕西省咸阳市永寿县御家宫中学2021-2022学年九年级上学期期中数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共32页, 欢迎下载使用。
老师真诚地提醒你:
1.本试卷共8页,满分120分;
2.答卷前请将密封线内的项目填写清楚;
3.书写要认真、工整、规范;卷面干净、整洁、美观.
第一部分(选择题 共24分)
一、选择题(共8小题,每小题3分,计24分.每小题只有一个选项是符合题意的,请将正确答案的序号填在题前的答题栏中)
1. 下列方程属于一元二次方程的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义,根据一元二次方程的定义必须满足四个条件:(1)未知数的最高次数是2;(2)二次项系数不为0;(3)是整式方程;(4)含有一个未知数,逐一进行判断.
【详解】解:A.,含有两个未知数,不是一元二次方程,故本选项不符合题意;
B.,含有两个未知数,不是一元二次方程,故本选项不符合题意;
C.,含有一个未知数,未知数的最高次数是2,二次项系数不为0,是整式方程,是一元二次方程,故本选项符合题意;
D.,是分式,故不是一元二次方程.故本选项不符合题意;
故选:C.
2. 下列各组中的四条线段是成比例线段的是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的知识点是比例线段的概念,如果两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积,我们就说这四条线段叫做成比例线段.
【详解】解:A.,四条线段成比例,故该选项正确,符合题意;
B.,四条线段不成比例,故该选项不正确,不符合题意;
C.,四条线段不成比例,故该选项不正确,不符合题意;
D.,四条线段不成比例,故该选项不正确,不符合题意;
故选:A.
3. 如图,四边形是平行四边形,下列说法不正确的是( )
A. 当时,四边形是矩形
B. 当时,四边形是正方形
C. 当时,四边形是菱形
D. 当时,四边形是矩形
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了特殊四边形的判定定理,平行四边形的性质,根据矩形、菱形、正方形的判定定理逐项分析判断,即可求解.
【详解】解:∵四边形是平行四边形,则,
A.当时,四边形是矩形,故该选项正确,不符合题意;
B.当时,四边形是菱形,故该选项不正确,符合题意;
C.当时,四边形是菱形,故该选项正确,不符合题意;
D.当时,四边形是矩形,故该选项正确,不符合题意;
故选:B.
4. 将一元二次方程配方后,原方程变形为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程,熟练掌握配方法的步骤是解题的关键;
利用解一元二次方程的配方法进行计算即可解答;
【详解】
;
故选:A.
5. 如图1所示,平整的地面上有一个不规则的图案(图中阴影部分),小雅想了解该图案的面积是多少,她采取了以下的办法:用一个长为,宽为的长方形,将不规则图案围起来,然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球,并记录小球在不规则图案上的次数(球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果),她将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的折线统计图,由此她估计此不规则图案的面积大约为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了几何概率和用频率估计概率.
根据图②可得,小球落在不规则图案内的概率约为,设不规则图案的面积为,根据几何概率可得:不规则图案的面积长方形的面积小球落在不规则图案内的概率,列出方程即可求解.
【详解】根据题意可得:小球落在不规则图案内的概率约为,长方形的面积为,
设不规则图案的面积为,
则,
解得:,
不规则图案的面积大约为.
故选:C.
6. 如图,边长为的正方形绕点A逆时针旋转后得到正方形,边与交于点O,则四边形的面积是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质,正方形的性质,等腰直角三角形的判定与性质,连接,利用正方形的性质得,,再根据旋转的性质得点在上,,,则可判断为等腰直角三角形,则,然后利用四边形的面积进行计算即可.
【详解】解:如图,连接,
四边形为边长为的正方形,
,,
正方形绕点A逆时针旋转后得到正方形,
点在上,,,
为等腰直角三角形,
,
四边形的面积
,
故选:C.
7. 如图,,已知,,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据证明,从而证明=,直角三角形ABC中,利用勾股定理计算即可.
【详解】∵,
∴,∠ACB=∠ECD,
∴∴,∠ACE=∠BCD,
∴,
∴=,
∵,,
∴,
∴即,
∴=,
∴=,
故选C.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,勾股定理,比例的性质,熟练掌握相似三角形的判定,灵活运用勾股定理是解题的关键.
8. 如图,在矩形中,E是边的中点,,垂足为F,连接,分析下列四个结论,①,②;③;④.其中正确的结论有( )
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】B
【解析】
【分析】①根据矩形的性质可证明,,即可证明结论正确;
②根据可证明,利用相似三角形的性质即可证明结论正确;
③过点D作,分别交,于点M,N,可证明四边形平行四边形,则,进一步可证明垂直平分,可得结论正确;
④设,,证明,并利用相似三角形的性质列方程并求解,即得,根据勾股定理求的长,计算的值,即可判断结论是否正确.
【详解】四边形是矩形,
,,,
,
,
,
,
①正确;
,
,
,
是边的中点,
,
,
②正确;
如图,过点D作,分别交,于点M,N,
则四边形平行四边形,
,
,
,
,
,
垂直平分,
,
③正确;
设,,则,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
即,
,
④错误;
故选B.
【点睛】本题主要考查了矩形的性质,相似三角形的判定和性质,三角形中位线定理的推论,勾股定理,正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键.
第二部分(非选择题 共96分)
二、填空题(共5小题,每小题3分,计15分)
9. 在一个不透明的布袋中装有红球、黄球、白球共个,这些球除颜色外都相同.小明从中随机摸出一个球记下颜色并放回,通过大量重复试验,发现摸到红球的频率稳定在,则布袋中红球的个数大约是___________.
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了利用频率估计随机事件的概率根据摸到红球的频率,再利用红球个数总数摸到红球的频率,进而得出答案.
【详解】解:根据题意得:.
答:布袋中红球的个数大约是.
故答案为:.
10. 如图, ,直线,与,,分别相交于点,,和点,,.若,则___________.
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理,根据平行线分线段成比例定理列出比例式,代入计算得到答案.
【详解】∵,
∴,即,
∴.
故答案为:.
11. 如图,在中,是上一点,分别是的中点,若,则的长是___________.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质,直角三角形斜边中线的性质;
连结,根据等腰三角形三线合一的性质得出,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得.
【详解】解:如图,连结,
∵,是中点,
∴,
又∵在中,是的中点,,
∴,
故答案为:.
12. 如图,在中,,,,是边上一个动点,当___________时,与相似.
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定,正确分类讨论是解题的关键;
分类讨论或,即可解答;
【详解】,,,
当与时,
,
,
解得:;
当与时,
,
,
解得:;
综上所述:当或时,与相似.
故答案为:或
13. 如图,,矩形的顶点A,B分别在边上,当点B在边上运动时,点A随之在上运动,矩形的形状保持不变,其中,运动过程中,点D到点O的最大距离是___________.
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形的性质,三角形的三边关系,矩形的性质,勾股定理,取的中点M,连接、、,根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当O、D、M三点共线时,点D到点O的距离最大,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长,再根据勾股定理列式求出的长,两者相加即可得解.
【详解】解:如图,取的中点M,连接、、,
,
当O、D、M三点共线时,点D到点O的距离最大,
矩形的形状保持不变,其中,,
,
,
点D到点O的最大距离是,
故答案为:.
三、解答题(共13小题,计81分,解答应写出过程)
14. 用因式分解法解一元二次方程:.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程,根据题意十字相乘法因式分解,解一元二次方程,即可求解.
【详解】解:,
∴,
∴或,
解得:.
15. 如图,在中,,在上求作点,使得.(保留作图痕迹,不写作法)
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质,作垂线;根据相似三角形的性质作作即可.
【详解】解:如图,点即为所求.
作图理由:∵,,
∴,
又∵,
∴.
16. 下面是小宇和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据.
(1)将表格补充完整;
(2)根据上表统计的数据,估计“正面朝上”的概率.
【答案】(1)见解析 (2)
【解析】
【分析】本题考查求频率;利用频率估计概率的知识;
(1)根据频率为,将表格补充完整;
(2)随着实验次数的增加,正面向上的频率逐渐稳定到某个常数附近,据此求解即可.
【小问1详解】
解:填表如下:
【小问2详解】
随着实验次数的增加,正面朝上的频率逐渐稳定到附近,
估计“正面朝上”的概率为.
17. 如图,四边形四边形,,.
(1)___________;
(2)求边的长度.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】本题考查了相似多边形的性质;
(1)根据相似多边形的性质得出对应角相等,根据四边形内角和定理求得;
(2)由四边形四边形,根据相似多边形对应边的比相等列出比例式,将,代入,计算即可求出边的长.
【小问1详解】
解:∵四边形四边形,
∴
∴
故答案为:
【小问2详解】
解:∵四边形四边形
∴
∵,
∴
解得:
18. 如图,在中,,O是斜边上的中点,,求证:四边形是矩形.
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了中位线的性质,矩形的判定,平行四边形的判定,解题的关键是熟练掌握中位线的性质,先判定,根据,得出四边形为平行四边形,根据,得出结论即可.
【详解】证明:∵O是斜边上的中点,,
∴为的中位线,
∴,
∵,
∴四边形为平行四边形,
∵,
∴四边形是矩形.
19. 已知关于x的一元二次方程:.
(1)当a为何值时,方程总有两个不相等的实数根;
(2)若方程的一个根是1,求a的值及方程的另一个根.
【答案】(1)
(2),另一个根为
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义,根与系数的关系,根的判别式;
(1)利用根的判别式进行求解即可;
(2)根据一元二次方程解的定义得到,再根据根与系数的关系求解即可.
【小问1详解】
解:∵,即
依题意,
∵方程总有两个不相等的实数根
∴
解得:;
【小问2详解】
解:设方程的两个根分别为,其中,
∵
∴,
∴,
20. 2021年6月17日,搭载神舟十二号载人飞船的长征二号F遥十二运载火箭,在酒泉卫星发射中心点火发射成功,顺利将聂海胜、刘伯明、汤洪波3名航天员送入太空,语文课上老师要求同学从三名宇航员及长征二号F运载火箭的总设计师容易中随机抽取2人进行介绍.现将四人的照片(如图)背面向上放置(背面完全相同),宁宁先从中随机抽取一张照片,记录下照片上的姓名序号,再从剩余的照片中再随机抽取一张照片,记录下照片上的姓名序号.请你用列表或画树状图的方法求出宁宁抽到“容易”和“聂海胜”两人的概率.
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了用列表法或画树状图求概率,根据题意得出,抽取一张不放回,列表表格,然后根据表格得信息直接用概率公式求解即可.
【详解】解:根据题意得出,抽取一张不放回,列表如下:
根据列表,可值共有12种情况,
抽到“容易”和“聂海胜”两人概率即抽到A和D的情况有2种,
∴抽到“容易”和“聂海胜”两人的概率为:.
21. 如图,点C、D在线段AB上,是等边三角形,若,求证:.
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据等边三角形的性质得到∠PCD=∠PDC=∠CPD=60°,于是推出∠ACP=∠PDB=120°,等量代换得到∠BPD=∠A,根据相似三角形的判定得到△ACP∽△PDB,由相似三角形的性质得到,根据等边三角形的性质得到PC=PD=CD,等量代换得到,即可得到结论.
【详解】证明:∵△PCD是等边三角形,
∴∠PCD=∠PDC=∠CPD=60°,
∴∠ACP=∠PDB=120°,
∵∠APB=120°,
∴∠APC+∠BPD=60°,
∵∠A+∠APC=60°,
∴∠BPD=∠A,
∴△ACP∽△PDB,
∴,
∵△PCD是等边三角形,
∴PC=PD=CD,
∴,
∴.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,等边三角形的性质,证明出△ACP∽△PDB是解题的关键.
22. “核桃”是四大坚果之一,核桃仁含有丰富的营养紫,蛋白质,碳水化合物,并含有人体所必需的钙、磷、铁等多种微量元素和矿物质,核桃树在陕西多地均有种植.某核桃基地对市场调查发现,当核桃的售价为元/千克时,每天能售出千克,售价每降低元,每天可多售出千克,为了推广宣传,基地决定降价促销,同时尽量减少库存,已知该基地核桃的平均成本价为元/千克,若使销售核桃每天的利润为元,则售价应降低多少元?
【答案】售价应降低元
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程应用;设售价应降低元,则每天可售出千克,每千克的利润为元,根据每天获利元,可得方程,解方程即可.
【详解】解:设售价应降低元,则每天可售出千克,
根据题意,得,
整理得,,
解得,,
要减少库存,
不合题意,舍去,
;
答:售价应降低元.
23. 如图,在菱形中,,是边上一点,,是边上一点,且,连接并延长交的延长线于点G,求点F到的距离.
【答案】
【解析】
【分析】根据三角形内角和定理得出,根据含30度角的直角三角形的性质得出,勾股定理求得,进而证明,得出,过点作于点,则,证明得出,即可求解.
【详解】解:∵,,
∴,
∵中,,,
∴,
∴,
在中,,
∵四边形是菱形,则,
∴,,
∴,
在中,
∴,
∴,
过点作于点,则,
∴,
∴,
∴.
【点睛】本题考查了菱形的性质,相似三角形的性质与判定,含30度角的直角三角形的性质,勾股定理,全等三角形的性质与判定,熟练掌握以上知识是解题的关键.
24. 大雁塔建于唐长安城晋昌坊(今陕西省西安市南)的大慈恩寺内,又名“慈恩寺塔”,是唐长安城保留至今的标志之一.某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度,在地面上的C处垂直于地面竖立了高度为4米的标杆,这时地面上的点E,标杆的顶端点D,大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上,测得米,将标杆向后平移到点G处,这时地面上的点F,标杆的顶端点H,大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上(点F,G,E,C与塔底处的点A在同一直线上),测得米,米.请你根据以上数据,计算大雁塔的高度.
【答案】64米
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的应用,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会构建方程解决问题;
首先证,,得,,根据,推出,列方程求出,由得,由此即可解答;
【详解】,,,
,
,,
,,
,
,即,
,,,
,
米,
,
,
米,
答:大雁塔的高度为64米.
25. 如图,矩形的对角线相交于点,点,在上,且.
(1)求证:;
(2)若,求矩形的面积.
【答案】(1)见解析 (2)
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理;
(1)由矩形的性质得出,,,,证出,由证明,即可得出,进而即可得证;
(2)证出是等边三角形,得出,,在中,由勾股定理求出,即可得出矩形的面积.
【小问1详解】
证明:四边形是矩形,
,,,,
,
,
在和中,
,
(),
,
;
【小问2详解】
解:,,,
,
,
是等边三角形,
,
,
在中,,
矩形的面积.
26. 如图1,正方形ABCD和正方形AEFG,连接DG,BE
(1)[发现]:当正方形AEFG绕点A旋转,如图2,线段DG与BE之间的数量关系是____;位置关系是___;
(2)[探究]:如图3,若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形,且AD=2AB,AG=2AE,猜想DG与BE的数量关系与位置关系,并说明理由;
(3) [应用]:在(2)情况下,连结GE(点E在AB上方),若GE//AB,且AB=,AE=1,求线段DG的长
【答案】(1)BE=DG,BE⊥DG;(2)DG=2 BE,BE⊥DG,理由见详解;(3)4
【解析】
【分析】(1)先判断出△ABE≌△DAG,进而得出BE=DG,∠ABE=∠ADG,再利用等角的余角相等即可得出结论;
(2)先利用两边对应成比例夹角相等判断出△ABE∽△DAG,得出∠ABE=∠ADG,再利用等角的余角相等即可得出结论;
(3)先求出BE,进而得出BE=AB,即可得出四边形ABEG是平行四边形,进而得出∠AEB=90°,求出BE,借助(2)得出的相似,即可得出结论.
【详解】解:(1)①∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形,
∴AE=AG,AB=AD,∠BAD=∠EAG=90°,
∴∠BAE=∠DAG,
在△ABE和△ADG中,
AB=AD,∠BAE=∠DAG,AE=AG,
∴△ABE≌△ADG(SAS),
∴BE=DG;
②如图,延长BE交AD于Q,交DG于H,
由①知,△ABE≌△ADG,
∴∠ABE=∠ADG,
∵∠AQB+∠ABE=90°,
∴∠AQB+∠ADG=90°,
∵∠AQB=∠DQH,
∴∠DQH+∠ADG=90°,
∴∠DHB=90°,
∴BE⊥DG,
故答案为:BE=DG,BE⊥DG;
(2)如图,延长BE交AD于I,交DG于H,
∵四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形,
∴∠BAD=∠EAG,
∴∠BAE=∠DAG,
∵AD=2AB,AG=2AE,
∴,
∴△ABE∽△ADG,
∴∠ABE=∠ADG,,
即: DG=2 BE,
∵∠AIB+∠ABE=90°,
∴∠AIB+∠ADG=90°,
∵∠AIB=∠DIH,
∴∠DIH+∠ADG=90°,
∴∠DHB=90°,
∴BE⊥DG;
(3)如图3,(为了说明点B,E,F在同一条线上,特意画的图形)
EG与AD的交点记作M,
∵EG∥AB,
∴∠DME=∠DAB=90°,
Rt△AEG中,AE=1,
∴AG=2AE=2,
根据勾股定理得,EG=,
∵AB=,
∴EG=AB,
∵EG∥AB,
∴四边形ABEG是平行四边形,
∴AG∥BE,
∵AG∥EF,
∴点B,E,F在同一条直线上如图4,
∴∠AEB=90°,
在Rt△ABE中,根据勾股定理得,BE==2,
由(2)知,△ABE∽△ADG,
∴,
∴,
∴DG=4.
【点睛】此题是四边形综合题,主要考查了正方形的性质,矩形的性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,平行四边形的判定和性质,旋转的性质,判断出△ABE≌△ADG或△ABE∽△ADG是解本题的关键.
抛掷次数
正面朝上的频数
正面朝上的频率
抛掷次数
正面朝上的频数
正面朝上的频率
A
B
C
D
A
B
C
D
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