人教版七年级数学下册同步精品讲义第02讲专题5.2平行线及其判定(学生版+解析)

这是一份人教版七年级数学下册同步精品讲义第02讲专题5.2平行线及其判定(学生版+解析)，共73页。

平行线定义；平行公理：同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
平行线的判定
1．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．
2．两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
3．两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
考点精讲
考点1：平面内两直线位置关系
典例：(2023秋·浙江绍兴·七年级校联考期中）下列说法正确的有（填序号）：_____．
①同位角相等；
②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线；
③在同一平面内，如果a//b，b//c，则a//c；
④在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
方法或规律点拨
本题主要考查了平行线的性质及平行公理，理解平行的性质是解答本题的关键．
巩固练习
1．(2023春·八年级单元测试）在下列4个判断中：
①在同一平面内，不相交也不重合的两条线段一定平行；②在同一平面内，不相交也不重合的两条直线一定平行；③在同一平面内，不平行也不重合的两条线段一定相交；④在同一平面内，不平行也不重合的两条直线一定相交．正确判断的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
2．(2023秋·河北石家庄·七年级统考期中）下列说法正确的是（ ）
A．在同一平面内，不重合的两条直线一定相交
B．经过直线a外一点P，可以画出无数条直线与直线a平行
C．在同一平面内，若直线，，则
D．在同一平面内，已知直线a，可以画出无数条直线与直线a垂直
3．(2023秋·北京·七年级校考期中）下列语句正确的有（ ）
①量出直线外一点到直线的距离；
②在同一平面内，两条不同直线有且只有一个公共点
③从直线外一点到这条直线的垂线段叫作直线的距离
④两条直线有相交、垂直、平行三种位置关系
A．个B．个C．个D．个
4．(2023春·江苏·七年级专题练习）下列说法中，错误的有（ ）
①若，，则；
②若与相交，与相交，则与相交；
③相等的角是对顶角；
④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
A．个B．个C．个D．个
5．(2023春·七年级课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．在同一平面内，，，是直线，且，则
B．在同一平面内，，，是直线，且，，则
C．在同一平面内，，，是直线，且，则
D．在同一平面内，，，是直线，且，则
6．(2023秋·安徽合肥·七年级校考阶段练习）下列说法中，正确的个数有（ ）
（1）过一点有无数条直线与已知直线平行
（2）如果a∥b，a∥c，那么b∥c
（3）在同一平面内，两条不重合的线段，如果它们不相交，那么就平行
（4）在同一平面内，两条不重合的直线，如果它们不相交，那么就平行
A．个B．个C．个D．个
7．(2023·河北石家庄·石家庄市第四十一中学校考模拟预测）如图，在同一平面内．经过直线l外一点O有四条直线①②③④，借助直尺和三角板判断，与直线l平行的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
8．(2023秋·黑龙江佳木斯·七年级桦南县第四中学校联考阶段练习）下列说法中，错误的是（ ）
①a与c相交，b与c相交，则a与b相交；
②若ab，bc，则ac；
③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④在同一平面内，两条直线的位置关系平行、相交、垂直三种．
A．3个B．2个C．1个D．0个
9．(2023·浙江·九年级专题练习）在同一平面内，不重合的三条直线的交点有（ ）个．
A．1或2B．2或3C．1或3D．0或1或2或3
10．(2023春·八年级单元测试）下列说法正确的有（ ）
①两点之间的所有连线中，线段最短；
②相等的角叫对顶角；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
⑤两点之间的距离是两点间的线段；
⑥在同一平面内的两直线位置关系只有两种：平行或相交．
A．1个B．2个C．3个D．4个
11．(2023秋·甘肃金昌·七年级校考期中）在同一平面内，两条直线可能的位置关系是 ( )
A．平行 B．相交 C．相交或平行 D．垂直
12．(2023春·山东淄博·八年级统考期中）语言是思维的工具，要学好几何证明，必须学会语言的表达和运用．几何语言可分为文字语言、符号语言与图形语言．例知：“直线a与b互相平行”是文字语言，“”是符号语言，那么“直线a与b互相平行”的图形语言是______．
考点2：平行公理及应用
典例： (2023秋·湖北宜昌·七年级统考期末）按要求完成下列问题，其中画图不写作法．
(1)画出从点P到水渠边的最短距离，并说明道理．
(2)过点P画出的平行线，这样的平行线有几条，为什么？
（1）道理： ．
（2）理由： ．
方法或规律点拨
本题主要考查了点到直线的距离，平行线的公理，熟练掌握点到直线，垂线段最短；过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行是解题的关键．
巩固练习
1．(2023秋·辽宁沈阳·七年级校考期中）下列说法正确的是（ ）
A．直线外一点到已知直线的垂线段叫做这点到直线的距离．
B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
C．三角形的三条高线交于一点．
D．平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直．
2．(2023·全国·七年级专题练习）下列说法中是真命题正确的个数有（ ）个
（1）若ab，bd，则ad；（2）过一点有且只有一条直线与已知直线平行；（3）两条直线不相交就平行；（4）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．(2023秋·辽宁葫芦岛·七年级统考阶段练习）下列说法中，正确的有( )
若，，则；
②若与相交，与相交，则与相交；
③相等的角是对顶角；
④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
A．3个B．2个C．1个D．0个
4．(2023秋·广东广州·七年级校考期中）下列说法中正确的个数有( )
①同位角相等；②相等的角是对顶角；③直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑤不相交的两条直线叫做平行线；⑥若直线a∥b，b∥c，则a∥c
A．个B．个C．个D．个
5．(2023春·七年级课时练习）下列说法正确的是（ ）
①若直线与没有交点，则；②平行于同一条直线的两条直线平行；③不相等的角一定不是对顶角；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑤过直线外一点作直线的垂线段，叫做点到直线的距离．
A．①③④B．③⑤C．②③D．②④
6．(2023秋·江苏无锡·七年级校考阶段练习）下列说法：①两点之间的所有连线中，线段最短；②相等的角是对顶角； ③过一点有且仅有一条直线与已知直线平行； ④两点之间的距离是两点间的线段； ⑤若AB＝BC，则点B为线段AC的中点；⑥不相交的两条直线叫做平行线．其中正确的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
7．(2023秋·广西河池·七年级统考期中）若直线a，b，c，d有下列关系，则推理正确的是（ ）
A．∵a∥b，b∥c，∴c∥d B．∵a∥c，b∥d，∴c∥d
C．∵a∥b，a∥c，∴b∥c D．∵a∥b，c∥d，∴a∥c
8．(2023秋·全国·七年级假期作业）下列说法正确的个数是（ ）．
（1）两条直线不相交就平行；
（2）在同一平面内，两条平行的直线有且只有一个交点；
（3）过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
（4）平行于同一直线的两条直线互相平行；
（5）两直线的位置关系只有相交、平行与垂直．
A．0B．1C．2D．4
9．(2023秋·湖北恩施·七年级校考期中）下列说法中正确的个数为（ ）
①在平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和垂直；
②在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离．
A．2个B．3个C．4个D．5个
10．(2023秋·山东泰安·六年级校考阶段练习）已知直线a，b，c是同一平面内的三条不同直线，下面四个结论：
①若则；②若则；③若则；④若且与相交，则与相交，其中，结论正确的是（ ）
A．①②B．③④C．①②③D．②③④
11．(2023·河北·一模）经过直线 l 外一点O的四条直线中，与直线l相交的直线至少有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
12．(2023秋·山东菏泽·七年级统考期中）下列说法正确的个数有（ ）
①同位角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④若a∥b，b∥c，则a∥c．
A．1个B．2个C．3个D．4个
13．(2023秋·江苏宿迁·七年级统考期中）下列说法中：
①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②已知直线a，b，c，若，则，
③相等的角是对顶角；
④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．
其中正确的有_________．（填序号）
14．(2023春·八年级课时练习）如图，一组直线a，b，c，d是否都互相平行？
考点3：平行线的判定
典例：(2023·全国·七年级专题练习）如图，已知点O在直线AB上，射线OE平分∠AOC，过点O作OD⊥OE，G是射线OB上一点，连接DG，使∠ODG+∠DOG=90°．
(1)求证：∠AOE=∠ODG；
(2)若∠ODG=∠C，试判断CD与OE的位置关系，并说明理由．
方法或规律点拨
本题考查了角平分线定义，垂直的定义，平行线的判定，等角的余角相等，正确识图是解题的关键．
巩固练习
1．(2023秋·辽宁沈阳·七年级沈阳市南昌初级中学（沈阳市第二十三中学）阶段练习）如图，点在的延长线上，则下列条件中．不能判定的是（ ）
A．B．
C．D．
2．(2023春·全国·八年级专题练习）如图，在下列四组条件中，能判断的是（ ）
A．B．C．D．
3．(2023春·八年级单元测试）在同一平面内，将两个完全相同的三角板按如图摆放（直角边重合），可以画出两条互相平行的直线，这样操作的依据是（ ）
A．两直线平行，同位角相等B．同位角相等，两直线平行
C．两直线平行，内错角相等D．内错角相等，两直线平行
4．(2023春·全国·八年级专题练习）如图所示，直线、被、所截，下列条件中能说明的是（ ）
A．B．C．D．
5．(2023秋·上海闵行·七年级校考阶段练习）如图，下列条件中，能够判定的是（ ）
A．B．C．D．
6．(2023秋·广东东莞·七年级校考期中）如图，下列条件中不能判定的是（ ）
A．B．C．D．
7．(2023秋·陕西渭南·七年级统考阶段练习）如图，与交于点O，下列条件中①；②；③；④，能判断的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．(2023秋·广东东莞·七年级东莞市中堂中学校考期中）如图，点在的延长线上，下列条件不能判定的是（ ）
A．B．C．D．
9．(2023秋·福建福州·七年级校考期中）如图，过直线外一点作已知直线的平行线，其依据是（ ）
A．两直线平行，同位角相等B．内错角相等，两直线平行
C．同位角相等，两直线平行D．两直线平行，内错角相等
10．(2023秋·广东东莞·七年级统考期中）如图，，下列结论正确的是（ ）
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若，则．
A．①②B．②④C．②③④D．②
11．(2023秋·四川雅安·七年级统考期中）如图所示，下列条件中，能判断的是（ ）
A．B．C．D．
12．(2023春·全国·八年级专题练习）如图，在下列给出的条件中，不能判定的是（ ）
A．B．C．D．
13．(2023秋·山东济南·七年级统考期中）如图，下列能判定的是（ ）
A．B．C．D．
14．(2023春·上海奉贤·八年级校考期中）如图，下列推论正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
15．(2023秋·江苏盐城·七年级统考阶段练习）如图，点在的延长线上，下列条件中能判定的是（ ）
A．B．
C．D．
16．(2023秋·重庆秀山·七年级校考期末）如图，点E在BC的延长线上，下列条件中能判断的是（ ）
A．∠l＝∠2B．∠3＝∠4
C．∠ADC＝∠DCED．∠A+∠ABC＝180°
17．(2023·全国·七年级专题练习）如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①；②；③如果，则有；④．其中正确的序号是（ ）
A．①②③④B．①②④C．①②③D．①③④
18．(2023秋·北京·七年级校考期中）数学课上，同学提出如下问题：如何证明“两直线平行，同位角相等”？老师说这个证明可以用反证法完成，思路及过程如下：
如图1，我们想要证明“如果直线，被直线所截，，那么”
如图2，
假设，过点作直线，使，
依据基本事实（1）___________，
可得．这样过点就有两条直线，都平行于直线，
这与基本事实（2）___________矛盾
说明的假设是不对的，于是有．
17．(2023秋·广东肇庆·七年级校考期中）如图，已知，，求证．
20．(2023春·八年级课时练习）已知：如图，于点C，于点D，．求证：．
21．(2023·全国·七年级专题练习）如图，直线、交于点O，，分别平分和，已知，且．
(1)求的度数；
(2)试说明的理由．
考点4：与平行线有关的作图问题
典例：(2023秋·河南商丘·七年级统考期末）如图，直线CD与直线AB相交与点O，直线外有一点P．
(1)过点P画，交AB于点M，过点P画，垂足为N；
(2)若、求∠COM的度数．
方法或规律点拨
本题考查了基本作图以及平行线的性质，培养了学生过直线外一点作已知直线的平行线和垂线的画图能力．
巩固练习
1．(2023春·吉林长春·七年级校考期末）在如图所示的正方形网格中，网格中纵向和横向线段的交点叫做格点在格点上．按下述要求画图：
(1)画射线AC；
(2)过点B画AC的平行线BD，点D在格点上；
(3)在射线AC上取一点E，画线段BE，使其长度表示点B到AC的距离．
2．(2023·全国·七年级专题练习）如图，己知点P、Q分别在的边上，按下列要求画图：
(1)画射线；
(2)过点P画垂直于射线的线段，垂足为点C；
(3)过点Q画直线平行于射线．
3．(2023秋·北京·七年级校考期中）画图并解答：
如图，是内一点．按要求完成下列问题：
(1)过作的垂线，垂足为点；
(2)过点作的平行线，交于点：再过作的垂线段，垂足为点；
(3)判断与的位置关系是：______．
4．(2023春·江苏扬州·七年级期末）如图，方格纸中有一条直线AB和一格点P．
(1)过点P画直线PM∥AB；
(2)在直线AB上找一点N，使得PN最小．
5．(2023秋·福建龙岩·七年级校考阶段练习）按以下各步画图（不写画法）
(1)画出一个角∠MON，且使∠MON=150°；
(2)在角∠MON内任取一点P，过点P作 ,交射线OM于点A；
(3)过点A作垂线AB，使AB⊥ON,垂足为点B；
(4)画射线PO(或反向延长射线PO)交垂线AB于点C
线，射线，垂线，平行线的定义，属于中考常考题型．
6．(2023秋·江西吉安·七年级统考期末）作图题：
在如图所示的方格纸中不用量角器与三角尺，仅用直尺．
(1)经过点，画线段平行于所在直线．
(2)过点，画线段垂直于所在直线．
7．(2023秋·海南省直辖县级单位·七年级统考期中）如图，请使用三角板与直尺画图：
(1)过点Р作直线，交ON于点A；
(2)过点Р向OM作垂线，垂足为点C，交ON于点D；
8．(2023秋·河南许昌·七年级统考期中）如图，点P为内一点，按要求完成下列问题：
(1)过点P作射线BC的垂线，垂足为点D；
(2)过点P作射线BA的平行线，交射线BC于点E；
(3)比较线段PD和PE的大小，并说明理由．
9．(2023秋·北京·七年级北京市第五中学分校校考期末）如图，按要求画图并填空：
(1)过点A作直线AB⊥OA，与∠O的另一边相交于点B；
(2)画出点A到OB的垂线段，垂足为点C；
(3)过点C作射线CDOA，交直线AB于点D；
(4)图中与∠O相等的角有 个．
10．(2023春·河南南阳·七年级统考期末）已知平面上有A、C、D三点，如图，请按要求完成下列问题．
(1)画射线AD，线段AC；
(2)利用圆规在射线AD上截取DB，使（保留作图痕迹），连接BC；
(3)过点D画出AC的平行线DF，交BC于E；
(4)通过测量猜测线段DE与AC之间的数量关系．
11．(2023秋·河南郑州·七年级郑州外国语中学校考期中）如图所示的正方形网格，点、、都在格点上．
(1)利用网格作图：
①过点画直线的平行线，并标出平行线所经过的格点；
②过点画直线的垂线，并标出垂线所经过的格点，垂足为点；
(2)线段_________的长度是点到直线的距离；
(3)比较大小：（填＞、＜或＝），理由是：__________________．
12．(2023秋·北京·七年级北京市第十三中学分校校考期中）如图，平面内有两条直线，点A在直线上，按要求画图并填空：
(1)过点A画直线的垂线，垂足为点B，点A到直线距离为线段______的长度；
(2)过点A画直线交直线于点于点C；
(3)过点A画直线；
13．(2023秋·河北承德·七年级统考期末）如图，直线与直线交于点，点为直线、外一点，根据下列语句画图，并作答：
(1)过点画交于点；
(2)过点画，垂足为；
(3)点为直线上一点，连接，连接.
14．(2023春·七年级课时练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长是1，点M、N、P、Q均为格点（格点是指每个小正方形的顶点），线段MN经过点P．
(1)过点P画MN的垂线；
(2)过点Q画MN的平行线；
(3)若格点F使△PFM的面积等于4，则这样的点F共有______个．
15．(2023春·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，已知∠AOB＝30°，完成下列问题：
(1)在射线OB上取一点C，使OC＝2cm；
(2)过点C画直线m，使m//OA；
(3)过点O画直线l，使l⊥OA；
(4)设直线m与直线l交于点D，度量线段OD＝ cm，∠OCD＝ 度．
16．(2023秋·上海静安·七年级统考期中）按下列要求画图并填空
已知直线AB、CD相交于点O，点P为这两条直线外一点
(1)过点P画直线PE⊥AB，垂足为E
(2)过点P画直线PF⊥CD，垂足为F
(3)过点P画直线PM∥AB，交CD于点M
(4)点P到直线CD的距离是线段 的长
(5)直线PM与AB间的距离是线段 的长
能力提升
一、单选题（每题3分）
1．(2023秋·浙江台州·七年级校联考阶段练习）在同一个平面内的直线a，b，c，若，，则b与c的关系是（ ）
A．平行B．垂直C．相交D．不能确定
2．(2023春·全国·七年级专题练习）如图，已知A、B、C三点，过点A可画直线BC的平行线的条数是（ ）
A．0条B．1条C．2条D．无数条
3．(2023春·七年级课时练习）下列说法中，错误的有（ ）．
①若与相交， 与相交，则与相交；
②若，那么；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种．
A．3个B．2个C．1个D．0个
4．(2023春·北京东城·八年级校考期末）如图，在下列条件中，能够证明的条件是（ ）
A．B．
C．D．
5．(2023春·全国·八年级专题练习）如图，下列结论不成立的是（ ）
A．如果∠1＝∠3，那么
B．如果∠2＝∠4，那么
C．如果∠1+∠2+∠C＝180°，那么
D．如果∠4＝∠5，那么
6．(2023秋·湖北襄阳·七年级校考阶段练习）如图直线，与直线相交，给出下列条件：
①；②；③；④，其中能判断的有几个（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（每题3分）
7．(2023秋·全国·七年级专题练习）直线a∥b，b∥c，则直线a与c的位置关系是________．
8．(2023秋·内蒙古通辽·七年级统考期末）现有下列说法：
①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
③若，，则；
④若，的两边与的两边分别平行，则或；
⑤若，，则．
其中正确的是_______（填写序号）．
9．(2023秋·吉林四平·七年级校考阶段练习）如图，要使，需补充一个条件，你认为这个条件应该是______（填一个条件即可）．
10．(2023秋·全国·七年级期末）下列说法正确的是________（填序号）．
①同位角相等；②对顶角相等；③在同一平面内，不相交也不重合的两条射线一定平行；④过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；⑤如果直线，那么；⑥垂线段最短；⑦过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
11．(2023秋·河南漯河·七年级校考阶段练习）下列4个命题，
①在同一平面内，、、是直线，，，则；
②在同一平面内，、、是直线，，，则；
③在同一平面内，、、是直线，，，则；
④在同一平面内，、、是直线，，，则．
正确的有_________（填写序号）．
12．(2023秋·湖北黄冈·七年级校考阶段练习）如图，不添加辅助线，请写出一个能判定ABCD的条件__
三、解答题（13题5分，14题6分，15题7分）
13．(2023秋·重庆铜梁·七年级统考期末）已知，如图：
(1)过点B画直线BM∥AC；
(2)延长BC至点D，使CD＝BC；
(3)过点A作BC的垂线AN，垂足为点N．
（说明（1）至（3）用直尺或三角板画图，不写画法．）
(4)在前面所作图中，若点N是BC的中点，CN＝2cm，则BD的长为______cm
14．(2023春·八年级课时练习）学习了两条直线平行的判定方法1后，谢老师接着问：“由同位角相等，可以判断两条直线平行，那么能否利用内错角相等来判定两条直线平行呢？”如图，直线AB和CD被直线EF所截，∠2＝∠3，ABCD吗？说明理由．
现请你补充完下面的说理过程：
答：ABCD
理由如下：
∵∠2＝∠3（已知）
且 （ ）
∴∠1＝∠2
∴ABCD（ ）
15．(2023秋·陕西咸阳·七年级校联考期中）如图，已知点E在直线DC上，射线EF平分∠AED，过E点作，G为射线EC上一点，连接BG、AB，且．
(1)试说明；
(2)若试判断AB与EF平行吗？并说明理由．
小贴士
反证法不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立．
在某些情形下，反证法是很有效的证明方法。
专题5.2 平行线及其判定
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平行线定义；平行公理：同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
平行线的判定
1．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．
2．两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
3．两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
考点精讲
考点1：平面内两直线位置关系
典例：(2023秋·浙江绍兴·七年级校联考期中）下列说法正确的有（填序号）：_____．
①同位角相等；
②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线；
③在同一平面内，如果a//b，b//c，则a//c；
④在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
【答案】③④##④③
【分析】根据平行线的性质、平行公理逐个判断即可．
【详解】解：①两直线平行，同位角相等，故①错误；
②在同一平面内，两条不相交的直线是平行线，故②错误；
④在同一平面内，如果a//b，b//c，则a//c，符合平行公理，故③正确；
⑤在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故④正确．
故答案为③④．
方法或规律点拨
本题主要考查了平行线的性质及平行公理，理解平行的性质是解答本题的关键．
巩固练习
1．(2023春·八年级单元测试）在下列4个判断中：
①在同一平面内，不相交也不重合的两条线段一定平行；②在同一平面内，不相交也不重合的两条直线一定平行；③在同一平面内，不平行也不重合的两条线段一定相交；④在同一平面内，不平行也不重合的两条直线一定相交．正确判断的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】根据平面内两条直线的三种位置关系：平行或相交或重合进行判断．
【详解】解：在同一平面内，不相交也不重合的两条直线一定平行，故①错误，②正确；
在同一平面内，不平行也不重合的两条直线一定相交，故③错误，④正确．
故正确判断的个数是2．
故选：C．
【点睛】本题考查了平面内两条直线的三种位置关系，平行、相交或重合，熟练掌握这三种位置关系是解题的关键．
2．(2023秋·河北石家庄·七年级统考期中）下列说法正确的是（ ）
A．在同一平面内，不重合的两条直线一定相交
B．经过直线a外一点P，可以画出无数条直线与直线a平行
C．在同一平面内，若直线，，则
D．在同一平面内，已知直线a，可以画出无数条直线与直线a垂直
【答案】D
【分析】根据平面内两条直线的位置关系，平行线公理，垂线的定义与性质对各项进行分析即可．
【详解】解：在同一平面内，两直线的位置关系有：相交，平行，
则说法错误，不符合题意；
过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直，
故B说法错误，不符合题意；
在同一平面内，若直线，，则，
故C说法错误，不符合题意；
在同一平面内，已知直线，可以画出无数条直线与直线垂直，
故D说法正确，符合题意，
故选：．
【点睛】本题主要考查平面内与两条直线位置有关的基础知识，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．
3．(2023秋·北京·七年级校考期中）下列语句正确的有（ ）
①量出直线外一点到直线的距离；
②在同一平面内，两条不同直线有且只有一个公共点
③从直线外一点到这条直线的垂线段叫作直线的距离
④两条直线有相交、垂直、平行三种位置关系
A．个B．个C．个D．个
【答案】A
【分析】根据点到直线的距离、平面内两直线的位置关系求解即可．
【详解】量出直线外一点到直线的垂线段的长度即为点到直线的距离，
故正确；
在同一平面内，两条不同直线有一个公共点或没有公共点，
故错误；
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离，
故错误；
同一平面内两条直线有相交、平行两种位置关系，
故错误；
故选：．
【点睛】此题考查了平面内两直线的位置关系、点到直线的距离，熟练掌握平面内两直线的位置关系、点到直线的距离是解题的关键．
4．(2023春·江苏·七年级专题练习）下列说法中，错误的有（ ）
①若，，则；
②若与相交，与相交，则与相交；
③相等的角是对顶角；
④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
A．个B．个C．个D．个
【答案】A
【分析】根据平行公理及推论可判断①；若与相交，与相交，则与可能相交或平行，可判断②；对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，可判断③；根据平行公理及推论可判断④．
【详解】解：根据平行线公理及推论可知，①正确；
若与相交，与相交，则与可能相交或平行，②错误；
对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，③错误；
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，④错误．
故错误的有个，
故选：A．
【点睛】本题考查平行公理及推论、平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键．
5．(2023春·七年级课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．在同一平面内，，，是直线，且，则
B．在同一平面内，，，是直线，且，，则
C．在同一平面内，，，是直线，且，则
D．在同一平面内，，，是直线，且，则
【答案】A
【分析】根据平行线的性质分析判断即可．
【详解】A．在同一平面内，，，是直线，且，则，故选项正确，符合题意．
B．在同一平面内，，，是直线，且，，则，故选项错误，不符合题意．
C．在同一平面内，，，是直线，且，则，故选项错误，不符合题意．
D．在同一平面内，，，是直线，且，则，故选项错误，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，准确分析判断是解题的关键．
6．(2023秋·安徽合肥·七年级校考阶段练习）下列说法中，正确的个数有（ ）
（1）过一点有无数条直线与已知直线平行
（2）如果a∥b，a∥c，那么b∥c
（3）在同一平面内，两条不重合的线段，如果它们不相交，那么就平行
（4）在同一平面内，两条不重合的直线，如果它们不相交，那么就平行
A．个B．个C．个D．个
【答案】B
【分析】根据平行线的定义、平行公理及推论求解判断即可．
【详解】解：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故(1)错误，不符合题意；
若a//b，a//c，那么b//c，故(2)说法正确，符合题意；
在同一平面内，两条不重合的直线，如果它们不相交，那么就平行，
故(3)说法错误，不符合题意；
在同一平面内，两条不重合的直线，如果它们不相交，那么就平行，
故(4)说法正确，符合题意；
综上，(2)、(4)说法正确，
故选：B．
【点睛】此题考查了平行线的定义，熟记平行线的定义和公理是解题的关键．
7．(2023·河北石家庄·石家庄市第四十一中学校考模拟预测）如图，在同一平面内．经过直线l外一点O有四条直线①②③④，借助直尺和三角板判断，与直线l平行的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】C
【分析】由过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，即可得到答案．
【详解】解：经过刻度尺平移测量，③符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线，利用了平行线的性质：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
8．(2023秋·黑龙江佳木斯·七年级桦南县第四中学校联考阶段练习）下列说法中，错误的是（ ）
①a与c相交，b与c相交，则a与b相交；
②若ab，bc，则ac；
③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④在同一平面内，两条直线的位置关系平行、相交、垂直三种．
A．3个B．2个C．1个D．0个
【答案】B
【分析】根据两条直线位置关系的性质对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【详解】当a与b平行时， a与c相交，b与c相交，但a与b不相交，故①错误；
在同一平面内，两条直线有两种的位置关系：平行、相交，故④错误；
②③分别是平行公理及推论，正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了两条直线位置关系的知识，解题的关键是平行公理及推论、平行线、相交线的性质．
9．(2023·浙江·九年级专题练习）在同一平面内，不重合的三条直线的交点有（ ）个．
A．1或2B．2或3C．1或3D．0或1或2或3
【答案】D
【分析】根据平面内相交线和平行线的特点分类讨论即可得出答案．
【详解】因为三条直线位置不明确，所以分情况讨论：
①三条直线互相平行，有0个交点；
②一条直线与两平行线相交，有2个交点；
③三条直线都不平行，有1个或3个交点；
所以交点的个数可能为0个或1个或2个或3个．
故选：D．
【点睛】本题考查平面内直线的位置关系．掌握相交线和平行线的特点是解题的关键．
10．(2023春·八年级单元测试）下列说法正确的有（ ）
①两点之间的所有连线中，线段最短；
②相等的角叫对顶角；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
⑤两点之间的距离是两点间的线段；
⑥在同一平面内的两直线位置关系只有两种：平行或相交．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据所学的相关知识,逐一判断即可．
【详解】解：①两点之间的所有连线中，线段最短，故①说法正确．
②相等的角不一定是对顶角，故②说法错误．
③经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故③说法错误．
④同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故④说法错误．
⑤两点之间的距离是两点间的线段的长度，故⑤说法错误．
⑥在同一平面内，两不重合的直线的位置关系只有两种：相交和平行，故⑥说法正确．
综上所述，正确的结论有2个．
故选：．
【点睛】本题主要考查对平行线的定义，两点间的距离，相交线等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行说理是解此题的关键．
11．(2023秋·甘肃金昌·七年级校考期中）在同一平面内，两条直线可能的位置关系是 ( )
A．平行 B．相交 C．相交或平行 D．垂直
【答案】C
【详解】解：在同一个平面内，两条直线只有两种位置关系，即平行或相交，故选C．
12．(2023春·山东淄博·八年级统考期中）语言是思维的工具，要学好几何证明，必须学会语言的表达和运用．几何语言可分为文字语言、符号语言与图形语言．例知：“直线a与b互相平行”是文字语言，“”是符号语言，那么“直线a与b互相平行”的图形语言是______．
【答案】见解析
【分析】直接画出两条平行直线即可得出答案．
【详解】解：如图，，
．
【点睛】此题主要考查了几何语言，正确把握相关图形画法是解题的关键．
考点2：平行公理及应用
典例： (2023秋·湖北宜昌·七年级统考期末）按要求完成下列问题，其中画图不写作法．
(1)画出从点P到水渠边的最短距离，并说明道理．
(2)过点P画出的平行线，这样的平行线有几条，为什么？
（1）道理： ．
（2）理由： ．
【答案】(1)图形见解析，道理：点到直线，垂线段最短
(2)图形见解析，理由：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
【分析】（1）根据点到直线，垂线段最短，过点P作PD⊥AB于点D，则PD即为所求；
（2）根据过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，即可求解．
（1）
解：如图，过点P作PD⊥AB于点D，则PD即为所求；
理由：点到直线，垂线段最短；
（2）
解：过点P作PE∥AB，则PE即为所求．
这样的平行线有1条，
理由：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
方法或规律点拨
本题主要考查了点到直线的距离，平行线的公理，熟练掌握点到直线，垂线段最短；过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行是解题的关键．
巩固练习
1．(2023秋·辽宁沈阳·七年级校考期中）下列说法正确的是（ ）
A．直线外一点到已知直线的垂线段叫做这点到直线的距离．
B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
C．三角形的三条高线交于一点．
D．平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直．
【答案】B
【分析】根据三角形的高、点到直线的距离定义、平行公理、平行线定义进行分析即可．
【详解】解：A．直线外一点到已知直线的垂线段的长度叫做这点到直线的距离，故原题说法错误，该选项不符合题意；
B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确，该选项符合题意；
C．三角形的三条高线所在直线交于一点，故原题说法错误，该选项不符合题意；
D．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原题说法错误，该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了三角形的高、平行线，关键是注意点到直线的距离的定义．
2．(2023·全国·七年级专题练习）下列说法中是真命题正确的个数有（ ）个
（1）若ab，bd，则ad；（2）过一点有且只有一条直线与已知直线平行；（3）两条直线不相交就平行；（4）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】根据平行线的定义与判定、垂线的性质、平行公理对各小题分析判断后即可得解．
【详解】（1）若ab，bd，则ad，故原说法正确；
（2）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原说法错误；
（3）在同一平面内，两条直线不相交就平行，故原说法错误；
（4）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原说法错误．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了平行公理，平行线的性质定义，垂线的性质，关键是熟练掌握课本内容．
3．(2023秋·辽宁葫芦岛·七年级统考阶段练习）下列说法中，正确的有( )
若，，则；
②若与相交，与相交，则与相交；
③相等的角是对顶角；
④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
A．3个B．2个C．1个D．0个
【答案】C
【分析】根据平行公理的推论可判断①；根据直线的位置关系可判断②；根据对顶角的定义可判断③；根据平行公理可判断④．
【详解】解：根据平行线公理及推论可知，①正确；
若a与c相交，b与c相交，则a与b可能相交或平行，②错误；
对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，③错误；
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，④错误．
故正确的有1个，
故选：C．
【点睛】本题考查平行公理及其推论、两直线的位置关系质，对顶角的性质，熟练掌握图形的性质是解答本题的关键．
4．(2023秋·广东广州·七年级校考期中）下列说法中正确的个数有( )
①同位角相等；②相等的角是对顶角；③直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑤不相交的两条直线叫做平行线；⑥若直线a∥b，b∥c，则a∥c
A．个B．个C．个D．个
【答案】B
【分析】根据同位角的定义，对顶角的定义，点到这条直线的距离的定义，平行公理，平行线的定义，平行线的判定分别进行分析即可．
【详解】①两直线平行，同位角相等，故①错误；
②相等的角不一定为对顶角，故②错误；
③直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离，故③错误；
④经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，故④错误；
⑤不在同一平面内，不相交的直线可能不平行，故⑤错误；
⑥若直线，，则，故⑥正确．
说法中正确的个数有个，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了同位角的定义，对顶角的定义，点到这条直线的距离的定义，平行公理，平行线的定义，平行线的判定等知识，正确掌握相关定义、定理和公理是解题的关键．
5．(2023春·七年级课时练习）下列说法正确的是（ ）
①若直线与没有交点，则；②平行于同一条直线的两条直线平行；③不相等的角一定不是对顶角；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑤过直线外一点作直线的垂线段，叫做点到直线的距离．
A．①③④B．③⑤C．②③D．②④
【答案】C
【分析】根据平行的概念、平行公理及其推论、对顶角的性质、点到直线的距离的概念判断即可．
【详解】同一平面内，若直线与没有交点，则，故①说法错误；由平行公理的推论知：平行于同一条直线的两条直线平行，故②说法正确；由对顶角的性质知：对顶角相等，则不相等的角一定不是对顶角，故③说法正确；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故④说法错误；过直线外一点作直线的垂线段，垂线段的长度叫做点到直线的距离，故⑤说法错误；所以正确的说法有②③．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的概念、平行公理及其推论、对顶角的性质、点到直线的距离的概念，牢固掌握相关概念及性质是关键．
6．(2023秋·江苏无锡·七年级校考阶段练习）下列说法：①两点之间的所有连线中，线段最短；②相等的角是对顶角； ③过一点有且仅有一条直线与已知直线平行； ④两点之间的距离是两点间的线段； ⑤若AB＝BC，则点B为线段AC的中点；⑥不相交的两条直线叫做平行线．其中正确的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【分析】根据直线、射线、线段的概念、表示和作图；平行线的定义和性质；两点间的距离逐个判断即可．
【详解】∵两点之间的所有连线中，线段最短
∴正确；
∵相等的角不一定是对顶角
∴错误；
∵过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行
∴错误；
∵两点之间的距离是指两点间的线段的长度
∴错误；
∵在等腰三角形中，，但此时点不是线段的中点
∴错误；
∵在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线
∴错误
∴正确的为：
故选：B．
【点睛】本题考查了直线、射线、线段、平行线的知识，解题的关键是掌握线、射线、线段的概念、表示和作图；平行线的定义和性质．
7．(2023秋·广西河池·七年级统考期中）若直线a，b，c，d有下列关系，则推理正确的是（ ）
A．∵a∥b，b∥c，∴c∥d B．∵a∥c，b∥d，∴c∥d
C．∵a∥b，a∥c，∴b∥c D．∵a∥b，c∥d，∴a∥c
【答案】C
【分析】根据平行公理的推论“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行”进行分析，得出正确答案．
【详解】解：A、a、c都和b平行，应该推出的是a∥c，而非c∥d，故错误；
B、c、d与不同的直线平行，无法推出两者也平行，故错误；
C、b、c都和a平行，可推出是b∥c，故正确；
D、a、c与不同的直线平行，无法推出两者也平行，故错误．
故选：C．
【点睛】本题考查的重点是平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
8．(2023秋·全国·七年级假期作业）下列说法正确的个数是（ ）．
（1）两条直线不相交就平行；
（2）在同一平面内，两条平行的直线有且只有一个交点；
（3）过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
（4）平行于同一直线的两条直线互相平行；
（5）两直线的位置关系只有相交、平行与垂直．
A．0B．1C．2D．4
【答案】B
【分析】（1）（5），根据同一平面内，两直线的位置关系只有相交和平行进行判断即可；
（2），根据平行线的定义进行判断即可；
（3）（4），根据平行线的公理以及公理的推论进行判断即可．
【详解】(1)应该是在同一平面内，两直线不相交就平行，故错误；
(2)在同一平面内，两条平行的直线没有交点，故错误；
(3)应为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误；
(4)平行于同一直线的两条直线互相平行，是平行公理的推论，故正确；
(5)应为在同一平面内，两直线的位置关系只有相交与平行，故错误，
所以只有（4）一项正确，
故选：B．
【点睛】本题是一道有关两直线位置关系的题目，涉及同一平面内两直线的位置关系以及平行线的知识，掌握这些概念和定理是解题的关键．
9．(2023秋·湖北恩施·七年级校考期中）下列说法中正确的个数为（ ）
①在平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和垂直；
②在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】A
【分析】根据平行线的判定与性质，点到直线的距离，平行线，平行公理及推论，进行逐一判断即可．
【详解】解：①在平面内，不重合的两条直线的位置关系只有两种：相交和垂直，故①错误；
②在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故②正确；
③经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故③错误；
④如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，故④正确；
⑤从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离，故⑤错误．
故正确的是②④，共2个．
故选：A．
【点睛】此题考查平行线的判定与性质，点到直线的距离，平行线，平行公理及推论，正确利用定义是关键．
10．(2023秋·山东泰安·六年级校考阶段练习）已知直线a，b，c是同一平面内的三条不同直线，下面四个结论：
①若则；②若则；③若则；④若且与相交，则与相交，其中，结论正确的是（ ）
A．①②B．③④C．①②③D．②③④
【答案】A
【分析】根据平行公理及其推论：在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行进行分析即可求解．
【详解】①根据“同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”判定：若则；故说法正确；
②若则，故说法正确；
③根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”判定：若则；说法错误；
④若且与相交，则与不一定相交，故说法错误
故正确的有：①②
故选：A
【点睛】本题主要考查平行公理及其推论，解题的关键是熟练掌握同一平面内两直线的位置关系．
11．(2023·河北·一模）经过直线 l 外一点O的四条直线中，与直线l相交的直线至少有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】C
【分析】根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行得出即可．
【详解】解：根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，得出如果有和直线l平行的，只能是一条，
即与直线l相交的直线至少有3条，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行公理及推论，注意：经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行．
12．(2023秋·山东菏泽·七年级统考期中）下列说法正确的个数有（ ）
①同位角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④若a∥b，b∥c，则a∥c．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】根据平行线的性质，垂线的性质和平行公理对各个说法分析判断后即可求解．
【详解】解：①如图，直线AB、CD被直线GH所截，∠AGH与∠CHF是同位角，但它们不相等，故说法错误；
②同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，说法错误；
③应为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故说法错误；
④平行于同一直线的两条直线平行，是平行公理的推论，故说法正确．
综上所述，正确的说法是④共1个．
故选A．
【点睛】本题考查了平行线的性质，垂线的性质和平行公理，是基础知识，熟练掌握各定理或推论成立的条件是解决此题的关键．
13．(2023秋·江苏宿迁·七年级统考期中）下列说法中：
①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②已知直线a，b，c，若，则，
③相等的角是对顶角；
④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．
其中正确的有_________．（填序号）
【答案】①②④
【分析】根据平行公理及推论，垂线段最短以及平行线的判定与性质解答．
【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故正确；
②已知直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c，故正确；
③相等的角不一定是对顶角，故错误；
④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，故正确；
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了平行公理及推论，垂线段最短以及平行线的判定与性质，熟记公理、推论是解题关键．
14．(2023春·八年级课时练习）如图，一组直线a，b，c，d是否都互相平行？
【答案】直线a，b，c，d都互相平行，理由见解析
【分析】根据平行公理证明即可．
【详解】解：直线a，b，c，d都互相平行，理由如下：
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行公理，熟知平行于同一直线的两条直线平行是解题的关键．
考点3：平行线的判定
典例：(2023·全国·七年级专题练习）如图，已知点O在直线AB上，射线OE平分∠AOC，过点O作OD⊥OE，G是射线OB上一点，连接DG，使∠ODG+∠DOG=90°．
(1)求证：∠AOE=∠ODG；
(2)若∠ODG=∠C，试判断CD与OE的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)CDOE，理由见解析
【分析】（1）由OD⊥OE得到∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOG=90°，再利用等角的余角相等即可证明∠AOE=∠ODG；
（2）证明∠EOC=∠C，利用内错角相等两直线平行，即可证明CDOE．
【详解】（1）证明：∵OD⊥OE，
∴∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOG=90°，
∵∠ODG+∠DOG=90°，
∴∠AOE=∠ODG；
（2）解：CDOE．理由如下：
由（1）得∠AOE=∠ODG，
∵射线OE平分∠AOC，
∴∠AOE=∠EOC，
∵∠ODG=∠C，
∴∠EOC=∠C，
∴CDOE．
方法或规律点拨
本题考查了角平分线定义，垂直的定义，平行线的判定，等角的余角相等，正确识图是解题的关键．
巩固练习
1．(2023秋·辽宁沈阳·七年级沈阳市南昌初级中学（沈阳市第二十三中学）阶段练习）如图，点在的延长线上，则下列条件中．不能判定的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用平行线的判定方法判断即可得到结果．
【详解】解：，
，选项A符合题意；
，即，
，选项B不合题意；
，
，选项C不合题意；
，即，
，选项D不合题意，
故选：A．
【点睛】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．
2．(2023春·全国·八年级专题练习）如图，在下列四组条件中，能判断的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平行线的判定方法一一判断即可．
【详解】解：∵，∴，故A选项不符合题意；
∵，∴，故B选项符合题意；
∵，∴，故C选项不符合题意；
∵，∴．故D选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
3．(2023春·八年级单元测试）在同一平面内，将两个完全相同的三角板按如图摆放（直角边重合），可以画出两条互相平行的直线，这样操作的依据是（ ）
A．两直线平行，同位角相等B．同位角相等，两直线平行
C．两直线平行，内错角相等D．内错角相等，两直线平行
【答案】D
【分析】根据内错角相等，两直线平行直接得到答案．
【详解】解：如图，
由题意得 ，根据内错角相等，两直线平行可得．
故选：D．
【点睛】本题考查平行线的判定，解题的关键是掌握内错角的定义及平行线的判定定理．
4．(2023春·全国·八年级专题练习）如图所示，直线、被、所截，下列条件中能说明的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据平行线的判定定理求解即可．
【详解】，
∴（同位角相等，两直线平行），
故选：．
【点睛】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是熟记平行线的判定定理并灵活运用．
5．(2023秋·上海闵行·七年级校考阶段练习）如图，下列条件中，能够判定的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据平行线的判定方法，逐一进行判定即可．
【详解】解：A、∵，∴，不能判定，不符合题意；
B、∵，∴，不能判定，不符合题意；
C、∵，∴，符合题意；
D、∵，∴，不能判定，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查平行线的判定．熟练掌握平行线的判定方法，是解题的关键．注意区分截线．
6．(2023秋·广东东莞·七年级校考期中）如图，下列条件中不能判定的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平行线的判定定理逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. ，内错角相等两直线平行，能判定；
B. ，同位角相等两直线平行，能判定；
C. ，，可知，内错角相等两直线平行，能判定；
D. 是同旁内角相等，但不一定互补，所以不能判定．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的判定定理，掌握平行线的判定定理是解题的关键．
7．(2023秋·陕西渭南·七年级统考阶段练习）如图，与交于点O，下列条件中①；②；③；④，能判断的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行进行分析即可．
【详解】∵，
∴，
故①符合题意；
∵，
∴，
故②不符合题意；
∵，，
∴，
∴，
故③符合题意；
∵，
∴，
∴，
故④符合题意；
综上：可以判断的有①③④；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法，找出被截直线是解题的关键．
8．(2023秋·广东东莞·七年级东莞市中堂中学校考期中）如图，点在的延长线上，下列条件不能判定的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A．根据内错角相等，两直线平行可判定，故此选项不合题意；
B．根据同位角相等，两直线平行可判定，故此选项不合题意；
C．根据内错角相等，两直线平行可判定，无法判定，故此选项符合题意；
D．根据同旁内角互补，两直线平行可判定，故此选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
9．(2023秋·福建福州·七年级校考期中）如图，过直线外一点作已知直线的平行线，其依据是（ ）
A．两直线平行，同位角相等B．内错角相等，两直线平行
C．同位角相等，两直线平行D．两直线平行，内错角相等
【答案】C
【分析】根据三角板在移动过程中，角度不变，故依据是同位角相等，两直线平行，即可求解．
【详解】解：如图，三角板在移动过程中，角度不变，其依据是同位角相等，两直线平行．
故选：．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握同位角相等，两直线平行是解题的关键．
10．(2023秋·广东东莞·七年级统考期中）如图，，下列结论正确的是（ ）
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若，则．
A．①②B．②④C．②③④D．②
【答案】B
【分析】根据平行线的判定定理，即可一一判定．
【详解】解：由，不能判定，
故①不符合题意；
，，
，
，
故②符合题意；
由，，不能判定，
故③不符合题意；
，，
，
，
故④符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握和运用平行线的判定定理是解决本题的关键．
11．(2023秋·四川雅安·七年级统考期中）如图所示，下列条件中，能判断的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据平行线的判定方法逐项判断即可；
【详解】解：A、由可判定（内错角相等，两直线平行）；选项正确，符合题意；
B、由不能判定；选项错误，不符合题意；
C、由能判定，不能判定；选项错误，不符合题意；
D、由能判定，不能判定；选项错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的判定；熟练掌握平行线的判定方法和两个角的位置关系是解题的关键．
12．(2023春·全国·八年级专题练习）如图，在下列给出的条件中，不能判定的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行；逐项判断即可．
【详解】解：A、因为，所以（同位角相等，两直线平行），故A选项不符合题意．
B、因为，所以（同旁内角互补，两直线平行），故B选项不符合题意．
C、因为，所以（内错角相等，两直线平行），故C选项不符合题意．
D、因为，所以（同位角相等，两直线平行），不能得出，故D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．
13．(2023秋·山东济南·七年级统考期中）如图，下列能判定的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平行线的判定依次进行判断即可得．
【详解】解：A、，不能判定，选项说法错误，不符合题意；
B、，能判定，选项说法正确，符合题意；
C、，不能判定，选项说法错误，不符合题意；
D、，不能判定，选项说法错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定．
14．(2023春·上海奉贤·八年级校考期中）如图，下列推论正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】利用平行线的判定方法判断即可得到结果．
【详解】解：A、，
∴（内错角相等，两直线平行），不符合题意；
B、，
∴（同位角相等，两直线平行），不符合题意；
C、由无法得到，不符合题意；
D、，
∴（同位角相等，两直线平行），符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．
15．(2023秋·江苏盐城·七年级统考阶段练习）如图，点在的延长线上，下列条件中能判定的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】直接利用平行线的判定方法分别判断得出答案．
【详解】解：A、当时，可得：，不合题意；
B、当时，可得：，不合题意；
C、当时，可得：，不合题意；
D、当时，可得：，符合题意．
故选：D
【点睛】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题关键．
16．(2023秋·重庆秀山·七年级校考期末）如图，点E在BC的延长线上，下列条件中能判断的是（ ）
A．∠l＝∠2B．∠3＝∠4
C．∠ADC＝∠DCED．∠A+∠ABC＝180°
【答案】B
【分析】根据平行线的判定定理对四个选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、由∠1＝∠2可以判定，不能判断，故本选项错误；
B、由∠3＝∠4可以判定，依据是“内错角相等，两直线平行”，故本选项正确；
C、由∠ADC＝∠DCE可以判定，不能判断，故本选项错误；
D、由∠A+∠ABC＝180°可以判定，不能判断，故本选项错误；
故选：B．
【点睛】此题考查的是平行线的判定定理，解答此题的关键是正确区分两条直线被第三条直线所截形成的内错角及同旁内角．
17．(2023·全国·七年级专题练习）如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①；②；③如果，则有；④．其中正确的序号是（ ）
A．①②③④B．①②④C．①②③D．①③④
【答案】B
【分析】根据，，即可得；根据角之间关系即可得；根据角之间关系可得，无法判断BC与AD平行；由题意得，，得；综上，即可得．
【详解】解：∵，，
∴，
故①正确；
∵
故②正确；
∵，
∴，
，
∴BC与AD不平行，
故③错误；
∵，
即，
又∵，
∴
,
故④正确；
综上，①②④正确，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，余角和同角的余角，平行线的判定，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点并认真计算．
18．(2023秋·北京·七年级校考期中）数学课上，同学提出如下问题：如何证明“两直线平行，同位角相等”？老师说这个证明可以用反证法完成，思路及过程如下：
如图1，我们想要证明“如果直线，被直线所截，，那么”
如图2，
假设，过点作直线，使，
依据基本事实（1）___________，
可得．这样过点就有两条直线，都平行于直线，
这与基本事实（2）___________矛盾
说明的假设是不对的，于是有．
【答案】 同位角相等，两直线平行 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【分析】根据平行线的判定定理和平行公理解答即可．
【详解】解：假设，过点作直线，使，
依据基本事实同位角相等，两直线平行，
可得．这样过点就有两条直线，都平行于直线，
这与基本事实过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾，
说明的假设是不对的，于是有．
故答案为：同位角相等，两直线平行；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【点睛】本题考查的是反证法，熟记平行线的判定定理和平行公理是解题的关键．
17．(2023秋·广东肇庆·七年级校考期中）如图，已知，，求证．
【答案】见解析
【分析】根据对顶角相等及，推出，即可得到，再根据平行于同一直线的两直线平行得到结论．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】此题考查了平行线的判定定理：同位角相等两直线平行，以及平行线的推论：平行于同一直线的两直线平行，熟记定理是解题的关键．
20．(2023春·八年级课时练习）已知：如图，于点C，于点D，．求证：．
【答案】见详解
【分析】根据垂直的定义得到，等量代换可得，再根据平行线的判定定理即可得到结论．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的判定，余角的性质，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
21．(2023·全国·七年级专题练习）如图，直线、交于点O，，分别平分和，已知，且．
(1)求的度数；
(2)试说明的理由．
【答案】(1)的度数为
(2)见解析
【分析】（1）根据角平分线的定义推出，再根据对顶角性质求解即可；
（2）结合等量代换得出，根据“内错角相等，两直线平行”即可得解．
【详解】（1）解：∵，分别平分和，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，余角的性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键．
考点4：与平行线有关的作图问题
典例：(2023秋·河南商丘·七年级统考期末）如图，直线CD与直线AB相交与点O，直线外有一点P．
(1)过点P画，交AB于点M，过点P画，垂足为N；
(2)若、求∠COM的度数．
【答案】(1)详见解析
(2)135°
【分析】（1）直接画平行线和垂线即可；
（2）根据平行线的性质可得同旁内角互补，由已知可得结论．
（1）
解：如图，
（2）
解：∵PMCD，
∴∠PMO+∠COM=180°，
∵∠PMO：∠COM=1：3，
∴∠COM +∠COM=180°，
∴∠COM=135°．
方法或规律点拨
本题考查了基本作图以及平行线的性质，培养了学生过直线外一点作已知直线的平行线和垂线的画图能力．
巩固练习
1．(2023春·吉林长春·七年级校考期末）在如图所示的正方形网格中，网格中纵向和横向线段的交点叫做格点在格点上．按下述要求画图：
(1)画射线AC；
(2)过点B画AC的平行线BD，点D在格点上；
(3)在射线AC上取一点E，画线段BE，使其长度表示点B到AC的距离．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【解答】解：（1）如图，射线AC即为所求；
（2）如图，直线BD即为所求；
（3）如图，线段BE即为所求．
2．(2023·全国·七年级专题练习）如图，己知点P、Q分别在的边上，按下列要求画图：
(1)画射线；
(2)过点P画垂直于射线的线段，垂足为点C；
(3)过点Q画直线平行于射线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】根据题意过用直尺作图，分别P画垂直于射线OB的射线PC，垂足为点C；过点Q画直线平行于射线．
【详解】（1）如图，射线PQ为所求；
（2）如图，线段PC为所求；
（3）如图，直线QM为所求
【点睛】此题主要考查了基本作图，正确把握相关定义是解题关键．
3．(2023秋·北京·七年级校考期中）画图并解答：
如图，是内一点．按要求完成下列问题：
(1)过作的垂线，垂足为点；
(2)过点作的平行线，交于点：再过作的垂线段，垂足为点；
(3)判断与的位置关系是：______．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)垂直
【分析】（1）根据垂线的定义作出图形即可；
（2）根据平行线的定义作出图形即可；
（3）根据垂线段的定义画出图形即可．
（1）
解：如图，直线即为所求；
（2）
如图，直线，线段即为所求；
（3）
，，
，
故答案为：垂直．
【点睛】本题考查作图复杂作图，垂线，平行线等知识，解题的关键是掌握垂线，平行线的定义．
4．(2023春·江苏扬州·七年级期末）如图，方格纸中有一条直线AB和一格点P．
(1)过点P画直线PM∥AB；
(2)在直线AB上找一点N，使得PN最小．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
【分析】（1）由平行线性质，用直尺与三角板画平行线
（2）由基本事实：直线外一点到直线的距离垂线段最短，作于点N
（1）
图中的PM即为所求
（2）
图中交 AB于点N，此时PN最小
【点睛】本题考查了平行线的性质及垂线段最短的基本事实，掌握性质与基本事实是解题关键．
5．(2023秋·福建龙岩·七年级校考阶段练习）按以下各步画图（不写画法）
(1)画出一个角∠MON，且使∠MON=150°；
(2)在角∠MON内任取一点P，过点P作 ,交射线OM于点A；
(3)过点A作垂线AB，使AB⊥ON,垂足为点B；
(4)画射线PO(或反向延长射线PO)交垂线AB于点C
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)见详解
(4)见详解
【分析】（1）作等边三角形OJK，延长JO到M，作∠JOK的角平分线ON，∠NOM即为所求；
（2）根据平行线的定义画出图形即可；
（3）根据垂线的定义画出图形即可；
（4）根据射线的定义以及题目要求画出图形即可．
（1）
如图，∠MON即为所求；
（2）
如图，直线AP即为所求；
（3）
如图，垂线AB即为所求；
（4）
如图，射线PO，点C即为所求．
【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，垂线，平行线的性质等知识，解题的关键是掌握直线，射线，垂线，平行线的定义，属于中考常考题型．
6．(2023秋·江西吉安·七年级统考期末）作图题：
在如图所示的方格纸中不用量角器与三角尺，仅用直尺．
(1)经过点，画线段平行于所在直线．
(2)过点，画线段垂直于所在直线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】(1)根据平行线的定义，画出图形即可；
(2)根据垂线的定义，画出图形即可．
（1）
解：如图，线段即为所求（答案不唯一）；
（2）
如图，线段即为所求．
【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，平行线，垂线等知识，解题关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
7．(2023秋·海南省直辖县级单位·七年级统考期中）如图，请使用三角板与直尺画图：
(1)过点Р作直线，交ON于点A；
(2)过点Р向OM作垂线，垂足为点C，交ON于点D；
【答案】(1)作图见详解；
(2)作图将详解；
【分析】（1）先将三角尺的一直角边紧靠直线OM，边缘与OM重合，再将三角尺的另一条直角边紧贴直尺的一边，最后向上移动三角尺，画一条平行线．
（2）先将直尺与OM重合，再反向延长OM，再将三角板一直角边与直尺重合，再移动三角板使另一直角边过点P，最后过三角板的直角边画CM的垂线．
（1）
解：如图所示：
步骤：（1）将三角尺的一直角边紧靠直线OM，边缘与OM重合，
（2）将三角尺的另一条直角边紧贴直尺的一边，
（3）向下移动三角尺，再次画下一条平行线．
（2）
解：如图所示：
步骤：
（1）将直尺与OM重合，
（2）反向延长OM，
（3）将三角板一直角边与直尺重合，
（4）移动三角板使另一直角边过点P，
（5）过三角板的直角边画CM的垂线．
【点睛】本题考查利用直角和三角板画平行线，和垂线，能够掌握画图原理是解决本题的关键．
8．(2023秋·河南许昌·七年级统考期中）如图，点P为内一点，按要求完成下列问题：
(1)过点P作射线BC的垂线，垂足为点D；
(2)过点P作射线BA的平行线，交射线BC于点E；
(3)比较线段PD和PE的大小，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)，理由：垂线段最短
【分析】（1）根据垂线的作法作出相应线段即可；
（2）根据平行线的作法作出平行线即可；
（3）根据直线外一点到该直线的所有线段中，垂线段最短即可得出结论．
（1）
解：如图所示，线段PD即为所求；
（2）
如图所示，直线PE即为所求；
（3）
，
理由：直线外一点到该直线的所有线段中，垂线段最短．
【点睛】题目主要考查垂线、平行线的基本作法及垂线段最短的性质，理解垂线及平行线的作法是解题关键．
9．(2023秋·北京·七年级北京市第五中学分校校考期末）如图，按要求画图并填空：
(1)过点A作直线AB⊥OA，与∠O的另一边相交于点B；
(2)画出点A到OB的垂线段，垂足为点C；
(3)过点C作射线CDOA，交直线AB于点D；
(4)图中与∠O相等的角有 个．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)2
【分析】（1）（2）（3）根据垂线，垂线段，平行线的定义画出图形即可；
（4）利用平行线的性质，垂线的性质即可解决问题．
（1）解：如图所示，直线AB为所求；
（2）如图所示，垂线段AC为所求；
（3）如图所示，直线CD为所求；
（4）∵AB⊥OA，∴∠OAB＝90°，∵CD∥OA，∴∠CDB＝∠OAB＝90°∵CD∥OA，∴∠DCB＝∠O，∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∵∠ADC＝90°，∴∠CAD+∠ACD＝90°，∠ACD+∠DCB＝90°，∴∠CAD＝∠DCB＝∠O，∴图中与∠O相等的角有∠CAD，∠DCB．共2个．故答案为：2．
【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，垂线，平行线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
10．(2023春·河南南阳·七年级统考期末）已知平面上有A、C、D三点，如图，请按要求完成下列问题．
(1)画射线AD，线段AC；
(2)利用圆规在射线AD上截取DB，使（保留作图痕迹），连接BC；
(3)过点D画出AC的平行线DF，交BC于E；
(4)通过测量猜测线段DE与AC之间的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)
【分析】（1）根据射线，线段的定义画出图形即可；
（2）以D为圆心在射线AD上截取DB=AD，连接BC即可；
（3）根据要求画出图形即可；
（4）利用测量法解决问题即可．
（1）
解：如图，射线AD，线段AC即为所求；
（2）
如图，线段DB即为所求；
（3）
如图，直线DE即为所求；
（4）
经测量可得：
【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解直线，射线，线段的定义，属于中考常考题型．
11．(2023秋·河南郑州·七年级郑州外国语中学校考期中）如图所示的正方形网格，点、、都在格点上．
(1)利用网格作图：
①过点画直线的平行线，并标出平行线所经过的格点；
②过点画直线的垂线，并标出垂线所经过的格点，垂足为点；
(2)线段_________的长度是点到直线的距离；
(3)比较大小：（填＞、＜或＝），理由是：__________________．
【答案】(1)详见解析
(2)
(3)，垂线段最短
【分析】（1）根据平行线的定义及垂线定义，按要求作图即可．
（2）根据点到直线的距离的定义可得线段的长度是点到直线的距离．
（3）根据垂线段最短可以作出判断．
(1)
解：①的平行线如图所示；
②的垂线如图所示；
(2)
解：线段的长度是点到直线的距离，
故答案是：CF；
(3)
解：．理由是：垂线段最短．
故答案是：＜，垂线段最短．
【点睛】本题考查了平行线的定义，垂线定义及垂线段的定义与性质，充分理解以上概念是解题的关键．
12．(2023秋·北京·七年级北京市第十三中学分校校考期中）如图，平面内有两条直线，点A在直线上，按要求画图并填空：
(1)过点A画直线的垂线，垂足为点B，点A到直线距离为线段______的长度；
(2)过点A画直线交直线于点于点C；
(3)过点A画直线；
【答案】(1)见解析，AB
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据垂线的定义画出图形即可；
（2）根据垂线的定义画出图形；
（3）根据平行线的定义画出图形即可．
（1）
解：如图，直线AB即为所求，线段AB的长是点A到直线的距离．
故答案为：AB
（2）
如图，直线AC即为所求
（3）
如图，直线AD即为所求
【点睛】本题考查作图−复杂作图，点到直线的距离，平行线的性质等知识，理解题意，灵活运用所学知识是解本题的关键．
13．(2023秋·河北承德·七年级统考期末）如图，直线与直线交于点，点为直线、外一点，根据下列语句画图，并作答：
(1)过点画交于点；
(2)过点画，垂足为；
(3)点为直线上一点，连接，连接.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据平行线的定义作图即可；
（2）根据垂线段的定义作图即可；
（3）连接、即可．
（1）
解：如图所示，如图所示，直线即为所求；
（2）
如图所示，垂线段即为所求；
（3）
如图所示，线段、即为所求．
【点睛】本题主要考查作图一复杂作图．解题的关键是熟练掌握平行线的定义、垂线段的定义．
14．(2023春·七年级课时练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长是1，点M、N、P、Q均为格点（格点是指每个小正方形的顶点），线段MN经过点P．
(1)过点P画MN的垂线；
(2)过点Q画MN的平行线；
(3)若格点F使△PFM的面积等于4，则这样的点F共有______个．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)6
【分析】（1)利用数形结合的思想画出图形即可；
（2)利用平行线的判定，画出图形即可；
（3)利用等高模型，画出符合题目的点F即可．
【详解】（1）解：如图
（2）如图
（3）满足条件的点F有6个．
【点睛】本题考查作图一应用与设计作图，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
15．(2023春·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，已知∠AOB＝30°，完成下列问题：
(1)在射线OB上取一点C，使OC＝2cm；
(2)过点C画直线m，使m//OA；
(3)过点O画直线l，使l⊥OA；
(4)设直线m与直线l交于点D，度量线段OD＝ cm，∠OCD＝ 度．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)见解析；
(4)1；30
【分析】（1）（2）（3）根据要求作出图形即可；
（4）直接利用测量法解决问题即可．
(1)
如下图，线段OC即为所求：
(2)
如上图，直线m即为所求；
(3)
如上图，直线l，点D即为所求；
(4)
通过测量可知，OD＝1cm，∠OCD＝30°，
故答案为：1，30．
【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的性质，垂线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
16．(2023秋·上海静安·七年级统考期中）按下列要求画图并填空
已知直线AB、CD相交于点O，点P为这两条直线外一点
(1)过点P画直线PE⊥AB，垂足为E
(2)过点P画直线PF⊥CD，垂足为F
(3)过点P画直线PM∥AB，交CD于点M
(4)点P到直线CD的距离是线段 的长
(5)直线PM与AB间的距离是线段 的长
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)PF
(5)PE
【分析】（1）根据垂线的定义作图即可；
（2）根据垂线的定义作图即可；
（3）根据平行线的定义作图即可；
（4）点P到直线CD距离是线段PF的长；
（5）点PM与AB的距离是线段PE的长．
（1）
解：如图所示PE即为所求；
（2）
解：如图所示PF即为所求
（3）
解：如图所示PM即为所求
（4）
解：由题意可知
点P到直线CD距离是线段PF的长．
（5）
解：由题意可知
点PM与AB的距离是线段PE的长．
【点睛】本题主要考查了复杂-作图，点到直线的距离以及平行线间的距离，掌握垂线和平行线的定义以及画法是解题的关键．
能力提升
一、单选题（每题3分）
1．(2023秋·浙江台州·七年级校联考阶段练习）在同一个平面内的直线a，b，c，若，，则b与c的关系是（ ）
A．平行B．垂直C．相交D．不能确定
【答案】A
【分析】根据“同一个平面内，平行于同一条直线的两条直线平行”分析判断即可．
【详解】解：根据“同一个平面内，平行于同一条直线的两条直线平行”可知，
在同一个平面内的直线a，b，c，若，，
则．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行公理推论，熟练掌握平行公理及其推论是解题关键．
2．(2023春·全国·七年级专题练习）如图，已知A、B、C三点，过点A可画直线BC的平行线的条数是（ ）
A．0条B．1条C．2条D．无数条
【答案】B
【分析】先过B，C两点画直线BC，再根据过直线外一点有且只有1条直线与已知直线平行可求解．
【详解】解：如图，
根据过直线外一点有且只有1条直线与已知直线平行，
故选：B．
【点睛】本题主要考查直线，射线，线段，平行线，掌握过直线外一点有且只有1条直线与已知直线平行的性质是解题的关键．
3．(2023春·七年级课时练习）下列说法中，错误的有（ ）．
①若与相交， 与相交，则与相交；
②若，那么；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种．
A．3个B．2个C．1个D．0个
【答案】A
【分析】依次判断所给内容的正误，即可得．
【详解】解：①若a与c相交， b与c相交，则a与b相交；错误，符合题意，a与b还有可能平行，如图所示：
②若a//b，b//c那么a//c；正确，不符合题意；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；错误，符合题意；应为“经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，”
④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种；错误，符合题意，因为垂直是相交的特殊情况，
综上，①③④错误，
故选A．
【点睛】本题考查了平行线，解题的关键是熟记平行公理及其推论和平面内两条直线的位置关系．
4．(2023春·北京东城·八年级校考期末）如图，在下列条件中，能够证明的条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据平行线的判定定理逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A． ，内错角相等两直线平行，能判定；故A不符合题意；
B． ，同位角相等两直线平行，能判定；故B不符合题意；
C． ，同旁内角互补两直线平行，能判定；故C不符合题意；
D． ，内错角相等两直线平行，能判定，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的判定方法，掌握平行线的判定方法“同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行”是解题的关键．
5．(2023春·全国·八年级专题练习）如图，下列结论不成立的是（ ）
A．如果∠1＝∠3，那么
B．如果∠2＝∠4，那么
C．如果∠1+∠2+∠C＝180°，那么
D．如果∠4＝∠5，那么
【答案】D
【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可．
【详解】A．如果∠1＝∠3，那么能得到，故本选项结论成立，不符合题意．
B．如果∠2＝∠4，那么能得到，故本选项结论成立，不符合题意．
C．如果∠1+∠2+∠C＝180°，能得到，故本选项结论成立，不符合题意．
D．如果∠4＝∠5，那么不能得到，故本选项结论不成立，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
6．(2023秋·湖北襄阳·七年级校考阶段练习）如图直线，与直线相交，给出下列条件：
①；②；③；④，其中能判断的有几个（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】直接利用平行线的判定方法分别分析得出答案．
【详解】解：①∵∠1=∠2，∴a∥b．理由是同位角相等，两直线平行．故此选项正确；
②∠3=∠6无法得出a∥b，故此选项错误；
③∵∠4+∠7=180°，∴a∥b．理由是同旁内角互补，两直线平行．故此选项正确；
④∵，，∴∠2+∠5=180°，∴a∥b．理由是同旁内角互补，两直线平行．故此选项正确；
综上所述：正确的有①③④．共3个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，正确把握平行线的几种判定方法是解题关键．
二、填空题（每题3分）
7．(2023秋·全国·七年级专题练习）直线a∥b，b∥c，则直线a与c的位置关系是________．
【答案】平行
【分析】根据平行于同一条直线的两条直线互相平行，可得答案．
【详解】解：∵直线a∥b，b∥c，
∴a∥c，
则直线a与c的位置关系是平行，
故答案为：平行．
【点睛】此题考查平行公理及推论，解题关键在于掌握：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
8．(2023秋·内蒙古通辽·七年级统考期末）现有下列说法：
①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
③若，，则；
④若，的两边与的两边分别平行，则或；
⑤若，，则．
其中正确的是_______（填写序号）．
【答案】③④
【分析】根据平行线的判定与性质，平行公理及推论进行逐一判断即可．
【详解】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故①错误；
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故②错误；
若b∥c，a∥c，则b∥a，故③正确；
若∠1=40°，∠2的两边与∠1的两边分别平行，则∠2=40°或140°，故④正确；
若在同一平面内，b⊥c，a⊥c，则b∥a，故⑤错误．
所以其中正确的是③④．
故答案为：③④．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，平行公理及推论，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
9．(2023秋·吉林四平·七年级校考阶段练习）如图，要使，需补充一个条件，你认为这个条件应该是______（填一个条件即可）．
【答案】(答案不唯一）
【分析】利用两线平行的判定方法，找到一组同位角相等即可．
【详解】解：当时：，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查两直线平行的判定方法．利用同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，任选其一解题即可．
10．(2023秋·全国·七年级期末）下列说法正确的是________（填序号）．
①同位角相等；②对顶角相等；③在同一平面内，不相交也不重合的两条射线一定平行；④过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；⑤如果直线，那么；⑥垂线段最短；⑦过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
【答案】②④⑥
【分析】根据同位角、对顶角、平行线的性质、垂线的性质即可依次判断．
【详解】①两直线平行，同位角相等，故错误；
②对顶角相等，正确；
③在同一平面内，不相交也不重合的两条直线一定平行，故错误；
④过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，正确；
⑤如果直线，那么a,c的位置关系不确定，故错误；
⑥垂线段最短，正确；
⑦在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故错误．
故答案为：②④⑥．
【点睛】此题主要考查同位角、对顶角、平行线的性质、垂线的性质，解题的关键是熟知各自的性质及特点．
11．(2023秋·河南漯河·七年级校考阶段练习）下列4个命题，
①在同一平面内，、、是直线，，，则；
②在同一平面内，、、是直线，，，则；
③在同一平面内，、、是直线，，，则；
④在同一平面内，、、是直线，，，则．
正确的有_________（填写序号）．
【答案】①③④
【分析】根据平行线的判定定理和推论，分析判断即可．
【详解】①在同一平面内，，，是直线，且，则，平行于同一直线的两直线平行，故原命题正确，符合题意．
②在同一平面内，，，是直线，且，，则，故原命题错误，不符合题意．
③在同一平面内，，，是直线，且，则，故原命题正确，符合题意．
④在同一平面内，，，是直线，且，，则，故原命题正确，符合题意．
故答案为：①③④．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定定理，准确分析判断是解题的关键．
12．(2023秋·湖北黄冈·七年级校考阶段练习）如图，不添加辅助线，请写出一个能判定ABCD的条件__
【答案】∠1=∠4##∠B=∠5##∠B+∠BCD=180°
【分析】根据平行线的判定定理即可解答．
【详解】解：由“内错角相等，两直线平行”可以添加条件∠1=∠4．
由“同位角相等，两直线平行”可以添加条件∠B=∠5．
由“同旁内角互补，两直线平行”可以添加条件∠B+∠BCD=180°．
综上所述，满足条件的有：∠1=∠4或∠B=∠5或∠B+∠BCD=180°．
故答案是：∠1=∠4或∠B=∠5或∠B+∠BCD=180°．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定．解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．本题是一道探索性条件开放性题目，能有效地培养学生“执果索因”的思维方式与能力．
三、解答题（13题5分，14题6分，15题7分）
13．(2023秋·重庆铜梁·七年级统考期末）已知，如图：
(1)过点B画直线BM∥AC；
(2)延长BC至点D，使CD＝BC；
(3)过点A作BC的垂线AN，垂足为点N．
（说明（1）至（3）用直尺或三角板画图，不写画法．）
(4)在前面所作图中，若点N是BC的中点，CN＝2cm，则BD的长为______cm
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)8
【分析】（1）根据平行线的定义画出图形即可；
（2）根据要求画出图形即可；
（3）根据垂线段的定义画出图形即可；
（4）根据线段中点的定义求解即可．
（1）
解：如图，直线BM即为所求；
（2）
解：如图，线段CD即为所求；
（3）
解：如图，线段AN即为所求；
（4）
解：∵点N是BC的中点，CN＝2cm，
∴BN=CN=2cm，
∴BC=4cm，
∴CD=BC=4cm，
∴BD=BC+CD=8cm．
故答案为：8
【点睛】本题考查作图——基本作图，平行线的定义，垂线段的定义，线段的中点等知识，熟练掌握在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线；当两条直线相交所成的四个角中，有一个角为90°时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足；把线段分为两条相等的线段的点，叫做这条线段的中点是解题的关键．
14．(2023春·八年级课时练习）学习了两条直线平行的判定方法1后，谢老师接着问：“由同位角相等，可以判断两条直线平行，那么能否利用内错角相等来判定两条直线平行呢？”如图，直线AB和CD被直线EF所截，∠2＝∠3，ABCD吗？说明理由．
现请你补充完下面的说理过程：
答：ABCD
理由如下：
∵∠2＝∠3（已知）
且 （ ）
∴∠1＝∠2
∴ABCD（ ）
【答案】∠1＝∠3；对顶角相等；同位角相等，两直线平行
【分析】根据已知条件及对顶角相等得出∠1＝∠2，由同位角相等，两直线平行即可证明．
【详解】解：ABCD
理由如下：∵∠2＝∠3（已知）
且∠1＝∠3（对顶角相等）
∴∠1＝∠2
∴ABCD（同位角相等，两直线平行），
故答案为：∠1＝∠3；对顶角相等；同位角相等，两直线平行．
【点睛】题目主要考查对顶角相等及平行线的判定，理解题意，熟练掌握平行线的判定是解题关键．
15．(2023秋·陕西咸阳·七年级校联考期中）如图，已知点E在直线DC上，射线EF平分∠AED，过E点作，G为射线EC上一点，连接BG、AB，且．
(1)试说明；
(2)若试判断AB与EF平行吗？并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)ABEF，理由见解析
【分析】（1）根据互相垂直的意义，以及同角或等角的余角或补角相等，得出结论；
（2）根据角平分线以及同角或等角的余角或补角相等，得出∠A=∠AEF，利用内错角相等两直线平行，得出结论．
（1）
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）
解： ，
理由如下：
∵平分 ，
∴，
∵，，
∴，
又∵ ，
∴，
∴ ．
【点睛】本题考查平行线的判定定理，同角(或等角)的余角相等，角平分线的有关证明，能根据同角(或等角)的余角相等完成角度之间的转化是解题关键．小贴士
反证法不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立．
在某些情形下，反证法是很有效的证明方法。