人教版八年级下册16.1 二次根式习题

这是一份人教版八年级下册16.1 二次根式习题，共17页。试卷主要包含了分母有理化问题，规律性问题等内容，欢迎下载使用。

类型一、分母有理化问题
例．已知，则的值为___________．
【变式训练1】阅读下列材料，然后回答问题．
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 ab2，ab 3 ，求．我们可以把ab和ab看成是一个整体，令 xab ， y  ab ，则．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．
(1)计算：；
(2)m 是正整数， a ，b 且．求 m．
(3)已知，求的值．
【变式训练2】在进行二次根式化简时，我们有时会遇到形如，这样的式子可以用如下的方法将其进一步化简：；以上这种化简的方法叫做分母有理化．
(1)化简：①＝ ，②＝ ，③＝ ；
(2)已知n是正整数，化简＝ ；
(3)利用(2)的启示，请化简：；
(4)联系与拓广：，则 ．
【变式训练3】先阅读，再解答:由 可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：
，请完成下列问题：
(1)的有理化因式是 _______；
(2)化去式子分母中的根号： _____．(直接写结果)
(3) (填或)
(4)利用你发现的规律计算下列式子的值：
【变式训练4】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：
．请你仿照小明的方法解决下列问题：
(1)，则______，_______；
(2)已知是的算术平方根，求的值；
(3)当时，化简_______．
【变式训练5】阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：
，
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：
比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下：
， ，
因为，所以．
再例如：求的最大值．做法如下：
解：由可知，而，
当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2．
解决下述问题：
(1)比较和的大小；
(2)求的最大值和最小值．
类型二、规律性问题
例．阅读材料已知下面一列等式：
；；；
(1)请用含的等式表示你发现的规律___________________；
(2)证明一下你写的等式成立；
(3)利用等式计算：；
(4)计算：．
【变式训练1】阅读下列材料，解答后面的问题：
；
；
(1)写出下一个等式；
(2)计算的值；
(3)请求出的运算结果．
【变式训练2】观察下列各式及证明过程：
①；
②；
③．
验证：；
．
(1)按照上述等式及验证过程的基本思想，猜想的变形结果，并进行验证；
(2)针对上述各式反映的规律，写出用(为正整数，且)表示的等式．
【变式训练3】观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：，，，…
(1)填空：＝ ；
(2)请你用含n(n为正整数)的关系式表示上述各式子的变形规律．并证明你的结论．
(3)利用上面的结论，求下列式子的值：．
【变式训练4】(1)用计算器计算：
________________；
_______________；
_____________；
____________．
(2)观察(1)中各式的计算结果，你能发现什么规律？
(3)试运用发现的规律猜想出下式的结果，并用计算器验证你的猜想__________．
专题02 二次根式计算的两种压轴题全攻略
类型一、分母有理化问题
例．已知，则的值为___________．
【答案】
【详解】解：∵，
∴，
∴
故答案为：
【变式训练1】阅读下列材料，然后回答问题．
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 ab2，ab 3 ，求．我们可以把ab和ab看成是一个整体，令 xab ， y  ab ，则．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．
(1)计算：；
(2)m 是正整数， a ，b 且．求 m．
(3)已知，求的值．
【答案】(1)
(2)m=2
(3)
【详解】(1)原式
，
(2)∵a ，b ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴2，
∵m 是正整数，
∴m=2．
(3)由得出，
∴，
∵，
∵，
∴．
【变式训练2】在进行二次根式化简时，我们有时会遇到形如，这样的式子可以用如下的方法将其进一步化简：；以上这种化简的方法叫做分母有理化．
(1)化简：①＝ ，②＝ ，③＝ ；
(2)已知n是正整数，化简＝ ；
(3)利用(2)的启示，请化简：；
(4)联系与拓广：，则 ．
【答案】(1)；；
(2)
(3)
(4)727
【详解】(1)解：①;
②;
③
故答案为：；；;
(2)解：
=；
(3)
=
=；
(4)解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：727．
【变式训练3】先阅读，再解答:由 可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：
，请完成下列问题：
(1)的有理化因式是 _______；
(2)化去式子分母中的根号： _____．(直接写结果)
(3) (填或)
(4)利用你发现的规律计算下列式子的值：
【答案】(1)+1；(2)；(3)<；(4)2017.
【详解】解：(1)-1的有理化因式是+1；
(2)；
(3)，，
∵
∴>
∴<；
(4)原式=
==2018-1=2017．
【变式训练4】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：
．请你仿照小明的方法解决下列问题：
(1)，则______，_______；
(2)已知是的算术平方根，求的值；
(3)当时，化简_______．
【答案】(1)2，1；(2)－2018；(3)2．
【详解】解：(1)∵，
∴a＝2，b＝1；
故答案为：2,1
(2)∵是的算术平方根，
∴，
∴；
(3)∵，
∴，
，
．
故答案为：2
【变式训练5】阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：
，
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：
比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下：
， ，
因为，所以．
再例如：求的最大值．做法如下：
解：由可知，而，
当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2．
解决下述问题：
(1)比较和的大小；
(2)求的最大值和最小值．
【答案】(1)；(2)的最大值为2，最小值为．
【详解】解：(1)，
，
而，，
，
；
(2)由，，得，
，
∴当时，有最小值，则有最大值1，此时有最大值1，所以的最大值为2；
当时，有最大值，则有最小值，此时有最小值0，所以的最小值为．
类型二、规律性问题
例．阅读材料已知下面一列等式：
；；；
(1)请用含的等式表示你发现的规律___________________；
(2)证明一下你写的等式成立；
(3)利用等式计算：；
(4)计算：．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
(4)
【详解】(1)解：根据题意，由规律可得：
它的一般性等式为；
(2)证明：
原式成立；
(3)解：
；
(4)解：
．
【变式训练1】阅读下列材料，解答后面的问题：
；
；
(1)写出下一个等式；
(2)计算的值；
(3)请求出的运算结果．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】(1)解：
(2)解：
．
(3)解：
【变式训练2】观察下列各式及证明过程：
①；
②；
③．
验证：；
．
(1)按照上述等式及验证过程的基本思想，猜想的变形结果，并进行验证；
(2)针对上述各式反映的规律，写出用(为正整数，且)表示的等式．
【答案】(1)，验证见解析；(2)(为正整数，)．
【详解】解：(1)猜想：
验证：；
(2)(为正整数，)．
【变式训练3】观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：，，，…
(1)填空：＝ ；
(2)请你用含n(n为正整数)的关系式表示上述各式子的变形规律．并证明你的结论．
(3)利用上面的结论，求下列式子的值：．
【答案】(1)；(2)(n为正整数)，证明见解析；(3)2007
【详解】解：(1)原式＝=；
故答案为：；
(2)规律为(n为正整数)．
证明如下：=＝=(n为正整数)；
(3)原式＝()
＝(﹣1)(+1)
＝2008﹣1
＝2007.
【变式训练4】(1)用计算器计算：
________________；
_______________；
_____________；
____________．
(2)观察(1)中各式的计算结果，你能发现什么规律？
(3)试运用发现的规律猜想出下式的结果，并用计算器验证你的猜想__________．
【答案】(1)5，55，555，5555；(2)(n个3，n个4)=55…5(n个5)；(3)55555，计算机验证正确
【详解】解：(1)5，
55，
555，
5555，
故答案为：5，55，555，5555；
(2)观察题(1)中各式的计算结果，可得出：
(n个3，n个4)=55…5(n个5)；
(3)由(2)可得：
55555，
计算机验证正确．