内蒙古通辽市科尔沁区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题（原卷版+解析版）

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考生须知：
1．本试卷共三大题，共26小题，满分120分．考试时间120分钟
2．根据网上阅卷需要，本试卷所有试题均按要求在答题卡上作答，答在本试卷内无效．
3．考试结束后，只需将答题卡上交．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每个小题都给出了四个选项，其中只有一个是正确的，请将你认为代表正确选项的字母在答题卡上用2B铅笔涂黑．
1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查轴对称图形的定义，轴对称图形定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，根据定义逐项判定即可得出结论，熟练掌握中心对称图形与轴对称图形的定义是解决问题的关键．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故选项符合题意；
故选：D．
2. 第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，共产生金牌481枚，银牌480枚，铜牌631枚，奖牌取名“湖山”，以良渚文化中的礼器玉琮为表征，将八边形和圆形奖章融为一体，别具一格，具有很高的辨识度，请问该八边形的内角和是多少度？（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查多边形的内角和，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．利用多边形的内角和公式计算即可．
【详解】解：，
即八边形的内角和为，
故选：C．
3. 已知三角形两边长为5和8，则第三边长a的取值范围是( )
A. 3＜a＜13B. 3≤a≤13C. a＞3D. a＜11
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角形的第三边大于两边之差小于两边之和，即可解决问题．
【详解】∵三角形的第三边大于两边之差小于两边之和，
∴三角形的两边长分别是5、8，则第三边长a的取值范围是3＜a＜13．
故选A．
【点睛】此题主要考查三角形的三边关系，解题的关键是熟知三角形的第三边大于两边之差小于两边之和.
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了同底数幂的乘除法，积的乘方以及幂的乘方．根据同底数幂的乘除法，积的乘方以及幂的乘方，对选项逐个判断即可．
【详解】解：，A选项错误，不符合题意；
，B选项正确，符合题意；
，C选项错误，不符合题意；
，D选项错误，不符合题意；
故选：B．
5. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了因式分解的意义，根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义判断即可，解题的关键在于正确理解因式分解的定义．
【详解】解：．等式从左到右的变形，属于整式乘法，故本选项不符合题意；
．等式从左到右的变形，属于整式乘法，故本选项不符合题意；
．等式从左到右的变形，属于因式分解，故本选项符合题意；
．等式右边不是整式积，故本选项不符合题意；
故选：．
6. 如图，在中，通过尺规作图，得到直线和射线，仔细观察作图痕迹，若，，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由作图可知，为线段的垂直平分线，为的平分线，则，，从而得到，由三角形内角和定理求出，即可得到答案．
【详解】解：由作图可知，为线段的垂直平分线，为的平分线，
，，
，
，，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
7. 将分式中的x，y的值同时扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A. 扩大6倍B. 扩大3倍C. 不变D. 扩大9倍
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
【详解】解：由题意得：，
∴将分式中的x，y的值同时扩大为原来的3倍，分式的值扩大9倍，
故选D．
8. 将一副三角板按如图所示的方式放置，图中∠CAF的大小等于（ ）
A. 50°B. 60°C. 75°D. 85°
【答案】C
【解析】
【分析】利用三角形内角和定理和三角形的外角的性质计算即可．
【详解】∵∠DAC＝∠DFE+∠C＝60°+45°＝105°，
∴∠CAF＝180°﹣∠DAC＝75°，
故选C．
【点睛】考查了三角形外角的性质，解题关键是利用了三角形的外角的性质．
9. 如图，，且点恰好落在线段上，，，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，根据题意可得，，根据三角形内角和定理求出进而即可求解．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
故选：C．
10. 如图，在中，，的角平分线交于点D，于点E，若与的周长分别为13和3，则的长为（ ）
A. 10B. 16C. 8D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】证明，则，，由题意知，，则，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，，
又∵，
∴，
∴，，
由题意知，，
∴，
解得，
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质．解题的关键在于明确线段之间的数量关系．
二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分．把答案直接填在答题卡对应横线上．
11. 我国一款手机的芯片采用了先进的制造工艺，已知，将用科学记数法表示为：_________
【答案】
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
科学记数法确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．
【详解】的左边起第一个不为零的数字7前面的0有9个
，
故答案为：
12. 分式和的最简公分母为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据确定最简公分母的方法：取各分母系数的最小公倍数；凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．即可求解，熟练掌握最简公分母的相关知识是解题的关键．
【详解】解：分式，的最简公分母为，
故答案为：．
13. 若（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m＝____．
【答案】﹣3
【解析】
【分析】根据多项式乘以多项式，进而令含x的一次项系数为0，即可求得的值．
【详解】∵（x+m）（x+3）＝x2+3x+mx+3m＝x2+（3+m）x+3m，
又∵乘积中不含x的一次项，
∴3+m＝0，
解得m＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，整式乘法中无关类型，掌握多项式乘以多项式运算法则是解题的关键．
14. 分别观察下列四组图形，在每个图形的下方，都有一个等式，其中图形与等式之间的对应关系表达相符的共有______组．（填组数）
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了多项式乘以多项式与图形面积，完全平方公式与图形面积，数形结合是解题的关键．
分别用两种方法表示图形面积，用大长方形的面积等于几个小的长方形或正方形的面积和，逐项分析判断
即可求解．
【详解】解：图，整体长方形的长为，宽为，因此面积为，
整体长方形由三个长方形构成的，这三个长方形的面积和为、、，
所以有：，
因此图符合题意；
图，整体长方形的长为，宽为，因此面积为，
整体长方形由四个长方形构成的，这四个长方形的面积和为，
所以有：，
因此图符合题意；
图，整体正方形的边长为，因此面积为，
整体正方形由四个部分构成的，这四个部分的面积和为，
所以有：，
因此图符合题意；
图，整体正方形的边长为，因此面积为，
整体正方形由四个部分构成的，其中较大的正方形的边长为，因此面积为，较小正方形的边长为，因此面积为，
另外两个长方形的长为，宽为，则面积为，
所以有，
即，
因此图4符合题意；
综上所述，4组均符合题意；
故答案为：4．
15. 已知，，则________________．
【答案】20
【解析】
【分析】先把等式x+y＝﹣6两边分别平方，得到x2+y2+2xy＝36，再把xy＝8代入，即可求出x2+y2的值．
【详解】解：∵x+y＝﹣6，
∴（x+y）2＝36，
即x2+y2+2xy＝36，
∵xy＝8，
∴x2+y2+2×8＝36，
∴x2+y2＝20，
故答案为：20．
【点睛】本题主要考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2，是本题解题关键．
16. 若等腰三角形中有一个角等于，则这个等腰三角形的底角的度数为______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形、三角形内角和定理，分角为底角和顶角两种情况，分别计算即可．
【详解】解：当的角为顶角时，底角的度数为：，
当的角为底角时，底角的度数为，
故答案为：或．
17. 如图，在中，为中线，过点B作于点E，过点C作于点F．在延长线上取一点G，连接，使．下列结论中①；②；③；④．其中正确的是______．（填序号）
【答案】①②③④
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的中线与面积的关系；先利用证明可判断①、再利用证明可判断②，再利用全等三角形的性质与三角形的中线的性质结合三角形的面积公式可判断③，④；能够确定清晰的解题思路是解题关键．
【详解】解：∵为中线，
∴．
∵，，
∴，
∵，
，
∴，故①正确；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，故④正确；
∴，
∴
，故③正确．
故答案为：①②③④．
三、解答题：本大题共9小题，共69分．请在答题卡上写出各小题解答的文字说明、证明过程或计算步骤．
18. 计算：
（1）化简：；
（2）计算：．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查整式的混合运算，实数的混合运算，掌握各运算法则是解题关键．
（1）根据完全平方公式和平方差公式计算即可；
（2）先计算负整数指数幂，0指数幂和有理数的乘方，再按顺序计算即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
19. 解方程：
（1）；
（2）
【答案】（1）
（2）无解
【解析】
【分析】本题考查解分式方程，涉及分式方程解法步骤：去分母、化为整式方程求解、验根、下结论等，熟练掌握分式方程解法是解决问题的关键．
（1）先去分母，再化成关于未知数的一元一次方程求解，验根即可得到答案；
（2）先将原方程整理，再去分母，再化成关于未知数的一元一次方程求解，验根即可得到答案．
【小问1详解】
解：，
方程两边乘 ，得，
解得，
检验：当时，，
原分式方程的解为；
【小问2详解】
解：由得，
方程两边乘 ，得，
解得，
检验：当时，，即是原分式方程的增根，
原分式方程无解．
20. 先化简：，再从，，1，3中选取一个使原式有意义的数代入求值．
【答案】，当时，原式
【解析】
【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后根据分式有意义的条件确定出符合题意的x的值，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
∵分式要有意义，
∴，
∴且，
∴当时，原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟知分式的混合计算法则是解题的关键．
21. 如图，在和中，点B、F、C、E在同一直线上，，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据，可得，再由，可得，再由边角边可证得，即可求解．
【详解】证明：∵，
∴，即，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
22. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标．

（1）请在图中画出关于轴对称的图形（其中分别是的对应点，不写画法）；
（2）直接写出三点的坐标：______，______，______；
（3）轴上画出点，使得最小．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了画轴对称图形，结合图形写坐标以及最短距离的问题，掌握轴对称图形的特点是解答本题的关键．
（1）按照轴对称图形的特点作图即可；
（2）根据图形即可作答；
（3）连接，交于y轴于点P，连接，即可找到P点．
【小问1详解】
解：按照轴对称图形的特点作图1如下：

即为所作；
【小问2详解】
解：根据（1）的图形可知：；
故答案为：；
【小问3详解】
解：如图2，P点即为所求，

23. 为有效落实双减工作，切实做到减负提质，很多学校决定在课后看护中增加乒乓球项目．体育用品商店得知后，第一次用900元购进乒乓球若干盒，第二次又用900元购进该款乒乓球，但这次每盒的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30盒．
（1）求第一次每盒乒乓球的进价是多少元？
（2）若要求这两次购进的乒乓球按同一价格全部销售完后获利不低于510元，则每盒乒乓球的售价至少是多少元？
【答案】（1）5元 （2）7元
【解析】
【分析】（1）设第一次每盒乒乓球的进价是x元，则第二次每盒乒乓球的进价是元，根据购进数量比第一次少了30盒列方程即可；
（2）设每盒乒乓球的售价为y元，根据全部销售完后获利不低于510元列出不等式即可．
【小问1详解】
解：设第一次每盒乒乓球的进价是x元，则第二次每盒乒乓球的进价是元，
由题意得：
解得：x＝5，
经检验：x＝5是原分式方程的解，，且符合题意，
答：第一次每盒乒乓球的进价是5元；
【小问2详解】
解：设每盒乒乓球的售价为y元，
第一次每盒乒乓球的进价为5元，则第二次每盒乒乓球的进价为（元），
由题意得：，
解得：．
答：每盒乒乓球的售价至少是7元．
【点睛】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解题关键是准确理解题意，根据题目中的数量关系列出方程和不等式．
24. 如图，在等腰中，，腰的垂直平分线交底于点，垂足为点．

（1）求的度数；
（2）若，求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形判定与性质、中垂线性质及含的直角三角形性质，数形结合，求出各个角度是解决问题的关键．
（1）由等腰三角形性质得到，再由中垂线的性质得到，最后再由等腰三角形性质即可得到答案；
（2）由（1）中所求各个角度，利用含的直角三角形性质结合条件即可得到答案．
【小问1详解】
解：，
，
是的垂直平分线，
，
；
【小问2详解】
解：由（1）知，
，
，
是的垂直平分线，
，
在中，，，则，
．
25. 【问题提出】
计算：
【问题探究】
为便于研究发现规律，我们可以将问题“一般化”，即将算式中特殊的数字3用具有一股性的字母a代替，原算式化为：
然后我们再从最简单的情形入手，从中发现规律，找到解决问题的方法：
①
②由①知，所以，
（1）仿照②，写出进行因式分解的过程．
【发现规律】
（2）______．
【问题解决】
（3）计算：______（结果用乘方表示）．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）．
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的运算、数字规律、有理数的混合运算等知识点，发现解答的规律是解题的关键．
（1）仿照②进行解答即可；
（2）归纳①、②得到规律即可；
（3）直接运用（2）的规律对原式进行变形，然后再计算即可．
【详解】解：（1）
．
（2），
．
故答案为．
（3）
．
故答案为．
26 阅读理解课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点，使，连结，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到，其理由是什么？
（2）的取值范围是什么？
[感悟]解题时，条件中出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和结论转化到一个三角形中．
[问题解决]
（3）如图3，是的中线，交于点，且，试说明．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据，，推出和全等即可；
（2）根据全等得出，，由三角形三边关系定理得出，求出即可；
（3）延长到，使，连接，根据证，推出，，根据，推出，求出，根据等腰三角形的性质求出即可．
【小问1详解】
在和中
，
，
全等的理由是：；
【小问2详解】
由（1）知：，
，，
在中，，由三角形三边关系定理得：，
；
【小问3详解】
证明：延长到，使，连接，
是中线，
，
在和中
，
，，
，
，
，
，
，
即．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，掌握中线倍长模型，添加辅助线是关键．