2023-2024学年河南师大附中八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河南师大附中八年级（上）期中数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下面四个图形分別是不可回收垃圾、可回收垃圾、有害垃圾、其它垃圾的标志，这四个标志中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列说法正确的是( )
A. 两个等边三角形一定全等B. 形状相同的两个三角形全等
C. 面积相等的两个三角形全等D. 全等三角形的面积一定相等
3.如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数是( )
A. 62°
B. 72°
C. 76°
D. 66°
4.如图，AF=DC，BC/​/EF，只需补充一个条件，就可得△ABC≌△DEF.下列条件中不符合要求的是( )
A. BC=EF
B. AB=DE
C. ∠B=∠E
D. AB//DE
5.如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是( )
A. AB=DC
B. AB=AD
C. △BEC≌△DEC
D. AC平分∠BAD
6.如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1、S2，则( )
A. S1=12S2B. S1=72S2C. S1=S2D. S1=85S2
7.如图，在△ABC中，∠BAC=80°，AB边的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，AC边的垂直平分线交AC于点F，交BC于点G，连接AE，AG.则∠EAG的度数为( )
A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°
8.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，若BD=3，则AD的长度为( )
A. 6B. 9C. 12D. 15
9.如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠ABC=70°，点P是∠BAC的平分线AP和∠CBD的平分线BP的交点，射线CP交AB的延长线于点D，则∠D的度数为( )
A. 15°B. 17.5°C. 20°D. 22.5°
10.如图，△ABC为等边三角形，点D与点C关于直线AB对称，E，F分别是边BC和AC上的点，BE=CF，AE与BF交于点G，DG交AB于点H.下列四个结论不一定成立的是( )
A. △ABE≌△BCFB. AG+BG=DG
C. HG+GE=GFD. △AHF为等边三角形
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是全等三角形判定定理中的______．
12.如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，AD//BC，∠B=32°，则∠C的度数是______．
13.“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE=75°，则∠CDE的度数是______．
14.如图，在△ABC中，AB=4，AC=6，E为BC中点，AD为△ABC的角平分线，△ABC的面积记为S1，△ADE的面积记为S2，则S1S2= ______．
15.已知，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′中，AB=A′B′，BC=B′C′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，现在只需补充一个条件，就可得四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，下列四个条件：①∠A=∠A′；②∠D=∠D′；③AD=A′D′；④CD=C′D′，其中，符合要求的条件的有______.(填所有正确结论的序号)
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
如图，AB=AC，AD=AE.求证：∠B=∠C．
17.(本小题9分)
已知：如图，AB⊥BC，DC⊥BC，B、C分别是垂足，DE交AC于M，BC=CD，AB=EC，DE与AC有什么关系？请说明理由．
18.(本小题9分)
如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1)，B(3,2)，C(2,−2).(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1(不写作法)，并直接写出点C1的坐标；
(2)请在y轴上找一点P，使得PA+PC最小，并直接写出点P的坐标；
(3)请在y轴上找一点M，使得MA=MC，直接写出点M的坐标．
19.(本小题9分)
如图，在△ABC中，分别以A，B为圆心，以大于12AB的长为半径画弧，两弧交于M，N两点，直线MN交AB于点F，D为线段CE的中点，BE=AC．
(1)求证：AD⊥BC；
(2)若∠BAC=72°，求∠B的度数．
20.(本小题9分)
如图，已知在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，AD与BE相交于F．
(1)线段AF与BC的数量关系是：AF ______BC(用>，<，=填空)；
(2)若AF=2BD，求∠ABC的度数．
21.(本小题10分)
如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D，E分别在AB，BC上，∠EAD=∠EDA，点F为DE的延长线与AC的延长线的交点．
(1)求证：DE=EF；
(2)判断BD和CF的数量关系，并说明理由．
22.(本小题10分)
定义：一个内角等于另一个内角两倍的三角形，叫做“倍角三角形”.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC≥90°，将△ABC沿边AB所在的直线翻折180°得到△ABD，延长DA到点E，连接BE．

(1)若BC=BE，求证：△ABE是“倍角三角形”；
(2)点P在线段AE上，连接BP.若∠C=30°，BP分△ABE所得的两三角形中，△ABP是“倍角三角形”，△BPE是等腰三角形，请直接写出∠E的度数．
23.(本小题11分)
(1)问题背景：
如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=60°.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
小明同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是______；
(2)灵活运用：
如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°.E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，上述结论是否仍然成立，请说明理由；
(3)探索延伸：
如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，且满足EF=BE+FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】D
【解析】解：A、两个边长不相等的等边三角形不全等，故本选项错误；
B、形状相同，边长不对应相等的两个三角形不全等，故本选项错误；
C、面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误；
D、全等三角形的面积一定相等，故本选项正确．
故选D．
根据全等图形的性质对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是全等图形，熟知全等三角形的判定与性质是解答此题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：由三角形内角和定理得，∠2=180°−40°−64°=76°，
∵两个三角形全等，
∴∠1=∠2=76°，
故选：C．
根据三角形内角和定理求出∠2，根据全等三角形的性质解答即可．
本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解本题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：
∵AF=DC，
∴AC=DF，
∵BC/​/EF，
∴∠ACB=∠EFD，
当BC=EF时，
在△ABC和△DEF中
AC=DF∠ACB=∠EFDBC=EF
∴△ABC≌△DEF(SAS)，
当∠B=∠E时，
可由AAS判定，
当AB//DE时，
可知∠A=∠D，可由ASA判定，
而当AB=DE时，由条件可知满足ASS，不能判定全等，
故选：B．
由平行可知到∠ACB=∠EFD，AF=DC可得到AC=FD，故只需添加BC=EF，或一组角相等即可．
本题主要考查全等三角形的判定，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，注意ASS不能判定全等．
5.【答案】A
【解析】解：∵AC垂直平分BD，
∴AB=AD，BC=CD，
∴AC平分∠BAD，EB=DE，
∴∠BCE=∠DCE，
在Rt△BCE和Rt△DCE中，
BE=DEBC=DC，
∴Rt△BCE≌Rt△DCE(HL)，
故B，C，D正确，A无法判断故错误．
故选：A．
根据线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可得AB=AD，BC=CD，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC平分∠BCD，EB=DE，进而可证明△BEC≌△DEC．
此题主要考查了全等三角形的判定，线段垂直平分线的性质，以及等腰三角形的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
6.【答案】C
【解析】解：过A点作AG⊥BC于G，过D点作DH⊥EF于H．
在Rt△ABG中，AG=AB⋅sin40°=5sin40°，
∠DEH=180°−140°=40°，
在Rt△DHE中，DH=DE⋅sin40°=8sin40°，
S1=8×5sin40°÷2=20sin40°，
S2=5×8sin40°÷2=20sin40°．
则S1=S2．
故选：C．
过A点作AG⊥BC于G，过D点作DH⊥EF于H.在Rt△ABG中，根据三角函数可求AG，在Rt△ABG中，根据三角函数可求DH，根据三角形面积公式可得S1，S2，依此即可作出选择．
本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系，关键是作出高线构造直角三角形．
7.【答案】B
【解析】解：∵AB边的垂直平分线交AB于点D，AC边的垂直平分线交AC于点F，
∴AG=CG，AE=BE，
∴∠C=∠CAG，∠B=∠BAE，
∴∠BAE+∠CAG=∠B+∠C=180°−∠BAC=100°，
∴∠EAG=∠BAE+∠CAG−∠BAC=100°−80°=20°，
故选：B．
根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
此题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=90°−30°=60°，
∵∠CDB=90°，
∴∠BCD=90°−60°=30°，
在Rt△CDB中，∠BCD=30°，
∴BC=2BD=6，
在Rt△ACB中，∠A=30°，
∴AB=2BC=12，
∴AD=AB−BD=12−3=9，
故选：B．
根据三角形内角和定理求出∠B，根据直角三角形的性质得到∠BCD=30°，根据直角三角形的性质计算即可．
本题考查的是直角三角形的性质，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
9.【答案】A
【解析】解：如图，AP与BC相交于点O，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=70°，
∴∠CAB=40°，
∵点P是△ABC内角和外角角平分线的交点，
∴∠APB=12∠ACB=35°，
∵AB=AC，AP是∠BAC的平分线，
∴AP⊥BC，OB=OC，
∴CP=BP，
∴∠APC=∠APB=35°，
∴∠BPC=70°，
∵BP是△ABC的外角的平分线，
∴∠PBD=12∠CBD=55°，
∴∠D=∠BPC−∠PBD=70°−55°=15°．
故选：A．
由AB=AC，根据等腰三角形的性质推出∠ABC=∠ACB=70°，由角平分线的定义推出∠APB=12∠ACB=35°，最后用三角形外角的性质即可得出结论．
本题考查等腰三角形的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10.【答案】C
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°，
∵在△ABE和△BCF中，
AB=BC∠ABE=∠CBE=CF，，
∴△ABE≌△BCF(SAS)，故选项A成立；
∴∠BAE=∠FBC，
∴∠BGE=∠ABG+∠BAE=∠ABG+∠FBC=∠ABC=60°，
延长GE至点P，使GP=GB，如图，
∵∠BGE=60°，
∴△BGP为等边三角形，
∴BG=BP=GP，∠GBP=60°，
∵△ABD是等边三角形，
∴AB=BD，∠ABD=60°，
∴∠ABP=∠DBG，
∵在△DBG和△ABP中，
DB=AB∠DBG=∠ABPBG=BP，
∴△DBG≌△ABP(SAS)，
∴DG=AP，
而AP=AG+GP=AG+BG，
∴DG=AG+BG；故选项B成立；
连接HE，
∵∠HBE=∠GBP=60°，
∴∠HBG=∠EBP，
∵△DBG≌△ABP，
∴∠HDB=∠EAB，
∵BD=AB，∠HBD=∠ABE=60°，
∴△DBH≌△ABE，
∴BH=BE，
∴BH=BE=CF，BG=BP，
∴△HBG≌△EBP(SAS)，
∴GH=EP，
∴HG+GE=BG，
而BG不一定等于FG，故选项C不成立；
④如图，
∵BH=CF，AB=AC，∠BAC=60°，
∴AB−BH=AC−CF，即AH=AF，
∴△AHF是等边三角形，故选项D成立；
故选：C．
根据等边三角形的性质证得△ABE≌△BCF(SAS)，可判断选项A；则∠BAE=∠FBC，利用三角形外角性质可求∠BGE=∠ABG+∠FBC=∠ABC=60°；延长GE至点P，使GP=GB，证明△BGP为等边三角形，得到BG=BP=GP，∠GBP=60°，证得△DBG≌△ABP(SAS)，可得DG=AP，即可得到AG+BG=DG，可判断选项B；证明△HBG≌△EBP(SAS)，由全等三角形的性质即可得出HG+GE=BG，可判断选项C；由BH=CF，AB=AC，∠BAC=60°，可判断选项D．
本题考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
11.【答案】SSS
【解析】解：连接CD，C′D′，
由尺规作图可得，OD=OC=O′C′=O′D′，CD=C′D′，
∴△COD≌△C′O′D′(SSS)，
∴∠A′O′B′=∠AOB．
故答案为：SSS．
连接CD，C′D′，由尺规作图可得，OD=OC=O′C′=O′D′，CD=C′D′，则△COD≌△C′O′D′，即可得出答案．
本题考查尺规作图、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
12.【答案】32°
【解析】解：∵AD/​/BC，
∴∠EAD=∠B=32°，
∵AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，
∴∠EAC=2∠EAD=64°，
∵∠EAC是△ABC的外角，
∴∠C=∠EAC−∠B=64°−32°=32°．
故答案为：32°．
根据平行线的性质求出∠EAD，根据角平分线的定义得到∠EAC=2∠EAD=64°，根据三角形的外角性质计算即可．
本题考查的是平行线的性质、三角形的外角性质、角平分线的定义，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
13.【答案】80°
【解析】解：∵OC=CD=DE，
∴∠O=∠CDO，∠DCE=∠DEC，
∵∠DCE=∠O+∠CDO=2∠O，
∴∠DEC=2∠O，
∴∠BDE=∠O+∠DEC=3∠O=75°，
∴∠O=25°，
∴∠DCE=∠DEC=50°，
∴∠CDE=180°−50°−50°=80°，
故答案为80°．
由等腰三角形的性质可得∠O=∠CDO，∠DCE=∠DEC，由外角性质可得∠O=25°，即可求解．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练运用这些性质进行推理是本题关键．
14.【答案】10
【解析】解：∵AB=4，AC=6，E为BC中点，AD为△ABC的角平分线，
∴S△ABE=S△AEC=12S△ABC，D到AB的距离=D到AC的距离，
∴S△ABDS△ADC=12AB⋅h12AC⋅h=46=23，
△ABC的面积记为S1，△ADE的面积记为S2，则S1S2=53−52=10，
故答案为：10．
根据三角形中线的性质和角平分线的性质解答即可．
此题考查角平分线的性质，关键是根据三角形中线的性质和角平分线的性质得出面积关系解答．
15.【答案】①②④
【解析】解：符合要求的条件是①②④，
选④证明：如图，连接AC、A′C′，
在△ABC与△A′B′C′中，
AB=A′B′∠B=∠B′BC=B′C′，
∴△ABC≌△A′B′C′(SAS)，
∴AC=A′C′，∠ACB=∠A′C′B′，
∵∠BCD=∠B′C′D′，
∴∠BCD−∠ACB=∠B′C′D′−∠A′C′B′，
∴∠ACD=∠A′C′D′，
在△ACD和△A′C′D中，
AC=A′C′∠ACD=∠A′C′D′CD=C′D′，
∴△ACD≌△A′C′D′(SAS)，
∴∠D=∠D，∠DAC=∠D′A′C′，DA=D′A′，
∴∠BAC+∠DAC=∠B′A′C′+∠D′A′C′，
即∠BAD=∠B′A′D′，
∴四边形ABCD和四边形A′B′C′D′中，
AB=A′B′，BC=B′C′，AD=A′D′，DC=D′C′，
∠B=∠B′，∠BCD=∠B′C′D′，∠D=∠D′，∠BAD=∠B′A′D′，
∴四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′．
同理可以证明①②．
故答案为：①②④．
根据题意，连接AC、A′C′，根据全等三角形的判定和性质定理即可证明④，其他证明类似，进而可得结论．
此题主要考查了全等三角形的判定和性质，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
16.【答案】证明：在△AEB和△ADC中，
AB=AC∠A=∠AAE=AD，
∴△AEB≌△ADC(SAS)
∴∠B=∠C．
【解析】欲证明∠B=∠C，只要证明△AEB≌△ADC．
本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．
17.【答案】解：结论：DE=AC，DE⊥AC，
理由是：∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴∠DCE=∠B=90°，
在△DCE和△CBA中
DC=BC∠DCE=∠BEC=AB
∴Rt△DCE≌Rt△CBA(SAS)，
∴DE=AC，∠D=∠ACB，
∵∠DCE=90°，
∴∠ACB+∠DCM=90°，
∴∠D+∠DCM=90°，
∴∠DMC=90°，
∴DE⊥AC．
【解析】求出∠DCE=∠B=90°，根据SAS推出△DCE≌△CBA，根据全等三角形的性质得出DE=AC，∠D=∠ACB，求出∠DMC=90°即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理的应用，解此题的关键是推出△DCE≌△CBA，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
18.【答案】解：(1)由题意得，根据对应点连线被对称轴垂直平分得△A1B1C1如图所示，
，
∴C1(2,2)；
(2)由题意可得，
找到A点关于y轴的对称点A2，连接A2C交y轴于一点即为P点，如图所示，
，
∴P(0,0)；
(3)∵MA=MC，
∴M在AC的垂直平分线上，
根据格点作AC的垂直平分线，交y轴于一点即为点M，如图所示，
，
∴M(0,−1)．
【解析】(1)根据对应点连线被对称轴垂直平分直接作图，再根据关于x轴对称横坐标不变纵坐标互为相反数直接求解即可得到答案；
(2)作定点A，C中任意一点的对称点，连接对称点与另一点连线交y轴于一点即为最小和点，根据图形写坐标即可得到答案；
(3)根据格点作AC的垂直平分线，交y轴于一点即为所求点，根据图形写坐标即可得到答案；
本题考查作轴对称图形及根据轴对称求坐标，掌握关于x轴对称横坐标不变纵坐标互为相反数是解题的关键．
19.【答案】(1)证明：如图，连接AE，
由题意知MN是线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
又∵BE=AC，
∴AE=AC，
∵D是线段CE的中点，
∴AD⊥CE，
即AD⊥BC；
(2)解：∵AE=BE，AE=AC，
∴设∠B=∠BAE=x°，
∴∠AEC=∠C=∠B+∠BAE=(2x)°，
∴∠EAC=180°−4x°，
则∠BAC=∠BAE+∠EAC=72°，
∴x+180−4x=72，
解得x=36，
∴∠B=36°．
【解析】(1)由MN是线段AB的垂直平分线知AE=BE，结合BE=AC知AE=AC，根据D是线段CE的中点即可得证；
(2)由AE=BE，可设∠B=∠BAE=x°，继而知∠AEC=∠C=∠B+∠BAE=(2x)°，∠EAC=180°−4x°，根据∠BAC=∠BAE+∠EAC=72°可得关于x的方程，解之即可得出答案．
本题主要考查作图—基本作图，解题的关键是掌握线段中垂线的尺规作图步骤和性质及等腰三角形的判定与性质．
20.【答案】═
【解析】解：(1)∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠AEF=∠BEC=∠BDF=90°，
∵∠AFE=∠BFD，
∴∠EAF=∠EBC，
∵∠BAC=45°，
∴∠ABE=90°−∠BAC=45°，
∴∠EAB=∠EBA=45°，
∴AE=BE，
在△AEF和△BEC中，
∠AFE=∠BFD AE=BE ∠EAB=∠EBA ，
∴△AEF≌△BEC(ASA)，
∴AF=BC，
故答案为：=；
(2)∵AF=2BD，AF=BC，
∴BC=2BD，
∴点 D 为BC的中点，
∵AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，
∴AB=AC，
∴∠C=∠ABC，
∵∠BAC=45°，
∴∠ABC=12(180°−∠BAC)=67.5°．
(1)先根据垂直的定义得到∠AEF=∠BEC=∠BDF=90°，再利用三角形内角和定理证明∠EAF=∠EBC，再证明∠EAB=∠EBA=45°，得到AE=BE，则可证明△AEF≌△BEC，得到AF=BC；
(2)先得到BC=2BD，再由AD⊥BC，得到AD垂直平分BC，则AB=AC，根据等边对等角和三角形内角和定理可得∠ABC=12(180°−∠BAC)=67.5°．
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，通过证明△AEF≌△BEC，得到AF=BC是解题的关键．
21.【答案】证明：(1)如图1中，
∵∠BAC=90°，
∴∠EAD+∠CAE=90°，∠EDA+∠F=90°，
∵∠EAD=∠EDA，
∴∠EAC=∠F，
∴EA=ED，EA=EF，
∴DE=EF．
(2)结论：BD=CF．
理由：如图2中，在BE上取一点M，使得ME=CE，连接DM．
∵DE=EF.∠DEM=∠CEF，EM=EC．
∴△DEM≌△FEC(SAS)，
∴DM=CF，∠MDE=∠F，
∴DM//CF，
∴∠BDM=∠BAC=90°，
∵AB=AC，
∴∠DBM=45°，
∴BD=DM，
∴BD=CF．
【解析】(1)只要证明EA=ED，EA=EF即可解决问题；
(2)结论：BD=CF.如图2中，在BE上取一点M，使得ME=CE，连接DM.想办法证明DM=CF，DM=BD即可．
本题考查等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
22.【答案】(1)证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵将△ABC沿边AB所在的直线翻折180°得到△ABD，
∴∠ABC=∠ABD，∠ACB=∠ADB，BC=BD，
∴∠BAE=2∠ADB，
∵BE=BC，
∴BD=BE，
∴∠E=∠ADB，
∴∠BAE=2∠E，
∴△ABE是“倍角三角形”；
(2)解：由①可得∠BAE=2∠BDA=2∠C=60°，
如图，

若△BPE是等腰三角形，则△ABP是“倍角三角形”，
∴∠ABP=12∠BAP=30°或∠APB=12∠BAE=30°或∠ABP=2∠APB或∠APB=2∠ABP，
∴∠APB=90°或30°或40°或80°，
∴∠BPE=90°或150°或140°或100°，
∵△BPE是等腰三角形，
∴∠BEP=45°或15°或20°或40°．
【解析】(1)由折叠的性质和等腰三角形的性质可求∠BAE=2∠ADB，由等腰三角形的性质可得∠BDE=∠E，可得结论；
(2)由三角形内角和定理和“倍角三角形”的定义可求解．
本题是几何变换综合题，考查了折叠的性质，新定义，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，理解“倍角三角形”的定义并运用是解题的关键．
23.【答案】BE+FD=EF
【解析】解：(1)BE+FD=EF.理由如下：
理由：如图1，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，
∵∠ADC=90°，
∴∠ADG=180°−∠ADC=90°，
又∵∠B=90°，
∴∠B=∠ADG，
在△ABE与△ADG中，
AB=AD∠B=∠ADGBE=DG，
∴△ABE≌△ADG(SAS)，
∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，
∵∠BAD=120°，∠EAF=60°，
∴∠BAE+∠DAF=∠BAD−∠EAF=60°，
∴∠DAG+∠DAF=60°，
即∠GAF=60°，
∴∠GAF=∠EAF；
在△AEF与△AGF中，
AE=AG∠EAF=∠GAFAF=AF，
∴△AEF≌△AGF(SAS)，
∴EF=GF，
∵GF=DG+DF，
∴EF=BE+DF，
故答案为：BE+FD=EF；
(2)BE+FD=EF仍然成立，理由如下：
如图2，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，
∵∠B+∠ADF=180°，∠ADG+∠ADF=180°，
∴∠B=∠ADG，
又∵AB=AD，
∴在△ABE与△ADG中，
AB=AD∠B=∠ADGBE=DG，
∴△ABE≌△ADG(SAS)，
∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，
∵∠EAF=12∠BAD，
∴∠BAE+∠DAF=∠BAD−∠EAF=12∠BAD，
∴∠DAG+∠DAF=12∠BAD，
即∠GAF=12∠BAD，
∴∠GAF=∠EAF，
在△AEF与△AGF中，
AE=AG∠EAF=∠GAFAF=AF，
∴△AEF≌△AGF(SAS)，
∴EF=GF，
∵GF=DG+DF，
∴EF=BE+DF；
(3)∠EAF=180°−12∠DAB.证明如下：
如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG=BE，连接AG，
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°，
∴∠ADC=∠ABE，
又∵AB=AD，
∴在△ABE与△ADG中，
AB=AD∠B=∠ADGBE=DG
∴△ADG≌△ABE(SAS)，
∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，
∵EF=BE+FD，
∴EF=DG+FD，
∴EF=GF，
在△AEF与△AGF中，
AE=AGEF=GFAF=AF
∴△AEF≌△AGF(SSS)，
∴∠FAE=∠FAG，
∵∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，
∴2∠FAE+(∠GAB+∠BAE)=360°，
∴2∠FAE+(∠GAB+∠DAG)=360°，
即2∠FAE+∠DAB=360°，
∴∠EAF=180°−12∠DAB．
(1)根据SAS可判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE=∠DAG，AE=AG，再根据SAS判定△AEF≌△AGF，可得出EF=GF=DG+DF=BE+DF，据此得出结论；
(2)延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先根据SAS判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE=∠DAG，AE=AG，再根据SAS判定△AEF≌△AGF，可得出EF=GF=DG+DF=BE+DF；
(3)在DC延长线上取一点G，使得DG=BE，连接AG，先根据SAS判定△ADG≌△ABE，再根据SAS判定△AEF≌△AGF，得出∠FAE=∠FAG，最后根据∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，推导得到2∠FAE+∠DAB=360°，即可得出结论．
本题主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等．