2023-2024学年河南省南阳市唐河县九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省南阳市唐河县九年级（上）期中数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在二次根式① 12，② 23，③ 32，④ 27中，是同类二次根式的是( )
A. ①和③B. ②和③C. ①和④D. ③和④
2.下列运算正确的是( )
A. 2+ 6= 8B. (1− 2)2=1− 2
C. 1÷ 3×1 3=1D. 5× 15=5 3
3.关于x的一元二次方程x2+mx−8=0的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
4.下列各组线段中，能成比例的是( )
A. 1cm，3cm，4cm，6cmB. 30cm，12cm，0.8cm，0.2cm
C. 0.1cm，0.2cm，0.3cm，0.4cmD. 12cm，16cm，45cm，60cm
5.方程2x(x−3)+5(3−x)=0的根是( )
A. x=52B. x=3
C. x1=52，x2=3D. x1=−52，x2=3
6.用四张一样大小的长方形纸片拼成一个正方形ABCD，如图所示，它的面积是75，AE=3 3，图中空白的地方是一个正方形，那么这个小正方形的周长为( )
A. 2 3
B. 4 3
C. 5 3
D. 6 3
7.数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高．课外活动时他们在阳光下测得一根长为1米的竹竿的影子是0.9米，同一时刻测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的台阶上，且影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端C处，他们测得落在地面的影长为1.1米，台阶总的高度为1.0米，台阶水平总宽度为1.6米．则树高为( )
A. 3.0mB. 4.0mC. 5.0mD. 6.0m
8.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB= 3，AD=1，点M，N分别是边BC，AB上的动点(含端点，但点M不与点B重合)，点E，F分别是线段DM，MN的中点，则线段EF长度的最大值为( )
A. 2
B. 3
C. 1
D. 32
9.菱形ABCD周长为20，对角线AC、BD交于点O，BD=6，点E在CD上，DE：EC=2：3，BE交AC于点F，则FC的长为( )
A. 3
B. 487
C. 5
D. 4.8
10.已知在△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6，下列阴影部分的三角形与原△ABC不相似的是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若a2=b3=c4，a+b+c=18，则a的值为______．
12.如图：实数a，b在数轴上的位置如图所示，则 (a+1)2− (b−1)2− (a−b)2= ______．
13.如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB= ______米．
14.如图(1)，在宽为20m，长为35m的矩形耕地上修建同样宽的三条道路，把耕地分成若干小矩形块，作为小麦试验田，若试验田面积为600m2，求道路宽为多少？设宽为x m，从图(2)的思考方式出发列出的方程是______．
15.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，F为BC中点，P是线段BC上一点，设BP=m(00，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
根据一元二次方程根的判别式解答即可．
本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、1×6≠3×4，故错误；
B、30×0.2≠12×0.8，故错误；
C、0.1×0.4≠0.2×0.3，故错误；
D、12×60=16×45，故正确．
故选：D．
如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．
根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．
5.【答案】C
【解析】解：因式分解，得
(x−3)(2x−5)=0
于是，得
2x−5=0或x−3=0，
解得x1=52，x2=3，
故选：C．
根据因式分解法，可得答案．
本题考查了解一元二次方程，因式分解是解题关键．
6.【答案】B
【解析】解：4[3 3−( 75−3 3)]
=4[3 3−(5 3−3 3)]
=4[3 3−2 3]
=4 3．
故选：B．
首先由正方形ABCD的面积是75，开方求得边长，也就是小长方形的长与宽的和，减去AE，得出宽，进一步利用长减去宽再乘4得出答案即可．
此题考查二次根式的运用，看清图意，搞清小长方形的长和宽之间的关系是解决问题的关键．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的判定及相似三角形的对应边成比例，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，根据相似三角形对应边成比例，通过解方程求解，加上DB的长即可．解此题的关键是找到各部分以及与其对应的影长．
【解答】
解：过点C作CD⊥AB于点D，如图．
∵AB⊥BG，GE⊥GF，AC/​/EF，
∴△EGF∽△ADC，
∴EGGF=ADCD，
∴10.9=AD1.1+1.6．
∴AD=3．
∴AB=AD+DB=3+1=4(米)，
则树高为4米．
故选：B．
8.【答案】C
【解析】解：∵点E，F分别是线段DM，MN的中点，
∴ED=EM，MF=FN，
∴EF=12DN，
∴DN最大时，EF最大，
∵N与B重合时DN最大，
此时DN=DB= AD2+AB2= 12+( 3)2=2，
∴EF的最大值为1．
故选：C．
根据三角形的中位线定理得出EF=12DN，从而可知DN最大时，EF最大，因为N与B重合时DN最大，此时根据勾股定理求得DN=DB=6，从而求得EF的最大值为1．
本题考查了三角形中位线定理，勾股定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：∵菱形ABCD周长为20，
∴AB=BC=CD=AD=5，
∵对角线AC、BD交于点O，BD=6，
∴AC⊥BD，BO=DO=3，
∴AO=CO=4，
∵DE：EC=2：3，CD=5，
∴DE=2，EC=3，
∵AB/​/CD，
∴△ABF∽△CEF，
∴CEAB=CFAF，
∴35=CF8−CF，
解得：CF=3．
故选：A．
利用菱形的性质得出其边长以及对角线AC的长，进而利用相似三角形的判定与性质得出FC的长．
此题主要考查了菱形的性质以及相似三角形的判定与性质，得出△ABF∽△CEF是解题关键．
10.【答案】B
【解析】【分析】
利用相似三角形的判定方法依次判断即可．
【解答】
解：A：由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原△ABC相似，故选项A不符合题意；
B：不能证明阴影部分的三角形与原△ABC相似，故选项B符合题意；
C：由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原△ABC相似，故选项C不符合题意；
D：由两组边对应成比例且夹角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原△ABC相似，故选项D不符合题意．
故选：B．
【点评】
本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
11.【答案】4
【解析】解：设a2=b3=c4=k，则a=2k，b=3k，c=4k，
∵a+b+c=18，即2k+3k+4k=18，
∴k=2，
∴a=2k=4，
故答案为：4．
设辅助未知数，根据等式方程求出辅助未知数，进而求出答案．
本题考查比例的性质，设辅助未知数是常用的方法．
12.【答案】2a
【解析】解：由数轴可知：a>−1，b0，b−16(舍去)或t=5− 5，
故当t=5− 5时，△APQ的面积为8cm2．

【解析】(1)勾股定理求出AB=10，分两种情况：当PQ⊥AO，△APQ∽△ABO时，当PQ⊥AB，△APQ∽△AOB时，利用相似三角形的性质求出t即可；
(2)过P作PC⊥OA于C，由PC//BO证得△ACP∽△AOB，得到CPOB=APAB，列得CP8=10−t10，求出CP=45(10−t)，根据△APQ的面积为8cm2，求出t即可．
此题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
23.【答案】5
【解析】(1)证明：如图1，∵∠DPC=∠A=90°，
∴∠BPC+∠APD=180°−∠DPC=90°，∠ADP+∠APD=90°，
∴∠ADP=∠BPC，
∵∠A=∠B=90°，
∴△ADP∽△BPC，
∴ADBP=APBC，
∴AD⋅BC=AP⋅BP．
(2)成立，
理由：如2(甲)，∠DPC=∠A=∠B=α(α90°)，
∵∠ADP=180°−∠A−∠APD=180°−β−∠APD，∠BPC=180°−∠DPC−∠APD=180°−β−∠APD，
∴∠ADP=∠BPC，
∴△ADP∽△BPC，
∴ADBP=APBC，
∴AD⋅BC=AP⋅BP．
(3)解：如图3，∵∠B=45°，
∴∠BAD=180°−∠B−∠ADB=135°−∠ADB，
∵△ADE是以点A为直角顶点作等腰直角三角形，
∴AD=AE，∠DAE=90°，∠ADE=∠AED=45°，
∴∠FDE=180°−∠ADE−∠ADB=135°−∠ADB，DE= AD2+AE2= 2AD，
∴∠FDE=∠BAD，
∵∠EFD=45°，AB=2 2，
∴∠EFD=∠B，
∴△FDE∽△BAD，
∴DFAB=DEAD= 2，
∴DF= 2AB= 2×2 2=4，
∵∠CFE=∠CED=180°−45°=135°，∠C=∠C，
∴△CFE∽△CED，
∴CFCE=CECD，
∴CD⋅CF=CE2，
∵CE= 5，CF=CD−DF=CD−4，
∴CD(CD−4)=( 5)2，
解得CD=5或CD=−1(不符合题意，舍去)，
∴线段CD的长为5，
故答案为：5．
(1)由∠DPC=∠A=90°，得∠BPC+∠APD=90°，∠ADP+∠APD=90°，所以∠ADP=∠BPC，而∠A=∠B=90°，即可证明△ADP∽△BPC，得ADBP=APBC，所以AD⋅BC=AP⋅BP；
(2)若∠DPC=∠A=∠B=α(α90°)，则∠ADP=∠BPC=180°−β−∠APD，所以△ADP∽△BPC，得ADBP=APBC，则AD⋅BC=AP⋅BP．
(3)由∠B=45°，得∠BAD=135°−∠ADB，而AD=AE，∠DAE=90°，∠ADE=∠AED=45°，所以∠FDE=135°−∠ADB，DE= 2AD，则∠FDE=∠BAD，因为∠EFD=∠B=45°，所以△FDE∽△BAD，得DFAB=DEAD= 2，则DF= 2AB=4，再证明△CFE∽△CED，推导出CD⋅CF=CE2，则CD(CD−4)=( 5)2，求得CD=5，于是得到问题的答案．
此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、三角形内角和定理、等腰直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．