江西省宜春市宜丰县宜丰中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题

这是一份江西省宜春市宜丰县宜丰中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题，共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（每小题5分，共40分）
1．若直线经过两点，则直线的倾斜角为
A．B．C．D．
2．设等差数列的前项和为，且 ，则的值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
3．的展开式中，的系数为（ ）
A．B．C．D．
4．已知直线与圆交于A，B两点，且，则实数（ ）
A．4B．3C．2D．1
5．已知椭圆的中心在原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此椭圆方程为
A．B．C．D．
6．如图，在四面体中，且，用表示，则等于（ ）
A．B．
C．D．
7．某单位计划从5人中选4人值班，每人值班一天，其中第一、二天各安排一人，第三天安排两人，则安排方法数为（ ）
A．30B．60C．120D．180
8．已知抛物线的焦点为，过点作两条互相垂直的直线，，分别与抛物线相交于点和点，，是抛物线上一点，且，从点引抛物线的准线的垂线，垂足为，则的内切圆的周长为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（每小题6分，共18分）
9．下列结论中正确的是（ ）
A．若变量与之间的相关系数，则与正相关
B．由样本数据得到的线性回归方程必过点
C．已知，，则
D．已知随机变量，则
10．已知等差数列的前项和为，则（ ）
A．B．
C．数列为单调递减数列D．取得最大值时，
11．如图，在多面体ABCDEP中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，且DE∥PA，，M，N分别是线段BC，PB的中点，Q是线段CD上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A．存在点Q，使得NQ⊥PB
B．存在点Q，使得异面直线NQ与PE所成的角为30°
C．三棱锥Q-AMN体积的取值范围为
D．当点Q运动到CD中点时，CD与平面QMN所成角的正弦值为
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．已知平行直线则的距离是 .
13．已知数列为等比数列，为其前n项和.若，，则的值为 .
14．已知椭圆：的右焦点为，过点作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，弦的垂直平分线交轴于点P，若，则椭圆的离心率 ．
四、解答题（77分）
15．（13分）（1）直线经过两直线和的交点，且直线与直线垂直，求直线的方程；
（2）已知以为圆心的圆与圆O：相切，求圆的方程.
16．（15分）为弘扬中华优秀传统文化，荣造良好的文化氛围，某高中校团委组织非毕业年级开展了“我们的元宵节”主题知识竞答活动，该活动有个人赛和团体赛，每人只能参加其中的一项，根据各位学生答题情况，获奖学生人数统计如下：
(1)从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自高一的概率；
(2)从高一和高二获奖者中各随机抽取1人，以表示这2人中团体赛获奖的人数，求的分布列和数学期望；
17．（15分）已知公比不为1的等比数列满足，且是等差数列的前三项.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
18．（17分）如图，三棱柱中，，是的中点，．
(1)证明：平面；
(2)求点到平面的距离；
(3)求平面与平面的夹角的余弦值．
19．（17分）已知椭圆：的离心率为，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形的面积为．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知直线与椭圆相交于、两点，且与轴，轴交于、两点．
（i）若，求的值；
（ii）若点的坐标为，求证：为定值．
2023-2024（下）高二开学考数学参考答案
1．B【详解】直线经过，两点，设直线的倾斜角为，则，，
则，，故选：B.
2．A【详解】由，可得，则.
3．D【详解】的展开式通项为，
令，得，的系数为.故选：D.
4．D【详解】由题意圆即圆的圆心、半径分别为，圆心到直线的距离为，所以，解得.故选：D.
5．A【详解】试题分析：抛物线的焦点坐标为,所以椭圆的一个焦点坐标为，所以，又，所以，所以椭圆的标准方程为，故选A．
6．C【详解】因为，所以，，
故
故选：C
7．B【详解】先从5人中选出4人值班，再从4人中选出2人值第三天，剩余2人分别值第一、二天，
所以安排方法数为.故选：B.
8．A【详解】由题意，得抛物线的焦点为，易知直线的斜率存在且不为，设直线AB的方程为，代入，整理得：，由根与系数的关系得，，所以，
又直线的方程为，同理，所以，所以，故抛物线，设点，则，所以，所以，所以，所以的面积为，易知，或，则，设的内切圆的半径为，内心为点，则由，得，解得，所以的内切圆的周长为，故A正确.故选：A.
9．ABD【详解】对于A，若变量与之间的相关系数，则与正相关，故A正确；对于B，回归直线方程必过样本点的中心，故B正确；对于C，已知，，则，故C错误；对于D，已知随机变量，则，故D正确.
10．BCD【详解】设等差数列的公差为，由，得，解得，故A选项错误；，B选项正确；由，，等差数列为单调递减数列，C选项正确；，由二次函数的性质可知，取得最大值时，，D选项正确.故选：BCD
11．ACD【详解】以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则,,,,,,,,,,,,,,,，对于A，假设存在点,，使得，,，,，
，解得，符合题意，故A正确；对于B，假设存在点,，使得异面直线与所成的角为，,，,，，解得，不符合，不存在点，使得异面直线与所成角为，故B错误；对于C，连接,,,,,，，点到平面的距离为，
，，，故C正确；对于D，当点运动到中点时,,，,,,，,,设,,是平面的法向量，则,令,则,，,,设直线与平面所成的角为，,，故D正确．故选：ACD．
12．
13．40【详解】因为，，所以，，则等比数列的公比，所以，，也是等比数列，所以，，也是等比数列，所以，即，解得或，又，所以.故答案为：40.
14．/0.5【详解】因为倾斜角为的直线过点，设直线的方程为: , ,
线段的中点,联立 ，化为，，，
的垂直平分线为:,
令 , 解得 ,.,,则 ,
椭圆的离心率为,故答案为:.
15．【详解】（1）由 得，即交点坐标为，又因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为，则直线的方程为，即；
（2）设圆的半径为，两圆的圆心距为，因为两圆相切，所以或，则或，所以所求圆的方程为：或.
16．【详解】（1）记“任取1名学生，该生获得一等奖”为事件A，“任取1名学生，该生为高一学生"为事件，，故；
（2）由己知可得，的可能取值为，，，，的分布列为
17．【详解】（1）设的公比为，因为成等差数列，则，即，解得或1（舍去），所以.
（2）由（1）可知的前三项为，则等差数列的首项为，公差为，
所以，即.所以.
18．【详解】（1）因为，是的中点，所以，因为，，平面，所以平面，又平面，所以，因为，是的中点，所以，，平面，所以平面．
（2）法一：取的中点，连接，可得四边形是平行四边形，因为，，，平面，所以平面，又平面，
所以平面平面，过点作于点，平面，平面平面，则平面，所以点到平面的距离即为，因为，所以，又，所以，故点到平面的距离为．
法二：由（1）知平面，，所以，，两两垂直，以为原点，
以，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为，所以，又，，所以，，，所以，所以，，，，，
，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则为平面的一个法向量，又，所以点到平面的距离，故点到平面的距离为．
（3）由（2）法二得，，设平面的一个法向量为，
则得，令，则，，所以为平面的一个法向量，又平面，所以是平面的一个法向量，，
故平面与平面的夹角的余弦值为．
19．【详解】（1），，代入得.又椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形的面积为2，即，即，以上各式联立解得，则椭圆方程为.
（2）（i）直线与轴交点为，与轴交点为，联立，消去得:，则，设，则，，，由得，解得:，由得.
（ii）由（i）知，，
. 为定值.
奖项组别
个人赛
团体赛获奖
一等奖
二等奖
三等奖
高一
20
20
60
50
高二
16
29
105
50
0
1
2