浙江省绍兴市诸暨市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题

这是一份浙江省绍兴市诸暨市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题，共12页。试卷主要包含了已知函数的导函数为，则，已知曲线E，如图，在正三棱台中，已知，则等内容，欢迎下载使用。
注意：
1．本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．
2．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．双曲线C：的焦点坐标是（ ）
A．B．C．D．
2．已知是等比数列，公比为q，前n项和为，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数的导函数为，则（ ）
A．B．C．，D．，
4．如图，在平行六面体中，，，，点P在上，且，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知数列的通项公式为，前n项和为，则（ ）
A．数列为等差数列，公差为
B．数列为等差数列，公差为8
C．当时，数列的前n项和为
D．当时，数列的前n项和为
6．已知曲线E：，则下列结论中错误的是（ ）
A．曲线E关于直线对称
B．曲线E与直线无公共点
C．曲线E上的点到直线的最大距离是
D．曲线E与圆有三个公共点
7．在平面直角坐标系xOy中，点，在椭圆C：上，且直线OA，OB的斜率之积为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．在空间直角坐标系Oxyz中，，，若直线AB与平面xOy交于点，点P的轨迹方程为，则（ ）
A．1B．C．2D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．记为无穷等比数列的前n项和，若，则（ ）
A．B．
C．数列为递减数列D．数列有最小项
10．如图，在正三棱台中，已知，则（ ）
A．向量，，能构成空间的一个基底
B．在上的投影向量为
C．AC与平面所成的角为
D．点C到平面的距离是点到平面的距离的2倍
11．已知直线l：与抛物线C：交于A，B两点，O为坐标原点，则（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
12．已知函数，，记，，则（ ）
A．若正数为的从小到大的第n个极值点，则为等差数列
B．若正数为的从小到大的第n个极值点，则为等比数列
C．，在上有零点
D．，在上有且仅有一个零点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知：的圆心坐标为，半径为r，则________．
14．数列满足，，则________．
15．已知函数在某点处的切线的斜率不大于1，则切点为整点（横纵坐标均为整数）的个数是________．
16．已知，是双曲线C：的左右焦点，过作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为N，直线与双曲线C交于点M，且M，N均在第一象限，若，则双曲线C的离心率是________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本题10分）记是公差为整数的等差数列的前n项和，，且，，成等比数列．
（1）求和;
（2）若，求数列的前20项和．
18．（本题12分）已知圆M：，圆N经过点，，．
（1）求圆N的标准方程，并判断两圆位置关系；
（2）若由动点P向圆M和圆N所引的切线长相等，求动点P的轨迹方程．
19．（本题12分）已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间;
（2）若函数在内存在两个极值点，求实数a的取值范围．
20．（本题12分）在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，AC交BD于O，，，．
（1）求P到平面ABCD的距离;
（2）求钝二面角的余弦值．
21．（本题12分）物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用非常广泛．其定义是：对于函数，若满足，则称数列为牛顿数列．已知，如图，在横坐标为的点处作的切线，切线与x轴交点的横坐标为，用代替重复上述过程得到，一直下去，得到数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前n项和为，且对任意的，满足，求整数的最小值．（参考数据：，，，）
22．（本题12分）抛物线C：，椭圆M：，．
（1）若抛物线C与椭圆M无公共点，求实数r的取值范围；
（2）过抛物线上点作椭圆M的两条切线分别交抛物线C于点P，Q，当时，求面积的最小值．
诸暨市2024年1月高二期末考试
数学参考答案
一、单项选择题（每小题5分，共40分）
1-4：ABCA5-8：DCCB
二、多项选择题（每小题5分，共20分；部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．BD10．AD11．BCD12．ABD
三、填空题（每小题5分，16题3分+2分，共20分）
13．014．15．416．或
三、解答题（共70分）
17．（1）设1分
由2分
得，
所以或，
由于，所以．3分
所以，4分
5分
（2）由题知，6分
故7分
由9分
所以10分
18．（1）由题知，，2分
所以：3分
5分
所以两圆外离（相离）．6分
（2）设圆M上的切点为A，圆N上的切点为B，故8分
设，9分
则10分
所以点P的轨迹方程为：．12分
19．（1）当时，，定义域为1分
3分
令，得或，4分
所以的单调递增区间为：和，单调递减区间为：6分
（2）
①当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，
故只有一个极小值点，与条件矛盾，故舍去．7分
②当时，在和上单调递增，在上单调递减，
故有两个极值点a和，与条件相符．8分
③当时，在和上单调递增，在上单调递减，
故有两个极值点a和，与条件相符．9分
④当时，，
故在上单调递增，无极值点，舍去．10分
⑤当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，
故只有一个极大值点，与条件矛盾，故舍去．11分
综上可得：或12分
20．（1）由题知，，，，，2分
由，，，得平面PAO．3分
在正△PAO中，作于H，又平面PH，
且AO，BD是平面ABCD内两相交直线，所以面ABCD5分
所以，点P到平面ABCD的距离为．6分
（2）建立空间直角坐标系，则，，，7分
设平面APB的法向量为，则
8分
同理可求平面CPB的法向量为，10分
设所求钝二面角的平面角为，则12分
21．（1），
在点处的切线方程为：2分
令，得，
所以是首项为1，公比为的等比数列，
故4分
（2）令5分
法一：错位相减法
6分
两式相减得：7分
化简得：8分
故，
化简得9分
令，
则10分
所以11分
从而12分
法二：裂项相消法
由，
设且，
则，
于是，得
即6分
所以
8分
故，化简得9分
令，
则时，．10分
所以11分
从而12分
22．（I）联立得1分
要使上述方程无正根只能
得，
所以．3分
（II）设l：，与椭圆联立得
由直线与椭圆相切得，即5分
设直线AP和直线AQ得斜率为，，则
，6分
联立
得
于是，所以
同理可得7分
令，，则
所以
9分
令，
，，
设，，则
所以在上单调递增，在上单调递减．11分
易知在即时，趋向于正无穷大，
故
所以12分