第14章 整式乘除与因式分解 单元检测卷（含答案解析）2023-2024学年初二数学上册（人教版）

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第14章 整式乘除与因式分解 单元同步检测卷考试时间：120分钟 试卷满分：120分 测试范围：第14章一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1．计算的结果是（    ）A． B． C． D．2．下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ）A． B．C． D．3．计算（﹣2）101+（﹣2）100的结果是（    ）A．2100 B．﹣2 C．﹣1 D．﹣21004．已知，则的大小关系是（    ）A． B． C． D．5．若3x＝15，3y＝3，则3x﹣y＝（    ）A．5 B．3 C．15 D．106．若，则的值为（    ）A． B． C． D．7．已知x+y=4 ，xy=3 ，则x2+ y2的值为（    ）A．22 B．16 C．10 D．48．如图1，在边长为的正方形中剪去一个边长为的小正方形，把剩下部分拼成一个梯形（如图，利用这两幅图形面积，可以验证的公式是（    ）A． B．C． D．9．若，则的结果是（    ）A．23 B．25 C．27 D．2910．的个位数字为（    ）A．5 B．1 C．2 D．4二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）11．计算： ．12．用科学记数法表示： ．13．已知是完全平方式，则 ．14．已知，则的值为 ．15．计算： ．16．已知a+b＝2，a﹣b＝3．则a2﹣b2的值为 ．17．分解因式： ．18．已知，且，则代数式的值为 ．三、解答题（共66分）19．（6分）计算：(1)；(2)．20．（12分）因式分解：(1)；(2)；(3)；(4)．21．（8分）化简求值：(1)，其中；(2)，其中，．22．（6分）已知：的结果中不含关于字母x的一次项，求的值．23．（8分）（1）已知求的值．（2）如果，求的值．24．（8分）如图所示，宽为20米，长为32米的长方形地面上，修筑宽度为x米的两条互相垂直的小路，余下的部分作为耕地，如果要在耕地上铺上草皮，选用草皮的价格是每平米a元，（1）求买草皮至少需要多少元？（用含a，x的式子表示）（2）计算a＝40，x＝2时，草皮的费用．25．（9分）若x满足(9x)(x4)=4，求(9x)²(x4)²的值．解：设9x=a，x4=b，则(9x)(x4)=ab=4，ab=(9x)(x4)=5∴(9x)²(x4)²=a²+b²=(a+b)²2ab=5²－24=17请仿照上面的方法求解下面问题：(1)若x满足，求的值；(2)若x满足，求的值；(3)已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE=1，CF=3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF为边长作正方形MFRN和正方形GFDH，求阴影部分的面积．26．（9分）【阅读材料】因式分解：．解：将“”看成整体，令，则原式．再将“”还原，原式．上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法.【问题解决】（1）因式分解：；（2）因式分解：；（3）证明：若为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方．参考答案及解析1．B【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可．【详解】解：，故选：．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟记法则是解题的关键，即同底数幂相乘，底数不变，指数相加．2．C【分析】根据因式分解的定义对选项逐一分析即可．【详解】把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做因式分解．A、右边不是整式积的形式，故不是因式分解，不符合题意；B、形式上符合因式分解，但等号左右不是恒等变形，等号不成立，不符合题意；C、符合因式分解的形式，符合题意；D、从左到右是整式的乘法，从右到左是因式分解，不符合题意；故选C．【点睛】本题考查因式分解，解决本题的关键是充分理解并应用因式分解的定义．3．D【分析】根据乘方运算的法则先确定符号后，据此求解即可得出答案．【详解】解：（﹣2）100+（﹣2）101＝2100﹣2×2100＝2100×（1﹣2）＝﹣2100，故选：D．【点睛】本题主要考查的是乘方运算的法则，掌握乘方运算的法则，正确的确定符号是解题的关键．4．A【分析】先把81，27，9转化为底数为3的幂，再根据幂的乘方，底数不变，指数相乘化简．然后根据指数的大小即可比较大小．【详解】解：∵；；．则．故选：A．【点睛】本题考查了幂的乘方，变形为同底数幂的形式，再比较大小，可使计算简便．5．A【分析】根据同底数幂的除法，由3x＝15，3y＝3，可得3x﹣y的值，本题得以解决．【详解】解：∵3x＝15，3y＝3，3x﹣y×3y＝3x，∴3x﹣y＝3x÷3y＝15÷3＝5，故选：A．【点睛】本题考查同底数幂的乘法与除法，熟练掌握法则是解题的关键．6．C【分析】将等号右侧展开得，根据对应项系数相等列等式计算求解即可．【详解】解：∵∴，解得，故选C．【点睛】本题考查了多项式的乘法运算．解题的关键在于根据对应项系数相等列等式．7．C【分析】根据完全平方公式变形，整体代入求值即可．【详解】解：．故选择C．【点睛】本题考查式子的值，求代数式的值，掌握完全平方公式变形的方法是解题关键．8．B【分析】首先利用正方形的面积，求得左边阴影部分的面积，然后根据梯形的面积公式求得右边阴影部分的面积，根据面积相等即可解答．【详解】解：左图中阴影部分的面积是，右图中梯形的面积是，．故选：．【点睛】此题主要考查的是平方差公式的几何表示．注意运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．9．C【分析】将左右两边进行平方运算，然后化简求值即可．【详解】解：∵，∴，即，∴，故选：C．【点睛】本题考查了完全平方公式，能熟练掌握完全平方公式是解题的关键．10．B【分析】将变形为，利用平方差公式求解．【详解】解：，∵ ，，，，……可知个位数变化规律为：3，9，7，1，4次一个循环，∴的个位数为1，∴的个位数为0，∴的个位数可能是0或5，∴的个位数可能是1或6，观察选项可知，只有B选项为1，故选B．【点睛】本题考查平方差公式的应用，能够运用平方差公式对原式进行变形是解题的关键．11．【分析】本题考查了单项式乘以单项式，根据单项式的运算法则进行计算即可求解．【详解】解：，故答案为：．12．【分析】根据同底数幂的乘法法则求解，然后用科学记数法表示即可．【详解】解：．故答案为：．【点睛】此题考查了同底数幂的乘法，科学记数法，解题的关键是熟练掌握以上知识点．13．【分析】根据完全平方公式得出结论即可．【详解】解：是完全平方式，，，，故答案为：．【点睛】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．14．27【分析】本题考查了幂的乘方，会对公式“”进行逆用是解题的关键；根据幂的乘方的公式的逆用，对指数进行变形，然后整体代入求值即可；【详解】，，故答案为：27．15．4【分析】本题主要考查了利用平方差公式进行简便计算，解题的关键是熟练掌握平方差公式．【详解】解：．故答案为：4．16．6【分析】根据平方差公式即可求出答案．【详解】解：当a+b=2，a-b=3时，a2-b2=（a+b）（a-b）=2×3=6．故选：6．【点睛】本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．17．/【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．【详解】解：=2（m2-9）=2（m+3）（m-3）．故答案为：2（m+3）（m-3）．【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．18．2020【分析】把已知的等式进行变形，再根据非负性得到=0，代入所求即可求解．【详解】∵∴∴∴=0∴∴=0∴==2020．【点睛】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知完全平方公式的变形应用．19．(1)(2)【分析】（1）利用单项式乘以多项式及积的乘方公式去括号即可；（2）根据完全平方公式及平方差公式去括号，再合并同类项即可．【详解】（1）解：原式；（2）原式．【点睛】此题考查了整式的混合运算，正确掌握单项式乘以多项式及积的乘方公式，完全平方公式及平方差公式是解题的关键．20．(1)；(2)；(3)；(4)．【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可求解；（2）先进行公式变形为，再提取公因式，最后用平方差公式分解即可；（3）先将原式分组为再分别利用平方差公式和提公因式法分解，最后提公因式即可；（4）先利用十字相乘法进行分解，再次利用十字相乘法进行分解即可求解．【详解】（1）解：=；（2）解： ；（3）解：（4） ．【点睛】本题考查了将多项式因式分解，因式分解的一般方法是先提公因式，再利用公式法分解，如果此方法无法正常分解，一般可以利用十字相乘法或分组分解法进行因式分解，注意因式分解一定要彻底。21．(1)，(2)，【分析】（1）按照多项式除以单项式和单项式乘以多项式展开后，再合并同类项即可；（2）按照完全平方公式展开后，再合并同类项即可．【详解】（1）解：当时，原式；（2）当，时，原式【点睛】此题考查了整式的混合运算和化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．22．16【分析】首先利用多项式乘以多项式的法则计算：，结果中不含关于字母x的一次项，即一次项系数等于0，即可求得a的值，再把所求的式子化简，然后代入求值即可．【详解】解： ，∵结果中不含关于字母x的一次项，∴，化简可得：原式，            将代入化简之后的式子得：．【点睛】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是利用多项式中不含关于字母x的一次项求出a的值．23．（1）20；（2）81【分析】（1）根据同底数幂相乘的逆运算计算，即可求解；（2）根据同底数幂相乘，幂的乘方计算，即可求解．【详解】解：（1）；（2）．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂相乘的逆运算，幂的乘方，熟记法则并根据法则计算是解题关键．24．（1）（640-52x+ x2）a；（2）21600元.【分析】（1）先求出小路的面积，再用总面积减去小路面积，得到耕地面积，再乘以草皮的价格即可得出答案；（2）把a=40，x=2代入（1）中的代数式，即可求出草皮的费用．【详解】解：（1）依题意，得32x+（20-x）x=32x+20x-x2=52x-x2（平方米），32×20-（52x-x2）=640-52x+ x2所以买草皮至少需要（640-52x+ x2）a元；（2）当a=40，x=2时，（640-52x+ x2）a =（640-52×2+22）×40=21600（元）．所以当a=40，x=2时，草皮的费用是21600元．【点睛】本题考查了列代数式和求代数式的值，解题的关键是明确小路的面积的计算方法．25．(1)130(2)16(3)28【分析】（1）设x-10=a，x-20=b，由条件得ab=15，a-b=10，根据a2+b2=（a-b）2+2ab求出结果即可；（2）设x-2021=a，x-2022=b，可得a2+b2=33，a-b=1，根据-2（x-2021）（x-2022）=-2ab，求出ab即可；（3）设正方形ABCD的边长为x，AE=1，CF=3可得FM=DE=x-1，DF=x-3，进而得出阴影部分的面积=FM2-DF2=（x-1）2-（x-3）2，由（2）的方法求出结果即可．【详解】（1）解：设x-10=a，x-20=b，则（x-10）（x-20）=ab=15，a-b=（x-10）-（x-20）=10，∴（x-10）2+（x-20）2=a2+b2=（a-b）2+2ab=102+2×15=130（2）设x-2021=a，x-2022=b，则（x-2021）2+（x-2022）2=a2+b2=33，a-b=（x-2021）-（x-2022）=1，∴-2（x-2021）（x-2022）=-2ab=（a-b）2-（a2+b2）=12-33=-32∴ab=16，即：（x-2021）（x-2022）=16．（3）∵正方形ABCD的边长为x，AE=1，CF=3，∴FM=DE=x-1，DF=x-3，∴（x-1）（x-3）=48，∴（x-1）-（x-3）=2，∴阴影部分的面积=FM2-DF2=（x-1）2-（x-3）2，设x-1=a，x-3=b，则（x-1）（x-3）=ab=48，a-b=（x-1）-（x-3）=2，∴（a+b）2=（a-b）2+4ab=4+192=196∵a＞0，b＞0，∴a+b＞0，∴a+b=14，∴（x-1）2-（x-3）2=a2-b2=（a+b）（a-b）=14×2=28即阴影部分的面积是28．【点睛】本题考查完全平方公式，理解完全平方公式的结构特征是解决问题的关键．26．（1）．（2）；（3）见解析.【分析】（1）把（x-y）看作一个整体，直接利用十字相乘法因式分解即可；（2）把a+b看作一个整体，去括号后利用完全平方公式即可将原式因式分解；（3）将原式转化为，进一步整理为（n2+3n+1）2，根据n为正整数得到n2+3n+1也为正整数，从而说明原式是整数的平方．【详解】（1）；（2）；（3）原式．∵为正整数，∴为正整数．∴代数的值一定是某个整数的平方．【点睛】本题考查因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．