人教版八年级数学上册同步精品讲义专题11.1与三角形有关的线段(学生版+解析)

这是一份人教版八年级数学上册同步精品讲义专题11.1与三角形有关的线段(学生版+解析)，共42页。试卷主要包含了认识三角形的边，掌握并运用三角形三边的关系.，通过观察等内容，欢迎下载使用。
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1、认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形.
2、掌握并运用三角形三边的关系.
3、了解三角形按边分类的原则和结论.
4、掌握三角形的高，中线及角平分线的概念、画法及相关计算。
5、通过观察、感悟三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性．
知识精讲
知识点01 三角形及其分类
三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
组成三角形的线段叫做三角形的边．相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．
相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．
三角形按边分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．
三角形按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
【知识拓展1】三角形的相关概念
例1．（2021·襄阳阳光学校初二月考）三角形是指( )
A．由三条线段所组成的封闭图形 B．由不在同一直线上的三条直线首尾顺次相接组成的图形
C．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形 D．由三条线段首尾顺次相接组成的图形
【即学即练】
1．（2022.广东八年级期中）如图,在△BCE中,边BE所对的角是 ,∠CBE所对的边是 ;在△AEC中,边AE所对的角是 ，∠A为内角的三角形是 。
【知识拓展2】三角形的分类
例2．（2022·湖北黄石·八年级期末）如图表示的是三角形的分类，则正确的表示是（ ）
A．M表示三边均不相等的三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形
B．M表示三边均不相等的三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形
C．M表示等腰三角形，N表示等边三角形，P表示三边均不相等的三角形
D．M表示等边三角形，N表示等腰三角形，P表示三边均不相等的三角形
【即学即练】
1．（2022·全国·八年级课时练习）如图所示，图中小椭圆圈里的表示（ ）
A.直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
知识点02 三角形的三边关系
三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边．
【微点拨】
在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
【知识拓展1】已知两边求第三边的范围
例1．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校七年级期中）已知三角形的两边a和b的长分别为3和8，则第三边c的范围为_________．
【即学即练1】
1．（2021·广西河池市·八年级期末）已知的三边长为2，7，，请写出一个符合条件的的整数值，这个值可以是______．
【知识拓展2】三角形三边关系的应用
例2．（2022·江苏南京·七年级期中）如图，用四颗螺丝将不能弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两颗螺丝的距离依次为3、4、6、8，且相邻两根木条的夹角均可以调整，若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两颗螺丝的距离的最大值是( )
A．7B．10C．11D．14
【即学即练2】
1．（2022河北七年级月考）若a，b，c是△ABC的三边的长，则化简|a－b－c|－|b－c－a|＋|a＋b－c|的结果是( )
A．a＋b＋c B．－a＋3b－c C．a＋b－c D．2b－2c
知识点03 三角形的高线、中线和角平分线
1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
2）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
3）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．
5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
【知识拓展1】三角形的高线、中线、角平分线相关概念
例1．（2021·河北唐山·八年级期中）下列说法中，①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；③直角三角形只有一条高；④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点．正确的是（ ）
A．①B．①④C．②③D．②④
【即学即练1】
1.（2022·广东八年级月考）下列说法正确的是（ ）
A．三角形三条角平分线的交点是三角形的重心
B．三角形的一条角平分线把该三角形分成面积相等的两部分
C．三角形的中线、角平分线、高都是线段
D．三角形的三条高都在三角形内部
2．（2022·河北·中考真题）如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的（ ）
A．中线B．中位线C．高线D．角平分线
【知识拓展2】三角形的高线、中线、角平分线的画法
例1．（2022·江苏·苏州市相城实验中学七年级期中）网格中每个小正方形的边长都是一个单位长度，将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．根据下列条件，利用网格点和三角尺画图：
(1)补全△A′B′C′；(2)画出AC边上的中线BD和AC边上的高线BE；(3)求△ABD 的面积 ．
【即学即练2】
1．（2022·福建·连江县凤城中学八年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠BAC是钝角，完成下列画图．（不必尺规作图）（1）∠BAC的平分线AD；（2）AC边上的中线BE；（3）AC边上的高BF．
【知识拓展3】三角形的高线、中线、角平分线的相关计算
例1．（2022·绵阳市初二课时练习）在直角三角形ABC中，，，则的三条高之和为（ ）
A．8.4B．9.4C．10.4D．11.
例2．（2021·浙江杭州市·八年级期末）如图，在中，，，为中线，则与的周长之差为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【即学即练3】
1．（2022·四川省成都市石室联合中学八年级阶段练习）如图所示，的两条角平分线相交于点，过点作EFBC，交于点，交于点，若的周长为，则______cm．
2．（2022·江苏姜堰初一期中）如图，在△ABC中，AE为边BC上的高，点D为边BC上的一点，连接AD．
（1）当AD为边BC上的中线时．若AE=4，△ABC的面积为24，求CD的长；（2）当AD为∠BAC的角平分线时．①若∠C =65°，∠B =35°，求∠DAE的度数；②若∠C－∠B =20°，则∠DAE = °．
知识点04 三角形的稳定性
当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中．
【知识拓展1】勾股数
例1．（2022·黑龙江·哈尔滨市萧红中学七年级期中）下列图形具有稳定性的是（ ）
A．B．C．D．
【即学即练1】
1．（2022·江苏·苏州市振华中学校七年级期中）如图，工具房有一个方形框架，小华发现它很容易变形，以下加固方案最好的是（ ）
A．B．C．D．
能力拓展
考法01 利用三角形三边关系证明不等式
【典例1】（2021·绵阳市八年级月考）如图，P是△ABC内一点，连接BP，PC，延长BP交AC于D．
（1）图中有几个三角形；（2）求证：AB+AC＞PB+PC．
变式1. （2021•雁塔区期中）观察并探求下列各问题，写出你所观察得到的结论．（1）如图①，在△ABC中，P为边BC上一点，则BP+PC AB+AC（填“＞”、“＜”或“＝”）（2）将（1）中点P移到△ABC内，得图②，试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．（3）将（2）中点P变为两个点P1、P2得图③，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．
考法02 三角形面积的等积变换
【典例2】（2022·贵州·遵义市新蒲新区天立学校八年级期中）如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点，且△ABC的面积是8cm2，则阴影部分面积等于（ ）
A．2cm2B．1.5cm2C．1cm2D．0.5cm2
变式1．（2022·江苏南京·七年级期末）如图，在中，E是上的一点，，D是的中点，且，则________．
变式2．（2021·广西·南宁二中七年级期末）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比．如图①，△MBC中，M是BC上一点，则有，如图②，△ABC中，M是BC上一点，且BM＝BC，N是AC的中点，若△ABC的面积是1，则△ADN的面积是（ ）
B．C．D．
分层提分
题组A 基础过关练
1．（2021·广东汕头市·八年级模拟）下列尺规作图，能判断是的边上的高是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·浙江八年级期末）在三角形中，一定能将其面积分成相等两部分的是（ ）
A．中线B．高线C．角平分线D．某一边的垂直平分线
3．（2021·湖南·长沙市湘郡培粹实验中学八年级阶段练习）如图，AD，BE，CF依次是ABC的高、中线和角平分线，下列表达式中错误的是（ ）
A．AE＝CEB．∠ADC＝90°C．∠CAD＝∠CBED．∠ACB＝2∠ACF
4. （2021·河北廊坊市·八年级期末）在中，若，，则第三边的取值可能是（ ）
A．3．B．5C．9D．10
5. （2021·山西吕梁市·八年级期中）给出下列说法：（1）等边三角形是等腰三角形；（2）三角形按边的相等关系分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；（3）三角形按角的大小分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．其中，正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．0
6. （2022·江苏七年级月考）△ABC中，AD是BC边上的高，∠BAD=50°，∠CAD=20°，则∠BAC=___________．
7.（2022·广东广州市白云区六中珠江学校八年级期中）如图，在中，、分别是边上的中线与高，，的面积为25，则的长为________．
8．（2021·河南安阳市·八年级期末）如图，工程建筑中的屋顶钢架经常采用三角形的结构，其中的数学道理是三角形具有______性．
9．（2022·湖南·长沙市南雅中学七年级期中）请补全证明过程及推理依据．
已知：如图，BC//ED，BD平分∠ABC，EF平分∠AED．
求证：BD∥EF．
证明：∵BD平分∠ABC，EF平分∠AED，
∴∠1=∠AED，∠2=∠ABC（______________）
∵BC∥ED（________）
∴∠AED=________（________________）
∴∠AED=∠ABC
∴∠1=________
∴BD∥EF（________________）．
10．（2021·江苏·徐州市西苑中学七年级阶段练习）如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格点．(1)画出向右平移6个单位后得到的(2)图中与的关系是：________．
(3)画出的中线AE和的角平分线BF．(4)的面积为________．
题组B 能力提升练
1．（2021·福建厦门市·八年级期中）如图，在中，已知，点是的中点，且的面积为9cm2，则的面积为（ ）
A．1cm2B．2cm2C．3cm2D．4cm2
2．（2022·湖南·师大附中梅溪湖中学一模）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的重心是（ ）
A．点DB．点EC．点FD．点G
3．（2022·南通市八一中学初一月考）若一个三角形的三边长之比为3：5：7．则这个三角形三边上的高之比为（ ）
A．3：5：7B．7：5：3C．35：21：15D．6：5：4
4．（2022·广东潮州·八年级期末）如图，已知△ABC的面积为1，分别倍长（延长一倍）边AB，BC，CA得到△A1B1C1，再分别倍长边A1B1，B1C1，C1A1得到△A2B2C2…按此规律，倍长2021次后得到的△A2021B2021C2021的面积为_________．
5．（2022·重庆市七年级期中）已知a，b，c是的三边长，则______．
6.（2021·湖北孝感·八年级期中）如图，已知△ABC中，AB＝15，BC＝20（1）画出△ABC的高AD和CE；（2）若AD＝5，求CE的长．
7．（2021秋•威县期末）在△ABC中，BC＝8，AB＝1；（1）若AC是整数，求AC的长；
（2）已知BD是△ABC的中线，若△ABD的周长为17，求△BCD的周长．
8.（2021•平昌县期末）如图，O是△ABC内的一点，连结OB，OC，求证：AB+AC＞OB+OC．
题组C 培优拔尖练
1.（2021·西安初一期末）如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，点F为BC的中点，若∠BAC＝104°，∠C＝40°，则有下列结论：①∠BAE＝52°；②∠DAE＝2°；③EF＝ED；④S△ABF＝S△ABC.其中正确的个数有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2020·西安市铁一中学初三一模）如图，点为的重心，则的值是（ ）．
A．B．C．D．无法确定
3．（2021·重庆市第九十五初级中学校七年级阶段练习）如图，△ABC中，点F在边AB上，点D为BC的中点，连接AD、CF相交于点E，若，，则（ ）
A．B．6C．D．
4．（2022·福建省厦门第六中学二模）数轴上－6，－3与6表示的点分别为M、A、N，点B为线段AN上一点，分别以A、B为中心旋转MA、NB，若旋转后M、N两点可以重合成一点C（即构成△ABC），则点B代表的数可能为（ ）
A．－1B．0C．1D．3
5．（2022·广东广州·八年级期中）如图，△ABC的面积是24，点D、E、F、G分别是BC、AD、BE、CE的中点，则△AFG的面积是（ ）
A．9B．9.5C．10.5D．10
6．（2022·江苏镇江·七年级期末）一块三角形空地ABC，三边长分别为20m、30m、40m，李老伯将这块空地分成甲、乙两个部分，分割线为AD，要使得乙块地的面积不少于整块空地面积的三分之一，但又不超过甲块地的面积的三分之二，则CD长的取值范围是_____ ．
7．（2022·湖北省水果湖第一中学七年级期中）如图，△ABC中，AC⊥BC，D为BC边上的任意一点，连接AD，E为线段AD上的一个动点，过点E作EF⊥AB，垂足为F点．如果BC=5，AC=12，AB=13，则CE+EF的最小值为______．
8．（2022·辽宁·盘山县八年级期末）如图，△ABC中，AD是BC上的中线，BE是△ABD中AD边的中线，若△ABC的面积是24，AE＝3，则点B到直线AD的距离为________．
9．（2022·江苏南京·七年级期末）已知AD、AE分别是△ABC的高和中线，若，，则DE的长为______．
专题11.1 与三角形有关的线段
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1、认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形.
2、掌握并运用三角形三边的关系.
3、了解三角形按边分类的原则和结论.
4、掌握三角形的高，中线及角平分线的概念、画法及相关计算。
5、通过观察、感悟三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性．
知识精讲
知识点01 三角形及其分类
三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
组成三角形的线段叫做三角形的边．相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．
相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．
三角形按边分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．
三角形按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
【知识拓展1】三角形的相关概念
例1．（2021·襄阳阳光学校初二月考）三角形是指( )
A．由三条线段所组成的封闭图形 B．由不在同一直线上的三条直线首尾顺次相接组成的图形
C．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形 D．由三条线段首尾顺次相接组成的图形
【答案】C
【分析】根据三角形的定义解答即可．
【解析】因为三角形的定义是：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形．故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的定义．解题的关键是熟记三角形的定义．
【即学即练】
1．（2022.广东八年级期中）如图,在△BCE中,边BE所对的角是 ,∠CBE所对的边是 ;在△AEC中,边AE所对的角是 ，∠A为内角的三角形是 。
【答案】∠BCE,CE,∠ACE,△ABD,△ABC,△ACE
【解析】在△BCE中,边BE所对的角是∠BCE,∠CBE所对的边是CE;在△AEC中,边AE所对的角是∠ACE,∠AEC所对的边是AC,∠A为内角的三角形是△ABD,△ABC,△ACE.
【知识拓展2】三角形的分类
例2．（2022·湖北黄石·八年级期末）如图表示的是三角形的分类，则正确的表示是（ ）
A．M表示三边均不相等的三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形
B．M表示三边均不相等的三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形
C．M表示等腰三角形，N表示等边三角形，P表示三边均不相等的三角形
D．M表示等边三角形，N表示等腰三角形，P表示三边均不相等的三角形
【答案】B
【分析】根据三角形按照边的分类方法解答．
【详解】解：根据三角形的分类，三角形可以分为三边都不相等的三角形和等腰三角形，等腰三角形分为底边和腰不相等的三角形和底边三角形，故选择B．
【点睛】本题考查三角形的分类，牢记三角形按照边的分类方法是解决问题的关键．
【即学即练】
1．（2022·全国·八年级课时练习）如图所示，图中小椭圆圈里的表示（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
【答案】D
【分析】根据三角形的分类：等边三角形属于等腰三角形即可得到答案．
【详解】解：∵等边三角形是特殊的等腰三角形，
∴A表示的是等边三角形，故选D．
【点睛】本题主要考查了三角形的分类，解题的关键在于能够熟练掌握三角形的分类方法．
知识点02 三角形的三边关系
三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边．
【微点拨】
在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
【知识拓展1】已知两边求第三边的范围
例1．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校七年级期中）已知三角形的两边a和b的长分别为3和8，则第三边c的范围为_________．
【答案】
【分析】根据三角形的三边关系即可求出结论．
【详解】解：由题意可得 ∴ 故答案为：．
【点睛】此题考查根据三角形的两边长，求第三边的取值范围，掌握三角形的三边关系是解决此题的关键．
【即学即练1】
1．（2021·广西河池市·八年级期末）已知的三边长为2，7，，请写出一个符合条件的的整数值，这个值可以是______．
【答案】6或7或8
【分析】根据三角形三边关系：①任意两边之和大于第三边；②任意两边之差小于第三边，即可得出第三
边的取值范围．
【详解】解：∵三角形的三边长分别为2，7，x，∴7-2＜x＜7+2，即5＜x＜9，
故答案为：6或7或8．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
【知识拓展2】三角形三边关系的应用
例2．（2022·江苏南京·七年级期中）如图，用四颗螺丝将不能弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两颗螺丝的距离依次为3、4、6、8，且相邻两根木条的夹角均可以调整，若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两颗螺丝的距离的最大值是( )
A．7B．10C．11D．14
【答案】B
【分析】若两个螺丝的距离最大，则此时这个木框的形状为三角形，可根据三条木棍的长来判断有几种三角形的组合，然后分别找出这些三角形的最长边即可．
【详解】已知4条木棍的四边长为3、4、6、8；
选3+4、6、8作为三角形，则三边长为7、6、8；，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为8；选4+6、8、3作为三角形，则三边长为10、8、3，，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为10；
选6+8、3、4作为三角形，则三边长为14、3、4；，不能构成三角形，此种情况不成立；
选3+8、4、6作为三角形，则三边长为11、4、6；，不能构成三角形，此种情况不成立；
综上所述，任两螺丝的距离之最大值为10；故选：B．
【点睛】本题实际考查的是三角形的三边关系定理，能够正确的判断出调整角度后三角形木框的组合方法是解答的关键．
【即学即练2】
1．（2022河北七年级月考）若a，b，c是△ABC的三边的长，则化简|a－b－c|－|b－c－a|＋|a＋b－c|的结果是( )
A．a＋b＋c B．－a＋3b－c C．a＋b－c D．2b－2c
【答案】B
分析：根据三角形三边间的关系判断出原式中每个绝对值符号里面的式子的值的正负，再结合绝对值的代数意义进行化简即可.
【解析】∵a，b，c是△ABC的三边的长，∴a－b－c