人教版八年级数学上册同步精品讲义专题12.2.5三角形全等的判定5(HL)(学生版+解析)

这是一份人教版八年级数学上册同步精品讲义专题12.2.5三角形全等的判定5(HL)(学生版+解析)，共46页。

2. 使学生经历探索三角形全等的过程，体验操作、归纳得出数学结论的方法.
3. 通过探究三角形全等的条件的活动，培养学生观察分析图形的能力及运算能力，培养学 生乐于探索的良好品质以及发现问题的能力.
知识精讲
知识点01三角形全等的判定5（HL）
知识点
直角三角形全等的判定：HL
文字：在两个直角三角形中，如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记：HL）
图形：
符号：在Rt与Rt中，
【微点拨】
证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
在直角三角形中，只须找除直角外的两个条件即可（两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等）
【知识拓展1】HL判定三角形全等的条件
例1．（2022·湖南怀化·八年级期中）如图，在△ABC和△ABD中，∠C＝∠D＝90°，若利用“HL”证明△ABC≌△ABD，则需要加条件 _____.
【即学即练】
1．（2022·河南周口·八年级期中）如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要加条件_____．
【知识拓展2】利用HL证明三角形全等（求线段的长度）
例2．（2022·山东青岛·一模）如图，在中，，，为边上一点，于点．若，，则的长为（ ）
A．B．2C．D．4
【即学即练】
2．（2022•西城区八年级期中）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F．若CD＝3，则求CE的长．
3.（2022•承德八年级期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是AB上一点，且BE＝BC，过E作DE⊥AB交AC于D，如果AC＝5cm，则AD+DE等于（ ）
A．3 cmB．4 cmC．5 cmD．6 cm
【知识拓展3】利用HL证明三角形全等（求角的度数）
例3．（2022·山东东营·七年级期末）如图，ABC中，，，点E在BC上，点F为AB延长线上一点，且，，则（ ）
A．58°B．60°C．65°D．70°
【即学即练3】
3．（2022·湖北孝感·八年级阶段练习）如图，在正方形ABCD中，等边△AEF的顶点E，F分别在边BC和CD上，则∠CEF＝_____°．
4．（2022·陕西·紫阳县师训教研中心八年级期末）如图，在Rt△ABC中，，，D为AB延长线上一点，点E在BC上，且．(1)求证：；(2)过点B作，且，求∠FBA度数．
【知识拓展4】利用HL证明三角形全等（证明类）
例4．（2022·湖南常德·八年级期中）如图，∠A=∠B=90°，E是AB上的一点，且AE=BC，∠1=∠2．
(1)求证：Rt△ADE≌Rt△BEC；(2)△CDE是不是直角三角形？并说明理由．
【即学即练4】
4．（2022·全国·八年级单元测试）如图，AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF．则下列结论中：①AD是△ABC的高；②AD是△ABC的中线；③ED＝FD；④AB＝AE＋BF．其中正确的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
5．（2022•万柏林区八年级月考）如图，AC∥BD，∠C＝90°，AC＝BE，AB＝DE，求证：DE⊥AB．
能力拓展
考法01 利用HL判定三角形全等（动态全等问题）
【典例1】（2021·北京市师达中学八年级期中）如图，，cm，cm，点P在线段AC上，以每秒2cm的速度从点A出发向C运动，到点C停止运动，点Q在射线AM上运动，且，当点P的运动时间为_________秒时，△ABC才能和△PQA全等．
变式1．（2021·湖南·长沙市八年级阶段练习）如图，在Rt△中，，，，一条线段，，两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，要使△和△全等，则_____．
变式2.（2021•兰山区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15cm，BC＝8cm，AX⊥AC于A，P、Q两点分别在边AC和射线AX上移动．当PQ＝AB，AP＝ 时，△ABC和△APQ全等．
02 利用HL证明三角形全等（探究类）
【典例2】（2021•西湖区校级月考）如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2．（1）Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？并说明理由；（2）试判断CE和DE的关系，并说明理由．
变式1. （2021•城北区校级月考）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F．试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并说明你猜想的正确性．
分层提分
题组A 基础过关练
1．（2022·江西景德镇·八年级期中）如图，已知，，．则的理由是（ ）
A．HLB．SASC．AASD．ASA
2．（2022·湖南·长沙市南雅中学八年级期末）如图，在Rt△ABC的斜边AB上截取AD＝AC，过点D作DE⊥AB交BC于E，则有（ ）
A．DE＝DBB．DE＝CEC．CE＝BED．CE＝BD
3.（2022•宝安区八年级期中）如图，∠C＝∠D＝90°，添加下列条件：①AC＝AD；②∠ABC＝∠ABD；③BC＝BD，其中能判定Rt△ABC与Rt△ABD全等的条件的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
4.（2021•秦淮区期末）结合图，用符号语言表达定理“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”的推理形式：在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF．
5．（2022·浙江绍兴·八年级期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AD与BE相交于点F，且AC=BF，DF=DC．若∠ABE=15°，则∠DBF的度数为_____．
6．（2022·全国·八年级课时练习）如图，四边形ABCD，连接BD，AB⊥AD，CE⊥BD，AB＝CE，BD＝CD．若AD＝5，CD＝7，则BE＝________．
7．（2022·广西北海·八年级期中）如图，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，EF过点C，BE⊥EF于点E，DF⊥EF于点F，BE＝DF．求证：EC＝CF．
8．（2022·辽宁锦州·八年级期中）如图，已知D是△ABC的BC边的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE＝DF，求证：AB＝AC．
9．（2022·陕西渭南·八年级期中）如图，在四边形ABCD中，，AC平分，，交AD的延长线于点E．(1)求证：是等腰三角形；(2)连接BE，求证：AC垂直平分BE．
10．（2021·湖北咸宁·八年级期中）如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，AC、DB相交于点O．
(1)求证：Rt△ABC≌Rt△DCB；(2)求证：AO＝DO．
题组B 能力提升练
1．（2022·陕西·咸阳市秦都区电建学校八年级期中）已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，DB＝DC，，，垂足分别为E，F，DE＝DF．
求证：．以下是排乱的证明过程：
①∴∠BED＝∠CFD＝90°，②∴．
③∵DE⊥AB，DF⊥AC， ④∵在和中，，
证明步骤正确的顺序是（ ）
A．③→②→①→④B．③→①→④→②
C．①→②→④→③D．①→④→③→②
2．（2022·广东·普宁市红领巾实验学校八年级期中）如图所示，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，则①AC平分∠BAD；②CA平分∠BCD；③AC垂直平分BD；④BD平分∠ABC，其中正确的结论有（ ）
A．①②B．①②③C．①②③④D．②③
3．（2022·山东青岛·八年级期中）如图，在△ABC中，，，D为BC延长线上一点，点E在AC上，．若，则∠BAD的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．（2021春•金水区校级月考）下列说法正确的有（ ）
①两个锐角分别相等的的两个直角三角形全等；
②一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等；
③两边分别相等的两个直角三角形全等；
④一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等．
A．1B．2C．3D．4
5．（2022·江苏泰州·八年级期中）如图，正方形中，是上一点，给出下列三条信息：①，②，③，请从上述三条信息中选择两个作为已知条件，选择另外一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．你选择的条件是______，结论是______（填序号）．
6．（2021·湖北·八年级期中）如图，在中，，，，线段，，两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，当__________时，和全等．
7．（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校七年级阶段练习）如图，在△ABE和△ACF中，∠E＝∠F＝90°，AB＝AC，BE＝CF．(1)求证：∠1＝∠3；(2)试判断线段BN与CM的数量关系，并加以证明．
8．（2022·山东烟台·七年级期末）如图，为外一点，为的垂直平分线，分别过点作，，垂足分别为点，，且．
(1)求证：为的角平分线；(2)探究，，之间的数量关系并给出证明
9．（2021·河北承德·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，点D为边BC上的点，连接AD，∠BAD=α，过点D作DE⊥AB于E．(1)∠B= °；(2)若线段AB=8cm，则BC= ；(3)若DE=DC，求α的度数．
10．（2021·湖北宜昌·八年级期中）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，E是BD上一点，EA⊥AB，且EB＝EC，∠EBC＝∠ECB．(1)如果∠ABC＝40°，求∠DEC的度数；(2)求证：BC＝2AB．
题组C 培优拔尖练
1．（2021·北京市海淀外国语实验学校八年级期中）如图，，分别是，上的点，过点作于点，作于点，若，，则下面三个结论：①；②；③，正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．①② D．①②③
2．（2022·黑龙江牡丹江·八年级期末）如图，已知△ABC中高AD恰好平分边BC，∠B=30°，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点且OP=OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO=30°；②△OPC是等边三角形；③AC=AO+AP；④S△ABC=S四边形AOCP．其中正确的为（ ）
A．①②③④B．①②③C．②③D．②③④
3．（2021·广东·珠海市文园中学八年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，已知，延长BC交EF于点D，若BD＝5，BC＝4，则DE长是（ ）
A．2B．5C．4D．3
4．（2022·河南洛阳·八年级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF，若∠CAE＝29°，则∠ACF的度数为________°．
5．（2022·河南驻马店·八年级期末）如图，中，，于点D，，若，则的度数为 _____．
6．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C的坐标分别为，，将矩形绕点B顺时针旋转，点A，C，O的对应点分别为．当点落在x轴的正半轴上时，点的坐标为________．
7．（2021·辽宁沈阳·八年级期末）如图，四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，AC平分∠DAB，CM⊥AB于点M，若AM＝4cm，BC＝2.5cm，则四边形ABCD的周长为_____cm．
8．（2020·湖北荆门·八年级期中）如图，AD是△ABC的高，AD＝BD＝4，E是AD上一点，BE＝AC＝5，S△ABC＝14，BE的延长线交AC于点F．
(1)求证：△BDE≌△ADC；(2)求证：BE⊥AC；(3)求EF与AE的长．
9．（2022·江西鹰潭·八年级期中）（1）如图1，在等边三角形ABC中，AB=2，BD是AC边上的高，延长BC至点E，使CE=CD，求BE的长；
（2）如图2，将△ABC以点C为旋转中心，顺时针旋转180°，得到△DEC，过点A作AF//BE，交DE的延长线于点F，求证：∠B=∠F．

10．（2022·全国·八年级专题练习）已知：，，.垂足分别为F、E，．
(1)如图，求证：；
(2)如图，连接、、，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出四个三角形，使每一个三角形的面积都等于面积的一半．
专题12.2.5 三角形全等的判定5（HL）
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1. 经历探索三角形全等条件的过程，掌握和会用“HL”条件判定两个三角形全等；
2. 使学生经历探索三角形全等的过程，体验操作、归纳得出数学结论的方法.
3. 通过探究三角形全等的条件的活动，培养学生观察分析图形的能力及运算能力，培养学 生乐于探索的良好品质以及发现问题的能力.
知识精讲
知识点01三角形全等的判定5（HL）
知识点
直角三角形全等的判定：HL
文字：在两个直角三角形中，如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记：HL）
图形：
符号：在Rt与Rt中，
【微点拨】
证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
在直角三角形中，只须找除直角外的两个条件即可（两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等）
【知识拓展1】HL判定三角形全等的条件
例1．（2022·湖南怀化·八年级期中）如图，在△ABC和△ABD中，∠C＝∠D＝90°，若利用“HL”证明△ABC≌△ABD，则需要加条件 _____.
【答案】BD＝BC（或AD＝AC）
【分析】要利用HL判定△ABC≌△ABD，已知∠C＝∠D＝90°，AB＝AB，具备了一组斜边、一组角相等，故添加BD＝BC或AD＝AC后可判定三角形全等．
【详解】解：∵∠C＝∠D，AB＝AB，
∴添加BD＝BC或AD＝AC后可利用HL判定△ABC≌△ABD
故答案为：BD＝BC（或AD＝AC）．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
【即学即练】
1．（2022·河南周口·八年级期中）如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要加条件_____．
【答案】AB＝AC
【分析】根据斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等即可解答．
【详解】解：还需添加条件AB＝AC，
∵AD⊥BC于D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
，∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）．故答案为：AB＝AC．
【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定，掌握斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等是解答本题的关键．
【知识拓展2】利用HL证明三角形全等（求线段的长度）
例2．（2022·山东青岛·一模）如图，在中，，，为边上一点，于点．若，，则的长为（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】D
【分析】作DF⊥AB于点F，由题意得到△ADB是等腰三角形，则∠ABD＝∠A＝40°，AB＝2AF＝2BF，再证明Rt△BDF≌Rt△BDE（HL），BF＝BE＝2，得到AB的长．
【详解】解：如图，作DF⊥AB于点F，
∵ AD＝BD∴△ADB是等腰三角形，∠ABD＝∠A＝40°∴AB＝2AF＝2BF
∵，，∴∠ABC＝180°－∠A－∠C＝80°，
∴ ∠DBE＝∠ABC－∠ABD＝40°∴∠DBE＝∠ABD
∵∴ ∠DE＝DF
∵BD＝BD∴Rt△BDF≌Rt△BDE（HL）
∴BF＝BE＝2∴AB＝2BF＝4故选：D
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质、角平分线的性质、直角三角形全等的判定方法等知识，难度不大，属于常考题型，关键是证明两直角三角形全等．
【即学即练】
2．（2022•西城区八年级期中）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F．若CD＝3，则求CE的长．
【分析】证明△BDC≌△AEC得出：CD＝CE．
【解答】（1）解：∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠BCD＝90°．
在Rt△BDC与Rt△AEC中，，∴Rt△BDC≌Rt△AEC（HL）．∴CD＝CE＝3；
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
3.（2022•承德八年级期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是AB上一点，且BE＝BC，过E作DE⊥AB交AC于D，如果AC＝5cm，则AD+DE等于（ ）
A．3 cmB．4 cmC．5 cmD．6 cm
【分析】根据HL证Rt△BED≌Rt△BCD，推出DE＝DC，得出AD+DE＝AD+DC＝AC，代入求出即可．
【解答】解：∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°＝∠C，
在Rt△BED和Rt△BCD中，∴Rt△BED≌Rt△BCD（HL），
∴DE＝DC，∴AD+DE＝AD+CD＝AC＝5cm，故选：C．
【点评】本题考查了直角三角形全等的性质和判定，注意：全等三角形的对应边相等，判断直角三角形全等的方法有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．
【知识拓展3】利用HL证明三角形全等（求角的度数）
例3．（2022·山东东营·七年级期末）如图，ABC中，，，点E在BC上，点F为AB延长线上一点，且，，则（ ）
A．58°B．60°C．65°D．70°
【答案】D
【分析】先证明Rt△ABE≌Rt△CBF，可得∠BAE＝∠BCF＝25°，然后根据AB＝BC，∠ABC＝90°可得∠ACB的度数，即可求出∠ACF的度数．
【详解】解：∵∠ABC＝90°，∴∠CBF＝90°，
在Rt△ABE与Rt△CBF中，，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL），∴∠BAE＝∠BCF＝25°，
∵AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ACB＝45°，
∴∠ACF＝25°＋45°＝70°，故选：D．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，利用HL证明Rt△ABE≌Rt△CBF是解题的关键．
【即学即练3】
3．（2022·湖北孝感·八年级阶段练习）如图，在正方形ABCD中，等边△AEF的顶点E，F分别在边BC和CD上，则∠CEF＝_____°．
【答案】45
【分析】证明Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），进而证明是等腰直角三角形即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，
△AEF是等边三角形，，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE＝DF，
∵BC＝CD，∴CE＝CF，∵∠C＝90°，∴∠CEF＝45°，故答案为：45．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，证明Rt△ABE≌Rt△ADF是解题的关键．
4．（2022·陕西·紫阳县师训教研中心八年级期末）如图，在Rt△ABC中，，，D为AB延长线上一点，点E在BC上，且．(1)求证：；(2)过点B作，且，求∠FBA度数．
【答案】(1)见解析(2)65°
【分析】（1）证明即可得证；
（2）根据等腰直角三角形的性质可得，进而可得，根据全等的性质可得，由，，即可求解．
（1）证明：，D为AB延长线上一点，
在Rt△ABE和Rt△CBD中， ，
∴；
（2）解：∵，，∴，
，∴ ，
由（1）知，∴ ，
，∴．
∵，∴
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，平行线的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
【知识拓展4】利用HL证明三角形全等（证明类）
例4．（2022·湖南常德·八年级期中）如图，∠A=∠B=90°，E是AB上的一点，且AE=BC，∠1=∠2．
(1)求证：Rt△ADE≌Rt△BEC；
(2)△CDE是不是直角三角形？并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)△DEC为直角三角形，理由见解析
【分析】（1）根据HL证明Rt△ADE和Rt△BEC全等解答即可；
（2）根据全等三角形的性质及平角的定义解答即可．
（1）证明：∵∠1=∠2，
∴ED=CE，
∵∠A=∠B=90°，
在Rt△ADE和Rt△BEC中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）；
（2）解：△CDE是直角三角形，理由如下：
证明：由（1）得Rt△ADE≌Rt△BEC，
∴∠AED=∠BCE，
∵∠B=90°，
∴∠BCE+∠CEB=90°，
∴∠AED+∠CEB=90°，
∴∠DEC=180°-90°=90°，
∴△DEC为直角三角形．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，根据HL证明Rt△ADE≌Rt△BEC是解题的关键．
【即学即练4】
4．（2022·全国·八年级单元测试）如图，AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF．则下列结论中：①AD是△ABC的高；②AD是△ABC的中线；③ED＝FD；④AB＝AE＋BF．其中正确的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】A
【分析】过点D作DG⊥AB于点G，由角平分线的定义及平行线的性质可得∠ADB=90°，然后可证△ADC≌△ADB，△DEC≌△DFB，进而问题可求解．
【详解】解：∵AD平分∠BAC，BC平分∠ABF，
∴，
∵BF∥AC，∴，
∴，即，
∴，即AD是△ABC的高，故①正确；
∵，AD=AD，
∴△ADC≌△ADB（ASA），
∴，即AD是△ABC的中线，故②正确；
∵BF∥AC，∴，
∵，∴△DEC≌△DFB（AAS），∴ED＝FD，故③正确；
过点D作DG⊥AB于点G，如图所示：
∵AD平分∠BAC，BC平分∠ABF，，∴，
∵AD=AD，∴（HL），
∴，同理可知，
∵，∴，故④正确；
综上所述：正确的个数有4个；故选A．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、平行线的性质及角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、平行线的性质及角平分线的性质是解题的关键．
5．（2022•万柏林区八年级月考）如图，AC∥BD，∠C＝90°，AC＝BE，AB＝DE，求证：DE⊥AB．
【分析】先根据平行线的性质求出∠DBE＝∠C＝90°，再由HL定理可判定△ACB≌△EBD，由全等三角形的性质解答即可．
【解答】证明：设AB与DE相交于点M，
∵AC∥BD，∴∠C+∠DBE＝180°，∵∠C＝90°，∴∠DBE＝90°，
在Rt△ACB与Rt△EBD中，，
∴Rt△ACB≌Rt△EBD（HL），∴∠ABC＝∠D，
∵∠D+∠MEB＝90°，∴∠ABC+∠MEB＝90°，
∴∠EMB＝180°﹣∠ABC﹣∠MEB＝90°，∴DE⊥AB．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，根据HL判定Rt△ACB≌Rt△EBD是解题的关键．
能力拓展
考法01 利用HL判定三角形全等（动态全等问题）
【典例1】（2021·北京市师达中学八年级期中）如图，，cm，cm，点P在线段AC上，以每秒2cm的速度从点A出发向C运动，到点C停止运动，点Q在射线AM上运动，且，当点P的运动时间为_________秒时，△ABC才能和△PQA全等．
【答案】2或4
【分析】据全等三角形的判定HL定理分AP=BC和AP=AC解答即可．
【详解】解：设点P的运动时间为t秒，∵，，
∴当AP=BC=4cm，时，Rt△QPA≌Rt△ABC（HL），∴t=4÷2=2秒；
当AP=AC=8cm，时，Rt△PQA≌Rt△ABC（HL），∴t=8÷2=4秒，
综上，当点P的运动时间为2或4秒时，△ABC才能和△PQA全等．故答案为：2或4．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握证明直角三角形全等的HL定理，利用分类讨论思想是解答的关键．
变式1．（2021·湖南·长沙市八年级阶段练习）如图，在Rt△中，，，，一条线段，，两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，要使△和△全等，则_____．
【答案】12cm或6cm##6cm或12cm
【分析】当AP＝12cm或6cm时，△ABC和△PQA全等，根据HL定理推出即可．
【详解】解：∵∠C＝90°，AO⊥AC，∴∠C＝∠QAP＝90°，
①当AP＝6cm＝BC时，在Rt△ACB和Rt△QAP中
∵，∴Rt△ACB≌Rt△QAP（HL），
②当AP＝12cm＝AC时，在Rt△ACB和Rt△PAQ中
，∴Rt△ACB≌Rt△PAQ（HL），故答案为：12cm或6cm．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：判定两直角三角形全等的方法有ASA，AAS，SAS，SSS，HL．
变式2.（2021•兰山区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15cm，BC＝8cm，AX⊥AC于A，P、Q两点分别在边AC和射线AX上移动．当PQ＝AB，AP＝ 时，△ABC和△APQ全等．
【分析】分情况讨论：①AP＝BC＝8cm时，Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）；
②当P运动到与C点重合时，Rt△ABC≌Rt△PQA（HL），此时AP＝AC＝15cm．
【解答】解：①当P运动到AP＝BC时，如图1所示：

在Rt△ABC和Rt△QPA中，，∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），即AP＝B＝8cm；
②当P运动到与C点重合时，如图2所示：
在Rt△ABC和Rt△PQA中，，∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL），即AP＝AC＝15cm．
综上所述，AP的长度是8cm或15cm．故答案为：8cm或15cm．
【点评】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，注意分类讨论，以免漏解．
考法02 利用HL证明三角形全等（探究类）
【典例2】（2021•西湖区校级月考）如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2．（1）Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？并说明理由；（2）试判断CE和DE的关系，并说明理由．
【分析】（1）由∠1＝∠2，可得DE＝CE，根据证明直角三角形全等的“HL”定理，证明即可；
（2）由∠1＝∠2，可得DE＝CE，再根据题意，∠AED+∠ADE＝90°，∠BEC+∠BCE＝90°，又∠AED＝∠BCE，∠ADE＝∠BEC，所以，∠AED+∠BEC＝90°，即可证得∠DEC＝90°，即可得出．
【解答】解：（1）结论：Rt△ADE≌Rt△BEC；理由如下：
∵∠1＝∠2，∴DE＝CE，而∠A＝∠B＝90°，AE＝BC
∴在Rt△ADE和Rt△BEC中，DE＝CE，AE＝BC，∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）；
（2）结论：DE＝CE且DE⊥CE，
理由如下：∵∠1＝∠2∴DE＝CE，∵Rt△ADE≌Rt△BEC，
∴∠AED＝∠BCE，∠ADE＝∠BEC，
又∵∠AED+∠ADE＝90°，∠BEC+∠BCE＝90°，
∴2（∠AED+∠BEC）＝180°，∴∠AED+∠BEC＝90°，
∴∠DEC＝90°，∴DE⊥CE．
【点评】本题主要考查了直角三角形的判定与性质，证明三角形全等时，关键是根据题意选取适当的条件．
变式1. （2021•城北区校级月考）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F．试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并说明你猜想的正确性．
【分析】猜想：BF⊥AE，
先证明△BDC≌△AEC得出∠CBD＝∠CAE，从而得出∠BFE＝90°，即BF⊥AE．
【解答】解：猜想：BF⊥AE．理由：∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠BCD＝90°．
∴在Rt△BDC与Rt△AEC中，∴Rt△BDC≌Rt△AEC（HL）．∴∠CBD＝∠CAE．
又∴∠CAE+∠E＝90°．∴∠EBF+∠E＝90°．∴∠BFE＝90°，即BF⊥AE．
【点评】主要考查全等三角形的判定方法，以及全等三角形的性质．猜想问题一定要认真观察图形，根据图形先猜后证．
分层提分
题组A 基础过关练
1．（2022·江西景德镇·八年级期中）如图，已知，，．则的理由是（ ）
A．HLB．SASC．AASD．ASA
【答案】A
【分析】利用直角三角形全等的判定方法进行判断．
【详解】证明：∵AD⊥BD，BC⊥AC，∴∠C＝∠D＝90°，
在Rt△CAB和Rt△DBA中，
，∴Rt△CAB≌Rt△DBA（HL）．故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定是解决问题的关键．
2．（2022·湖南·长沙市南雅中学八年级期末）如图，在Rt△ABC的斜边AB上截取AD＝AC，过点D作DE⊥AB交BC于E，则有（ ）
A．DE＝DBB．DE＝CEC．CE＝BED．CE＝BD
【答案】B
【分析】由“HL” Rt△ACE≌Rt△ADE，可得DE=CE，即可．
【详解】解：如图，连接AE，
∵DE⊥AB，∴∠ADE=∠C=90°，
在Rt△ACE和Rt△ADE中，∵AE=AE，AC=AD，∴Rt△ACE≌Rt△ADE（HL），
∴DE=CE．故选：B
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
3.（2022•宝安区八年级期中）如图，∠C＝∠D＝90°，添加下列条件：①AC＝AD；②∠ABC＝∠ABD；③BC＝BD，其中能判定Rt△ABC与Rt△ABD全等的条件的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】根据直角三角形的全等的条件进行判断，即可得出结论．
【解答】解：①当AC＝AD时，由∠C＝∠D＝90°，AC＝AD且AB＝AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）；
②当∠ABC＝∠ABD时，由∠C＝∠D＝90°，∠ABC＝∠ABD且AB＝AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD（AAS）；
③当BC＝BD时，由∠C＝∠D＝90°，BC＝BD且AB＝AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）；
故选：D．
【点评】本题主要考查了直角三角形全等的判定，直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时直角三角形又是特殊的三角形，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．
4.（2021•秦淮区期末）结合图，用符号语言表达定理“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”的推理形式：在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF．
【分析】根据条件可知，少一组斜边，所以可添加为：AB＝DE．
【解答】解：∵∠C＝∠F＝90°，∴在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），故答案为：AB＝DE．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定定理，
5．（2022·浙江绍兴·八年级期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AD与BE相交于点F，且AC=BF，DF=DC．若∠ABE=15°，则∠DBF的度数为_____．
【答案】30°##30度
【分析】首先根据“HL”证明Rt△BDF≌Rt△ADC，再利用全等三角形的性质即可解决问题．
【详解】解：∵AD⊥BC，∴∠BDF＝∠ADC＝90°，
在Rt△BDF和Rt△ADC中，
，∴Rt△BDF≌Rt△ADC （HL），
∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠DAB＝45°，
∵∠ABE＝15°，∴∠DBF＝∠ABD﹣∠ABE＝45°﹣15°＝30°．故答案为：30°．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握HL证明三角形全等是解题的关键．
6．（2022·全国·八年级课时练习）如图，四边形ABCD，连接BD，AB⊥AD，CE⊥BD，AB＝CE，BD＝CD．若AD＝5，CD＝7，则BE＝________．
【答案】2
【分析】根据HL证明，可得，根据即可求解．
【详解】解： AB⊥AD，CE⊥BD，，
在与中，，，
AD＝5，CD＝7，，BD=CD＝7，
故答案为：2
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握HL证明三角形全等是解题的关键．
7．（2022·广西北海·八年级期中）如图，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，EF过点C，BE⊥EF于点E，DF⊥EF于点F，BE＝DF．求证：EC＝CF．
【答案】见解析
【分析】连接BD，根据等腰三角形的性质和判定求出BC＝DC，根据HL证Rt△BCE≌Rt△DCF，即可得出答案．
【详解】证明：如图，连接BD，
∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，
又∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴∠ABC﹣∠ABD＝∠ADC﹣∠ADB，
∴∠DBC＝∠BDC，∴BC＝CD，
∵BE⊥EF于点E，DF⊥EF于点F，∴∠E＝∠F＝90°，
在Rt△BCE和Rt△DCF中，
，∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL），∴EC＝CF．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定、三角形全等的判定和性质，熟练掌握直角三角形全等的判定是解题的关键．
8．（2022·辽宁锦州·八年级期中）如图，已知D是△ABC的BC边的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE＝DF，求证：AB＝AC．
【答案】见解析
【分析】利用“HL”证明△BDE和△CDF全等，再根据全等三角形对应角相等可得∠B=∠C，然后根据等角对等边即可得证．
【详解】证明：∵D是△ABC的BC边的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴BD=CD，△BDE、△CDF均为直角三角形．
在Rt△BDE和Rt△CDF中， ，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴∠B=∠C，∴AB=AC．
【点睛】本题考查了利用等角对等边证明线段相等，全等三角形的性质与判定，熟练掌握HL证明直角三角形全等是解题的关键．
9．（2022·陕西渭南·八年级期中）如图，在四边形ABCD中，，AC平分，，交AD的延长线于点E．
(1)求证：是等腰三角形；(2)连接BE，求证：AC垂直平分BE．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义求出∠DCA＝∠DAC，由等腰三角形的判定可得结论成立；（2）证明Rt△CEA≌Rt△CBA，根据全等三角形的性质得到AE＝AB，根据线段垂直平分线的判定即可得到AC垂直平分BE．
（1）证明：∵ABDC，∴∠DCA＝∠CAB，
∵AC平分，∴∠DAC＝∠CAB，
∴∠DCA＝∠DAC，∴DA＝DC，∴是等腰三角形；
（2）∵AC是∠EAB的平分线，CE⊥AE，CB⊥AB，
∴CE＝CB，∠CEA＝∠CBA＝90°，
又∵AC＝AC，∴Rt△CEA≌Rt△CBA（HL），∴AE＝AB，
∴点A、点C在线段BE的垂直平分线上，
∴AC垂直平分BE．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义和性质，等腰三角形的判定、平行线的性质、线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定和性质等知识，解答本题的关键是灵活运用各性质进行推理论证．
10．（2021·湖北咸宁·八年级期中）如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，AC、DB相交于点O．
(1)求证：Rt△ABC≌Rt△DCB；(2)求证：AO＝DO．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）由HL证明Rt△ABC≌Rt△DCB即可；
（2）由全等三角形的性质得∠ACB=∠DBC，再由等腰三角形的判定得BO=CO，即可得出结论．
（1）∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABC和△DCB是直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△DCB中
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；
（2）∵Rt△ABC≌Rt△DCB，
∴∠ACB＝∠DBC，∴BO＝CO，
∵AC＝BD，∴AC﹣CO＝BD﹣BO，∴AO＝DO．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定等知识；熟练掌握等腰三角形的判定，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
题组B 能力提升练
1．（2022·陕西·咸阳市秦都区电建学校八年级期中）已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，DB＝DC，，，垂足分别为E，F，DE＝DF．
求证：．以下是排乱的证明过程：
①∴∠BED＝∠CFD＝90°，②∴．
③∵DE⊥AB，DF⊥AC， ④∵在和中，，
证明步骤正确的顺序是（ ）
A．③→②→①→④B．③→①→④→②
C．①→②→④→③D．①→④→③→②
【答案】B
【分析】根据垂直定义得出∠BED=∠CFD=90°，再根据全等三角形的判定定理推出即可．
【详解】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°，
在Rt△DEB和Rt△DFC中，，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），
即选项B正确；选项A、选项C、选项D都错误；故选：B．
【点睛】本题考查了垂直定义和全等三角形的判定，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
2．（2022·广东·普宁市红领巾实验学校八年级期中）如图所示，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，则①AC平分∠BAD；②CA平分∠BCD；③AC垂直平分BD；④BD平分∠ABC，其中正确的结论有（ ）
A．①②B．①②③C．①②③④D．②③
【答案】B
【分析】本题的关键是证明Rt△ABC≌Rt△ADC，易求解．
【详解】解：在Rt△ABC和Rt△ADC中，AB＝AD，AC＝AC，所以Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）．
所以∠ACB＝∠ACD，∠BAC＝∠DAC，即AC平分∠BAD，CA平分∠BCD．故①②正确；
在△ABD中，AB＝AD，∠BAO＝∠DAO，
所以BO＝DO，AO⊥BD，即AC垂直平分BD．故③正确；
不能推出∠ABO＝∠CBO，故④不正确．故选：B．
【点睛】此题主要考查线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．难度一般．
3．（2022·山东青岛·八年级期中）如图，在△ABC中，，，D为BC延长线上一点，点E在AC上，．若，则∠BAD的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据“HL”证明，得出，再根据为等腰直角三角形，得出，即可得出答案．
【详解】解：∵∠ACB=90°，AC=BC，，
，，
，∴和为直角三角形，
∵在和中，，∴（HL），
，∴，故C正确．故选：C．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，根据已知条件证明是解题的关键．
4．（2021春•金水区校级月考）下列说法正确的有（ ）
①两个锐角分别相等的的两个直角三角形全等；
②一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等；
③两边分别相等的两个直角三角形全等；
④一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等．
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据直角三角形全等的判定方法逐条判定即可得到结论，
【解答】解：①两个锐角分别相等的的两个直角三角形不一定全等，故该说法错误；
②如图，已知：∠B＝∠E＝90°，BC＝EF，AM＝BM，DN＝EN，CM＝FN，
求证：△ABC≌△DEF，
证明：∵∠B＝∠E＝90°，BC＝EF，CM＝FN，
∴Rt△BCM≌Rt△EFN（HL），∴BM＝EN
∵AM＝BM，DN＝EN，∴AB＝DE，∴Rt△ABC≌Rt△EFN（SAS），
故一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等的说法正确；
③两对应边分别相等的两个直角三角形全等，如果是一个直角三角形的两条直角边和另一个直角三角形的一条直角边和一条斜边分别相等，这两个直角三角形不全等，故该说法错误；
④一个锐角和一条边分别对应相等的两个直角三角形不一定全等，如果一个直角三角形的一条直角边和另一个直角三角形的一条斜边相等，这两个直角三角形不全等，故该说法错误；故选：A．
【点评】本题主要考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握全等三角形判定方法是解决问题的关键．
5．（2022·江苏泰州·八年级期中）如图，正方形中，是上一点，给出下列三条信息：①，②，③，请从上述三条信息中选择两个作为已知条件，选择另外一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．你选择的条件是______，结论是______（填序号）．
【答案】②③，①
【详解】选择的条件是：②，③，结论是：①，
理由如下：如图，连接BF，
∵四边形是正方形，∴∠C=90°，∠BDC=45°，
又∵，∴为等腰直角三角形，∴DE=EF,
∵,∴EF=CF，
在和中，
，∴，∴BE=BC，
∵四边形是正方形，∴AB=BC，∴BE=AB．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定，正确做出辅助线并根据HL定理证明是解题关键．
6．（2021·湖北·八年级期中）如图，在中，，，，线段，，两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，当__________时，和全等．
【答案】5或10
【分析】当AP＝5或10时，△ABC和△PQA全等，根据HL定理推出即可．
【详解】解：∵∠C＝90°，AO⊥AC，∴∠C＝∠QAP＝90°，
①当AP＝5＝BC时，在Rt△ACB和Rt△QAP中
∵，∴Rt△ACB≌Rt△QAP（HL），
②当AP＝10＝AC时，在Rt△ACB和Rt△PAQ中
，∴Rt△ACB≌Rt△PAQ（HL），故答案为：5或10．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：判定两直角三角形全等的方法有ASA，AAS，SAS，SSS，HL．
7．（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校七年级阶段练习）如图，在△ABE和△ACF中，∠E＝∠F＝90°，AB＝AC，BE＝CF．
(1)求证：∠1＝∠3；(2)试判断线段BN与CM的数量关系，并加以证明．
【答案】(1)答案见解析 (2)CM＝BN；证明见解析
【分析】（1）利用“HL”证明Rt△ABE和Rt△ACF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAE＝∠CAF，然后证明即可；（2）利用“角边角”证明△AEM和△AFN全等，根据全等三角形对应边相等可得AM＝AN，然后列式整理即可得到CM＝BN．
（1）证明：在Rt△ABE和Rt△ACF中，
，∴Rt△ABE≌Rt△ACF（HL），∴∠BAE＝∠CAF，
∵∠1＝∠BAE﹣∠2，∠3＝∠CAF﹣∠2，∴∠1＝∠3；
（2）CM＝BN，
证明：∵Rt△ABE≌Rt△ACF，∴AE＝AF，
在△AEM和△AFN中， ，
∴△AEM≌△AFN（ASA），∴AM＝AN，
∵CM＝AC﹣AM，BN＝AB﹣AN，∴BN＝CM．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判断方法并准确识图确定出全等的三角形是解题的关键．
8．（2022·山东烟台·七年级期末）如图，为外一点，为的垂直平分线，分别过点作，，垂足分别为点，，且．
(1)求证：为的角平分线；(2)探究，，之间的数量关系并给出证明
【答案】(1)证明见解析； (2)，理由见解析
【分析】（1）连接，根据线段垂直平分线的性质可得，再证明≌，可得，再证明≌，即可得证；
（2）根据全等三角形的性质可得，进一步可得，从而可得．
（1）证明：连接CD，BD，如图所示：

为的垂直平分线，，
，，
在和中，
，≌，，
在和中，
，≌，
，为的角平分线；
（2）解：，理由如下：
≌，，
又，，
即，．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键．
9．（2021·河北承德·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，点D为边BC上的点，连接AD，∠BAD=α，过点D作DE⊥AB于E．(1)∠B= °；(2)若线段AB=8cm，则BC= ；(3)若DE=DC，求α的度数．
【答案】(1)60(2)4cm(3)15°
【分析】（1）由三角形内角和定理可得∠B的度数；
（2）根据含30°角的直角三角形的性质得BC＝，可得答案；
（3）利用HL证明Rt△ADE≌Rt△ADC，得∠DAE＝∠DAC＝．
（1）解：在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，
∴∠B＝60°，故答案为60；
（2）解：在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，∴BC＝，
∵AB＝8cm，∴BC＝4cm，故答案为：4cm；
（3）解：在Rt△ADE与Rt△ADC中，
，∴Rt△ADE≌Rt△ADC（HL），
∴∠DAE＝∠DAC＝，∴α＝15°．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，含30°角的直角三角形的性质，全等三角形的安定与性质等知识，熟练掌握各性质是解题的关键，属于基础题．
10．（2021·湖北宜昌·八年级期中）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，E是BD上一点，EA⊥AB，且EB＝EC，∠EBC＝∠ECB．
(1)如果∠ABC＝40°，求∠DEC的度数；(2)求证：BC＝2AB．
【答案】(1)40°(2)见解析
【分析】（1）根据角平分线的定义求出∠EBC，根据等腰三角形的性质得到∠ECB=∠EBC=20°，根据三角形的外角性质计算，得到答案；
（2）作EF⊥BC于F，根据等腰三角形的性质得到BC=2BF，证明Rt△ABE≌Rt△FBE，根据全等三角形的性质证明结论．
（1）解：∵∠ABC=40°，BD平分∠ABC，
∴∠EBC=∠ABC=20°，
∵EB=EC，∴∠ECB=∠EBC=20°，
∵∠DEC是△EBC的一个外角，
∴∠DEC=∠ECB+∠EBC=40°；
（2）证明：过点E作EF⊥BC于点F，
∵BD平分∠ABC，EA⊥AB，∴EA=EF，
在Rt△AEB 和Rt△FEB中，
∵，∴Rt△AEB≌Rt△FEB （HL），
∴AB=FB（全等三角形的对应边相等），
∵EB=EC，EF⊥BC，∴BC=2FB，∴BC=2AB．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识，掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题的关键．
题组C 培优拔尖练
1．（2021·北京市海淀外国语实验学校八年级期中）如图，，分别是，上的点，过点作于点，作于点，若，，则下面三个结论：①；②；③，正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．①② D．①②③
【答案】C
【分析】根据角平分线的判定，先证是的平分线，再证，可证得，成立．
【详解】解：如图示，连接，
，是的平分线，，①正确．
，②正确．
只是过点，并没有固定，明显③不成立．故选：．
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定方法，以及角平分线的判定和平行线的判定，熟悉相关性质是解题的关键．
2．（2022·黑龙江牡丹江·八年级期末）如图，已知△ABC中高AD恰好平分边BC，∠B=30°，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点且OP=OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO=30°；②△OPC是等边三角形；③AC=AO+AP；④S△ABC=S四边形AOCP．其中正确的为（ ）
A．①②③④B．①②③C．②③D．②③④
【答案】A
【分析】①连接OB，根据垂直平分线性质即可求得OB=OC=OP，即可解题；
②根据周角等于360°和三角形内角和为180°即可求得∠POC=2∠ABD=60°，即可解题；
③在AC上截取AE=PA，易证△OPA≌△CPE，可得AO=CE，即可解题；
④作CH⊥BP，可证△CDO≌△CHP和Rt△ABD≌Rt△ACH，根据全等三角形面积相等即可解题．
【详解】解：①连接OB，如图1，
∵△ABC中高AD恰好平分边BC，即AD是BC垂直平分线，
∴AB=AC，BD=CD，∴OB=OC=OP，∴∠APO=∠ABO，∠DBO=∠DCO，
∵∠ABC=∠ABO+∠DBO=30°，∴∠APO+∠DCO=30°．故①正确；
②△OBP中，∠BOP=180°-∠OPB-∠OBP，
△BOC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，
∴∠POC=360°-∠BOP-∠BOC=∠OPB+∠OBP+∠OBC+∠OCB，
∵∠OPB=∠OBP，∠OBC=∠OCB，∴∠POC=2∠ABD=60°，
∵PO=OC，∴△OPC是等边三角形，故②正确；
③如图2，在AC上截取AE=PA，
∵∠PAE=180°-∠BAC=60°，∴△APE是等边三角形，
∴∠PEA=∠APE=60°，PE=PA，∴∠APO+∠OPE=60°，
∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°，∴∠APO=∠CPE，
∵OP=CP，在△OPA和△CPE中，，∴△OPA≌△CPE（SAS），
∴AO=CE，∴AC=AE+CE=AO+AP；故③正确；
④如图3，作CH⊥BP，
∵∠HCB=60°，∠PCO=60°，∴∠PCH=∠OCD，
在△CDO和△CHP中，，∴△CDO≌△CHP（AAS），
∴S△OCD=S△CHP，∴CH=CD，∵CD=BD，∴BD=CH，
在Rt△ABD和Rt△ACH中，，
∴Rt△ABD≌Rt△ACH（HL），∴S△ABD=S△AHC，
∵四边形OAPC面积=S△OAC+S△AHC+S△CHP，S△ABC=S△AOC+S△ABD+S△OCD，
∴四边形OAPC面积=S△ABC．故④正确．故选：A．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．
3．（2021·广东·珠海市文园中学八年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，已知，延长BC交EF于点D，若BD＝5，BC＝4，则DE长是（ ）
A．2B．5C．4D．3
【答案】D
【分析】连接AD．证明Rt△ADF≌Rt△ADC（HL），推出DF=DC=1，可得结论．
【详解】解：如图，连接AD．
∵△ABC≅△AEF，∴AF=AC，
在Rt△ADF和Rt△ADC中，，
∴Rt△ADF≌Rt△ADC（HL），∴DF=DC，
∵BD=5，BC=4，∴CD=DF=5-4=1，
∵EF=BC=4，∴DE=EF-DF=4-1=3．故选：D．
【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
4．（2022·河南洛阳·八年级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF，若∠CAE＝29°，则∠ACF的度数为________°．
【答案】61
【分析】由“HL”可证Rt△ABE≌Rt△CBF，可得∠BAE＝∠BCF＝16°，即可求解．
【详解】解：∵在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，
∵∠CAE＝29°，
∴∠BAE＝16°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL），
∴∠BAE＝∠BCF＝16°，
∴∠ACF＝∠BCA＋∠BCF＝61°，
故答案为：61．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明Rt△ABE≌Rt△CBF是本题的关键．
5．（2022·河南驻马店·八年级期末）如图，中，，于点D，，若，则的度数为 _____．
【答案】
【分析】如图（见详解），根据等腰三角形的三线合一性质，过点A作于点E，可证，即可求出的度数．
【详解】解：如图，过点A作于点E，
∵AB=AC，
∴E是BC的中点，且AE平分．
∵，
∴BD=BE．
在和中，
，
∴．
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查等腰三角形的三线合一性质以及直角三角形全等的判定定理，正确运用定理进行判定是解题的关键．
6．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C的坐标分别为，，将矩形绕点B顺时针旋转，点A，C，O的对应点分别为．当点落在x轴的正半轴上时，点的坐标为________．
【答案】
【分析】连接，，证明，可得，即可求解．
【详解】解：如图，连接，，
由题意得OA=BC=2，OC=AB=4，由旋转可知，
在和中，
∴（HL），
∴，∴坐标为（4,0），故答案为：（4,0）．
【点睛】本题考查了矩形的性质、旋转的性质和三角形全等的判定和性质，解题的关是证明．
7．（2021·辽宁沈阳·八年级期末）如图，四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，AC平分∠DAB，CM⊥AB于点M，若AM＝4cm，BC＝2.5cm，则四边形ABCD的周长为_____cm．
【答案】13
【分析】过C作CE⊥AD的延长线于点E，由条件可证△AEC≌△AMC，得到AE＝AM．证明△ECD≌△MBC，由全等的性质可得DE＝MB，BC＝CD，则问题可得解．
【详解】解：如图，过C作CE⊥AD的延长线于点E，
∵AC平分∠BAD，∴∠EAC＝∠MAC，∵CE⊥AD，CM⊥AB，∴∠AEC＝∠AMC＝90°，CE＝CM，
在Rt△AEC和Rt△AMC中，AC=AC，CE=CM，∴Rt△AEC≌Rt△AMC（HL），∴AE＝AM＝4cm，
∵∠ADC＋∠B＝180°，∠ADC＋∠EDC＝180°，∴∠EDC＝∠MBC，
在△EDC和△MBC中，，∴△EDC≌△MBC（AAS），∴ED＝BM，BC＝CD＝2.5cm，
∴四边形ABCD的周长为AB＋AD＋BC＋CD＝AM＋BM＋AE﹣DE＋2BC＝2AM＋2BC＝8＋5＝13（cm），
故答案为：13．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，掌握常用的判定方法是解题的关键．
67．（2020·湖北荆门·八年级期中）如图，AD是△ABC的高，AD＝BD＝4，E是AD上一点，BE＝AC＝5，S△ABC＝14，BE的延长线交AC于点F．
(1)求证：△BDE≌△ADC；(2)求证：BE⊥AC；(3)求EF与AE的长．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)EF＝，AE＝1．
【分析】（1）利用直角三角形的判定定理证明即可；
（2）利用全等三角形的性质证明∠EBD＝∠CAD，再利用对顶角相等证明∠BED＝∠AEF，进一步可证明∠AFE＝∠ADB＝90°，即BE⊥AC；
（3）利用三角形面积求出BC＝7，进一步求出CD＝3，利用，
证明ED＝CD＝3，进一步求出AE＝AD－ED＝4－3＝1，再利用三角形面积求出BF＝，即可求出EF＝BF－BE＝－5＝．
（1）证明：∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△BDE和Rt△ADC中，
，∴．
（2）证明：∵，∴∠EBD＝∠CAD，
∵∠BED＝∠AEF，∴∠AFE＝∠ADB＝90°，∴BE⊥AC．
（3）解：∵S△ABC＝AD•BC＝14，AD＝4，∴BC＝7，
∵BD＝4，∴CD＝3，
∵，∴ED＝CD＝3，
∴AE＝AD－ED＝4－3＝1，
∵S△ABC＝BF•AC＝14，BE＝AC＝5，
∴BF＝，∴EF＝BF－BE＝－5＝．
【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，对顶角相等，垂直的定义，解题的关键是掌握全等三角形的判定及性质．
9．（2022·江西鹰潭·八年级期中）（1）如图1，在等边三角形ABC中，AB=2，BD是AC边上的高，延长BC至点E，使CE=CD，求BE的长；
（2）如图2，将△ABC以点C为旋转中心，顺时针旋转180°，得到△DEC，过点A作AF//BE，交DE的延长线于点F，求证：∠B=∠F．

【答案】（1）BE的长为3；（2）见解析
【分析】（1）证明△ADB≌△CDB，推出AD=CD=1，据此求解即可；
（2）根据旋转的性质得到B、C、E在同一直线上，且△ABC≌△DEC，得到∠B=∠CED，再根据平行线的性质即可证明∠B=∠F．
【详解】（1）解：∵等边三角形ABC中，BD是AC边上的高，
∴AB=BC=AC=2，∠ADB=∠CDB=90°，DB=DB，
∴△ADB≌△CDB(HL)，∴AD=CD=AC=AB=1，
∵CE=CD，∴CE=CD=1，∴BE=BC+CE=3，∴BE的长为3；
（2）证明：∵将△ABC以点C为旋转中心，顺时针旋转180°，得到△DEC，
∴B、C、E在同一直线上，且△ABC≌△DEC，∴∠B=∠CED，
∵AF//BE，∴∠F=∠CED，∴∠B=∠F．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
10．（2022·全国·八年级专题练习）已知：，，.垂足分别为F、E，．
(1)如图，求证：；
(2)如图，连接、、，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出四个三角形，使每一个三角形的面积都等于面积的一半．
【答案】(1)见解析 (2)，，，
【分析】（1）由题意易得，然后可证，进而问题可求解；
（2）由题意易得，然后根据三角形的中线与面积关系可得，然后再根据全等三角形的性质与判定可进行求解．
（1）证明：∵，∴，即，又∵，，∴在和中，∴，∴；
（2）解：，，，，理由如下：∵，，∴，∴，∴，∵，，∴，在和△ABF中，，∴（ASA），∴，∴，∵，∴，即，，，这四个三角形的面积都等于面积的一半．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及三角形的中线与面积的关系，熟练掌握全等三角形的性质与判定及三角形的中线与面积的关系是解题的关键．