人教版八年级数学上册同步精品讲义专题15.2分式的运算(学生版+解析)

这是一份人教版八年级数学上册同步精品讲义专题15.2分式的运算(学生版+解析)，共44页。试卷主要包含了掌握分式的四则运算法则，正确使用分式的四则运算；等内容，欢迎下载使用。

1、掌握分式的四则运算法则、运算顺序、运算律；
2、正确使用分式的四则运算；
3、掌握零指数幂和负整数指数幂的意义和运算；及小于1的科学计数法。
知识精讲
知识点01 分式的乘除
知识点
分式是分数的扩展，因此分式的运算法则与分数的运算法则类似：
1）分式的乘法
乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为：．
2）分式的除法
除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘．
用式子表示为：．
3）分式的乘方
乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．用式子表示为：为正整数，．
【知识拓展1】分式的乘法
例1．（2022·山东·泰安市八年级阶段练习）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
【即学即练】
1．（2022·湖南·新化县八年级期中）计算：的正确结果是（ ）
A．2B．2bC．-2bD．-2ab²
【知识拓展2】分式的除法
例2．（2022·绵阳市八年级单元测试）化简，正确结果是（ ）
A．B．C．D．
【即学即练】
2.（2022·浙江·宁波外国语学校七年级期中）化简：÷＝_____．
【知识拓展3】分式的乘方
例3．（2022·江西宜春·八年级期中）下列计算中，错误的是( )
A． B． C． D．
【即学即练】
3．（2022·湖南·新化县东方文武学校八年级期末）计算分式得（ ）
A．B．C．D．
【知识拓展4】分式的乘除乘方混合运算
例4．（2022·海南·儋州川绵中学八年级阶段练习）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．2
【即学即练】
4．（2022·湖北·京山市实验中学八年级期中）计算：
(1) (2) (3)
知识点02 分式的加减
知识点
1）分式的加减
①同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示为：．
②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减．
用式子表示为：．
2）分式的混合运算
含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算．
混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的．
注：上述所有计算中，结果中分子、分母可约分的，需进行约分化为最简分式
【知识拓展1】分式的加减（同分母）
例1．（2022·山东·济宁八年级阶段练习）分式①；②；③中，计算结果是整式的序号_______．
【即学即练】
1．（2022·湖南·新化县八年级期中）计算 （ ）
A．B．C．1D．
【知识拓展2】分式的加减（异分母）
例2．（2022·江苏连云港·八年级期中）计算：
(1)； (2)．
【即学即练】
2.（2022·浙江·七年级阶段练习）化简，得（ ）
A．B．C．D．
【知识拓展3】分式的混合运算
例3．（2022·湖南长沙·七年级阶段练习）已知，其中，，，为常数，则______．
【即学即练】
3．（2022·河北唐山·八年级期末）由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
【知识拓展4】分式的化简求值
例4．（2022·广西贵港·八年级期中）先化简，再求值
(1)，其中； (2)，其中a满足．
【即学即练4】
4．（2022·江苏·八年级阶段练习）先化简，再从﹣2≤a≤2中选取一个合适的整数代入求值．
知识点03 整数指数幂
【知识拓展1】零指数幂与负指数幂
例1．（2022·广西桂林·八年级期中）计算：．
【即学即练1】
1．（2022·湖南·新化县东方文武学校八年级期中）计算：；
【知识拓展2】科学记数法表示除法
例2．（2022·河北·廊坊市八年级阶段练习）_____．
【即学即练2】
2．（2022·山东·烟台市期中）福山新华书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元/本、10元/本．现购进m本甲种书和n本乙种书，共付款Q元．(1)用含m，n的代数式表示Q；(2)若共购进5×104本甲种书及3×103本乙种书，用科学记数法表示Q的值；(3)若P=4×1012，求的值（结果用科学记数法表示）．
【知识拓展3】科学记数法相关问题
例3．（2022·江苏盐城·七年级阶段练习）某种细菌直径约为0.00000067mm，若将0.00000067mm用科学记数法表示为mm（n为负整数），则n的值为（ ）
A．-5B．-6C．-7D．-8
【即学即练3】
3．（2022·广东·佛山市南海区大沥谢边南桥学校七年级期中）纳米是一种长度单位，它用来表示微小的长度，1纳米=米．某细胞的直径是1000纳米，用科学记数法表示该细胞的直径为（ ）
A．米B．米C．米D．米
能力拓展
考法01 分式的应用
【典例1】（2022·江苏·盐城市毓龙路实验学校八年级阶段练习）【生活观察】甲、乙两人买水果，甲习惯买一定质量的水果，乙习惯买一定金额的水果，两人每次买水果的单价相同，例如：
第一次
第二次：
(1)完成上表；(2)计算甲两次买水果的均价和乙两次买水果的均价．（均价＝总金额÷总质量）
【数学思考】设甲每次买质量为m千克的水果，乙每次买金额为n元的水果，两次的单价分别是a元/千克、b元/千克，用含有m、n、a、b的式子，分别表示出甲、乙两次买水果的均价、，比较、的大小，并说明理由．【知识迁移】某船在相距为s的甲、乙两码头间往返航行一次．在没有水流时，船的速度为v，所需时间为；如果水流速度为p时（p＜v），船顺水航行速度为（v+p），逆水航行速度为（v﹣p），所需时间为．请借鉴上面的研究经验，比较、的大小，并说明理由．
变式1．（2022·全国·八年级单元测试）某飞行器在相距为m的甲、乙两站间往返飞行．在没有风时，飞行器的速度为v，往返所需时间为；如果风速度为，则飞行器顺风飞行速度为，逆风飞行速度为，往返所需时间为．则、的大小关系为（ ）
A．B．C．D．无法确定
变式2．（2022·四川成都·八年级期中）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米的正方形减去一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了m千克．则高的单位面积产量比低的单位面积产量多几分之几？多的这个值是______．
分层提分
题组A 基础过关练
1．（2022·湖南衡阳·八年级期末）计算的结果是（ ）
A． B．C．D．0
2.（2022·全国·八年级专题练习）计算的结果为（ ）
A．B．mC．D．
3．（2022·湖南·岳阳县八年级阶段练习）计算：，结果为（ ）
A．1B．C． D．
4．（2022·海南·八年级期末）化简 的结果是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·湖南·新化县八年级期中）2010年，国外科学家成功制造出世界上最小的晶体管，只有，请用科学记数法表示它的长度（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·山东·八年级期末）某书店库存一批图书，其中一种图书的原价是每册元，现每册降价元销售，则这种图书库存全部售出时，其销售额为元，从降价销售开始时，该书店这种图书的库存量是（ ）册．
A．B．C．D．
7．（2022·四川·仁寿八年级期中）计算：＝____________________．
8．（2022·广西贵港·八年级期中）计算：________．
9．（2022·吉林·长春市第八十七中学八年级阶段练习）计算：
(1)； (2)； (3)．
10．（2022·福建福州九年级开学考试）先化简，再求值：，其中x＝3．
11．（2022·山东威海·期中）先化简，再求值：，其中．
题组B 能力提升练
1．（2022·山东·新泰市八年级阶段练习）化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·四川·隆昌市知行中学八年级阶段练习）化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·河北邢台·八年级阶段练习）若分式“”可以进行约分化简，则“○”不可以是（ ）
A．1B．xC．D．4
4．（2022·黑龙江·兰西县八年级阶段练习）一件工程甲单独做小时完成，乙单独做小时完成，甲、乙二人合作完成此项工作需要的小时数是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·山东·泰安市泰山区树人外国语学校八年级阶段练习）学完分式运算后，老师出了一道题：化简．
小明的做法是：原式；
小亮的做法是：原式；
小芳的做法是：原式．
对于这三名同学的做法，你的判断是（ ）
A．小明的做法正确B．小亮的做法正确
C．小芳的做法正确D．三名同学的做法都不正确
6．（2022·江苏·七年级期末）已知一种细胞的直径约为2.13×cm，请问2.13×这个数原来的数是 _____．
7．（2022·陕西·西北大学附中八年级期中）若，则_________，_________．
8．（2022·北京市八年级期中）老师所留的作业中有这样一个分式的计算题，甲、乙两位同学完成的过程分别如下：
老师发现这两位同学的解答过程都有错误．
(1)请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正．我选择______同学的解答过程进行分析（填“甲”或“乙”）．该同学的解答从第____步开始出现错误，错误的原因是_______；
(2)请重新写出完成此题的正确解答过程：
9．（2022·广西宁明·七年级期末）课堂上，李老师给大家出了这样一道题：“当、、时，求代数式的值．”小明一看，“太复杂了，怎么算呢？”你能帮小明解决这个问题吗？请你写出具体过程．
10．（2022·浙江·八年级单元测试）先阅读后思考：
克糖水中有克糖，且，则糖与糖水的质量比为，如果再加克糖，则糖与糖水的质量比为，生活经验告诉我们：添加糖后，糖水会更甜，于是有，趣称“糖水不等式”．
请你思考：若能从克糖水中提炼出克糖，则糖水会变得没有原来甜，你能得出另外的“糖水不等式”吗？
题组C 培优拔尖练
1．（2022·山东威海·期中）设，，则，的关系是( )
A． B． C． D．
2．（2022·湖南·邵阳市八年级阶段练习）已，则的值是__________．
3．（2022·山东·峄城区八年级阶段练习）一船在河流上游A港顺流而下直达B港，用一个小时将货物装船后返航，已知船在静水中的速度是50千米/时，水流速度是x千米/时，A、B两地距离为S千米，则该船从A港出发到返回A港共用多少时间？______．（只需列式表示，不必化简）
4．（2022·江苏·南通八年级阶段练习）对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝axy+bx﹣4（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）＝a×0×1+b×0﹣4＝﹣4．若T（2，1）＝2，T（﹣1，2）＝﹣8．(1)求a，b的值；(2)若T（m，n）＝0（n≠﹣2），①用含n的代数式表示m；②若m、n均取整数，求m、n的值；③当n取s、t时，m对应的值为c、d．当t＜s＜﹣2时，试比较c、d的大小．
5．（2022·河南·八年级期末）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为am（a＞1）的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a－1）m的正方形，两块试验田的小麦都收获了550kg．设“丰收1号”、“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量分别为．
(1) ； ．（用含a的式子表示）(2)求证：．(3)求的值．
(4)当a＝49时，高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
6．（2022·绵阳市·八年级单元测试）课本中有一探究活动如下：“商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：设种糖的单价为元/千克，种糖的单价为元/千克，则千克种糖和千克种糖混合而成的什锦糖的单价为（平均价）．现有甲乙两种什锦糖，均由，两种糖混合而成．其中甲种什锦糖由10千克种糖和10千克种糖混合而成；乙种什锦糖由100元种糖和100元种糖混合而成．你认为哪一种什锦糖的单价较高？为什么？”请你完成下面小明同学的探究：
(1)小明同学根据题意，求出甲、乙两种什锦糖的单价分别记为和（用、的代数式表示）；
(2)为了比较甲、乙两种什锦糖的单价，小明想到了将与进行作差比较，即计算的差与0比较来确定大小；
(3)经过此探究活动，小明终于悟出了建议父亲选择哪种方式加油比较合算的道理（若石油价格经常波动．方式一：每次都加满；方式二：每次加200元）．选择哪种方式？请简要说明理由．
水果单价6元/千克
质量
金额
甲
5千克
30元
乙
5千克
30元
水果单价4元/千克
质量
金额
甲
5千克
元
乙
千克
30元
甲同学：
= 第一步
= 第二步
= 第三步
乙同学：
= 第一步
= 第二步
= 第三步
专题15.2 分式的运算
目标导航
1、掌握分式的四则运算法则、运算顺序、运算律；
2、正确使用分式的四则运算；
3、掌握零指数幂和负整数指数幂的意义和运算；及小于1的科学计数法。
知识精讲
知识点01 分式的乘除
知识点
分式是分数的扩展，因此分式的运算法则与分数的运算法则类似：
1）分式的乘法
乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为：．
2）分式的除法
除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘．
用式子表示为：．
3）分式的乘方
乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．用式子表示为：为正整数，．
【知识拓展1】分式的乘法
例1．（2022·山东·泰安市八年级阶段练习）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】约去分子分母的公因式 即可得到答案．
【详解】解：故选C．
【点睛】本题考查的是分式的乘法运算和约分，掌握“约分即是约去分子分母的公因式”是解本题的关键．
【即学即练】
1．（2022·湖南·新化县八年级期中）计算：的正确结果是（ ）
A．2B．2bC．-2bD．-2ab²
【答案】C
【分析】根据分式的乘法运算运算法则即可求出答案．
【详解】解：, 故选：C．
【点睛】本题考查分式的乘除运算，解题的关键是熟练运用分式的乘除运算法则．
【知识拓展2】分式的除法
例2．（2022·绵阳市八年级单元测试）化简，正确结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据分式的除法进行计算即可求解．
【详解】解：原式＝，故选D．
【点睛】本题考查了分式的除法运算，掌握运算法则是解题的关键．
【即学即练】
2.（2022·浙江·宁波外国语学校七年级期中）化简：÷＝_____．
【答案】
【分析】先进行因式分解，把除法变成乘法，进行约分即可．
【详解】解： 故答案为：
【点睛】此题考查了分式的除法运算，熟练掌握除法法则是解题的关键．
【知识拓展3】分式的乘方
例3．（2022·江西宜春·八年级期中）下列计算中，错误的是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据分式的乘法法则计算，即可求解．
【详解】、，故本选项错误，符合题意；
B、，故本选项正确，不符合题意；
C、，故本选项正确，不符合题意；
D、，故本选项正确，不符合题意；故选：A
【点睛】本题主要考查了分式的乘方运算，熟练掌握分式的乘方运算法则是解题的关键．
【即学即练】
3．（2022·湖南·新化县东方文武学校八年级期末）计算分式得（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分别给分子、分母运用积的乘方运算法则计算即可．
【详解】解：．故选C．
【点睛】本题主要考查了分式的乘方，分式的乘方即给分子、分母分别乘方．
【知识拓展4】分式的乘除乘方混合运算
例4．（2022·海南·儋州川绵中学八年级阶段练习）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【分析】先将除法改写成乘法，在按照分式的乘法法则进行计算即可．
【详解】解：==故选：A．
【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，先将除法改写成乘法是解题的关键．
【即学即练】
4．（2022·湖北·京山市实验中学八年级期中）计算：
(1) (2) (3)
【答案】(1) (2) (3)
【分析】（1）先算乘方，再把除法变乘法，最后用乘法进行运算即可；
（2）先把除法变乘法，再因式分解，约分即可；
（3）先把除法变乘法，第一个式子和第二个式子先因式分解，再约分即可．
（1）解：原式；
（2）原式；
（3）原式．
【点睛】本题考查了因式分解，分式的化简，其中准确使用公式是解题的关键．
知识点02 分式的加减
知识点
1）分式的加减
①同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示为：．
②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减．
用式子表示为：．
2）分式的混合运算
含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算．
混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的．
注：上述所有计算中，结果中分子、分母可约分的，需进行约分化为最简分式
【知识拓展1】分式的加减（同分母）
例1．（2022·山东·济宁八年级阶段练习）分式①；②；③中，计算结果是整式的序号_______．
【答案】①③
【分析】根据各项化简得到的结果，即可做出判断．
【详解】解：①原式，满足题意；
②原式，不合题意；
③原式，符合题意；则计算结果是整式的是：①③．
【点睛】本题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解决本题的关键．
【即学即练】
1．（2022·湖南·新化县八年级期中）计算 （ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】根据同分母分式的减法法则计算即可．
【详解】解：．故选：A
【点睛】本题考查了分式的加减运算，同分母分数加减法，分母不变，分子相加减．
【知识拓展2】分式的加减（异分母）
例2．（2022·江苏连云港·八年级期中）计算：
(1)； (2)．
【答案】(1)1； (2)
【分析】（1）根据同分母分式的加法法则求出即可；
（2）先把异分母的分式转化成同分母的分式，再根据同分母分式的减法法则求出即可．
（1）
解：，
=
=
=1；
（2）
解：
.
【点睛】本题考查了分式的加减法则，能灵活运用分式的加减法则进行计算是解此题的关键．
【即学即练】
2.（2022·浙江·七年级阶段练习）化简，得（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
【详解】解：
．
故选：C．
【点睛】本题考查分式的加减运算．熟练掌握通分和分式的加减运算是解题的关键．
【知识拓展3】分式的混合运算
例3．（2022·湖南长沙·七年级阶段练习）已知，其中，，，为常数，则______．
【答案】6
【分析】由于，利用这个等式首先把已知等式右边通分化简，然后利用分母相同，分式的值相等即可得到分子相等，由此即可得到关于、、、的方程组，解方程组即可求解．
【详解】解：，且，


当时，①
当时，②
当时，③
∵,
即
∴④
联立解之得、、，
．故答案为：．
【点睛】此题主要考查了部分分式的计算，题目比较复杂，解题时首先正确理解题意，然后根据题意列出关于、、、的方程组即可解决问题．
【即学即练】
3．（2022·河北唐山·八年级期末）由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
【答案】C
【分析】将c=−3和0分别代入A中计算求值即可判断出选项A，B的对错；当c<−3和c<0时计算的正负，即可判断出选项C，D的对错．
【详解】解：A选项，当c=−3时，分式无意义，故该选项不符合题意；
B选项，当c=0时，，故该选项不符合题意；
C选项，

∵c<−3，
∴3+c<0，c<0，
∴3(3+c)<0，
∴，
∴，故该选项符合题意；
D选项，当c<0时，
∵3(3+c)的正负无法确定，
∴A与的大小就无法确定，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的求值，分式的加减法，通过作差法比较大小是解题的关键．
【知识拓展4】分式的化简求值
例4．（2022·广西贵港·八年级期中）先化简，再求值
(1)，其中； (2)，其中a满足．
【答案】(1)， (2)，
【分析】（1）先算括号，再算除法，能因式分解的先进行因式分解，进行化简计算，再代值求解即可；
（2）利用整体通分法，先算括号，再算除法进行化简，利用整体思想求值．
【详解】（1）解：原式
；
当时，
原式；
（2）解：原式
，
∵，
∴，
当时，原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值．根据分式的运算法则正确的进行化简，是解题的关键．
【即学即练4】
4．（2022·江苏·八年级阶段练习）先化简，再从﹣2≤a≤2中选取一个合适的整数代入求值．
【答案】，a=1时，原式=
【分析】根据分式的运算法则化简，再代入使分母有意义的值即可求解．
【详解】解：原式＝=＝＝
∵a≠2，a≠0，a≠-1，a≠−2，且﹣2≤a≤2，a取整式，∴a＝1
∴当a=1时，原式＝
【点睛】此题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟知分式的运算法则，取值时忽略分母为0或被除式为0是解题的易错点．
知识点03 整数指数幂
知识点
【知识拓展1】零指数幂与负指数幂
例1．（2022·广西桂林·八年级期中）计算：．
【答案】
【分析】根据绝对值，零指数幂，负整数指数幂的计算法则求解即可．
【详解】解：原式．
【点睛】本题主要考查了绝对值，零指数幂，负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键，注意零指数幂的结果为零．
【即学即练1】
1．（2022·湖南·新化县东方文武学校八年级期中）计算：；
【答案】
【分析】根据化简绝对值，有理数的乘方，负整数幂，零次幂进行计算即可求解．
【详解】解：
【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握化简绝对值，有理数的乘方，负整数幂，零次幂是解题的关键．
【知识拓展2】科学记数法表示除法
例2．（2022·河北·廊坊市八年级阶段练习）_____．
【答案】
【分析】根据单项式的除法法则计算即可求解．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了单项式的除法，单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
【即学即练2】
2．（2022·山东·烟台市期中）福山新华书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元/本、10元/本．现购进m本甲种书和n本乙种书，共付款Q元．
(1)用含m，n的代数式表示Q；
(2)若共购进5×104本甲种书及3×103本乙种书，用科学记数法表示Q的值；
(3)若P=4×1012，求的值（结果用科学记数法表示）．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）由总付款=甲书进价×甲书数量+乙书进价×乙书数量，即可求得Q．
（2）将代入（1）式，计算化简后用科学记数法表示即可．
(1)
解：由题意得，；
(2)
解：将代入，得：
；
(3)
解：．
【点睛】本题考查了用字母表示数，同底数幂的乘法，除法，科学记数法，在解题中要注意正确计算以及代数式的正确书写．
【知识拓展3】科学记数法相关问题
例3．（2022·江苏盐城·七年级阶段练习）某种细菌直径约为0.00000067mm，若将0.00000067mm用科学记数法表示为mm（n为负整数），则n的值为（ ）
A．-5B．-6C．-7D．-8
【答案】C
【详解】解：∵0.000 000 67mm=6.7×10-7∴n=-7故选：C
【即学即练3】
3．（2022·广东·佛山市南海区大沥谢边南桥学校七年级期中）纳米是一种长度单位，它用来表示微小的长度，1纳米=米．某细胞的直径是1000纳米，用科学记数法表示该细胞的直径为（ ）
A．米B．米C．米D．米
【答案】A
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：米，
故选A．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
能力拓展
考法01 分式的应用
【典例1】（2022·江苏·盐城市毓龙路实验学校八年级阶段练习）【生活观察】甲、乙两人买水果，甲习惯买一定质量的水果，乙习惯买一定金额的水果，两人每次买水果的单价相同，例如：
第一次
第二次：
(1)完成上表；
(2)计算甲两次买水果的均价和乙两次买水果的均价．（均价＝总金额÷总质量）
【数学思考】设甲每次买质量为m千克的水果，乙每次买金额为n元的水果，两次的单价分别是a元/千克、b元/千克，用含有m、n、a、b的式子，分别表示出甲、乙两次买水果的均价、，比较、的大小，并说明理由．
【知识迁移】某船在相距为s的甲、乙两码头间往返航行一次．在没有水流时，船的速度为v，所需时间为；如果水流速度为p时（p＜v），船顺水航行速度为（v+p），逆水航行速度为（v﹣p），所需时间为．请借鉴上面的研究经验，比较、的大小，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)甲两次买水果的均价为5元/千克，乙两次买水果的均价为元/千克；数学思考：，，，理由见解析；知识迁移：，理由见解析
【分析】（1）根据金额等于质量乘以单价、质量等于金额除以单价即可得；
（2）根据均价＝总金额÷总质量进行计算即可得；
数学思考：根据均价＝总金额÷总质量分别求出、，再根据分式的减法法则计算，利用完全平方公式进行化简即可得出答案；
知识迁移：先根据时间等于路程除以速度分别求出，，再根据分式的减法法则计算，由此即可得．
（1）
解：甲第二次买水果的金额为（元），
乙第二次买水果的质量为（千克）．
则完成表格如下：
（2）
解：甲两次买水果的均价为（元/千克），
乙两次买水果的均价为（元/千克）；
数学思考：，，
则
即；
知识迁移：由题意可知，，，
则
，
，
，
，即．
【点睛】本题主要考查了分式的加减运算和完全平方公式在计算中的应用，本题计算量较大，熟练掌握均价＝总金额÷总质量的基本计算方法是解题关键．
变式1．（2022·全国·八年级单元测试）某飞行器在相距为m的甲、乙两站间往返飞行．在没有风时，飞行器的速度为v，往返所需时间为；如果风速度为，则飞行器顺风飞行速度为，逆风飞行速度为，往返所需时间为．则、的大小关系为（ ）
A．B．C．D．无法确定
【答案】A
【分析】直接根据题意表示出，的值，进而利用分式的性质的计算求出答案．
【详解】解：∵=，=，
∴==，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了列代数式，熟练的掌握正确的分式加减运算是解题的关键．
变式2．（2022·四川成都·八年级期中）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米的正方形减去一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了m千克．则高的单位面积产量比低的单位面积产量多几分之几？多的这个值是______．
【答案】
【分析】先用含a的式子表示出两块试验田的面积，再由高产量的减去低产量，从而可求解．
【详解】解：由题意得：
“丰收1号”的单位面积产量为：，
“丰收2号”的单位面积产量为：，
∴
，
即高的单位面积产量比低的单位面积产量多．故答案为：．
【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解答的关键是理解清楚题意列出正确的式子求解．
分层提分
题组A 基础过关练
1．（2022·湖南衡阳·八年级期末）计算的结果是（ ）
A． B．C．D．0
【答案】C
【分析】根据分式的乘法运算法则来求解．
【详解】解：．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了分式乘法的运算法则，理解约分是解答关键．
2.（2022·全国·八年级专题练习）计算的结果为（ ）
A．B．mC．D．
【答案】A
【分析】直接进行分式的除法运算，把除法转为乘法后，最后要注意将结果进行约分．
【详解】解：，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的除法，熟练掌握分式的除法法则是解题的关键．
3．（2022·湖南·岳阳县八年级阶段练习）计算：，结果为（ ）
A．1B．C． D．
【答案】A
【分析】根据同分母分式相加减法则计算，即可求解．
【详解】解：

故选：A
【点睛】本题主要考查了同分母分式相加减，熟练掌握同分母分式相加减法则是解题的关键．
4．（2022·海南·八年级期末）化简 的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据异分母分式加减运算法则进行计算即可．
【详解】解：
故选：B．
【点睛】本题主要考查了异分母分式相减，解题的关键是对分式进行通分，将异分母分式变为同分母分式．
5．（2022·湖南·新化县八年级期中）2010年，国外科学家成功制造出世界上最小的晶体管，只有，请用科学记数法表示它的长度（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可．
【详解】解：．
故选D．
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，确定与的值是解题的关键．
6．（2022·山东青岛·八年级期末）某书店库存一批图书，其中一种图书的原价是每册元，现每册降价元销售，则这种图书库存全部售出时，其销售额为元，从降价销售开始时，该书店这种图书的库存量是（ ）册．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据数量＝销售额÷单价，从而可列式求解．
【详解】解：这种图书的库存量是：（册），故选：B．
【点睛】本题主要考查分式的应用，解答的关键是理解清楚题意，得到相应的等量关系．
7．（2022·四川·仁寿八年级期中）计算：＝____________________．
【答案】
【分析】先把除法转变为乘法，再根据乘法法则计算．
【详解】解：
=
=．
故答案案为．
【点睛】本题考查了分式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
8．（2022·广西贵港·八年级期中）计算：________．
【答案】##-0.5
【分析】先算乘方，负整数指数幂和零指数幂，再进行加减运算即可．
【详解】解：原式
；
故答案为：．
【点睛】本题考查有理数的乘方运算，负整数指数幂和零指数幂．熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
9．（2022·吉林·长春市第八十七中学八年级阶段练习）计算：
(1)； (2)； (3)．
【答案】(1) (2)(3)
【分析】（1）根据分式的基本性质：分式的分子与分母乘以（或除以）同一个不为的整式，分式的值不变，进行约分即可；
（2）根据分式的加减法运算法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，进行计算即可；
（3）根据分式的加减法运算法则：异分母分式相加减，先通分，变为同分母分式，再加减，即可得出结果．
（1）
解：；
（2）
解：；
（3）
解：
．
【点睛】本题考查了分式的基本性质、分式的加减法，解本题的关键在熟练掌握分式的加减法法则．
10．（2022·福建福州九年级开学考试）先化简，再求值：，其中x＝3．
【答案】，3．
【分析】先算括号内的减法，把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出即可．
【详解】解：
＝
＝
＝，
当x＝3时，原式＝＝3．
【点睛】本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
11．（2022·山东威海·期中）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】先将括号内的通分加减，再根据除以不为零的数等于乘以这个数的倒数，最后约分化简即可，把的值代入即可求解．
【详解】解：原式
，
将代入，得．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，掌握乘法公式在分式中的运算是解题的关键．
题组B 能力提升练
1．（2022·山东·新泰市八年级阶段练习）化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据分式的基本性质结合乘法公式化简即可．
【详解】解：，故选：B．
【点睛】本题主要考查了分式的化简，乘法公式，熟知分式的基本性质是解题的关键．
2．（2022·四川·隆昌市知行中学八年级阶段练习）化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据幂的运算进行计算即可，同时将除法转化为乘法，进而根据分式的性质计算即可
【详解】故选B
【点睛】本题考查了分式的性质，幂的运算，正确的计算是解题的关键．
3．（2022·河北邢台·八年级阶段练习）若分式“”可以进行约分化简，则“○”不可以是（ ）
A．1B．xC．D．4
【答案】C
【分析】将1，x，-x，4，逐一代替“○”，分解因式后可以约分化简的不合题意，不可以约分化简的符合题意．
【详解】A．，可以进行约分化简，“○”可以是1，不合题意；
B．，可以进行约分化简，“○”可以是x，不合题意；
C．，不可以进行约分化简，“○”不可以是-x，合题意；
D．， 可以进行约分化简，“○”可以是4，不合题意．故选：C．
【点睛】本题主要考查了分式的乘法，解决问题的关键是熟练掌握分解因式，约分化简．
4．（2022·黑龙江·兰西县八年级阶段练习）一件工程甲单独做小时完成，乙单独做小时完成，甲、乙二人合作完成此项工作需要的小时数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】甲、乙合作完成工程的时间=工作总量÷甲乙工效之和，没有工作总量，可设其为1，所以甲、乙合做此项工程所需的时间为1÷（）=小时．
【详解】设工作量为1，由甲1小时完成 ，乙1小时完成，
因此甲、乙合作此项工程所需的时间为1÷（）=小时，
故选：D．
【点睛】本题考查了利用列代数式（分式），分式的加减乘除运算，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量与已知量间的关系．
5．（2022·山东·泰安市泰山区树人外国语学校八年级阶段练习）学完分式运算后，老师出了一道题：化简．
小明的做法是：原式；
小亮的做法是：原式；
小芳的做法是：原式．
对于这三名同学的做法，你的判断是（ ）
A．小明的做法正确B．小亮的做法正确
C．小芳的做法正确D．三名同学的做法都不正确
【答案】C
【分析】小明的做法错误，原因是在把分子相减时，去括号没有改变符号，而且选择的方法也不是很合适，小亮的做法错误，分式的加减运算不能去分母，应该先通分，小芳的做法是正确的，选择的方法是合适的，从而可得答案．
【详解】解：∵




∴小明与小亮的做法错误，小芳的做法正确，
故选C．
【点睛】本题考查的是分式的加减运算，掌握“异分母分式的加减运算的运算法则”是解本题的关键．
6．（2022·江苏·七年级期末）已知一种细胞的直径约为2.13×cm，请问2.13×这个数原来的数是 _____．
【答案】
【分析】利用绝对值小于1的数的科学记数法的表示方法的逆运算求解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】题目考查绝对值小于1的数的科学记数法的表示方法的逆运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
7．（2022·陕西·西北大学附中八年级期中）若，则_________，_________．
【答案】 2 1
【分析】根据同分母分式的加减计算，再按对应项相同可得答案．
【详解】解：
∴A=2，B=1
故答案为：2，1．
【点睛】本题考查分式的加减，解题关键是掌握分式加法的运算法则．
8．（2022·北京市八年级期中）老师所留的作业中有这样一个分式的计算题，甲、乙两位同学完成的过程分别如下：
老师发现这两位同学的解答过程都有错误．
(1)请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正．我选择______同学的解答过程进行分析（填“甲”或“乙”）．该同学的解答从第____步开始出现错误，错误的原因是_______；
(2)请重新写出完成此题的正确解答过程：
【答案】(1)甲，一，通分时第一个分式的分子少乘了x-1；（或乙，二，直接去掉分母）；
(2)
【分析】（1）根据分式的混合运算顺序和运算法则即可判断；
（2）根据分式的混合运算顺序和运算法则重新计算可得．
（1）
我选择甲同学的解答过程进行分析，该同学的解答从第一步开始出现错误，错误的原因是通分时第一个分式的分子少乘了x-1；
或我选择乙同学的解答过程进行分析，该同学的解答从第二步开始出现错误，错误的原因是直接去掉分母；
故答案为：甲，一，通分时第一个分式的分子少乘了x-1；（或乙，二，直接去掉分母）；
（2）
(选甲为例）
=
=
=
【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
9．（2022·广西宁明·七年级期末）课堂上，李老师给大家出了这样一道题：“当、、时，求代数式的值．”小明一看，“太复杂了，怎么算呢？”你能帮小明解决这个问题吗？请你写出具体过程．
【答案】当时，原式；当时，原式；当时，原式
【分析】根据分式的混合运算法则化简，然后代入求值即可．
【详解】原式＝＝＝
＝＝＝，
当时，原式；
当时，原式；
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练运用分式的混合运算法则是解本题的关键．
10．（2022·浙江·八年级单元测试）先阅读后思考：
克糖水中有克糖，且，则糖与糖水的质量比为，如果再加克糖，则糖与糖水的质量比为，生活经验告诉我们：添加糖后，糖水会更甜，于是有，趣称“糖水不等式”．
请你思考：若能从克糖水中提炼出克糖，则糖水会变得没有原来甜，你能得出另外的“糖水不等式”吗？
【答案】
【分析】根据已知条件得出从克糖水中提炼出克糖，则糖与糖水得质量比为，再根据糖水会变得没有原来甜得出不等式即可．
【详解】解：从克糖水中提炼出克糖，则糖与糖水的质量比为．
糖水会变得没有原来甜，
．
【点睛】本题考查了分式的大小比较，能正确根据题意列出不等式是解决本题的关键．
题组C 培优拔尖练
1．（2022·山东威海·期中）设，，则，的关系是( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】判断，的关系，可以计算的结果，由此即可求解．
【详解】解：根据题意得，
，
∴，的关系是互为相反数，
故选：．
【点睛】本题主要考查分式的加减混合运算，掌握分式加减法法则是解题的关键．
2．（2022·湖南·邵阳市八年级阶段练习）已，则的值是__________．
【答案】4
【分析】先把等式的右边通分作分式加法计算，再根据对应系数相等即可得出关于、、的方程组，求出方程组的解，即可得出答案．
【详解】解：，
，
，
，
解得，，
．
故答案为：4．
【点睛】此题考查了分式的加减，根据恒等式的意义得出关于、、的方程组是解题的关键．
3．（2022·山东·峄城区八年级阶段练习）一船在河流上游A港顺流而下直达B港，用一个小时将货物装船后返航，已知船在静水中的速度是50千米/时，水流速度是x千米/时，A、B两地距离为S千米，则该船从A港出发到返回A港共用多少时间？______．（只需列式表示，不必化简）
【答案】时
【分析】根据题意得：船顺流航行的速度为千米/时，逆流航行的速度为千米/时，可得到顺流航行和逆流航行的时间，即可求解．
【详解】解：根据题意得：船顺流航行的速度为千米/时，逆流航行的速度为千米/时，
所以该船从A港出发到返回A港共用的时间为时．
故答案为： 时
【点睛】本题考查列分式表示实际问题，理解题意，掌握列分式的基本规则是解题关键．
4．（2022·江苏·南通八年级阶段练习）对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝axy+bx﹣4（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）＝a×0×1+b×0﹣4＝﹣4．若T（2，1）＝2，T（﹣1，2）＝﹣8．(1)求a，b的值；(2)若T（m，n）＝0（n≠﹣2），①用含n的代数式表示m；②若m、n均取整数，求m、n的值；③当n取s、t时，m对应的值为c、d．当t＜s＜﹣2时，试比较c、d的大小．
【答案】(1)的值为1，的值为2
(2)①；②或或或或或；③
【分析】（1）根据新运算的定义和可得一个关于的二元一次方程组，解方程组即可得；
（2）①先根据和（1）的结论即可得；
②根据（2）①可得，再根据均取整数进行分析即可得；
③先求出，，再根据分式的减法法则可得，然后根据即可得．
（1）
解：，
，
解得，
即的值为1，的值为2．
（2）
解：①由（1）可知，，
，
，
；
②由（2）①可知，，
取整数，
是整数，
又也是整数，
的所有可能的取值为，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
综上，或或或或或；
③由题意得：，，
则
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、分式减法的应用，理解新运算的定义是解题关键．
5．（2022·河南·八年级期末）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为am（a＞1）的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a－1）m的正方形，两块试验田的小麦都收获了550kg．设“丰收1号”、“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量分别为．
(1) ； ．（用含a的式子表示）
(2)求证：．
(3)求的值．
(4)当a＝49时，高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
【答案】(1)，
(2)证明见解析
(3)
(4)高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍
【分析】（1）利用小麦的产量分别除以“丰收1号”、“丰收2号”的面积即可得；
（2）根据分式的减法法则计算，利用偶次方的非负性即可得证；
（3）根据分式的除法法则进行计算即可得；
（4）先求出时，的值，再根据（2）的结论即可得．
（1）
解：由题意得：，，
故答案为：，．
（2）
证明：
，
∵，
∴，
∴，
即．
（3）
解：
．
（4）
解：当时，，
∵，
，
，
∴高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍．
【点睛】本题考查了列代数式、分式的减法与除法的实际应用等知识点，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．
6．（2022·绵阳市·八年级单元测试）课本中有一探究活动如下：“商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：设种糖的单价为元/千克，种糖的单价为元/千克，则千克种糖和千克种糖混合而成的什锦糖的单价为（平均价）．现有甲乙两种什锦糖，均由，两种糖混合而成．其中甲种什锦糖由10千克种糖和10千克种糖混合而成；乙种什锦糖由100元种糖和100元种糖混合而成．你认为哪一种什锦糖的单价较高？为什么？”请你完成下面小明同学的探究：
(1)小明同学根据题意，求出甲、乙两种什锦糖的单价分别记为和（用、的代数式表示）；
(2)为了比较甲、乙两种什锦糖的单价，小明想到了将与进行作差比较，即计算的差与0比较来确定大小；
(3)经过此探究活动，小明终于悟出了建议父亲选择哪种方式加油比较合算的道理（若石油价格经常波动．方式一：每次都加满；方式二：每次加200元）．选择哪种方式？请简要说明理由．
【答案】(1)，
(2)甲糖的单价较高，理由见解析
(3)方式二更合算
【分析】（1）根据单价=总价÷数量分别求出甲糖单价和乙糖单价；
（2）根据作差法比较大小即可求解；
（3）由探究的结果进行分析即可．
（1）
解：甲糖单价为：=（元），
乙糖单价为：=（元）；
（2）
∵甲、乙两种什锦糖，均由A，B两种单价不同的糖混合而成，
∴，
∴甲糖的单价较高．
（3）
由探究可知方式一相当于甲种什锦糖，方式二相当于乙种什锦糖，
故选择方式二更合算．
【点睛】本题考查了列代数式（分式），分式的加减法.注意代数式的正确书写：出现除号的时候，用分数线代替．
水果单价6元/千克
质量
金额
甲
5千克
30元
乙
5千克
30元
水果单价4元/千克
质量
金额
甲
5千克
元
乙
千克
30元
水果单价4元/千克
质量
金额
甲
5千克
20元
乙
千克
30元
甲同学：
= 第一步
= 第二步
= 第三步
乙同学：
= 第一步
= 第二步
= 第三步