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人教版八年级数学下册 专题12 勾股定理的实际应用分类训练（原卷版+解析）
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这是一份人教版八年级数学下册 专题12 勾股定理的实际应用分类训练（原卷版+解析），共51页。试卷主要包含了勾股定理之大树折断模型等内容，欢迎下载使用。
类型一 勾股定理之大树折断模型
1．(2023秋•辉县市期末）如图1，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米处折断倒下，树顶落在离树根12米处，图2是这棵大树折断的示意图，则这棵大树在折断之前的高是（ ）
A．20米B．18米C．16米D．15米
2．(2023秋•郯城县校级期末）如图，一根竖直的木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成30°角，则木杆折断之前高度约为 m．
3．(2023秋•达川区期末）如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面6米B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为8米，则这棵大树在折断前的高度为（ ）
A．10米B．12米C．14米D．16米
4．(2023秋•泰山区期末）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为 ．
类型二 勾股定理之小鸟飞行距离问题
5．(2023秋•绿园区校级期末）如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞行（ ）
A．6mB．8mC．10mD．18m
6．(2023秋•运城期末）如图，∠AOB=90°，OA＝18cm，OB＝6cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？
类型三 求河宽
7．(2023秋•泰兴市期末）如图，某渡船从点B处沿着与河岸垂直的路线AB横渡，由于受水流的影响，实际沿着BC航行，上岸地点C与欲到达地点A相距70米，结果发现BC比河宽AB多10米，求该河的宽度AB．（两岸可近似看作平行）
类型四 求旗杆高度
8．(2023秋•城关区校级期末）如图所示，小刚想知道学校的旗杆有多高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了0.8m，当他把绳子下端拉开4m后，发现下端刚好接触地面，小刚算了算就知道了旗杆的高度．你知道他是怎样算出来的吗？
9．(2023春•平阴县期末）如图，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端9米处，发现此时绳子底端距离打结处约3米，则可算出旗杆的高度是（ ）米．
A．9B．11C．12D．15
类型五 勾股定理之梯子滑动问题
10．(2023秋•烟台期末）一架长5m的梯子斜靠在墙上，梯子底端到墙的距离为3m．若梯子顶端下滑1m，那么梯子底端在水平方向上滑动了（ ）
A．1mB．小于1mC．大于1mD．无法确定
11．(2023秋•长安区校级期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5m，则小巷的宽为（ ）
A．2mB．2.5mC．2.6mD．2.7m
12．(2023秋•蒲城县期末）某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人如图（1）．如图（2），已知云梯最多只能伸长到15m（即AB＝CD＝15m），消防车高3m，救人时云梯伸长至最长，在完成从12m（即BE＝12m）高的B处救人后，还要从15m（即DE＝15m）高的D处救人，这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？（延长AC交DE于点O，AO⊥DE，点B在DE上，OE的长即为消防车的高3m）．
13．(2023秋•临汾期末）如图，某火车站内部墙面MN上有破损处（看作点A），现维修师傅需借助梯子DE完成维修工作．梯子的长度为5m，将其斜靠在这面墙上，测得梯子底部E离墙角N处3m，维修师傅爬到梯子顶部使用仪器测量，此时梯子顶部D距离墙面破损处lm．
（1）该火车站墙面破损处A距离地面有多高？
（2）如果维修师傅要使梯子顶部到地面的距离为4.8m，那么梯子底部需要向墙角方向移动多少米？
F
类型六 解决水杯中筷子的问题
14．(2023秋•张店区校级期末）如图是一圆柱玻璃杯，从内部测得底面半径为6cm，高为16cm，现有一根长为25cm的吸管任意放入杯中，则吸管露在杯口外的长度最少是（ ）
A．6cmB．5cmC．9cmD．（25﹣273）cm
15．(2023春•舒城县校级月考）如图，小明有一个圆柱形饮水杯．底面半径是6cm，高是16cm，上底面贴着杯壁有一个小圆孔，则一条长24cm的直吸管露在杯外部分a的长度（杯壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ）
A．8≤a≤10B．4≤a≤8C．4≤a≤273D．4≤a≤10
16．(2023秋•海淀区校级期末）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支铅笔长为18cm，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．6cm
17．(2023春•绵阳期末）如图，在长方体ABCD﹣EFGH盒子中，已知AB＝4cm，BC＝3cm，CG＝5cm，长为10cm的细直木棒IJ恰好从小孔G处插入，木棒的一端I与底面ABCD接触，当木棒的端点Ⅰ在长方形ABCD内及边界运动时，GJ长度的最小值为（ ）
A．（10﹣52）cmB．3cmC．（10﹣42）cmD．5cm
类型七 判断受某某因素影响的范围
18．(2023秋•内江期末）为加强疫情防控，云南某中学在校门口区域进行入校体温检测．如图，入校学生要求沿着直线AB单向单排通过校门口，测温仪C与直线AB的距离为3m，已知测温仪的有效测温距离为5m，则学生沿直线AB行走时测温的区域长度为（ ）
A．4 mB．5mC．6mD．8m
19．(2023春•宁津县期末）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度AB为2.5米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离BC为1.2米，头顶离感应器的距离AD为1.5米，则这名学生身高CD为（ ）米．
A．0.9B．1.3C．1.5D．1.6
20．(2023春•南平期末）为预防新冠疫情，学校大门入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离AB＝2.3米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为1.7米的学生CD正对门缓慢走到离门0.8米处时（即BC＝0.8米），测温仪自动显示体温，此时人头顶到测温仪的距离AD等于（ ）
A．1.0米B．1.25米C．1.2米D．1.5米
21．(2023春•沂水县期中）如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如①图所示，人只要移至该门口4m及4m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”，如②图所示，一个身高1.5m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则该生头顶C到门铃A的距离为（ ）
A．3米B．4米C．5米D．6米
22．(2023秋•张店区校级期末）某市创建文明城市，采用移动宣讲的形式进行宣传动员，如图，笔直公路MN的一侧点A处有一学校，学校A到公路MN的距离AB＝480米，若宣讲车P周围800米以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路MN上延M到N的方向行驶时．
（1）请问学校A能否听到宣传，请说明理由．
（2）如果能听到，已知宣讲车的速度是256米/分，求学校A总共能听到多长时间的宣传．
23．(2023秋•开江县校级期末）如图，有一台环卫车沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，环卫车周围130m以内为受噪声影响区域．
（1）学校C会受噪声影响吗？为什么？
（2）若环卫车的行驶速度为每分钟50米，环卫车噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？
类型八 求台阶上地毯的长度
24．(2023秋•南关区校级期末）如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（ ）
A．5米B．6米C．7米D．8米
25．(2023秋•丰城市校级期末）某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要 元．
类型九 判断汽车是否超速
26．(2023秋•浑南区月考）“某市道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过60千米/时，如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A正前方24米的C处，过了1.5秒后到达B处（BC⊥AC），测得小汽车与车速检测仪间的距离AB为40米，判断这辆小汽车是否超速？若超速，则超速了多少？若没有超速，说明理由．
27．(2023秋•南海区月考）“交通管理条例第三十五条”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正方50米处，过了6秒后，测得小汽车与车速检测仪距离130米．
（1）求小汽车6秒走的路程；
（2）求小汽车每小时所走的路程，并判定小汽车是否超速？
类型十 根据条件选址问题
28．(2023秋•佛山校级期末）铁路上A，B两站（视为直线上的两点）相距25km，C，D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B（如图），已知DA＝10km，CB＝15km，现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E，使得C，D两村庄到收购站E的直线距离相等，请求出收购站E到A站的距离．
类型十一 勾股定理之航海问题
29．(2023秋•城关区校级期末）如图，中俄“海上联合﹣2017”军事演习在海上编队演习中，两艘航母护卫舰从同一港口O同时出发，一号舰沿南偏西30°方向以12海里/小时的速度航行，二号舰以16海里/小时速度航行，离开港口1.5小时后它们分别到达A，B两点，相距30海里，则二号舰航行的方向是（ ）
A．南偏东30°B．北偏东30°C．南偏东 60°D．南偏西 60°
30．(2023秋•金台区月考）如图所示，甲渔船以8海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口O向西北方向航行，他们同时出发，一个小时后，甲、乙两渔船相距（ ）海里．
A．8B．10C．12D．13
31．(2023秋•伊川县期末）如图，甲乙两船同时从A港出发，甲船沿北偏东35°的方向，以每小时12海里的速度向B岛驶去．乙船沿南偏东55°的方向向C岛驶去，2小时后，两船同时到达了目的地．若C、B两岛的距离为30海里，问乙船的航速是多少？
32．(2023秋•青岛期末）如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度向北偏东42°方向航行，乙船向南偏东48°方向航行，0.5小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C，B两岛相距17海里，问乙船的航速是多少？
类型十二 求最短路径
33．(2023秋•武山县期末）如图所示，有三条道路围成Rt△ABC，其中BC＝1000m，一个人从B处出发沿着BC行走了700m，到达D处，AD恰为∠CAB的平分线，则此时这个人到AB的最短距离为（ ）
A．1000mB．700mC．300mD．1700m
34．(2023秋•南关区校级期末）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在一条直线上），并新修一条路CH，测得BC＝6千米，CH＝4.8千米，BH＝3.6千米．
（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路线（即CH与AB是否垂直）？请通过计算加以说明．
（2）求原来的路线AC的长．
35．(2023秋•榆树市期末）如图，在笔直的公路AB旁有一座山，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为15km，与公路上另一停靠站B的距离为20km，停靠站A、B之间的距离为25km，且CD⊥AB．
（1）求修建的公路CD的长；
（2）若公路CD修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？
类型十三 勾股定理之小船移动问题
36．(2023秋•长安区校级期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，且绳长始终保持不变．回答下列问题：
（1）根据题意可知：AC BC+CE（填“＞”、“＜”、“＝”）．
（2）若CF＝5米，AF＝12米，AB＝8米，求小男孩需向右移动的距离．（结果保留根号）
37．(2023秋•平昌县期末）如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了 米．
38．(2023秋•新华区校级期末）如图是一个滑梯示意图，若将滑梯BD水平放置，则刚好与DE一样长，已知滑梯的高度CE为4米，BC为1米．
（1）求滑道BD的长度；
（2）若把滑梯BD改成滑梯BF，使∠BFA＝60°，则求出DF的长．（精确到0.1米，参考数据：3≈1.732）
类型十四 勾股定理之荡秋千问题
39．(2023秋•高新区校级期末）如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B．最终荡到最高点C处，若∠AOC＝90°，点A与点B的高度差AD＝1米，水平距离BD＝4米，则点C与点B的高度差CE为（ ）米．
A．4B．4.5C．5D．5.5
40．(2023秋•市北区校级期末）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地0.5米，将它往前推3米时，踏板离地1.5米，此时秋千的绳索是拉直的，则秋千的长度是（ ）
A．3米B．4米C．5米D．6米
41．(2023秋•卧龙区校级期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．
如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1m，将它往前推6m至C处时（即水平距离CD＝6m），踏板离地的垂直高度CF＝4m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（ ）m．
A．212B．152C．6D．92
类型十五 求图形面积问题
42．△ABC是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地．如果∠C＝90°，AC＝300米，AB＝500米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮a元计算，那么共需要资金（ ）
A．5000a元B．60000a元C．120000a元D．150000a元
43．(2023秋•岱岳区期末）“绿水青山，就是金山银山”，党的十八大以来，生态文明建设，可持续发展理念深入人心，我们泰安的城市绿化率持续增加．△ABC是某小区一块三角形空地，已知∠A＝150°，AB＝30m，AC＝20m，如果在这块空地上种草皮，每平方米草皮费用按120元计算，则这块空地种植草皮需要资金（ ）元．
A．36000B．24000C．18000D．12000
44．(2023秋•青岛期末）如图，已知一块四边形草地ABCD，其中∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，AB＝10m，CD＝5m，则这块土地的面积为 ．
45．(2023秋•城关区校级期末）如图有一块四边形的空地ABCD，其中∠ADC＝90°，CD＝3米，AD＝4米，AB＝13米，BC＝12米．求出空地ABCD的面积．
46．(2023秋•沙坪坝区期末）为弘扬劳动精神，让同学们在实践中体验劳动、认识劳动，从而培养尊重劳动、热爱劳动、尊重劳动人民的品质，学校准备在校园的一角开垦一块如图所示的四边形土地ABCD．经测量，∠B＝90°，AB＝3m，BC＝4m，CD＝13m，DA＝12m，请计算该四边形土地的面积．
47．(2023春•长清区期末）如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成，在一次游园活动中，数学小组制作了一面“赵爽弦图锣”，其中∠AEB＝90°，AB＝13cm，BE＝5cm，则阴影部分的面积是（ ）
A．169cm2B．25cm2C．49cm2D．64cm2
类型十六 求水池深度问题
48．(2023秋•南关区校级期末）如图，水池中离岸边D点4米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是2米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，则水池的深度AC为多少米．
49．(2023春•襄州区期末）如图，一个直径为10cm的杯子，在它的正中间竖直放一根筷子，筷子露出杯子外1cm，当筷子倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端刚好触到杯口，筷子长度为（ ）
A．10B．12C．13D．14
类型十七 寻宝问题
50．(2023秋•渠县校级期末）暑假中，小明到某海岛探宝，如图，他到达海岛登陆点后先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北走6km处往东一拐，仅1km就找到宝藏，问登陆点到埋宝藏点的直线距离是多少？
类型十八 零件尺寸问题
51．(2023春•香坊区期末）如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），可以计算出两图孔中心B和C的距离为（ ）mm．
A．120B．135C．3061D．150
类型十九 勾股定理之走“走捷径”问题
52．(2023秋•顺义区期末）如图是某路口处草坪的一角，当行走路线是A→C→B时，有人为了抄近道而避开路的拐角∠ACB（∠ACB＝90°），于是在草坪内走出了一条不该有的捷径路AB．某学习实践小组通过测量可知，AC的长约为6米，BC的长约为8米，为了提醒居民爱护草坪，他们想在A，B处设立“踏破青白可惜，多行数步无妨”的提示牌．则提示牌上的“多行数步”是指多行 米．
53．(2023•东宝区校级模拟）如图，有一正方形花圃ABCD，其边长为8m．雯雯为了避开拐角走捷径（从点A到点D），直接从对角线AD上走出了一条“路”，却踩伤了花草，她实际上仅仅少走的路长为（ ）
A．（16﹣82）mB．（16−2）mC．（16﹣42）mD．（8﹣82）m
54．(2023春•武邑县校级期末）课间休息时，嘉嘉从教室窗户向外看，看到行人为从A处快速到达图书馆B处，直接从长方形草地中穿过．为保护草地，嘉嘉想在A处立一个标牌：“少走■米，踏之何忍？”如图，若AB＝17米，BC＝8米，则标牌上“■”处的数字是（ ）
A．6B．8C．10D．11
类型二十 橡皮筋拉长问题
55．(2023春•夏津县期末）如图，长为12cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升8cm至D点，则橡皮筋被拉长了（ ）
A．5cmB．6cmC．8cmD．10cm
56．(2023春•潢川县月考）如图，一条伸直的橡皮筋AB的两端被固定在水平桌面上，C是AB上的一点，AB＝5cm，AC＝4cm，将橡皮筋从C点向上垂直拉升2cm到D点．
（1）求橡皮筋比原来拉长了多少cm；
（2）判断△ABD的形状，并说明理由．
专题12 勾股定理的实际应用分类训练（解析版）
专题诠释：本专题总结了最近常考的勾股定理实际应用类型共计二十种。全部精选最新试题，欢迎下载使用。
类型一 勾股定理之大树折断模型
1．(2023秋•辉县市期末）如图1，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米处折断倒下，树顶落在离树根12米处，图2是这棵大树折断的示意图，则这棵大树在折断之前的高是（ ）
A．20米B．18米C．16米D．15米
思路引领：利用勾股定理进行求解即可．
解：设大树在折断之前的高是xm，
由勾股定理得：（x﹣5）2＝122+52，
解得：x＝18或x＝﹣8（不符合题意，舍去），
∴大树在折断之前的高是18m；
故选：B．
总结提升：本题考查勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理是解题的关键．
2．(2023秋•郯城县校级期末）如图，一根竖直的木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成30°角，则木杆折断之前高度约为 m．
思路引领：根据直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半，求出折断后的顶端落在地面上的那段的高度，再加上竖直的高度，即为木杆折断之前高度．
解：如图，由题意，得：∠BAC＝90°，AB＝3m，∠C＝30°，
则：BC＝2AB＝6m，
∴木杆折断之前高度约为：AB+BC＝9m；
故答案为：9．
总结提升：本题考查解直角三角形的应用．熟练掌握30°角所对的直角边是斜边的一半，是解题的关键．
3．(2023秋•达川区期末）如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面6米B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为8米，则这棵大树在折断前的高度为（ ）
A．10米B．12米C．14米D．16米
思路引领：先根据勾股定理求出大树折断部分的高度，再根据大树的高度等于折断部分的长与未断部分的和即可得出结论．
解：∵△ABC是直角三角形，AB＝6m，AC＝8m，
∴BC=AB2+AC2=62+82=10（m），
∴大树的高度＝AB+BC＝6+10＝16（m）．
故选：D．
总结提升：本题考查的是勾股定理的应用，解答此题的关键是先根据勾股定理求出BC的长度，再根据大树的高度＝AB+BC进行解答．
4．(2023秋•泰山区期末）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为 ．
思路引领：根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x尺，再利用勾股定理列出方程即可．
解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，则AB＝10﹣x，BC＝6，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即x2+62＝（10﹣x）2．
故答案为：x2+62＝（10﹣x）2．
总结提升：本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用．
类型二 勾股定理之小鸟飞行距离问题
5．(2023秋•绿园区校级期末）如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞行（ ）
A．6mB．8mC．10mD．18m
思路引领：根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
解：两棵树的高度差为8﹣2＝6（m），间距为8米，
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离=82+62=10（m）．
故选：C．
总结提升：本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解．
6．(2023秋•运城期末）如图，∠AOB=90°，OA＝18cm，OB＝6cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？
思路引领：由题意可知，若设BC＝xcm，则AC＝xcm，OC＝OA﹣AC＝（18﹣x）cm，这样在Rt△BOC中，利用勾股定理就可建立一个关于“x”的方程，解方程即可求得结果．
解：小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，即BC＝CA，
设BC＝xcm，则AC＝xcm，OC＝OA﹣AC＝（18﹣x）cm，
∵∠AOB＝90°，
∴由勾股定理可知OB2+OC2＝BC2，
又∵OC＝（18﹣x）cm，OB＝6cm，
∴62+（18﹣x）2＝x2，
解方程得出x＝10（cm）．
答：机器人行走的路程BC是10cm．
总结提升：本题考查了勾股定理，解题的关键是，抓住“机器人与小球同时出发，速度相等”这两个条件，得到BC＝AC，从而将已知量和未知量集中到Rt△BOC中，就可利用勾股定理建立方程来求解．
类型三 求河宽
7．(2023秋•泰兴市期末）如图，某渡船从点B处沿着与河岸垂直的路线AB横渡，由于受水流的影响，实际沿着BC航行，上岸地点C与欲到达地点A相距70米，结果发现BC比河宽AB多10米，求该河的宽度AB．（两岸可近似看作平行）
思路引领：根据题意可知△ABC为直角三角形，根据勾股定理就可求出直角边BC的距离．
解：设AB＝x米，则BC＝（x+10）米，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得：m2+702＝（m+10）2，
解得 m＝240，
答：河宽240米．
总结提升：本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
类型四 求旗杆高度
8．(2023秋•城关区校级期末）如图所示，小刚想知道学校的旗杆有多高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了0.8m，当他把绳子下端拉开4m后，发现下端刚好接触地面，小刚算了算就知道了旗杆的高度．你知道他是怎样算出来的吗？
思路引领：设旗杆高为x m，那么绳长为（x+0.8）m，由勾股定理得x2+42＝（x+0.8）2，解方程即可；
解：设旗杆高为x m，那么绳长为（x+0.8）m，
由勾股定理得x2+42＝（x+0.8）2，解得x＝9.6．
答：旗杆的高度为9.6 m．
总结提升：本题考查勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题．
9．(2023春•平阴县期末）如图，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端9米处，发现此时绳子底端距离打结处约3米，则可算出旗杆的高度是（ ）米．
A．9B．11C．12D．15
思路引领：设旗杆的高度为x米，由勾股定理得出方程，解方程即可．
解：设旗杆的高度为x米，依题意得：
x2+92＝（x+3）2，
解得：x＝12；
故选：C．
总结提升：本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，从题意中勾画出勾股定理这一数学模型是解决问题的关键．
类型五 勾股定理之梯子滑动问题
10．(2023秋•烟台期末）一架长5m的梯子斜靠在墙上，梯子底端到墙的距离为3m．若梯子顶端下滑1m，那么梯子底端在水平方向上滑动了（ ）
A．1mB．小于1mC．大于1mD．无法确定
思路引领：已知AB，BC，在直角△ABC中即可计算AC，梯子底端水平向外滑动1m，即AC1＝4米，A1B1＝AB＝5米，在直角△CA1B1中，根据勾股定理即可计算CB1，底端滑动的距离为CB1﹣CB．
解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5米，BC＝3米，由勾股定理得AC＝4米，
△A1BC1中，∠C＝90°，A1B1＝5米，A1C＝3米，由勾股定理得B1C＝4米，
∴BB1＝B1C﹣BC＝1（米）．
∴梯子底端在水平方向上滑动了1m，
故选：A．
总结提升：本题考查的是勾股定理的应用，关键是根据勾股定理解答．
11．(2023秋•长安区校级期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5m，则小巷的宽为（ ）
A．2mB．2.5mC．2.6mD．2.7m
思路引领：在Rt△ABC中，由勾股定理计算出AB的长，再在Rt△A′BD中由勾股定理计算出BD长，然后可得CD的长．
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=AC2+BC2=2．42+0．72=2.5（m），
∴A′B＝AB＝2.5米，
在Rt△A′BD中，由勾股定理得：BD=A′B2−A′D2=2．52−1．52=2（m），
∴CD＝BC+BD＝2+0.7＝2.7（m），
即小巷的宽为2.7米，
故选：D．
总结提升：此题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
12．(2023秋•蒲城县期末）某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人如图（1）．如图（2），已知云梯最多只能伸长到15m（即AB＝CD＝15m），消防车高3m，救人时云梯伸长至最长，在完成从12m（即BE＝12m）高的B处救人后，还要从15m（即DE＝15m）高的D处救人，这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？（延长AC交DE于点O，AO⊥DE，点B在DE上，OE的长即为消防车的高3m）．
思路引领：在Rt△ABO中，根据勾股定理得到AO和OC，于是得到结论．
解：在Rt△ABO中，
∵AB＝15m，OB＝12﹣3＝9（m），
∴AO=AB2−OB2=152−92=12（m），
在Rt△COD中，
∵∠COD＝90°，CD＝15m，OD＝15﹣3＝12（m），
∴OC=CD2−OD2=152−122=9（m），
∴AC＝OA﹣OC＝3（m），
答：AC为3m．
总结提升：本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
13．(2023秋•临汾期末）如图，某火车站内部墙面MN上有破损处（看作点A），现维修师傅需借助梯子DE完成维修工作．梯子的长度为5m，将其斜靠在这面墙上，测得梯子底部E离墙角N处3m，维修师傅爬到梯子顶部使用仪器测量，此时梯子顶部D距离墙面破损处lm．
（1）该火车站墙面破损处A距离地面有多高？
（2）如果维修师傅要使梯子顶部到地面的距离为4.8m，那么梯子底部需要向墙角方向移动多少米？
F
思路引领：（1）由勾股定理求出DN＝4m，即可得出结论；
（2）由勾股定理求出梯子底部与墙角的距离，即可得出结论．
解：（1）由题意得：AD＝1m，∠DNE＝90°，DE＝5m，NE＝3m，
∴DN=DE2−NE2=52−32=4（m），
∴AN＝AD+DN＝1+4＝5（m），
答：该火车站墙面破损处A距离地面有5m高；
（2）梯子顶部到地面的距离为4.8m时，梯子底部与墙角的距离为：52−(245)2=1.4（m），
则梯子底部需要向墙角方向移动的距离为：3﹣1.4＝1.6（m），
答：梯子底部需要向墙角方向移动1.6m．
总结提升：本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
类型六 解决水杯中筷子的问题
14．(2023秋•张店区校级期末）如图是一圆柱玻璃杯，从内部测得底面半径为6cm，高为16cm，现有一根长为25cm的吸管任意放入杯中，则吸管露在杯口外的长度最少是（ ）
A．6cmB．5cmC．9cmD．（25﹣273）cm
思路引领：吸管露出杯口外的长度最少，即在杯内最长，可用勾股定理解答．
解：∵底面半径为半径为6cm，高为16cm，
∴吸管露在杯口外的长度最少为：25−122+162=25﹣20＝5（厘米）．
故选：B．
总结提升：本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
15．(2023春•舒城县校级月考）如图，小明有一个圆柱形饮水杯．底面半径是6cm，高是16cm，上底面贴着杯壁有一个小圆孔，则一条长24cm的直吸管露在杯外部分a的长度（杯壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ）
A．8≤a≤10B．4≤a≤8C．4≤a≤273D．4≤a≤10
思路引领：先画出图形，即△ABC，∠ABC＝90°，则AB＝2×6＝12cm，BC＝16cm，根据勾股定理求得AC＝20cm，当直吸管按AC位置放置时，露在杯外部分a最短，当直吸管按BC位置放置时，露在杯外部分a最长，于是有16≤24﹣a≤20，解不等式求出不等式的解集即可．
解：如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝16cm，
∵圆柱形饮水杯的底面半径是6cm，
∴AB＝2×6＝12（cm），
∴AC=AB2+BC2=122+162=20（cm），
∵16≤24﹣a≤20，
∴4≤a≤8，
∴直吸管露在杯外部分a的长度范围是4≤a≤8，
故选：B．
总结提升：此题重点考查勾股定理的应用、圆柱的底面直径、高等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
16．(2023秋•海淀区校级期末）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支铅笔长为18cm，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．6cm
思路引领：首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出AC的长度．然后求其差．
解：根据题意可得图形：AB＝12cm，BC＝9cm，
在Rt△ABC中：AC=AB2+BC2=122+92=15（cm），
所以18﹣15＝3（cm），18﹣12＝6（cm）．
则这只铅笔在笔筒外面部分长度在3cm～6cm之间．
观察选项，只有选项A符合题意．
故选：A．
总结提升：此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出笔筒内铅笔的最短长度是解决问题的关键．
17．(2023春•绵阳期末）如图，在长方体ABCD﹣EFGH盒子中，已知AB＝4cm，BC＝3cm，CG＝5cm，长为10cm的细直木棒IJ恰好从小孔G处插入，木棒的一端I与底面ABCD接触，当木棒的端点Ⅰ在长方形ABCD内及边界运动时，GJ长度的最小值为（ ）
A．（10﹣52）cmB．3cmC．（10﹣42）cmD．5cm
思路引领：当GI最大时，GJ最小，当I运动到点A时，GI最大，根据勾股定理求解即可．
解：当GI最大时，GJ最小，当I运动到点A时，GI最大，此时GI=AC2+CG2，
而AC2＝AB2+BC2＝42+32＝25，
∴GI=25+52=50=52，
∴GJ长度的最小值为（10﹣52）cm．
故选：A．
总结提升：本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出GI的最大值是解题的关键．
类型七 判断受某某因素影响的范围
18．(2023秋•内江期末）为加强疫情防控，云南某中学在校门口区域进行入校体温检测．如图，入校学生要求沿着直线AB单向单排通过校门口，测温仪C与直线AB的距离为3m，已知测温仪的有效测温距离为5m，则学生沿直线AB行走时测温的区域长度为（ ）
A．4 mB．5mC．6mD．8m
思路引领：连接AC、BC，推理出AC＝BC＝5，过点C作CF⊥AB，易知CF＝3，然后在分别求出AF、CF的长，进而可得AB的长．
解：连接AC、BC，过点C作CF⊥AB于F，
因为测温仪的有效测温距离为5m，
所以AC＝BC＝5m，
又测温仪C与直线AB的距离为3m，
在Rt△ACF中，据勾股定理得：
AF=AC2−CF2=52−32=4（m），
同理得BF＝4m，
所以AB＝8m，
即学生沿直线AB行走时测温的区域长度为8m．
故选：D．
总结提升：本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
19．(2023春•宁津县期末）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度AB为2.5米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离BC为1.2米，头顶离感应器的距离AD为1.5米，则这名学生身高CD为（ ）米．
A．0.9B．1.3C．1.5D．1.6
思路引领：过点D作DE⊥AB于E，则CD＝BE，DE＝BC＝1.2米，由勾股定理得出AE＝0.9（米），则BE＝AB﹣AE＝1.6（米），即可得出答案．
解：过点D作DE⊥AB于E，如图所示：
则CD＝BE，DE＝BC＝1.2米=65米，
在Rt△ADE中，AD＝1.5米=32米，
由勾股定理得：AE=AD2−DE2=(32)2−(65)2=0.9（米），
∴BE＝AB﹣AE＝2.5﹣0.9＝1.6（米），
∴CD＝BE＝1.6米，
故选：D．
总结提升：本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
20．(2023春•南平期末）为预防新冠疫情，学校大门入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离AB＝2.3米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为1.7米的学生CD正对门缓慢走到离门0.8米处时（即BC＝0.8米），测温仪自动显示体温，此时人头顶到测温仪的距离AD等于（ ）
A．1.0米B．1.25米C．1.2米D．1.5米
思路引领：过点D作DE⊥AB于点E，构造Rt△ADE，利用勾股定理求得AD的长度即可．
解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AB＝2.3米，BE＝CD＝1.7米，ED＝BC＝0.8米，
∴AE＝AB﹣BE＝2.3﹣1.7＝0.6（米）．
在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD=AE2+DE2=0．62+0．82=1（米），
故选：A．
总结提升：本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段AD的长度．
21．(2023春•沂水县期中）如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如①图所示，人只要移至该门口4m及4m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”，如②图所示，一个身高1.5m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则该生头顶C到门铃A的距离为（ ）
A．3米B．4米C．5米D．6米
思路引领：根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理即可解答．
解：由题意可知．BE＝CD＝1.5m，AE＝AB﹣BE＝4.5﹣1.5＝3m，CE＝4m，
由勾股定理得AC=AE2+CE2=32+42=5（m），
故离门5米远的地方，门铃恰好自动响起．
故选：C．
总结提升：本题考查了勾股定理的应用．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
22．(2023秋•张店区校级期末）某市创建文明城市，采用移动宣讲的形式进行宣传动员，如图，笔直公路MN的一侧点A处有一学校，学校A到公路MN的距离AB＝480米，若宣讲车P周围800米以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路MN上延M到N的方向行驶时．
（1）请问学校A能否听到宣传，请说明理由．
（2）如果能听到，已知宣讲车的速度是256米/分，求学校A总共能听到多长时间的宣传．
思路引领：（1）根据学校A到公路MN的距离为480米＜800，于是得到结论；
（2）根据勾股定理得到BP＝BQ=10002−8002=640米，求得PQ＝1280米，于是得到结论．
解：（1）学校能听到宣传，
理由：∵学校A到公路MN的距离为480米＜800米，
∴学校能听到宣传；
（2）如图：假设当宣讲车行驶到P点开始影响学校，行驶Q点结束对学校的影响，
则AP＝AQ＝800米，AB＝480米，
∴BP＝BQ=8002−4802=640（米），
∴PQ＝1280米，
∴影响学校的时间为：1280÷256＝5（分钟），
∴学校A总共能听到5分钟的宣传．
总结提升：本题考查了勾股定理的应用，解题时结合生活实际，便于更好的理解题意．
23．(2023秋•开江县校级期末）如图，有一台环卫车沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，环卫车周围130m以内为受噪声影响区域．
（1）学校C会受噪声影响吗？为什么？
（2）若环卫车的行驶速度为每分钟50米，环卫车噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？
思路引领：（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出学校C是否会受噪声影响；
（2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出环卫车噪声影响该学校持续的时间．
解：（1）学校C会受噪声影响．
理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，
∵AC＝150m，BC＝200m，AB＝250m，
∴AC2+BC2＝AB2．
∴△ABC是直角三角形．
∴AC×BC＝CD×AB，
∴150×200＝250×CD，
∴CD=150×200250=120（m），
∵环卫车周围130m以内为受噪声影响区域，
∴学校C会受噪声影响．
（2）当EC＝130m，FC＝130m时，正好影响C学校，
∵ED=EC2−CD2=1302−1202=50（m），
∴EF＝100（m），
∵环卫车的行驶速度为每分钟50米，
∴100÷50＝2（分钟），
即环卫车噪声影响该学校持续的时间有2分钟．
总结提升：本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
类型八 求台阶上地毯的长度
24．(2023秋•南关区校级期末）如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（ ）
A．5米B．6米C．7米D．8米
思路引领：先求出AC的长，利用平移的知识可得出地毯的长度．
解：在Rt△ABC中，AC=AB2−BC2=4米，
故可得地毯长度＝AC+BC＝7米，
故选：C．
总结提升：此题考查了勾股定理的应用及平移的知识，属于基础题，利用勾股定理求出AC的长度是解答本题的关键．
25．(2023秋•丰城市校级期末）某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要 元．
思路引领：地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即AB与BC的和，在直角△ABC中，根据勾股定理即可求得AB的长，地毯的长与宽的积就是面积，再乘地毯每平方米的单价即可求解．
解：由勾股定理得AB=AC2−BC2=132−52=12（m），
则地毯总长为12+5＝17（m），
则地毯的总面积为17×2＝34（平方米），
所以铺完这个楼道至少需要34×20＝680（元）．
故答案为：680．
总结提升：本题考查了勾股定理的应用，正确理解地毯的长度的计算是解题的关键．
类型九 判断汽车是否超速
26．(2023秋•浑南区月考）“某市道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过60千米/时，如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A正前方24米的C处，过了1.5秒后到达B处（BC⊥AC），测得小汽车与车速检测仪间的距离AB为40米，判断这辆小汽车是否超速？若超速，则超速了多少？若没有超速，说明理由．
思路引领：根据勾股定理得出BC的长，进而得出小汽车1小时行驶76.8千米，进而得出答案．
解：小汽车已超速，理由如下：
根据题意得：AC＝24米，AB＝40米，∠ACB＝90°，
在Rt△ACB中，根据勾股定理得：BC=AB2−AC2=402−242=32（米），
∵小汽车1.5秒行驶32米，
∴小汽车行驶速度为76.8千米/时，
∵76.8＞60，
∴小汽车已超速，超速76.8﹣60＝16.8（千米/时）．
总结提升：此题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理得出BC的长是解题的关键．
27．(2023秋•南海区月考）“交通管理条例第三十五条”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正方50米处，过了6秒后，测得小汽车与车速检测仪距离130米．
（1）求小汽车6秒走的路程；
（2）求小汽车每小时所走的路程，并判定小汽车是否超速？
思路引领：（1）过点A作AD⊥BC，可得AD＝50米，设汽车经过6秒后到达点E，连接AE，则有AE＝130米，利用勾股定理可求得DE的长，即小汽车6秒所走的路程；
（2）利用速度＝路程÷时间，即可判断．
解：（1）过点A作AD⊥BC，设汽车经过6秒后到达点E，连接AE，如图所示：
由题意可得：AD＝50米，AE＝130米，
在Rt△ADE中，
DE=AE2−AD2
=1302−502
＝120（米），
答：小汽车6秒走的路程为120米；
（2）小汽车6秒中的平均速度为：120÷6＝20（米/秒）＝72（千米/小时），
∵72＞70，
∴小汽车超速了．
总结提升：本题主要考查勾股定理的应用，解答的关键是理解清楚题意，作出相应的图形．
类型十 根据条件选址问题
28．(2023秋•佛山校级期末）铁路上A，B两站（视为直线上的两点）相距25km，C，D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B（如图），已知DA＝10km，CB＝15km，现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E，使得C，D两村庄到收购站E的直线距离相等，请求出收购站E到A站的距离．
思路引领：由勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方即可求，即在直角三角形DAE和直角三角形CBE中，DE2＝AD2+AE2，CE2＝BE2+BC2，得出AD2+AE2＝BE2+BC2，设AE为xkm，则BE＝（25﹣x） km，将BC＝10代入关系式即可求得．
解：∵C、D两村到E站距离相等，
∴CE＝DE，
在Rt△DAE和Rt△CBE中，DE2＝AD2+AE2，CE2＝BE2+BC2，
∴AD2+AE2＝BE2+BC2．
设AE为xkm，则BE＝（25﹣x） km，
将BC＝10，DA＝15代入关系式为x2+102＝（25﹣x）2+152，
解得x＝15，
∴E站应建在距A站15km处．
总结提升：此题考查勾股定理的应用，基础知识要熟练掌握．
类型十一 勾股定理之航海问题
29．(2023秋•城关区校级期末）如图，中俄“海上联合﹣2017”军事演习在海上编队演习中，两艘航母护卫舰从同一港口O同时出发，一号舰沿南偏西30°方向以12海里/小时的速度航行，二号舰以16海里/小时速度航行，离开港口1.5小时后它们分别到达A，B两点，相距30海里，则二号舰航行的方向是（ ）
A．南偏东30°B．北偏东30°C．南偏东 60°D．南偏西 60°
思路引领：直接利用已知得出AO，BO，AB的长，再利用勾股定理的逆定理得出∠BOA的度数，进而得出答案．
解：由题意可得：BO＝16×1.5＝24（海里），
AO＝12×1.5＝18（海里），AB＝30海里，
则此时：AO2+BO2＝AB2，
故△AOB是直角三角形，
则∠BOA＝90°，
∵∠AOD＝30°，
∴∠DOB＝60°，
∴2号舰的航行方向是：南偏东60°．
故选：C．
总结提升：此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角，正确得出△AOB是直角三角形是解题关键．
30．(2023秋•金台区月考）如图所示，甲渔船以8海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口O向西北方向航行，他们同时出发，一个小时后，甲、乙两渔船相距（ ）海里．
A．8B．10C．12D．13
思路引领：根据题意可知∠AOB＝90°，然后求出出发一个小时后，OA＝8×1＝8（海里），OB＝6×1＝6（海里），最后根据勾股定理求解即可．
解：∵甲渔船离开港口O向东北方向航行，乙渔船离开港口O向西北方向航行，
∴∠AOB＝90°，
∴出发一个小时后，OA＝8×1＝8（海里），OB＝6×1＝6（海里），
∴AB=OA2+OB2=82+62=10（海里），
故选：B．
总结提升：此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理．
31．(2023秋•伊川县期末）如图，甲乙两船同时从A港出发，甲船沿北偏东35°的方向，以每小时12海里的速度向B岛驶去．乙船沿南偏东55°的方向向C岛驶去，2小时后，两船同时到达了目的地．若C、B两岛的距离为30海里，问乙船的航速是多少？
思路引领：首先求得线段AB的长，然后利用勾股定理求得线段AC的长，然后除以时间即可得到乙船的速度．
解：根据题意得：AB＝12×2＝24，BC＝30，∠BAC＝90°．…（1分）
∴AC2+AB2＝BC2．
∴AC2＝BC2﹣AB2＝302﹣242＝324
∴AC＝18．…（4分）
∴乙船的航速是：18÷2＝9海里/时．…（6分）
总结提升：本题考查了勾股定理的知识及方向角的内容，解题的关键是正确的整理出直角三角形求解．
32．(2023秋•青岛期末）如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度向北偏东42°方向航行，乙船向南偏东48°方向航行，0.5小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C，B两岛相距17海里，问乙船的航速是多少？
思路引领：先根据方位角求出∠BAC＝180°﹣42°﹣48°＝90°，然后根据勾股定理求出AB=BC2−AC2=172−82=15，最后根据速度公式算出速度即可．
解：根据题意可知：∠BAC＝180°﹣42°﹣48°＝90°，AC＝16×0.5＝8（海里），
在Rt△ABC中AB=BC2−AC2=172−82=15（海里），
乙船的航速是：150.5=30（海里/时），
答：乙船的航速是30海里/时．
总结提升：本题主要考查了方位角，勾股定理，解题的关键是根据勾股定理求出AB的长度．
类型十二 求最短路径
33．(2023秋•武山县期末）如图所示，有三条道路围成Rt△ABC，其中BC＝1000m，一个人从B处出发沿着BC行走了700m，到达D处，AD恰为∠CAB的平分线，则此时这个人到AB的最短距离为（ ）
A．1000mB．700mC．300mD．1700m
思路引领：根据角平分线的性质得出DC＝D点到AB的距离，进而解答即可．
解：∵AD恰为∠CAB的平分线，DC⊥AC，
∴DC＝D点到AB的距离，
∵BC＝1000m，BD＝700m，
∴DC＝300m，
∴D点到AB的最短距离＝300m，
故选：C．
总结提升：本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
34．(2023秋•南关区校级期末）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在一条直线上），并新修一条路CH，测得BC＝6千米，CH＝4.8千米，BH＝3.6千米．
（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路线（即CH与AB是否垂直）？请通过计算加以说明．
（2）求原来的路线AC的长．
思路引领：（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；
（2）根据勾股定理解答即可．
解：（1）是，
理由是：在△CHB中，
∵CH2+BH2＝（4.8）2+（3.6）2＝36，
BC2＝36，
∴CH2+BH2＝BC2，
∴CH⊥AB，
所以CH是从村庄C到河边的最近路；
（2）设AC＝x千米，
在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣3.6，CH＝6，
由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2
∴x2＝（x﹣3.6）2+62，
解这个方程，得x＝6.8，
答：原来的路线AC的长为6.8米．
总结提升：此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理和定理解答．
35．(2023秋•榆树市期末）如图，在笔直的公路AB旁有一座山，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为15km，与公路上另一停靠站B的距离为20km，停靠站A、B之间的距离为25km，且CD⊥AB．
（1）求修建的公路CD的长；
（2）若公路CD修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？
思路引领：（1）根据勾股定理的逆定理可求∠ACB＝90°，再根据三角形面积公式即可求解；
（2）先根据勾股定理求出BD，进一步求得一辆货车从C处经过D点到B处的路程．
解：（1）∵AC＝15km，BC＝20km，AB＝25km，
152+202＝252，
∴△ACB是直角三角形，∠ACB＝90°，
∴CD=12AC×BC÷12÷AB＝12（km）．
故修建的公路CD的长是12km；
（2）在Rt△BDC中，BD=BC2−CD2=16（km），
一辆货车从C处经过D点到B处的路程＝CD+BD＝12+16＝28（km）．
故一辆货车从C处经过D点到B处的路程是28km．
总结提升：本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形，以便利用勾股定理．
类型十三 勾股定理之小船移动问题
36．(2023秋•长安区校级期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，且绳长始终保持不变．回答下列问题：
（1）根据题意可知：AC BC+CE（填“＞”、“＜”、“＝”）．
（2）若CF＝5米，AF＝12米，AB＝8米，求小男孩需向右移动的距离．（结果保留根号）
思路引领：（1）由绳长始终保持不变即可求解；
（2）由勾股定理求出AC、BC的长，然后根据CE＝AC﹣BC即可求解．
解：（1）∵AC的长度是男孩未拽之前的绳子长，（BC+CE）的长度是男孩拽之后的绳子长，绳长始终保持不变，
∴AC＝BC+CE，
故答案为：＝；
（2）连接AB，则点A、B、F三点共线，
在Rt△CAF中，AC=AF2+CF2=122+52=13（米），
∵BF＝AF﹣AB＝12﹣8＝4（米），
在Rt△CBF中，BC=CF2+BF2=52+42=41（米），
∵AC＝BC+CE，
∴CE=AC−BC=(13−41)（米），
∴男孩需向右移动的距离为(13−41)米．
总结提升：本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出AC、BC的长是解题的关键．
37．(2023秋•平昌县期末）如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了 米．
思路引领：在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD＝AB﹣AD可得BD长．
解：在Rt△ABC中：
∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，
∴AB=BC2−AC2=172−82=15（米），
∵CD＝10（米），
∴AD=CD2−AC2=100−64=6（米），
∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米），
答：船向岸边移动了9米，
故答案为：9．
总结提升：此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
38．(2023秋•新华区校级期末）如图是一个滑梯示意图，若将滑梯BD水平放置，则刚好与DE一样长，已知滑梯的高度CE为4米，BC为1米．
（1）求滑道BD的长度；
（2）若把滑梯BD改成滑梯BF，使∠BFA＝60°，则求出DF的长．（精确到0.1米，参考数据：3≈1.732）
思路引领：（1）由题意可得：△ABD是直角三角形，∠BAD＝90°，且BD＝DE，设滑道BD的长度为x米，则DE＝x米，AD＝DE﹣AE＝（x﹣1）米，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（2）设AF＝a米，则BF＝2a米，由勾股定理得AB=3a（米），则3a＝﹣4，解得a=433，即可解决问题．
解：（1）由题意可得：△ABD是直角三角形，∠BAD＝90°，且BD＝DE，
∵BC＝1，CE＝4，
∴AE＝1，AB＝4，
设滑道BD的长度为x米，则DE＝x米，AD＝DE﹣AE＝（x﹣1）米，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：42+（x﹣1）2＝x2，
解得：x=172，
答：滑道BD的长度为172米；
（2）∵∠BFA＝60°，
∴∠ABF＝90°﹣∠BFA＝30°，
∴BF＝2AF，
设AF＝a米，则BF＝2a米，
∴AB=BF2−AF2=(2a)2−a2=3a（米），
∴3a=4，
解得：a=433，
∴AF=433（米），
由（1）可知，AD=172−1=152（米），
∴DF=AD−AF=152−433≈5.2（米）．
答：DF的长约为5.2米．
总结提升：本题考查了勾股定理的应用以及含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
类型十四 勾股定理之荡秋千问题
39．(2023秋•高新区校级期末）如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B．最终荡到最高点C处，若∠AOC＝90°，点A与点B的高度差AD＝1米，水平距离BD＝4米，则点C与点B的高度差CE为（ ）米．
A．4B．4.5C．5D．5.5
思路引领：作AF⊥BO于F，CG⊥BO于G，根据AAS可证△AOF≌△OCG，根据全等三角形的性质可得OG＝4米，在Rt△AFO中，根据勾股定理可求AO，可求OB，再根据线段的和差关系和等量关系可求点C与点B的高度差CE．
解：作AF⊥BO于F，CG⊥BO于G，
∵∠AOC＝∠AOF+∠COG＝90°，
∠AOF+∠OAF＝90°，
∴∠COG＝∠OAF，
在△AOF与△OCG中，
∠AFO=∠OGC∠OAF=∠COGAO=OC，
∴△AOF≌△OCG（AAS），
∴OG＝AF＝BD＝4米，
设AO＝x米，
在Rt△AFO中，AF2+OF2＝AO2，即42+（x﹣1）2＝x2，
解得x＝8.5．
则CE＝GB＝OB﹣OG＝8.5﹣4＝4.5（米）．
故选：B．
总结提升：考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
40．(2023秋•市北区校级期末）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地0.5米，将它往前推3米时，踏板离地1.5米，此时秋千的绳索是拉直的，则秋千的长度是（ ）
A．3米B．4米C．5米D．6米
思路引领：设OA＝OB＝x米，用x表示出OC的长，在直角三角形OCB中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果．
解：设OA＝OB＝x米，
∵BC＝DE＝3米，DC＝1.5米，
∴CA＝DC﹣AD＝1.5﹣0.5＝1（米），OC＝OA﹣AC＝（x﹣1）米，
在Rt△OCB中，OC＝（x﹣1）米，OB＝x米，BC＝3米，
根据勾股定理得：x2＝（x﹣1）2+32，
解得：x＝5，
则秋千的长度是5米．
故选：C．
总结提升：此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
41．(2023秋•卧龙区校级期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．
如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1m，将它往前推6m至C处时（即水平距离CD＝6m），踏板离地的垂直高度CF＝4m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（ ）m．
A．212B．152C．6D．92
思路引领：设绳长为xm，再根据直角三角的勾股定理列方程，解方程即可．
解：设绳长为x米，
在Rt△ADC中，
AD＝AB﹣BD＝AB﹣（DE﹣BE）＝x﹣（4﹣1）＝（x﹣3）米，
DC＝6m，AC＝x米，
∴AB2+DC2＝AC2，
根据题意列方程：x2＝（x﹣3）2+62，
解得：x=152，
∴绳索AC的长是152．
故选：B．
总结提升：本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是读懂题意，掌握勾股定理，运用勾股定理解决问题．
类型十五 求图形面积问题
42．△ABC是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地．如果∠C＝90°，AC＝300米，AB＝500米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮a元计算，那么共需要资金（ ）
A．5000a元B．60000a元C．120000a元D．150000a元
思路引领：由勾股定理求出BC＝400米，再求出△ABC的面积，从而得出答案．
解：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝300米，AB＝500米，
∴BC=AB2−AC2=5002−3002=400（米），
∴S△ABC=12AC•BC=12×300×400＝60000（平方米），
∴共需要资金为60000a元．
故选：B．
总结提升：此题考查了勾股定理的应用以及三角形面积的计算，由勾股定理求出BC的长是解题的关键．
43．(2023秋•岱岳区期末）“绿水青山，就是金山银山”，党的十八大以来，生态文明建设，可持续发展理念深入人心，我们泰安的城市绿化率持续增加．△ABC是某小区一块三角形空地，已知∠A＝150°，AB＝30m，AC＝20m，如果在这块空地上种草皮，每平方米草皮费用按120元计算，则这块空地种植草皮需要资金（ ）元．
A．36000B．24000C．18000D．12000
思路引领：先作△ABC的高BD，求出∠BAD＝30°，再得出BD=12AB，再根据S△ABC=12•AC•BD求出三角形的面积，最后根据这种草皮每平方米120元，即可得出答案．
解：作△ABC的高BD，
∵∠BAC＝150°，
∴∠BAD＝30°，
∴BD=12AB=12×30＝15（m），
∴S△ABC=12•AC•BD=12×20×15＝150（m2），
∵这种草皮每平方米120元，
∴购买这种草皮至少要150×120＝18000（元），
故选：C．
总结提升：此题考查了含30度角的直角三角形，关键是作出辅助线，求出三角形的高和面积，熟练掌握30度角的直角三角形的性质是解题的关键．
44．(2023秋•青岛期末）如图，已知一块四边形草地ABCD，其中∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，AB＝10m，CD＝5m，则这块土地的面积为 ．
思路引领：分别延长AD，BC交于点E，证△ABE和△CDE都是等腰直角三角形，然后求出△ABE和△CDE的面积即可求解．
解：如图，分别延长AD，BC交于点E．
∵∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，
∴∠DCE＝∠DEB＝∠A＝45°，
∴AB＝BE，CD＝DE，
∵AB＝10m，CD＝5m，
∴BE＝10m，DE＝5m，
∵S△ABE=12AB•BE=12×10×10＝50（m2），S△CDE=12CD•DE=12×5×5＝12.5（m2），
∴四边形ABCD的面积＝S△ABE﹣S△CDE＝50﹣12.5＝37.5（m2）
即这块土的面积为37.5m2．
故答案为：37.5m2．
总结提升：本题考查了等腰直角三角形的性质，解题的关键是：通过作辅助线，构造新的直角三角形，利用四边形ABCD的面积＝S△ABE﹣S△CED来求解．
45．(2023秋•城关区校级期末）如图有一块四边形的空地ABCD，其中∠ADC＝90°，CD＝3米，AD＝4米，AB＝13米，BC＝12米．求出空地ABCD的面积．
思路引领：连接AC，在直角三角形ACD中可求得AC的长，由AC、AB、BC的长度关系可得三角形ABC为一直角三角形，AB为斜边；由此看，四边形ABCD的面积等于Rt△ABC面积减Rt△ACD的面积解答即可．
解：连接AC，
在Rt△ACD中，AC2＝CD2+AD2＝32+42＝52，
在△ABC中，AB2＝132，BC2＝122，
而52+122＝132，
即AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ACB﹣S△ACD=12AC•BC−12AD•CD
=12×5×12−12×4×3＝24（m2）．
总结提升：本题考查了勾股定理的应用，通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三角形，这样解题较为简单．
46．(2023秋•沙坪坝区期末）为弘扬劳动精神，让同学们在实践中体验劳动、认识劳动，从而培养尊重劳动、热爱劳动、尊重劳动人民的品质，学校准备在校园的一角开垦一块如图所示的四边形土地ABCD．经测量，∠B＝90°，AB＝3m，BC＝4m，CD＝13m，DA＝12m，请计算该四边形土地的面积．
思路引领：连接AC，先根据勾股定理求出AC的长，然后利用勾股定理的逆定理证明△ACD为直角三角形，从而用求和的方法求面积．
解：连接AC，
由勾股定理得：AC=32+42=5（m），
∵AC2+DA2＝25+144，CD2＝169，
∴AC2+AD2＝CD2，
∴∠CAD＝90°，
四边形土地的面积＝SRt△ABC+SRt△ACD=12AB•BC+12AC•DA=12（3×4+5×12）＝36（m2），
故该四边形土地的面积为36m2．
总结提升：此题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用、三角形的面积公式，解答本题的关键是作出辅助线，求出图形的总面积．
47．(2023春•长清区期末）如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成，在一次游园活动中，数学小组制作了一面“赵爽弦图锣”，其中∠AEB＝90°，AB＝13cm，BE＝5cm，则阴影部分的面积是（ ）
A．169cm2B．25cm2C．49cm2D．64cm2
思路引领：在Rt△ABE中，根据勾股定理求出AE的长，根据4个直角三角形是全等的，得到AH＝BE＝5，从而得到小正方形的边长，进而求出面积．
解：在Rt△ABE中，
AE=AB2−BE2=132−52=12cm，
∵4个直角三角形是全等的，
∴AH＝BE＝5cm，
∴小正方形的边长＝AE﹣AH＝12﹣5＝7cm，
∴阴影部分的面积＝72＝49（cm2），
故选：C．
总结提升：本题考查了勾股定理的应用，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．
类型十六 求水池深度问题
48．(2023秋•南关区校级期末）如图，水池中离岸边D点4米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是2米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，则水池的深度AC为多少米．
思路引领：首先设水池的深度为x米，则竹竿长为（x+2）米，然后再利用勾股定理可得方程x2+42＝（x+2）2，再解即可．
解：设水池的深度为x米，由题意得：
x2+42＝（x+2）2，
解得：x＝3．
答：水池的深度为3米．
总结提升：此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法．
49．(2023春•襄州区期末）如图，一个直径为10cm的杯子，在它的正中间竖直放一根筷子，筷子露出杯子外1cm，当筷子倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端刚好触到杯口，筷子长度为（ ）
A．10B．12C．13D．14
思路引领：设杯子的高度是xcm，那么筷子的高度是（x+1）cm，因为直径为10cm的杯子，可根据勾股定理列方程求解．
解：设杯子的高度是xcm，那么筷子的高度是（x+1）cm，
∵杯子的直径为10cm，
∴杯子半径为5cm，
∴x2+52＝（x+1）2，
解得x＝12，
12+1＝13（cm）．
答：筷子长13cm．
故选：C．
总结提升：本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是看到构成的直角三角形，以及各边的长．
类型十七 寻宝问题
50．(2023秋•渠县校级期末）暑假中，小明到某海岛探宝，如图，他到达海岛登陆点后先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北走6km处往东一拐，仅1km就找到宝藏，问登陆点到埋宝藏点的直线距离是多少？
思路引领：通过行走的方向和距离得出对应的线段的长度，构造直角三角形利用勾股定理求解．
解：过点B作BD⊥AC于点D，
根据题意可知，AD＝8﹣3+1＝6千米，BD＝2+6＝8千米，
在Rt△ADB中，由勾股定理得AB=AD2+BD2=10千米，
答：登陆点到宝藏处的距离为10千米．
总结提升：本题考查了矩形的性质以及勾股定理的应用，解题的根据是结合图形，读懂题意，根据题意找到需要的数量关系，运用勾股定理求线段的长度．
类型十八 零件尺寸问题
51．(2023春•香坊区期末）如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），可以计算出两图孔中心B和C的距离为（ ）mm．
A．120B．135C．3061D．150
思路引领：如图，在Rt△ABC中，AC＝180﹣60＝120（mm），AB＝150﹣60＝90（mm），然后利用勾股定理即可求出两圆孔中心B和C的距离．
解：如图，在Rt△ABC中，AC＝180﹣60＝120（mm），AB＝150﹣60＝90（mm），
∴BC=AC2+AB2=150（mm），
∴两圆孔中心B和C的距离为150mm．
故选：D．
总结提升：此题主要考查勾股定理在实际中的应用，首先正确从图中找到所需要的数量关系，然后利用公式即可解决问题．
类型十九 勾股定理之走“走捷径”问题
52．(2023秋•顺义区期末）如图是某路口处草坪的一角，当行走路线是A→C→B时，有人为了抄近道而避开路的拐角∠ACB（∠ACB＝90°），于是在草坪内走出了一条不该有的捷径路AB．某学习实践小组通过测量可知，AC的长约为6米，BC的长约为8米，为了提醒居民爱护草坪，他们想在A，B处设立“踏破青白可惜，多行数步无妨”的提示牌．则提示牌上的“多行数步”是指多行 米．
思路引领：由勾股定理求出AB＝10米，即可解决问题．
解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6米，BC＝8米，
∴AB=AC2+BC2=62+82=10（米），
∴AC+BC﹣AB＝6+8﹣10＝4（米），
∴他们只为少走4米的路，
故答案为：4．
总结提升：本题主要考查勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题的关键．
53．(2023•东宝区校级模拟）如图，有一正方形花圃ABCD，其边长为8m．雯雯为了避开拐角走捷径（从点A到点D），直接从对角线AD上走出了一条“路”，却踩伤了花草，她实际上仅仅少走的路长为（ ）
A．（16﹣82）mB．（16−2）mC．（16﹣42）mD．（8﹣82）m
思路引领：利用勾股定理求出AB的长，再根据少走的路长为AC+BC﹣AB，计算即可．
解：由勾股定理得，AD=AB2+BD2=82+82=82（m），
∴少走的路长为AB+BD﹣AD＝8+8﹣82=16﹣82（m），
故选：A．
总结提升：本题主要考查了勾股定理的应用，明确少走的路为AB+BD﹣AD是解题的关键．
54．(2023春•武邑县校级期末）课间休息时，嘉嘉从教室窗户向外看，看到行人为从A处快速到达图书馆B处，直接从长方形草地中穿过．为保护草地，嘉嘉想在A处立一个标牌：“少走■米，踏之何忍？”如图，若AB＝17米，BC＝8米，则标牌上“■”处的数字是（ ）
A．6B．8C．10D．11
思路引领：利用勾股定理求出AC，即可得出答案．
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AC=AB2−BC2=172−82=15（米），
∴AC+BC﹣AB＝15+8﹣17＝6（米），
故选：A．
总结提升：本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
类型二十 橡皮筋拉长问题
55．(2023春•夏津县期末）如图，长为12cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升8cm至D点，则橡皮筋被拉长了（ ）
A．5cmB．6cmC．8cmD．10cm
思路引领：根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD﹣AB即为橡皮筋拉长的距离．
解：根据题意得：AD＝BD，AC＝BC，AB⊥CD，
则在Rt△ACD中，AC=12AB＝6cm，CD＝8cm；
根据勾股定理得：AD=AC2+CD2=62+82=10（cm）；
所以AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝20﹣12＝8（cm）；
即橡皮筋被拉长了8cm；
故选：C．
总结提升：此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用；熟练掌握等腰三角形的性质，由勾股定理求出AD是解决问题的关键．
56．(2023春•潢川县月考）如图，一条伸直的橡皮筋AB的两端被固定在水平桌面上，C是AB上的一点，AB＝5cm，AC＝4cm，将橡皮筋从C点向上垂直拉升2cm到D点．
（1）求橡皮筋比原来拉长了多少cm；
（2）判断△ABD的形状，并说明理由．
思路引领：（1）根据勾股定理求出AD和DB，即可得到结论；
（2）利用勾股定理的逆定理解答即可．
解：（1）∵AB＝5cm，AC＝4cm，CD＝2cm，
在Rt△ACD中，
由勾股定理得，AD=AC2+CD2=42+22=25（cm），
在Rt△ACD中，
由勾股定理得，DB=CD2+BC2=22+12=5（cm），
AD+DB﹣AB＝25+5−5＝（35−5）（cm）
答：橡皮筋比原来拉伸了（35−5）cm；
（2）△ABD是直角三角形，
理由如下：∵AB2＝52＝25，AD2+DB2＝（25）2+（5）2＝20+5＝25，
∴AB2＝AD2+DB2，
∴△ABD是直角三角形．
总结提升：此题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解决问题的关键．
类型一 勾股定理之大树折断模型
1．(2023秋•辉县市期末）如图1，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米处折断倒下，树顶落在离树根12米处，图2是这棵大树折断的示意图，则这棵大树在折断之前的高是（ ）
A．20米B．18米C．16米D．15米
2．(2023秋•郯城县校级期末）如图，一根竖直的木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成30°角，则木杆折断之前高度约为 m．
3．(2023秋•达川区期末）如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面6米B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为8米，则这棵大树在折断前的高度为（ ）
A．10米B．12米C．14米D．16米
4．(2023秋•泰山区期末）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为 ．
类型二 勾股定理之小鸟飞行距离问题
5．(2023秋•绿园区校级期末）如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞行（ ）
A．6mB．8mC．10mD．18m
6．(2023秋•运城期末）如图，∠AOB=90°，OA＝18cm，OB＝6cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？
类型三 求河宽
7．(2023秋•泰兴市期末）如图，某渡船从点B处沿着与河岸垂直的路线AB横渡，由于受水流的影响，实际沿着BC航行，上岸地点C与欲到达地点A相距70米，结果发现BC比河宽AB多10米，求该河的宽度AB．（两岸可近似看作平行）
类型四 求旗杆高度
8．(2023秋•城关区校级期末）如图所示，小刚想知道学校的旗杆有多高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了0.8m，当他把绳子下端拉开4m后，发现下端刚好接触地面，小刚算了算就知道了旗杆的高度．你知道他是怎样算出来的吗？
9．(2023春•平阴县期末）如图，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端9米处，发现此时绳子底端距离打结处约3米，则可算出旗杆的高度是（ ）米．
A．9B．11C．12D．15
类型五 勾股定理之梯子滑动问题
10．(2023秋•烟台期末）一架长5m的梯子斜靠在墙上，梯子底端到墙的距离为3m．若梯子顶端下滑1m，那么梯子底端在水平方向上滑动了（ ）
A．1mB．小于1mC．大于1mD．无法确定
11．(2023秋•长安区校级期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5m，则小巷的宽为（ ）
A．2mB．2.5mC．2.6mD．2.7m
12．(2023秋•蒲城县期末）某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人如图（1）．如图（2），已知云梯最多只能伸长到15m（即AB＝CD＝15m），消防车高3m，救人时云梯伸长至最长，在完成从12m（即BE＝12m）高的B处救人后，还要从15m（即DE＝15m）高的D处救人，这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？（延长AC交DE于点O，AO⊥DE，点B在DE上，OE的长即为消防车的高3m）．
13．(2023秋•临汾期末）如图，某火车站内部墙面MN上有破损处（看作点A），现维修师傅需借助梯子DE完成维修工作．梯子的长度为5m，将其斜靠在这面墙上，测得梯子底部E离墙角N处3m，维修师傅爬到梯子顶部使用仪器测量，此时梯子顶部D距离墙面破损处lm．
（1）该火车站墙面破损处A距离地面有多高？
（2）如果维修师傅要使梯子顶部到地面的距离为4.8m，那么梯子底部需要向墙角方向移动多少米？
F
类型六 解决水杯中筷子的问题
14．(2023秋•张店区校级期末）如图是一圆柱玻璃杯，从内部测得底面半径为6cm，高为16cm，现有一根长为25cm的吸管任意放入杯中，则吸管露在杯口外的长度最少是（ ）
A．6cmB．5cmC．9cmD．（25﹣273）cm
15．(2023春•舒城县校级月考）如图，小明有一个圆柱形饮水杯．底面半径是6cm，高是16cm，上底面贴着杯壁有一个小圆孔，则一条长24cm的直吸管露在杯外部分a的长度（杯壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ）
A．8≤a≤10B．4≤a≤8C．4≤a≤273D．4≤a≤10
16．(2023秋•海淀区校级期末）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支铅笔长为18cm，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．6cm
17．(2023春•绵阳期末）如图，在长方体ABCD﹣EFGH盒子中，已知AB＝4cm，BC＝3cm，CG＝5cm，长为10cm的细直木棒IJ恰好从小孔G处插入，木棒的一端I与底面ABCD接触，当木棒的端点Ⅰ在长方形ABCD内及边界运动时，GJ长度的最小值为（ ）
A．（10﹣52）cmB．3cmC．（10﹣42）cmD．5cm
类型七 判断受某某因素影响的范围
18．(2023秋•内江期末）为加强疫情防控，云南某中学在校门口区域进行入校体温检测．如图，入校学生要求沿着直线AB单向单排通过校门口，测温仪C与直线AB的距离为3m，已知测温仪的有效测温距离为5m，则学生沿直线AB行走时测温的区域长度为（ ）
A．4 mB．5mC．6mD．8m
19．(2023春•宁津县期末）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度AB为2.5米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离BC为1.2米，头顶离感应器的距离AD为1.5米，则这名学生身高CD为（ ）米．
A．0.9B．1.3C．1.5D．1.6
20．(2023春•南平期末）为预防新冠疫情，学校大门入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离AB＝2.3米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为1.7米的学生CD正对门缓慢走到离门0.8米处时（即BC＝0.8米），测温仪自动显示体温，此时人头顶到测温仪的距离AD等于（ ）
A．1.0米B．1.25米C．1.2米D．1.5米
21．(2023春•沂水县期中）如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如①图所示，人只要移至该门口4m及4m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”，如②图所示，一个身高1.5m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则该生头顶C到门铃A的距离为（ ）
A．3米B．4米C．5米D．6米
22．(2023秋•张店区校级期末）某市创建文明城市，采用移动宣讲的形式进行宣传动员，如图，笔直公路MN的一侧点A处有一学校，学校A到公路MN的距离AB＝480米，若宣讲车P周围800米以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路MN上延M到N的方向行驶时．
（1）请问学校A能否听到宣传，请说明理由．
（2）如果能听到，已知宣讲车的速度是256米/分，求学校A总共能听到多长时间的宣传．
23．(2023秋•开江县校级期末）如图，有一台环卫车沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，环卫车周围130m以内为受噪声影响区域．
（1）学校C会受噪声影响吗？为什么？
（2）若环卫车的行驶速度为每分钟50米，环卫车噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？
类型八 求台阶上地毯的长度
24．(2023秋•南关区校级期末）如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（ ）
A．5米B．6米C．7米D．8米
25．(2023秋•丰城市校级期末）某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要 元．
类型九 判断汽车是否超速
26．(2023秋•浑南区月考）“某市道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过60千米/时，如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A正前方24米的C处，过了1.5秒后到达B处（BC⊥AC），测得小汽车与车速检测仪间的距离AB为40米，判断这辆小汽车是否超速？若超速，则超速了多少？若没有超速，说明理由．
27．(2023秋•南海区月考）“交通管理条例第三十五条”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正方50米处，过了6秒后，测得小汽车与车速检测仪距离130米．
（1）求小汽车6秒走的路程；
（2）求小汽车每小时所走的路程，并判定小汽车是否超速？
类型十 根据条件选址问题
28．(2023秋•佛山校级期末）铁路上A，B两站（视为直线上的两点）相距25km，C，D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B（如图），已知DA＝10km，CB＝15km，现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E，使得C，D两村庄到收购站E的直线距离相等，请求出收购站E到A站的距离．
类型十一 勾股定理之航海问题
29．(2023秋•城关区校级期末）如图，中俄“海上联合﹣2017”军事演习在海上编队演习中，两艘航母护卫舰从同一港口O同时出发，一号舰沿南偏西30°方向以12海里/小时的速度航行，二号舰以16海里/小时速度航行，离开港口1.5小时后它们分别到达A，B两点，相距30海里，则二号舰航行的方向是（ ）
A．南偏东30°B．北偏东30°C．南偏东 60°D．南偏西 60°
30．(2023秋•金台区月考）如图所示，甲渔船以8海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口O向西北方向航行，他们同时出发，一个小时后，甲、乙两渔船相距（ ）海里．
A．8B．10C．12D．13
31．(2023秋•伊川县期末）如图，甲乙两船同时从A港出发，甲船沿北偏东35°的方向，以每小时12海里的速度向B岛驶去．乙船沿南偏东55°的方向向C岛驶去，2小时后，两船同时到达了目的地．若C、B两岛的距离为30海里，问乙船的航速是多少？
32．(2023秋•青岛期末）如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度向北偏东42°方向航行，乙船向南偏东48°方向航行，0.5小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C，B两岛相距17海里，问乙船的航速是多少？
类型十二 求最短路径
33．(2023秋•武山县期末）如图所示，有三条道路围成Rt△ABC，其中BC＝1000m，一个人从B处出发沿着BC行走了700m，到达D处，AD恰为∠CAB的平分线，则此时这个人到AB的最短距离为（ ）
A．1000mB．700mC．300mD．1700m
34．(2023秋•南关区校级期末）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在一条直线上），并新修一条路CH，测得BC＝6千米，CH＝4.8千米，BH＝3.6千米．
（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路线（即CH与AB是否垂直）？请通过计算加以说明．
（2）求原来的路线AC的长．
35．(2023秋•榆树市期末）如图，在笔直的公路AB旁有一座山，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为15km，与公路上另一停靠站B的距离为20km，停靠站A、B之间的距离为25km，且CD⊥AB．
（1）求修建的公路CD的长；
（2）若公路CD修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？
类型十三 勾股定理之小船移动问题
36．(2023秋•长安区校级期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，且绳长始终保持不变．回答下列问题：
（1）根据题意可知：AC BC+CE（填“＞”、“＜”、“＝”）．
（2）若CF＝5米，AF＝12米，AB＝8米，求小男孩需向右移动的距离．（结果保留根号）
37．(2023秋•平昌县期末）如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了 米．
38．(2023秋•新华区校级期末）如图是一个滑梯示意图，若将滑梯BD水平放置，则刚好与DE一样长，已知滑梯的高度CE为4米，BC为1米．
（1）求滑道BD的长度；
（2）若把滑梯BD改成滑梯BF，使∠BFA＝60°，则求出DF的长．（精确到0.1米，参考数据：3≈1.732）
类型十四 勾股定理之荡秋千问题
39．(2023秋•高新区校级期末）如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B．最终荡到最高点C处，若∠AOC＝90°，点A与点B的高度差AD＝1米，水平距离BD＝4米，则点C与点B的高度差CE为（ ）米．
A．4B．4.5C．5D．5.5
40．(2023秋•市北区校级期末）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地0.5米，将它往前推3米时，踏板离地1.5米，此时秋千的绳索是拉直的，则秋千的长度是（ ）
A．3米B．4米C．5米D．6米
41．(2023秋•卧龙区校级期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．
如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1m，将它往前推6m至C处时（即水平距离CD＝6m），踏板离地的垂直高度CF＝4m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（ ）m．
A．212B．152C．6D．92
类型十五 求图形面积问题
42．△ABC是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地．如果∠C＝90°，AC＝300米，AB＝500米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮a元计算，那么共需要资金（ ）
A．5000a元B．60000a元C．120000a元D．150000a元
43．(2023秋•岱岳区期末）“绿水青山，就是金山银山”，党的十八大以来，生态文明建设，可持续发展理念深入人心，我们泰安的城市绿化率持续增加．△ABC是某小区一块三角形空地，已知∠A＝150°，AB＝30m，AC＝20m，如果在这块空地上种草皮，每平方米草皮费用按120元计算，则这块空地种植草皮需要资金（ ）元．
A．36000B．24000C．18000D．12000
44．(2023秋•青岛期末）如图，已知一块四边形草地ABCD，其中∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，AB＝10m，CD＝5m，则这块土地的面积为 ．
45．(2023秋•城关区校级期末）如图有一块四边形的空地ABCD，其中∠ADC＝90°，CD＝3米，AD＝4米，AB＝13米，BC＝12米．求出空地ABCD的面积．
46．(2023秋•沙坪坝区期末）为弘扬劳动精神，让同学们在实践中体验劳动、认识劳动，从而培养尊重劳动、热爱劳动、尊重劳动人民的品质，学校准备在校园的一角开垦一块如图所示的四边形土地ABCD．经测量，∠B＝90°，AB＝3m，BC＝4m，CD＝13m，DA＝12m，请计算该四边形土地的面积．
47．(2023春•长清区期末）如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成，在一次游园活动中，数学小组制作了一面“赵爽弦图锣”，其中∠AEB＝90°，AB＝13cm，BE＝5cm，则阴影部分的面积是（ ）
A．169cm2B．25cm2C．49cm2D．64cm2
类型十六 求水池深度问题
48．(2023秋•南关区校级期末）如图，水池中离岸边D点4米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是2米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，则水池的深度AC为多少米．
49．(2023春•襄州区期末）如图，一个直径为10cm的杯子，在它的正中间竖直放一根筷子，筷子露出杯子外1cm，当筷子倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端刚好触到杯口，筷子长度为（ ）
A．10B．12C．13D．14
类型十七 寻宝问题
50．(2023秋•渠县校级期末）暑假中，小明到某海岛探宝，如图，他到达海岛登陆点后先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北走6km处往东一拐，仅1km就找到宝藏，问登陆点到埋宝藏点的直线距离是多少？
类型十八 零件尺寸问题
51．(2023春•香坊区期末）如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），可以计算出两图孔中心B和C的距离为（ ）mm．
A．120B．135C．3061D．150
类型十九 勾股定理之走“走捷径”问题
52．(2023秋•顺义区期末）如图是某路口处草坪的一角，当行走路线是A→C→B时，有人为了抄近道而避开路的拐角∠ACB（∠ACB＝90°），于是在草坪内走出了一条不该有的捷径路AB．某学习实践小组通过测量可知，AC的长约为6米，BC的长约为8米，为了提醒居民爱护草坪，他们想在A，B处设立“踏破青白可惜，多行数步无妨”的提示牌．则提示牌上的“多行数步”是指多行 米．
53．(2023•东宝区校级模拟）如图，有一正方形花圃ABCD，其边长为8m．雯雯为了避开拐角走捷径（从点A到点D），直接从对角线AD上走出了一条“路”，却踩伤了花草，她实际上仅仅少走的路长为（ ）
A．（16﹣82）mB．（16−2）mC．（16﹣42）mD．（8﹣82）m
54．(2023春•武邑县校级期末）课间休息时，嘉嘉从教室窗户向外看，看到行人为从A处快速到达图书馆B处，直接从长方形草地中穿过．为保护草地，嘉嘉想在A处立一个标牌：“少走■米，踏之何忍？”如图，若AB＝17米，BC＝8米，则标牌上“■”处的数字是（ ）
A．6B．8C．10D．11
类型二十 橡皮筋拉长问题
55．(2023春•夏津县期末）如图，长为12cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升8cm至D点，则橡皮筋被拉长了（ ）
A．5cmB．6cmC．8cmD．10cm
56．(2023春•潢川县月考）如图，一条伸直的橡皮筋AB的两端被固定在水平桌面上，C是AB上的一点，AB＝5cm，AC＝4cm，将橡皮筋从C点向上垂直拉升2cm到D点．
（1）求橡皮筋比原来拉长了多少cm；
（2）判断△ABD的形状，并说明理由．
专题12 勾股定理的实际应用分类训练（解析版）
专题诠释：本专题总结了最近常考的勾股定理实际应用类型共计二十种。全部精选最新试题，欢迎下载使用。
类型一 勾股定理之大树折断模型
1．(2023秋•辉县市期末）如图1，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米处折断倒下，树顶落在离树根12米处，图2是这棵大树折断的示意图，则这棵大树在折断之前的高是（ ）
A．20米B．18米C．16米D．15米
思路引领：利用勾股定理进行求解即可．
解：设大树在折断之前的高是xm，
由勾股定理得：（x﹣5）2＝122+52，
解得：x＝18或x＝﹣8（不符合题意，舍去），
∴大树在折断之前的高是18m；
故选：B．
总结提升：本题考查勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理是解题的关键．
2．(2023秋•郯城县校级期末）如图，一根竖直的木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成30°角，则木杆折断之前高度约为 m．
思路引领：根据直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半，求出折断后的顶端落在地面上的那段的高度，再加上竖直的高度，即为木杆折断之前高度．
解：如图，由题意，得：∠BAC＝90°，AB＝3m，∠C＝30°，
则：BC＝2AB＝6m，
∴木杆折断之前高度约为：AB+BC＝9m；
故答案为：9．
总结提升：本题考查解直角三角形的应用．熟练掌握30°角所对的直角边是斜边的一半，是解题的关键．
3．(2023秋•达川区期末）如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面6米B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为8米，则这棵大树在折断前的高度为（ ）
A．10米B．12米C．14米D．16米
思路引领：先根据勾股定理求出大树折断部分的高度，再根据大树的高度等于折断部分的长与未断部分的和即可得出结论．
解：∵△ABC是直角三角形，AB＝6m，AC＝8m，
∴BC=AB2+AC2=62+82=10（m），
∴大树的高度＝AB+BC＝6+10＝16（m）．
故选：D．
总结提升：本题考查的是勾股定理的应用，解答此题的关键是先根据勾股定理求出BC的长度，再根据大树的高度＝AB+BC进行解答．
4．(2023秋•泰山区期末）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为 ．
思路引领：根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x尺，再利用勾股定理列出方程即可．
解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，则AB＝10﹣x，BC＝6，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即x2+62＝（10﹣x）2．
故答案为：x2+62＝（10﹣x）2．
总结提升：本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用．
类型二 勾股定理之小鸟飞行距离问题
5．(2023秋•绿园区校级期末）如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞行（ ）
A．6mB．8mC．10mD．18m
思路引领：根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
解：两棵树的高度差为8﹣2＝6（m），间距为8米，
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离=82+62=10（m）．
故选：C．
总结提升：本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解．
6．(2023秋•运城期末）如图，∠AOB=90°，OA＝18cm，OB＝6cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？
思路引领：由题意可知，若设BC＝xcm，则AC＝xcm，OC＝OA﹣AC＝（18﹣x）cm，这样在Rt△BOC中，利用勾股定理就可建立一个关于“x”的方程，解方程即可求得结果．
解：小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，即BC＝CA，
设BC＝xcm，则AC＝xcm，OC＝OA﹣AC＝（18﹣x）cm，
∵∠AOB＝90°，
∴由勾股定理可知OB2+OC2＝BC2，
又∵OC＝（18﹣x）cm，OB＝6cm，
∴62+（18﹣x）2＝x2，
解方程得出x＝10（cm）．
答：机器人行走的路程BC是10cm．
总结提升：本题考查了勾股定理，解题的关键是，抓住“机器人与小球同时出发，速度相等”这两个条件，得到BC＝AC，从而将已知量和未知量集中到Rt△BOC中，就可利用勾股定理建立方程来求解．
类型三 求河宽
7．(2023秋•泰兴市期末）如图，某渡船从点B处沿着与河岸垂直的路线AB横渡，由于受水流的影响，实际沿着BC航行，上岸地点C与欲到达地点A相距70米，结果发现BC比河宽AB多10米，求该河的宽度AB．（两岸可近似看作平行）
思路引领：根据题意可知△ABC为直角三角形，根据勾股定理就可求出直角边BC的距离．
解：设AB＝x米，则BC＝（x+10）米，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得：m2+702＝（m+10）2，
解得 m＝240，
答：河宽240米．
总结提升：本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
类型四 求旗杆高度
8．(2023秋•城关区校级期末）如图所示，小刚想知道学校的旗杆有多高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了0.8m，当他把绳子下端拉开4m后，发现下端刚好接触地面，小刚算了算就知道了旗杆的高度．你知道他是怎样算出来的吗？
思路引领：设旗杆高为x m，那么绳长为（x+0.8）m，由勾股定理得x2+42＝（x+0.8）2，解方程即可；
解：设旗杆高为x m，那么绳长为（x+0.8）m，
由勾股定理得x2+42＝（x+0.8）2，解得x＝9.6．
答：旗杆的高度为9.6 m．
总结提升：本题考查勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题．
9．(2023春•平阴县期末）如图，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端9米处，发现此时绳子底端距离打结处约3米，则可算出旗杆的高度是（ ）米．
A．9B．11C．12D．15
思路引领：设旗杆的高度为x米，由勾股定理得出方程，解方程即可．
解：设旗杆的高度为x米，依题意得：
x2+92＝（x+3）2，
解得：x＝12；
故选：C．
总结提升：本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，从题意中勾画出勾股定理这一数学模型是解决问题的关键．
类型五 勾股定理之梯子滑动问题
10．(2023秋•烟台期末）一架长5m的梯子斜靠在墙上，梯子底端到墙的距离为3m．若梯子顶端下滑1m，那么梯子底端在水平方向上滑动了（ ）
A．1mB．小于1mC．大于1mD．无法确定
思路引领：已知AB，BC，在直角△ABC中即可计算AC，梯子底端水平向外滑动1m，即AC1＝4米，A1B1＝AB＝5米，在直角△CA1B1中，根据勾股定理即可计算CB1，底端滑动的距离为CB1﹣CB．
解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5米，BC＝3米，由勾股定理得AC＝4米，
△A1BC1中，∠C＝90°，A1B1＝5米，A1C＝3米，由勾股定理得B1C＝4米，
∴BB1＝B1C﹣BC＝1（米）．
∴梯子底端在水平方向上滑动了1m，
故选：A．
总结提升：本题考查的是勾股定理的应用，关键是根据勾股定理解答．
11．(2023秋•长安区校级期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5m，则小巷的宽为（ ）
A．2mB．2.5mC．2.6mD．2.7m
思路引领：在Rt△ABC中，由勾股定理计算出AB的长，再在Rt△A′BD中由勾股定理计算出BD长，然后可得CD的长．
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=AC2+BC2=2．42+0．72=2.5（m），
∴A′B＝AB＝2.5米，
在Rt△A′BD中，由勾股定理得：BD=A′B2−A′D2=2．52−1．52=2（m），
∴CD＝BC+BD＝2+0.7＝2.7（m），
即小巷的宽为2.7米，
故选：D．
总结提升：此题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
12．(2023秋•蒲城县期末）某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人如图（1）．如图（2），已知云梯最多只能伸长到15m（即AB＝CD＝15m），消防车高3m，救人时云梯伸长至最长，在完成从12m（即BE＝12m）高的B处救人后，还要从15m（即DE＝15m）高的D处救人，这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？（延长AC交DE于点O，AO⊥DE，点B在DE上，OE的长即为消防车的高3m）．
思路引领：在Rt△ABO中，根据勾股定理得到AO和OC，于是得到结论．
解：在Rt△ABO中，
∵AB＝15m，OB＝12﹣3＝9（m），
∴AO=AB2−OB2=152−92=12（m），
在Rt△COD中，
∵∠COD＝90°，CD＝15m，OD＝15﹣3＝12（m），
∴OC=CD2−OD2=152−122=9（m），
∴AC＝OA﹣OC＝3（m），
答：AC为3m．
总结提升：本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
13．(2023秋•临汾期末）如图，某火车站内部墙面MN上有破损处（看作点A），现维修师傅需借助梯子DE完成维修工作．梯子的长度为5m，将其斜靠在这面墙上，测得梯子底部E离墙角N处3m，维修师傅爬到梯子顶部使用仪器测量，此时梯子顶部D距离墙面破损处lm．
（1）该火车站墙面破损处A距离地面有多高？
（2）如果维修师傅要使梯子顶部到地面的距离为4.8m，那么梯子底部需要向墙角方向移动多少米？
F
思路引领：（1）由勾股定理求出DN＝4m，即可得出结论；
（2）由勾股定理求出梯子底部与墙角的距离，即可得出结论．
解：（1）由题意得：AD＝1m，∠DNE＝90°，DE＝5m，NE＝3m，
∴DN=DE2−NE2=52−32=4（m），
∴AN＝AD+DN＝1+4＝5（m），
答：该火车站墙面破损处A距离地面有5m高；
（2）梯子顶部到地面的距离为4.8m时，梯子底部与墙角的距离为：52−(245)2=1.4（m），
则梯子底部需要向墙角方向移动的距离为：3﹣1.4＝1.6（m），
答：梯子底部需要向墙角方向移动1.6m．
总结提升：本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
类型六 解决水杯中筷子的问题
14．(2023秋•张店区校级期末）如图是一圆柱玻璃杯，从内部测得底面半径为6cm，高为16cm，现有一根长为25cm的吸管任意放入杯中，则吸管露在杯口外的长度最少是（ ）
A．6cmB．5cmC．9cmD．（25﹣273）cm
思路引领：吸管露出杯口外的长度最少，即在杯内最长，可用勾股定理解答．
解：∵底面半径为半径为6cm，高为16cm，
∴吸管露在杯口外的长度最少为：25−122+162=25﹣20＝5（厘米）．
故选：B．
总结提升：本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
15．(2023春•舒城县校级月考）如图，小明有一个圆柱形饮水杯．底面半径是6cm，高是16cm，上底面贴着杯壁有一个小圆孔，则一条长24cm的直吸管露在杯外部分a的长度（杯壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ）
A．8≤a≤10B．4≤a≤8C．4≤a≤273D．4≤a≤10
思路引领：先画出图形，即△ABC，∠ABC＝90°，则AB＝2×6＝12cm，BC＝16cm，根据勾股定理求得AC＝20cm，当直吸管按AC位置放置时，露在杯外部分a最短，当直吸管按BC位置放置时，露在杯外部分a最长，于是有16≤24﹣a≤20，解不等式求出不等式的解集即可．
解：如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝16cm，
∵圆柱形饮水杯的底面半径是6cm，
∴AB＝2×6＝12（cm），
∴AC=AB2+BC2=122+162=20（cm），
∵16≤24﹣a≤20，
∴4≤a≤8，
∴直吸管露在杯外部分a的长度范围是4≤a≤8，
故选：B．
总结提升：此题重点考查勾股定理的应用、圆柱的底面直径、高等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
16．(2023秋•海淀区校级期末）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支铅笔长为18cm，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．6cm
思路引领：首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出AC的长度．然后求其差．
解：根据题意可得图形：AB＝12cm，BC＝9cm，
在Rt△ABC中：AC=AB2+BC2=122+92=15（cm），
所以18﹣15＝3（cm），18﹣12＝6（cm）．
则这只铅笔在笔筒外面部分长度在3cm～6cm之间．
观察选项，只有选项A符合题意．
故选：A．
总结提升：此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出笔筒内铅笔的最短长度是解决问题的关键．
17．(2023春•绵阳期末）如图，在长方体ABCD﹣EFGH盒子中，已知AB＝4cm，BC＝3cm，CG＝5cm，长为10cm的细直木棒IJ恰好从小孔G处插入，木棒的一端I与底面ABCD接触，当木棒的端点Ⅰ在长方形ABCD内及边界运动时，GJ长度的最小值为（ ）
A．（10﹣52）cmB．3cmC．（10﹣42）cmD．5cm
思路引领：当GI最大时，GJ最小，当I运动到点A时，GI最大，根据勾股定理求解即可．
解：当GI最大时，GJ最小，当I运动到点A时，GI最大，此时GI=AC2+CG2，
而AC2＝AB2+BC2＝42+32＝25，
∴GI=25+52=50=52，
∴GJ长度的最小值为（10﹣52）cm．
故选：A．
总结提升：本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出GI的最大值是解题的关键．
类型七 判断受某某因素影响的范围
18．(2023秋•内江期末）为加强疫情防控，云南某中学在校门口区域进行入校体温检测．如图，入校学生要求沿着直线AB单向单排通过校门口，测温仪C与直线AB的距离为3m，已知测温仪的有效测温距离为5m，则学生沿直线AB行走时测温的区域长度为（ ）
A．4 mB．5mC．6mD．8m
思路引领：连接AC、BC，推理出AC＝BC＝5，过点C作CF⊥AB，易知CF＝3，然后在分别求出AF、CF的长，进而可得AB的长．
解：连接AC、BC，过点C作CF⊥AB于F，
因为测温仪的有效测温距离为5m，
所以AC＝BC＝5m，
又测温仪C与直线AB的距离为3m，
在Rt△ACF中，据勾股定理得：
AF=AC2−CF2=52−32=4（m），
同理得BF＝4m，
所以AB＝8m，
即学生沿直线AB行走时测温的区域长度为8m．
故选：D．
总结提升：本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
19．(2023春•宁津县期末）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度AB为2.5米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离BC为1.2米，头顶离感应器的距离AD为1.5米，则这名学生身高CD为（ ）米．
A．0.9B．1.3C．1.5D．1.6
思路引领：过点D作DE⊥AB于E，则CD＝BE，DE＝BC＝1.2米，由勾股定理得出AE＝0.9（米），则BE＝AB﹣AE＝1.6（米），即可得出答案．
解：过点D作DE⊥AB于E，如图所示：
则CD＝BE，DE＝BC＝1.2米=65米，
在Rt△ADE中，AD＝1.5米=32米，
由勾股定理得：AE=AD2−DE2=(32)2−(65)2=0.9（米），
∴BE＝AB﹣AE＝2.5﹣0.9＝1.6（米），
∴CD＝BE＝1.6米，
故选：D．
总结提升：本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
20．(2023春•南平期末）为预防新冠疫情，学校大门入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离AB＝2.3米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为1.7米的学生CD正对门缓慢走到离门0.8米处时（即BC＝0.8米），测温仪自动显示体温，此时人头顶到测温仪的距离AD等于（ ）
A．1.0米B．1.25米C．1.2米D．1.5米
思路引领：过点D作DE⊥AB于点E，构造Rt△ADE，利用勾股定理求得AD的长度即可．
解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AB＝2.3米，BE＝CD＝1.7米，ED＝BC＝0.8米，
∴AE＝AB﹣BE＝2.3﹣1.7＝0.6（米）．
在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD=AE2+DE2=0．62+0．82=1（米），
故选：A．
总结提升：本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段AD的长度．
21．(2023春•沂水县期中）如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如①图所示，人只要移至该门口4m及4m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”，如②图所示，一个身高1.5m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则该生头顶C到门铃A的距离为（ ）
A．3米B．4米C．5米D．6米
思路引领：根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理即可解答．
解：由题意可知．BE＝CD＝1.5m，AE＝AB﹣BE＝4.5﹣1.5＝3m，CE＝4m，
由勾股定理得AC=AE2+CE2=32+42=5（m），
故离门5米远的地方，门铃恰好自动响起．
故选：C．
总结提升：本题考查了勾股定理的应用．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
22．(2023秋•张店区校级期末）某市创建文明城市，采用移动宣讲的形式进行宣传动员，如图，笔直公路MN的一侧点A处有一学校，学校A到公路MN的距离AB＝480米，若宣讲车P周围800米以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路MN上延M到N的方向行驶时．
（1）请问学校A能否听到宣传，请说明理由．
（2）如果能听到，已知宣讲车的速度是256米/分，求学校A总共能听到多长时间的宣传．
思路引领：（1）根据学校A到公路MN的距离为480米＜800，于是得到结论；
（2）根据勾股定理得到BP＝BQ=10002−8002=640米，求得PQ＝1280米，于是得到结论．
解：（1）学校能听到宣传，
理由：∵学校A到公路MN的距离为480米＜800米，
∴学校能听到宣传；
（2）如图：假设当宣讲车行驶到P点开始影响学校，行驶Q点结束对学校的影响，
则AP＝AQ＝800米，AB＝480米，
∴BP＝BQ=8002−4802=640（米），
∴PQ＝1280米，
∴影响学校的时间为：1280÷256＝5（分钟），
∴学校A总共能听到5分钟的宣传．
总结提升：本题考查了勾股定理的应用，解题时结合生活实际，便于更好的理解题意．
23．(2023秋•开江县校级期末）如图，有一台环卫车沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，环卫车周围130m以内为受噪声影响区域．
（1）学校C会受噪声影响吗？为什么？
（2）若环卫车的行驶速度为每分钟50米，环卫车噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？
思路引领：（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出学校C是否会受噪声影响；
（2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出环卫车噪声影响该学校持续的时间．
解：（1）学校C会受噪声影响．
理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，
∵AC＝150m，BC＝200m，AB＝250m，
∴AC2+BC2＝AB2．
∴△ABC是直角三角形．
∴AC×BC＝CD×AB，
∴150×200＝250×CD，
∴CD=150×200250=120（m），
∵环卫车周围130m以内为受噪声影响区域，
∴学校C会受噪声影响．
（2）当EC＝130m，FC＝130m时，正好影响C学校，
∵ED=EC2−CD2=1302−1202=50（m），
∴EF＝100（m），
∵环卫车的行驶速度为每分钟50米，
∴100÷50＝2（分钟），
即环卫车噪声影响该学校持续的时间有2分钟．
总结提升：本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
类型八 求台阶上地毯的长度
24．(2023秋•南关区校级期末）如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（ ）
A．5米B．6米C．7米D．8米
思路引领：先求出AC的长，利用平移的知识可得出地毯的长度．
解：在Rt△ABC中，AC=AB2−BC2=4米，
故可得地毯长度＝AC+BC＝7米，
故选：C．
总结提升：此题考查了勾股定理的应用及平移的知识，属于基础题，利用勾股定理求出AC的长度是解答本题的关键．
25．(2023秋•丰城市校级期末）某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要 元．
思路引领：地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即AB与BC的和，在直角△ABC中，根据勾股定理即可求得AB的长，地毯的长与宽的积就是面积，再乘地毯每平方米的单价即可求解．
解：由勾股定理得AB=AC2−BC2=132−52=12（m），
则地毯总长为12+5＝17（m），
则地毯的总面积为17×2＝34（平方米），
所以铺完这个楼道至少需要34×20＝680（元）．
故答案为：680．
总结提升：本题考查了勾股定理的应用，正确理解地毯的长度的计算是解题的关键．
类型九 判断汽车是否超速
26．(2023秋•浑南区月考）“某市道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过60千米/时，如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A正前方24米的C处，过了1.5秒后到达B处（BC⊥AC），测得小汽车与车速检测仪间的距离AB为40米，判断这辆小汽车是否超速？若超速，则超速了多少？若没有超速，说明理由．
思路引领：根据勾股定理得出BC的长，进而得出小汽车1小时行驶76.8千米，进而得出答案．
解：小汽车已超速，理由如下：
根据题意得：AC＝24米，AB＝40米，∠ACB＝90°，
在Rt△ACB中，根据勾股定理得：BC=AB2−AC2=402−242=32（米），
∵小汽车1.5秒行驶32米，
∴小汽车行驶速度为76.8千米/时，
∵76.8＞60，
∴小汽车已超速，超速76.8﹣60＝16.8（千米/时）．
总结提升：此题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理得出BC的长是解题的关键．
27．(2023秋•南海区月考）“交通管理条例第三十五条”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正方50米处，过了6秒后，测得小汽车与车速检测仪距离130米．
（1）求小汽车6秒走的路程；
（2）求小汽车每小时所走的路程，并判定小汽车是否超速？
思路引领：（1）过点A作AD⊥BC，可得AD＝50米，设汽车经过6秒后到达点E，连接AE，则有AE＝130米，利用勾股定理可求得DE的长，即小汽车6秒所走的路程；
（2）利用速度＝路程÷时间，即可判断．
解：（1）过点A作AD⊥BC，设汽车经过6秒后到达点E，连接AE，如图所示：
由题意可得：AD＝50米，AE＝130米，
在Rt△ADE中，
DE=AE2−AD2
=1302−502
＝120（米），
答：小汽车6秒走的路程为120米；
（2）小汽车6秒中的平均速度为：120÷6＝20（米/秒）＝72（千米/小时），
∵72＞70，
∴小汽车超速了．
总结提升：本题主要考查勾股定理的应用，解答的关键是理解清楚题意，作出相应的图形．
类型十 根据条件选址问题
28．(2023秋•佛山校级期末）铁路上A，B两站（视为直线上的两点）相距25km，C，D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B（如图），已知DA＝10km，CB＝15km，现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E，使得C，D两村庄到收购站E的直线距离相等，请求出收购站E到A站的距离．
思路引领：由勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方即可求，即在直角三角形DAE和直角三角形CBE中，DE2＝AD2+AE2，CE2＝BE2+BC2，得出AD2+AE2＝BE2+BC2，设AE为xkm，则BE＝（25﹣x） km，将BC＝10代入关系式即可求得．
解：∵C、D两村到E站距离相等，
∴CE＝DE，
在Rt△DAE和Rt△CBE中，DE2＝AD2+AE2，CE2＝BE2+BC2，
∴AD2+AE2＝BE2+BC2．
设AE为xkm，则BE＝（25﹣x） km，
将BC＝10，DA＝15代入关系式为x2+102＝（25﹣x）2+152，
解得x＝15，
∴E站应建在距A站15km处．
总结提升：此题考查勾股定理的应用，基础知识要熟练掌握．
类型十一 勾股定理之航海问题
29．(2023秋•城关区校级期末）如图，中俄“海上联合﹣2017”军事演习在海上编队演习中，两艘航母护卫舰从同一港口O同时出发，一号舰沿南偏西30°方向以12海里/小时的速度航行，二号舰以16海里/小时速度航行，离开港口1.5小时后它们分别到达A，B两点，相距30海里，则二号舰航行的方向是（ ）
A．南偏东30°B．北偏东30°C．南偏东 60°D．南偏西 60°
思路引领：直接利用已知得出AO，BO，AB的长，再利用勾股定理的逆定理得出∠BOA的度数，进而得出答案．
解：由题意可得：BO＝16×1.5＝24（海里），
AO＝12×1.5＝18（海里），AB＝30海里，
则此时：AO2+BO2＝AB2，
故△AOB是直角三角形，
则∠BOA＝90°，
∵∠AOD＝30°，
∴∠DOB＝60°，
∴2号舰的航行方向是：南偏东60°．
故选：C．
总结提升：此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角，正确得出△AOB是直角三角形是解题关键．
30．(2023秋•金台区月考）如图所示，甲渔船以8海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口O向西北方向航行，他们同时出发，一个小时后，甲、乙两渔船相距（ ）海里．
A．8B．10C．12D．13
思路引领：根据题意可知∠AOB＝90°，然后求出出发一个小时后，OA＝8×1＝8（海里），OB＝6×1＝6（海里），最后根据勾股定理求解即可．
解：∵甲渔船离开港口O向东北方向航行，乙渔船离开港口O向西北方向航行，
∴∠AOB＝90°，
∴出发一个小时后，OA＝8×1＝8（海里），OB＝6×1＝6（海里），
∴AB=OA2+OB2=82+62=10（海里），
故选：B．
总结提升：此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理．
31．(2023秋•伊川县期末）如图，甲乙两船同时从A港出发，甲船沿北偏东35°的方向，以每小时12海里的速度向B岛驶去．乙船沿南偏东55°的方向向C岛驶去，2小时后，两船同时到达了目的地．若C、B两岛的距离为30海里，问乙船的航速是多少？
思路引领：首先求得线段AB的长，然后利用勾股定理求得线段AC的长，然后除以时间即可得到乙船的速度．
解：根据题意得：AB＝12×2＝24，BC＝30，∠BAC＝90°．…（1分）
∴AC2+AB2＝BC2．
∴AC2＝BC2﹣AB2＝302﹣242＝324
∴AC＝18．…（4分）
∴乙船的航速是：18÷2＝9海里/时．…（6分）
总结提升：本题考查了勾股定理的知识及方向角的内容，解题的关键是正确的整理出直角三角形求解．
32．(2023秋•青岛期末）如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度向北偏东42°方向航行，乙船向南偏东48°方向航行，0.5小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C，B两岛相距17海里，问乙船的航速是多少？
思路引领：先根据方位角求出∠BAC＝180°﹣42°﹣48°＝90°，然后根据勾股定理求出AB=BC2−AC2=172−82=15，最后根据速度公式算出速度即可．
解：根据题意可知：∠BAC＝180°﹣42°﹣48°＝90°，AC＝16×0.5＝8（海里），
在Rt△ABC中AB=BC2−AC2=172−82=15（海里），
乙船的航速是：150.5=30（海里/时），
答：乙船的航速是30海里/时．
总结提升：本题主要考查了方位角，勾股定理，解题的关键是根据勾股定理求出AB的长度．
类型十二 求最短路径
33．(2023秋•武山县期末）如图所示，有三条道路围成Rt△ABC，其中BC＝1000m，一个人从B处出发沿着BC行走了700m，到达D处，AD恰为∠CAB的平分线，则此时这个人到AB的最短距离为（ ）
A．1000mB．700mC．300mD．1700m
思路引领：根据角平分线的性质得出DC＝D点到AB的距离，进而解答即可．
解：∵AD恰为∠CAB的平分线，DC⊥AC，
∴DC＝D点到AB的距离，
∵BC＝1000m，BD＝700m，
∴DC＝300m，
∴D点到AB的最短距离＝300m，
故选：C．
总结提升：本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
34．(2023秋•南关区校级期末）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在一条直线上），并新修一条路CH，测得BC＝6千米，CH＝4.8千米，BH＝3.6千米．
（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路线（即CH与AB是否垂直）？请通过计算加以说明．
（2）求原来的路线AC的长．
思路引领：（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；
（2）根据勾股定理解答即可．
解：（1）是，
理由是：在△CHB中，
∵CH2+BH2＝（4.8）2+（3.6）2＝36，
BC2＝36，
∴CH2+BH2＝BC2，
∴CH⊥AB，
所以CH是从村庄C到河边的最近路；
（2）设AC＝x千米，
在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣3.6，CH＝6，
由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2
∴x2＝（x﹣3.6）2+62，
解这个方程，得x＝6.8，
答：原来的路线AC的长为6.8米．
总结提升：此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理和定理解答．
35．(2023秋•榆树市期末）如图，在笔直的公路AB旁有一座山，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为15km，与公路上另一停靠站B的距离为20km，停靠站A、B之间的距离为25km，且CD⊥AB．
（1）求修建的公路CD的长；
（2）若公路CD修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？
思路引领：（1）根据勾股定理的逆定理可求∠ACB＝90°，再根据三角形面积公式即可求解；
（2）先根据勾股定理求出BD，进一步求得一辆货车从C处经过D点到B处的路程．
解：（1）∵AC＝15km，BC＝20km，AB＝25km，
152+202＝252，
∴△ACB是直角三角形，∠ACB＝90°，
∴CD=12AC×BC÷12÷AB＝12（km）．
故修建的公路CD的长是12km；
（2）在Rt△BDC中，BD=BC2−CD2=16（km），
一辆货车从C处经过D点到B处的路程＝CD+BD＝12+16＝28（km）．
故一辆货车从C处经过D点到B处的路程是28km．
总结提升：本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形，以便利用勾股定理．
类型十三 勾股定理之小船移动问题
36．(2023秋•长安区校级期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，且绳长始终保持不变．回答下列问题：
（1）根据题意可知：AC BC+CE（填“＞”、“＜”、“＝”）．
（2）若CF＝5米，AF＝12米，AB＝8米，求小男孩需向右移动的距离．（结果保留根号）
思路引领：（1）由绳长始终保持不变即可求解；
（2）由勾股定理求出AC、BC的长，然后根据CE＝AC﹣BC即可求解．
解：（1）∵AC的长度是男孩未拽之前的绳子长，（BC+CE）的长度是男孩拽之后的绳子长，绳长始终保持不变，
∴AC＝BC+CE，
故答案为：＝；
（2）连接AB，则点A、B、F三点共线，
在Rt△CAF中，AC=AF2+CF2=122+52=13（米），
∵BF＝AF﹣AB＝12﹣8＝4（米），
在Rt△CBF中，BC=CF2+BF2=52+42=41（米），
∵AC＝BC+CE，
∴CE=AC−BC=(13−41)（米），
∴男孩需向右移动的距离为(13−41)米．
总结提升：本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出AC、BC的长是解题的关键．
37．(2023秋•平昌县期末）如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了 米．
思路引领：在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD＝AB﹣AD可得BD长．
解：在Rt△ABC中：
∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，
∴AB=BC2−AC2=172−82=15（米），
∵CD＝10（米），
∴AD=CD2−AC2=100−64=6（米），
∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米），
答：船向岸边移动了9米，
故答案为：9．
总结提升：此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
38．(2023秋•新华区校级期末）如图是一个滑梯示意图，若将滑梯BD水平放置，则刚好与DE一样长，已知滑梯的高度CE为4米，BC为1米．
（1）求滑道BD的长度；
（2）若把滑梯BD改成滑梯BF，使∠BFA＝60°，则求出DF的长．（精确到0.1米，参考数据：3≈1.732）
思路引领：（1）由题意可得：△ABD是直角三角形，∠BAD＝90°，且BD＝DE，设滑道BD的长度为x米，则DE＝x米，AD＝DE﹣AE＝（x﹣1）米，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（2）设AF＝a米，则BF＝2a米，由勾股定理得AB=3a（米），则3a＝﹣4，解得a=433，即可解决问题．
解：（1）由题意可得：△ABD是直角三角形，∠BAD＝90°，且BD＝DE，
∵BC＝1，CE＝4，
∴AE＝1，AB＝4，
设滑道BD的长度为x米，则DE＝x米，AD＝DE﹣AE＝（x﹣1）米，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：42+（x﹣1）2＝x2，
解得：x=172，
答：滑道BD的长度为172米；
（2）∵∠BFA＝60°，
∴∠ABF＝90°﹣∠BFA＝30°，
∴BF＝2AF，
设AF＝a米，则BF＝2a米，
∴AB=BF2−AF2=(2a)2−a2=3a（米），
∴3a=4，
解得：a=433，
∴AF=433（米），
由（1）可知，AD=172−1=152（米），
∴DF=AD−AF=152−433≈5.2（米）．
答：DF的长约为5.2米．
总结提升：本题考查了勾股定理的应用以及含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
类型十四 勾股定理之荡秋千问题
39．(2023秋•高新区校级期末）如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B．最终荡到最高点C处，若∠AOC＝90°，点A与点B的高度差AD＝1米，水平距离BD＝4米，则点C与点B的高度差CE为（ ）米．
A．4B．4.5C．5D．5.5
思路引领：作AF⊥BO于F，CG⊥BO于G，根据AAS可证△AOF≌△OCG，根据全等三角形的性质可得OG＝4米，在Rt△AFO中，根据勾股定理可求AO，可求OB，再根据线段的和差关系和等量关系可求点C与点B的高度差CE．
解：作AF⊥BO于F，CG⊥BO于G，
∵∠AOC＝∠AOF+∠COG＝90°，
∠AOF+∠OAF＝90°，
∴∠COG＝∠OAF，
在△AOF与△OCG中，
∠AFO=∠OGC∠OAF=∠COGAO=OC，
∴△AOF≌△OCG（AAS），
∴OG＝AF＝BD＝4米，
设AO＝x米，
在Rt△AFO中，AF2+OF2＝AO2，即42+（x﹣1）2＝x2，
解得x＝8.5．
则CE＝GB＝OB﹣OG＝8.5﹣4＝4.5（米）．
故选：B．
总结提升：考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
40．(2023秋•市北区校级期末）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地0.5米，将它往前推3米时，踏板离地1.5米，此时秋千的绳索是拉直的，则秋千的长度是（ ）
A．3米B．4米C．5米D．6米
思路引领：设OA＝OB＝x米，用x表示出OC的长，在直角三角形OCB中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果．
解：设OA＝OB＝x米，
∵BC＝DE＝3米，DC＝1.5米，
∴CA＝DC﹣AD＝1.5﹣0.5＝1（米），OC＝OA﹣AC＝（x﹣1）米，
在Rt△OCB中，OC＝（x﹣1）米，OB＝x米，BC＝3米，
根据勾股定理得：x2＝（x﹣1）2+32，
解得：x＝5，
则秋千的长度是5米．
故选：C．
总结提升：此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
41．(2023秋•卧龙区校级期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．
如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1m，将它往前推6m至C处时（即水平距离CD＝6m），踏板离地的垂直高度CF＝4m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（ ）m．
A．212B．152C．6D．92
思路引领：设绳长为xm，再根据直角三角的勾股定理列方程，解方程即可．
解：设绳长为x米，
在Rt△ADC中，
AD＝AB﹣BD＝AB﹣（DE﹣BE）＝x﹣（4﹣1）＝（x﹣3）米，
DC＝6m，AC＝x米，
∴AB2+DC2＝AC2，
根据题意列方程：x2＝（x﹣3）2+62，
解得：x=152，
∴绳索AC的长是152．
故选：B．
总结提升：本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是读懂题意，掌握勾股定理，运用勾股定理解决问题．
类型十五 求图形面积问题
42．△ABC是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地．如果∠C＝90°，AC＝300米，AB＝500米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮a元计算，那么共需要资金（ ）
A．5000a元B．60000a元C．120000a元D．150000a元
思路引领：由勾股定理求出BC＝400米，再求出△ABC的面积，从而得出答案．
解：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝300米，AB＝500米，
∴BC=AB2−AC2=5002−3002=400（米），
∴S△ABC=12AC•BC=12×300×400＝60000（平方米），
∴共需要资金为60000a元．
故选：B．
总结提升：此题考查了勾股定理的应用以及三角形面积的计算，由勾股定理求出BC的长是解题的关键．
43．(2023秋•岱岳区期末）“绿水青山，就是金山银山”，党的十八大以来，生态文明建设，可持续发展理念深入人心，我们泰安的城市绿化率持续增加．△ABC是某小区一块三角形空地，已知∠A＝150°，AB＝30m，AC＝20m，如果在这块空地上种草皮，每平方米草皮费用按120元计算，则这块空地种植草皮需要资金（ ）元．
A．36000B．24000C．18000D．12000
思路引领：先作△ABC的高BD，求出∠BAD＝30°，再得出BD=12AB，再根据S△ABC=12•AC•BD求出三角形的面积，最后根据这种草皮每平方米120元，即可得出答案．
解：作△ABC的高BD，
∵∠BAC＝150°，
∴∠BAD＝30°，
∴BD=12AB=12×30＝15（m），
∴S△ABC=12•AC•BD=12×20×15＝150（m2），
∵这种草皮每平方米120元，
∴购买这种草皮至少要150×120＝18000（元），
故选：C．
总结提升：此题考查了含30度角的直角三角形，关键是作出辅助线，求出三角形的高和面积，熟练掌握30度角的直角三角形的性质是解题的关键．
44．(2023秋•青岛期末）如图，已知一块四边形草地ABCD，其中∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，AB＝10m，CD＝5m，则这块土地的面积为 ．
思路引领：分别延长AD，BC交于点E，证△ABE和△CDE都是等腰直角三角形，然后求出△ABE和△CDE的面积即可求解．
解：如图，分别延长AD，BC交于点E．
∵∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，
∴∠DCE＝∠DEB＝∠A＝45°，
∴AB＝BE，CD＝DE，
∵AB＝10m，CD＝5m，
∴BE＝10m，DE＝5m，
∵S△ABE=12AB•BE=12×10×10＝50（m2），S△CDE=12CD•DE=12×5×5＝12.5（m2），
∴四边形ABCD的面积＝S△ABE﹣S△CDE＝50﹣12.5＝37.5（m2）
即这块土的面积为37.5m2．
故答案为：37.5m2．
总结提升：本题考查了等腰直角三角形的性质，解题的关键是：通过作辅助线，构造新的直角三角形，利用四边形ABCD的面积＝S△ABE﹣S△CED来求解．
45．(2023秋•城关区校级期末）如图有一块四边形的空地ABCD，其中∠ADC＝90°，CD＝3米，AD＝4米，AB＝13米，BC＝12米．求出空地ABCD的面积．
思路引领：连接AC，在直角三角形ACD中可求得AC的长，由AC、AB、BC的长度关系可得三角形ABC为一直角三角形，AB为斜边；由此看，四边形ABCD的面积等于Rt△ABC面积减Rt△ACD的面积解答即可．
解：连接AC，
在Rt△ACD中，AC2＝CD2+AD2＝32+42＝52，
在△ABC中，AB2＝132，BC2＝122，
而52+122＝132，
即AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ACB﹣S△ACD=12AC•BC−12AD•CD
=12×5×12−12×4×3＝24（m2）．
总结提升：本题考查了勾股定理的应用，通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三角形，这样解题较为简单．
46．(2023秋•沙坪坝区期末）为弘扬劳动精神，让同学们在实践中体验劳动、认识劳动，从而培养尊重劳动、热爱劳动、尊重劳动人民的品质，学校准备在校园的一角开垦一块如图所示的四边形土地ABCD．经测量，∠B＝90°，AB＝3m，BC＝4m，CD＝13m，DA＝12m，请计算该四边形土地的面积．
思路引领：连接AC，先根据勾股定理求出AC的长，然后利用勾股定理的逆定理证明△ACD为直角三角形，从而用求和的方法求面积．
解：连接AC，
由勾股定理得：AC=32+42=5（m），
∵AC2+DA2＝25+144，CD2＝169，
∴AC2+AD2＝CD2，
∴∠CAD＝90°，
四边形土地的面积＝SRt△ABC+SRt△ACD=12AB•BC+12AC•DA=12（3×4+5×12）＝36（m2），
故该四边形土地的面积为36m2．
总结提升：此题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用、三角形的面积公式，解答本题的关键是作出辅助线，求出图形的总面积．
47．(2023春•长清区期末）如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成，在一次游园活动中，数学小组制作了一面“赵爽弦图锣”，其中∠AEB＝90°，AB＝13cm，BE＝5cm，则阴影部分的面积是（ ）
A．169cm2B．25cm2C．49cm2D．64cm2
思路引领：在Rt△ABE中，根据勾股定理求出AE的长，根据4个直角三角形是全等的，得到AH＝BE＝5，从而得到小正方形的边长，进而求出面积．
解：在Rt△ABE中，
AE=AB2−BE2=132−52=12cm，
∵4个直角三角形是全等的，
∴AH＝BE＝5cm，
∴小正方形的边长＝AE﹣AH＝12﹣5＝7cm，
∴阴影部分的面积＝72＝49（cm2），
故选：C．
总结提升：本题考查了勾股定理的应用，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．
类型十六 求水池深度问题
48．(2023秋•南关区校级期末）如图，水池中离岸边D点4米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是2米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，则水池的深度AC为多少米．
思路引领：首先设水池的深度为x米，则竹竿长为（x+2）米，然后再利用勾股定理可得方程x2+42＝（x+2）2，再解即可．
解：设水池的深度为x米，由题意得：
x2+42＝（x+2）2，
解得：x＝3．
答：水池的深度为3米．
总结提升：此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法．
49．(2023春•襄州区期末）如图，一个直径为10cm的杯子，在它的正中间竖直放一根筷子，筷子露出杯子外1cm，当筷子倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端刚好触到杯口，筷子长度为（ ）
A．10B．12C．13D．14
思路引领：设杯子的高度是xcm，那么筷子的高度是（x+1）cm，因为直径为10cm的杯子，可根据勾股定理列方程求解．
解：设杯子的高度是xcm，那么筷子的高度是（x+1）cm，
∵杯子的直径为10cm，
∴杯子半径为5cm，
∴x2+52＝（x+1）2，
解得x＝12，
12+1＝13（cm）．
答：筷子长13cm．
故选：C．
总结提升：本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是看到构成的直角三角形，以及各边的长．
类型十七 寻宝问题
50．(2023秋•渠县校级期末）暑假中，小明到某海岛探宝，如图，他到达海岛登陆点后先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北走6km处往东一拐，仅1km就找到宝藏，问登陆点到埋宝藏点的直线距离是多少？
思路引领：通过行走的方向和距离得出对应的线段的长度，构造直角三角形利用勾股定理求解．
解：过点B作BD⊥AC于点D，
根据题意可知，AD＝8﹣3+1＝6千米，BD＝2+6＝8千米，
在Rt△ADB中，由勾股定理得AB=AD2+BD2=10千米，
答：登陆点到宝藏处的距离为10千米．
总结提升：本题考查了矩形的性质以及勾股定理的应用，解题的根据是结合图形，读懂题意，根据题意找到需要的数量关系，运用勾股定理求线段的长度．
类型十八 零件尺寸问题
51．(2023春•香坊区期末）如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），可以计算出两图孔中心B和C的距离为（ ）mm．
A．120B．135C．3061D．150
思路引领：如图，在Rt△ABC中，AC＝180﹣60＝120（mm），AB＝150﹣60＝90（mm），然后利用勾股定理即可求出两圆孔中心B和C的距离．
解：如图，在Rt△ABC中，AC＝180﹣60＝120（mm），AB＝150﹣60＝90（mm），
∴BC=AC2+AB2=150（mm），
∴两圆孔中心B和C的距离为150mm．
故选：D．
总结提升：此题主要考查勾股定理在实际中的应用，首先正确从图中找到所需要的数量关系，然后利用公式即可解决问题．
类型十九 勾股定理之走“走捷径”问题
52．(2023秋•顺义区期末）如图是某路口处草坪的一角，当行走路线是A→C→B时，有人为了抄近道而避开路的拐角∠ACB（∠ACB＝90°），于是在草坪内走出了一条不该有的捷径路AB．某学习实践小组通过测量可知，AC的长约为6米，BC的长约为8米，为了提醒居民爱护草坪，他们想在A，B处设立“踏破青白可惜，多行数步无妨”的提示牌．则提示牌上的“多行数步”是指多行 米．
思路引领：由勾股定理求出AB＝10米，即可解决问题．
解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6米，BC＝8米，
∴AB=AC2+BC2=62+82=10（米），
∴AC+BC﹣AB＝6+8﹣10＝4（米），
∴他们只为少走4米的路，
故答案为：4．
总结提升：本题主要考查勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题的关键．
53．(2023•东宝区校级模拟）如图，有一正方形花圃ABCD，其边长为8m．雯雯为了避开拐角走捷径（从点A到点D），直接从对角线AD上走出了一条“路”，却踩伤了花草，她实际上仅仅少走的路长为（ ）
A．（16﹣82）mB．（16−2）mC．（16﹣42）mD．（8﹣82）m
思路引领：利用勾股定理求出AB的长，再根据少走的路长为AC+BC﹣AB，计算即可．
解：由勾股定理得，AD=AB2+BD2=82+82=82（m），
∴少走的路长为AB+BD﹣AD＝8+8﹣82=16﹣82（m），
故选：A．
总结提升：本题主要考查了勾股定理的应用，明确少走的路为AB+BD﹣AD是解题的关键．
54．(2023春•武邑县校级期末）课间休息时，嘉嘉从教室窗户向外看，看到行人为从A处快速到达图书馆B处，直接从长方形草地中穿过．为保护草地，嘉嘉想在A处立一个标牌：“少走■米，踏之何忍？”如图，若AB＝17米，BC＝8米，则标牌上“■”处的数字是（ ）
A．6B．8C．10D．11
思路引领：利用勾股定理求出AC，即可得出答案．
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AC=AB2−BC2=172−82=15（米），
∴AC+BC﹣AB＝15+8﹣17＝6（米），
故选：A．
总结提升：本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
类型二十 橡皮筋拉长问题
55．(2023春•夏津县期末）如图，长为12cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升8cm至D点，则橡皮筋被拉长了（ ）
A．5cmB．6cmC．8cmD．10cm
思路引领：根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD﹣AB即为橡皮筋拉长的距离．
解：根据题意得：AD＝BD，AC＝BC，AB⊥CD，
则在Rt△ACD中，AC=12AB＝6cm，CD＝8cm；
根据勾股定理得：AD=AC2+CD2=62+82=10（cm）；
所以AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝20﹣12＝8（cm）；
即橡皮筋被拉长了8cm；
故选：C．
总结提升：此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用；熟练掌握等腰三角形的性质，由勾股定理求出AD是解决问题的关键．
56．(2023春•潢川县月考）如图，一条伸直的橡皮筋AB的两端被固定在水平桌面上，C是AB上的一点，AB＝5cm，AC＝4cm，将橡皮筋从C点向上垂直拉升2cm到D点．
（1）求橡皮筋比原来拉长了多少cm；
（2）判断△ABD的形状，并说明理由．
思路引领：（1）根据勾股定理求出AD和DB，即可得到结论；
（2）利用勾股定理的逆定理解答即可．
解：（1）∵AB＝5cm，AC＝4cm，CD＝2cm，
在Rt△ACD中，
由勾股定理得，AD=AC2+CD2=42+22=25（cm），
在Rt△ACD中，
由勾股定理得，DB=CD2+BC2=22+12=5（cm），
AD+DB﹣AB＝25+5−5＝（35−5）（cm）
答：橡皮筋比原来拉伸了（35−5）cm；
（2）△ABD是直角三角形，
理由如下：∵AB2＝52＝25，AD2+DB2＝（25）2+（5）2＝20+5＝25，
∴AB2＝AD2+DB2，
∴△ABD是直角三角形．
总结提升：此题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解决问题的关键．
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