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人教版八年级数学下册 专题25 一次函数中数学思想方法（原卷版+解析）
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这是一份人教版八年级数学下册 专题25 一次函数中数学思想方法（原卷版+解析），共26页。试卷主要包含了数形结合思想，方程思想，分类讨论思想，函数与建模思想等内容，欢迎下载使用。
1．(2023春•高邑县期中）如图是变量y与x之间的函数图象，则函数y的取值范围是（ ）
A．﹣3≤y≤3B．0≤y≤2C．0≤y≤3D．1≤y≤3
2．(2023•博望区校级一模）函数y=ax(x−b)2的图象如图所示：其中a、b为常数．由学习函数的经验，可以推断常数a、b的值满足（ ）
A．a＞0，b＞0B．a＜0，b＞0C．a＞0，b＜0D．a＜0，b＜0
3．(2023•天津模拟）如图，直线y=−13x+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y＝x交于点E，点E的横坐标为3．
（1）求点A的坐标；
（2）在x轴上有一点P（m，0），过点P作x轴的垂线，与直线y=−13x+b交于点C，与直线y＝x交于点D．若CD＝4，求m的值．
4．(2023•罗湖区校级模拟）如图1，在长方形ABCD中，AB＝12cm，BC＝10cm，点P从A出发，沿A→B→C→D的路线运动，到D停止；点Q从D点出发，沿D→C→B→A路线运动，到A点停止．若P、Q两点同时出发，速度分别为每秒1cm、2cm，a秒时P、Q两点同时改变速度，分别变为每秒2cm、54cm（P、Q两点速度改变后一直保持此速度，直到停止），如图2是△APD的面积s（cm2）和运动时间x（秒）的图象．
（1）求出a值；
（2）设点P已行的路程为y1（cm），点Q还剩的路程为y2（cm），请分别求出改变速度后，y1、y2和运动时间x（秒）的关系式；
（3）求P、Q两点都在BC边上，x为何值时P、Q两点相距3cm？
类型二 方程思想
5．(2023•海淀区校级模拟）定义：关于x的一次函数y＝ax+b与y＝bx+a（ab≠0）叫做一对交换函数，例如：一次函数y＝3x+4与y＝4x+3就是一对交换函数．
（1）一次函数y＝2x﹣b的交换函数是 ；
（2）当b≠﹣2时，（1）中两个函数图象交点的横坐标是 ；
（3）若（2）中两个函数图象与y轴围成的三角形的面积为4，求b的值．
6．(2023春•河东区期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0）．现将线段AB向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到线段AB的对应线段CD，连接AC，BD．
（1）点D的坐标为 ；
（2）在y轴上存在一点P，连接PA，PB，且S△PAB＝2，求出满足条件的所有点P的坐标 ．
7．(2023春•上杭县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0）和（3，0）现将线段AB平移得到线段CD，且点A的对应点C的坐标为（0，2），连接AD．
（1）直接写出点D的坐标为 ，△ABD的面积为 ；
（2）平移线段AD得线段EF，点A的对应点E的坐标为E（a，b），如果x＝a，y＝b是方程2x+y＝﹣3的解，且点F在第一象限的角平分线上，求a，b的值．
（3）点P（t，0）是x轴上位于点A右侧的动点连接PC，将线段PC向右平移得线段QD，其中点P的对应点为Q，点C的对应点为D，H是DQ的中点，如果△BDH和△PBD面积相等，求t的值．
类型三 分类讨论思想
8．(2023秋•和平区校级期中）已知一次函数y＝kx+b，当0≤x≤2时，对应的函数值y的取值范围是﹣2≤y≤6，则kb的值为（ ）
A．8B．﹣24C．8或24D．﹣8或﹣24
9．(2023秋•裕华区校级月考）表格中的两组对应值满足一次函数y＝kx+b，现画出了它的图象为直线l，（如图：而某同学为观察k，b对图象的影响，将上面函数中的k与b交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线l′．
（1）求直线l的解析式；
（2）请在图上画出直线l′（不要求列表计算），并求直线l'被直线l和y轴所截线段的长；
（2）设直线y＝a与直线l，l′及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接写出a的值．
10．(2023秋•南海区月考）（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA；
（2）模型应用，如图2：
①已知直线y=34x+3与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段AB绕点B逆时针旋转90度，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的解析式；
②在x轴上是否存在点P，使△ABP为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
类型四 函数与建模思想
11．(2023•方城县三模）某销售公司准备购进A、B两种商品，已知购进3件A商品和2件B商品，需要1100元；购进5件A商品和3件B商品，需要1750元．
（1）求A、B两种商品的进货单价分别是多少元？
（2）若该公司购进A商品200件，B商品300件，准备把这些商品全部运往甲、乙两地销售，已知每件A商品运往甲、乙两地的运费分别为20元和25元；每件B商品运往甲、乙两地的运费分别为15元和24元．若运往甲地的商品共240件，运往乙地的商品共260件．设运往甲地的A商品为x（件），总运费为y（元）．
①请写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
②设投资的总费用为w元，怎样调运A、B两种商品可使投资总费用最少？最少费用是多少元？（投资总费用＝购进商品的费用+运费）
12．(2023春•固始县期末）某校计划购买A、B两种防疫物资共200套，要求A种物资的数量不低于B种物资数量的14，且不高于B种物资数量的13，A、B两种物资的单价分别是150元/套、100元/套，设购买A种物资x套，购买这两种物资所需的总费用为y元．
（1）直接写出y关于x的函数关系式．
（2）求总费用y的最小值．
13．(2023•河西区二模）假定甲、乙、丙三地依次在一条直线上，甲乙两地间的距离为280km，乙丙两地之间的距离为140km．一艘游轮从甲地出发前往丙地，途中经过乙地停留时，一艘货轮也沿着同样的线路从甲地出发前往丙地．已知游轮的速度为20km/h，游轮从甲地到达丙地共用了23小时．
若将游轮行驶的时间记为t（h），两艘轮船距离甲地的路程s（km）关于t（h）的图象如图所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）．
（Ⅰ）写出游轮从甲地到乙地所用的时长 ；游轮在乙地停留的时长 ；
（Ⅱ）直接写出游轮在行驶的过程中s关于t的函数解析式；
（Ⅲ）若货轮比游轮早36分钟到达丙地，则货轮出发后几小时追上游轮？
14．(2023秋•渠县期末）【建立模型】课本第7页介绍：美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，直线l过等腰直角三角形ABC的直角顶点C：过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E研究图形，不难发现：△MDC≌△CEB．（无需证明）：
【模型运用】
（1）如图2，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（0，﹣2），A点的坐标为（4，0），求B点坐标；
（2）如图3，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝2x+4分别与y轴，x轴交于点A，B，将直线l1绕点A顺时针或逆时针旋转45°得到l2，请任选一种情况求l2的函数表达式；
（3）如图4，在平面直角坐标系，点B（6，4），过点B作AB⊥y轴于点A，作BC⊥x轴于点C，P为线段BC上的一个动点，点Q（a，2a﹣4）位于第一象限．问点A，P，Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出a的值；若不能，请说明理由．
x
﹣1
0
y
﹣2
1
专题25 一次函数中数学思想方法（解析版）
类型一 数形结合思想
1．(2023春•高邑县期中）如图是变量y与x之间的函数图象，则函数y的取值范围是（ ）
A．﹣3≤y≤3B．0≤y≤2C．0≤y≤3D．1≤y≤3
思路引领：观察函数图象纵坐标的变化范围，然后得出答案即可．
解：根据函数图象给出的数据可得：自变量y的取值范围是0≤y≤3；
故选：C．
总结提升：本题考查了函数自变量的取值范围，熟记函数概念并准确识图是解题的关键．
2．(2023•博望区校级一模）函数y=ax(x−b)2的图象如图所示：其中a、b为常数．由学习函数的经验，可以推断常数a、b的值满足（ ）
A．a＞0，b＞0B．a＜0，b＞0C．a＞0，b＜0D．a＜0，b＜0
思路引领：由两支曲线的分界线在y轴左侧可以判断b的正负，由x＞0时的函数图象判断a的正负．
解：∵y=ax(x−b)2，
∴x的取值范围是x≠b，
由图可知，两支曲线的分界线位于y轴的右侧，
∴b＞0，
由图可知，当x＞0时的函数图象位于x轴的下方，
∴当x＞0时，y＜0，
又∵当x＞0时，（x﹣b）2＞0，
∴a＜0，
故选：B．
总结提升：本题考查了函数的图象与系数之间的关系，能够从函数的图象中获取信息是解题的关键．
3．(2023•天津模拟）如图，直线y=−13x+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y＝x交于点E，点E的横坐标为3．
（1）求点A的坐标；
（2）在x轴上有一点P（m，0），过点P作x轴的垂线，与直线y=−13x+b交于点C，与直线y＝x交于点D．若CD＝4，求m的值．
思路引领：（1）由点E的坐标确定b的值，求出直线AB的解析式即可解决问题；
（2）根据CD＝4列出方程，解方程即可解决问题．
解：（1）∵E为y＝x与y=−13x+b的交点，且点E的横坐标为3，
∴E（3，3），
∴3=−13×3+b，
∴b＝4，
∴直线AB的解析式为y=−13x+4，当y＝0时，x＝12，
∴A（12，0）．
（2）由题意C（m，−13m+4），D（m，m），
∴CD=|m−(−13m+4)|=|43m−4|，
∵CD＝4，
∴|43m−4|=4，
解得m＝6或m＝0．
∴m＝6或m＝0．
总结提升：本题考查一次函数的应用，解题的关键是灵活运用待定系数法确定函数的解析式，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题．
4．(2023•罗湖区校级模拟）如图1，在长方形ABCD中，AB＝12cm，BC＝10cm，点P从A出发，沿A→B→C→D的路线运动，到D停止；点Q从D点出发，沿D→C→B→A路线运动，到A点停止．若P、Q两点同时出发，速度分别为每秒1cm、2cm，a秒时P、Q两点同时改变速度，分别变为每秒2cm、54cm（P、Q两点速度改变后一直保持此速度，直到停止），如图2是△APD的面积s（cm2）和运动时间x（秒）的图象．
（1）求出a值；
（2）设点P已行的路程为y1（cm），点Q还剩的路程为y2（cm），请分别求出改变速度后，y1、y2和运动时间x（秒）的关系式；
（3）求P、Q两点都在BC边上，x为何值时P、Q两点相距3cm？
思路引领：（1）根据图象变化确定a秒时，P点位置，利用面积求a；
（2）P、Q两点的函数关系式都是在运动6秒的基础上得到的，因此注意在总时间内减去6秒．
（3）以（2）为基础可知，两个点相距3cm分为相遇前相距或相遇后相距，因此由（2）可列方程．
解：（1）由图象可知，当点P在BC上运动时，△APD的面积保持不变，
则a秒时，点P在点AB上，则12×10AP=30
∴AP＝6
则a＝6
（2）由（1）6秒后点P变速，则点P已行的路程为y1＝6+2（x﹣6）＝2x﹣6
∵Q点路程总长为34cm，第6秒时已经走12cm，点Q还剩的路程为y2＝34﹣12−54(x−6)=592−54x
（3）当P、Q两点相遇前相距3cm时，
592−54x−（2x﹣6）＝3
解得x＝10
当P、Q两点相遇后相距3cm时
（2x﹣6）﹣（592−54x）＝3
解得x=15413，
∴当x＝10或15413时，P、Q两点相距3cm
总结提升：本题是双动点问题，解答时应注意分析图象的变化与动点运动位置之间的关系．列函数关系式时，要考虑到时间x的连续性才能直接列出函数关系式．
类型二 方程思想
5．(2023•海淀区校级模拟）定义：关于x的一次函数y＝ax+b与y＝bx+a（ab≠0）叫做一对交换函数，例如：一次函数y＝3x+4与y＝4x+3就是一对交换函数．
（1）一次函数y＝2x﹣b的交换函数是 ；
（2）当b≠﹣2时，（1）中两个函数图象交点的横坐标是 ；
（3）若（2）中两个函数图象与y轴围成的三角形的面积为4，求b的值．
思路引领：（1）由题意可以写出一次函数y＝2x﹣b的交换函数；
（2）根据题意和（1）中的结果，可以求得当b≠﹣2时，（1）中两个函数图象交点的横坐标；
（3）根据题意和（1）、（2）的结果，可以计算出b的值．
解：（1）由题意可得，
一次函数y＝2x﹣b的交换函数是y﹣bx+2，
故答案为：y＝﹣bx+2；
（2）由题意可得，
当2x﹣b＝﹣bx+2时，解得x＝1，
即当b≠﹣2时，（1）中两个函数图象交点的横坐标是x＝1，
故答案为：x＝1；
（3）函数y＝2x﹣b与y轴的交点是（0，﹣b），函数y＝﹣bx+2与y轴的交点为（0，2），
由（2）知，当b≠﹣2时，（1）中两个函数图象交点的横坐标是x＝1，
∵（1）中两个函数图象与y轴围成的三角形的面积为4，
∴|−b−2|×12=4，
解得b＝6或b＝﹣10，
即b的值是6或﹣10．
总结提升：本题考查一次函数的性质、三角形的面积、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和新定义解答．
6．(2023春•河东区期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0）．现将线段AB向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到线段AB的对应线段CD，连接AC，BD．
（1）点D的坐标为 ；
（2）在y轴上存在一点P，连接PA，PB，且S△PAB＝2，求出满足条件的所有点P的坐标 ．
思路引领：（1）由平移的性质可得D（4，2）；
（2）设出P的坐标，用S△PAB＝S四边形ABDC建立方程，解方程即可；
解：（1）∵点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），将线段AB向上平移2个单位，再向右平移1个单位，
∴D的坐标为（3+1，0+2），
即D的坐标为（4，2），
故答案为：（4，2）；
（2）设点P（0，a），
则AB＝3﹣（﹣1）＝4，PO＝|a|，
根据题意，得：12AB•PO＝2，
即12×4•|a|＝2，
解得 a＝±1，
∴P（0，1）或P（0，﹣1）．
故答案为：（0，1）或（0，﹣1）．
总结提升：主要考查了平移的性质，计算三角形面积的方法，解本题的关键用三角形的面积公式建立方程计算．
7．(2023春•上杭县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0）和（3，0）现将线段AB平移得到线段CD，且点A的对应点C的坐标为（0，2），连接AD．
（1）直接写出点D的坐标为 ，△ABD的面积为 ；
（2）平移线段AD得线段EF，点A的对应点E的坐标为E（a，b），如果x＝a，y＝b是方程2x+y＝﹣3的解，且点F在第一象限的角平分线上，求a，b的值．
（3）点P（t，0）是x轴上位于点A右侧的动点连接PC，将线段PC向右平移得线段QD，其中点P的对应点为Q，点C的对应点为D，H是DQ的中点，如果△BDH和△PBD面积相等，求t的值．
思路引领：（1）由已知可得AB＝CD＝4，OC＝2，即可求点D与三角形ABD的面积；
（2）设AD向左平移m个单位，向上平移n个单位，则D点平移后F坐标（4﹣m，2+n），A平移后E坐标（﹣1﹣m，n），根据已知条件可得4﹣m＝2+n，2（﹣1﹣m）+n＝﹣3，即可求a与b；
（3）由已知条件可得Q（t+4，0），H（4+t2，1），根据△BDH和△PBD面积相等，可得BD∥PH，利用平行线的特点即可求解．
解：（1）∵点A，B的坐标分别为（﹣1，0）和（3，0），C的坐标为（0，2），
∴AB＝CD＝4，OC＝2，
∴D（4，2），
∴△ABD的面积=12×4×2=4；
故答案为（4，2），4；
（2）设AD向左平移m个单位，向上平移n个单位，
则D点平移后F坐标（4﹣m，2+n），A平移后E坐标（﹣1﹣m，n），
∵点F在第一象限的角平分线上，
∴4﹣m＝2+n，
∴n＝2﹣m，
∵E（a，b），x＝a，y＝b是方程2x+y＝﹣3的解，
∴2（﹣1﹣m）+n＝﹣3，
∴m＝1，
∴n＝1，
∴a＝﹣2，b＝1；
（3）∵PC向右平移得线段QD，P（t，0）
∴Q（t+4，0），
∵H是DQ的中点，
∴H（4+t2，1），
∵△BDH和△PBD面积相等，
∴BD∥PH，
∴2=14−t2，
∴t＝7．
S△PBD=12×PB×CO=12×（3﹣t）×2＝3﹣t，
S△BDH=12×S△BDQ=12×12×BQ×CO=12×12×（t+4﹣3）×2=12×（t+1），
∴3﹣t=12×（t+1），
∴t=53．
综上所述，t＝7或t=53．
总结提升：本题考查一次函数的图象及性质，图形的平移；根据平行四边形的特点，结合一次函数图象上点的坐标特点是解题的关键．
类型三 分类讨论思想
8．(2023秋•和平区校级期中）已知一次函数y＝kx+b，当0≤x≤2时，对应的函数值y的取值范围是﹣2≤y≤6，则kb的值为（ ）
A．8B．﹣24C．8或24D．﹣8或﹣24
思路引领：根据一次函数的性质，分k＞0和k＜0时两种情况讨论求解．
解：∵一次函数y＝kx+b，当0≤x＜2时，对应的函数值y的取值范围是﹣2≤y＜6，
∴①k＞0，
当k＞0时，y随x的增大而增大，即一次函数为增函数，
∴当x＝0时，y＝﹣2，当x＝2时，y＝6，
代入一次函数解析式y＝kx+b，
得：b=−22k+b=6，解得k=4b=−2，
∴kb＝4×（﹣2）＝﹣8．
②当k＜0时，y随x的增大而减小，即一次函数为减函数，
∴当x＝0时，y＝6，当x＝2时，y＝﹣2，
代入一次函数解析式y＝kx+b得：b=62k+b=−2，
解得k=−4b=6，
∴kb＝﹣4×6＝﹣24．
所以kb的值为﹣8或﹣24．
故选：D．
总结提升：此题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
9．(2023秋•裕华区校级月考）表格中的两组对应值满足一次函数y＝kx+b，现画出了它的图象为直线l，（如图：而某同学为观察k，b对图象的影响，将上面函数中的k与b交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线l′．
（1）求直线l的解析式；
（2）请在图上画出直线l′（不要求列表计算），并求直线l'被直线l和y轴所截线段的长；
（2）设直线y＝a与直线l，l′及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接写出a的值．
思路引领：（1）根据待定系数法求得即可；
（2）由题意可知直线l′为y＝x+3，则与y轴交点为（0，3），两直线解析式联立成方程组解方程组求得交点坐标，然后利用勾股定理即可求得；
（3）求得两条直线与直线y＝a的交点横坐标，分三种情况讨论求得即可．
解：（1）∵直线l：y＝kx+b中，当x＝﹣1时，y＝﹣2；当x＝0时，y＝1，
∴−k+b=−2b=1，解得k=3b=1，
∴直线l的解析式为y＝3x+1；
（2）由题意可知直线l′为y＝x+3，
画出直线l′如图，
由y＝x+3可知B（0，3），
由y=3x+1y=x+3解得x=1y=4，
∴两直线的交点A为（1，4），
∴直线l'被直线l和y轴所截线段AB=12+(4−3)2=2；
（3）把y＝a代入y＝3x+1得，a＝3x+1，解得x=a−13；
把y＝a代入y＝x+3得，a＝x+3，解得x＝a﹣3；
分三种情况：①当第三点在y轴上时，a﹣3+a−13=0，
解得a=52；
②当第三点在直线l上时，2×a−13=a﹣3，
解得a＝7；
③当第三点在直线l'上时，2×（a﹣3）=a−13，
解得a=175；
∴直线y＝a与直线l，l′及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，则a的值为52或7或175．
总结提升：本题考查了一次函数图象与几何变换，两直线相交问题，待定系数法求一次函数的解析式，勾股定理的应用，分类讨论是解题的关键．
10．(2023秋•南海区月考）（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA；
（2）模型应用，如图2：
①已知直线y=34x+3与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段AB绕点B逆时针旋转90度，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的解析式；
②在x轴上是否存在点P，使△ABP为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
思路引领：（1）CB＝CA，∠D＝∠E＝90°，再证明∠BCE＝∠CAD＝90°﹣∠ACD即可；
（2）①过C作CD⊥x轴于D，由△CDB≌△BOA求得C坐标，从而可求AC解析式；
②分三种情况，分别求出P的坐标即可．
解：（1）证明：∵AD⊥ED于D，BE⊥ED于E，
∴∠D＝∠E＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCE＝∠CAD＝90°﹣∠ACD，
在△BEC和△CDA中，
∠D=∠E∠BCE=∠CADCB=CA，
∴△BEC≌△CDA（AAS）；
（2）①过C作CD⊥x轴于D，如图：
在y=34x+3中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝﹣4，
∴A（0，3），B（﹣4，0），即OA＝3，OB＝4，
∵线段AB绕点B逆时针旋转90度，得到线段BC，
∴BC＝BA，∠ABC＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠CBD＝∠ABO，
而∠CDB＝∠BOA＝90°，
∴△CDB≌△BOA（AAS），
∴CD＝OB＝4，BD＝OA＝3，
∴OD＝OB+BD＝7，
∴C（﹣7，4），
设直线AC解析式为y＝kx+b，则4=−7k+b3=b，
解得k=−17b=3，
∴直线AC的解析式为y=−17x+3；
②存在x轴上是否存在点P，使△ABP为等腰三角形，理由如下：
∵A（0，3），B（﹣4，0），
∴AB＝5，
△ABP为等腰三角形，分三种情况：
（一）若AB＝AP，则B、P关于y轴对称，即P（4，0），
（二）若AB＝BP，则BP＝5，P横坐标为﹣4+5＝1或﹣4﹣5＝﹣9，
∴P（1，0）或（﹣9，0），
（三）若AP＝BP，则P在线段AB垂直平分线上，
∵A（0，3），B（﹣4，0），
∴线段AB中点坐标为（﹣2，32），
而直线AB为y=34x+3，
∴线段AB垂直平分线解析式为：y=−43x−76，
在y=−43x−76中令y＝0得x=−78，
∴P（−78，0），
综上所述，△ABP为等腰三角形，P坐标为：（4，0）或P（1，0）或（﹣9，0）或P（−78，0）．
总结提升：本题考查一次函数、等腰三角形及全等三角形等综合知识，解题的关键是利用全等三角形性质求出C坐标，难点是分类讨论．
类型四 函数与建模思想
11．(2023•方城县三模）某销售公司准备购进A、B两种商品，已知购进3件A商品和2件B商品，需要1100元；购进5件A商品和3件B商品，需要1750元．
（1）求A、B两种商品的进货单价分别是多少元？
（2）若该公司购进A商品200件，B商品300件，准备把这些商品全部运往甲、乙两地销售，已知每件A商品运往甲、乙两地的运费分别为20元和25元；每件B商品运往甲、乙两地的运费分别为15元和24元．若运往甲地的商品共240件，运往乙地的商品共260件．设运往甲地的A商品为x（件），总运费为y（元）．
①请写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
②设投资的总费用为w元，怎样调运A、B两种商品可使投资总费用最少？最少费用是多少元？（投资总费用＝购进商品的费用+运费）
思路引领：（1）设A种商品的进货单价是m元，B种商品的进货单价是n元，可得：3m+2n=11005m+3n=1750，即可解得A种商品的进货单价是200元，B种商品的进货单价是250元；
（2）①由题意得：y＝20x+25（200﹣x）+15（240﹣x）+24[260﹣（200﹣x）]＝4x+10040，由x≥0200−x≥0240−x≥0260−(200−x)≥0，得0≤x≤200且x为整数；
②w＝200×200+300×250+4x+10040＝4x+125040，根据一次函数性质得调运240件B商品到甲地，调运200件A商品、60件B商品到乙地可使投资总费用最少，最少费用是125040元．
解：（1）设A种商品的进货单价是m元，B种商品的进货单价是n元，
根据题意得：3m+2n=11005m+3n=1750，
解得：m=200n=250，
答：A种商品的进货单价是200元，B种商品的进货单价是250元；
（2）①由题意得：y＝20x+25（200﹣x）+15（240﹣x）+24[260﹣（200﹣x）]＝4x+10040，
∴y与x的函数关系式为：y＝4x+10040，
∵x≥0200−x≥0240−x≥0260−(200−x)≥0，
∴0≤x≤200且x为整数；
∴y＝4x+10040（0≤x≤200且x为整数）；
②由题意得：w＝200×200+300×250+4x+10040＝4x+125040，
∵k＝4＞0，
∴w随x的增大而增大，
而0≤x≤200，
∴当x＝0时，w最小＝4×0+125040＝125040（元），
此时的调运方案是：调运240件B商品到甲地，调运200件A商品、60件B商品到乙地；
答：调运240件B商品到甲地，调运200件A商品、60件B商品到乙地可使投资总费用最少，最少费用是125040元．
总结提升：本题考查二元一次方程组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式．
12．(2023春•固始县期末）某校计划购买A、B两种防疫物资共200套，要求A种物资的数量不低于B种物资数量的14，且不高于B种物资数量的13，A、B两种物资的单价分别是150元/套、100元/套，设购买A种物资x套，购买这两种物资所需的总费用为y元．
（1）直接写出y关于x的函数关系式．
（2）求总费用y的最小值．
思路引领：（1）根据题意得：y＝150x+100（200﹣x）＝50x+20000；
（2）由A种物资的数量不低于B种物资数量的14，且不高于B种物资数量的13，得40≤x≤50，根据一次函数的性质可得总费用y的最小值是22000元．
解：（1）根据题意得：y＝150x+100（200﹣x）＝50x+20000，
∴y关于x的函数关系式为y＝50x+20000；
（2）∵A种物资的数量不低于B种物资数量的14，且不高于B种物资数量的13，
∴14（200﹣x）≤x≤13（200﹣x），
解得40≤x≤50，
在y＝50x+20000中，
∵50＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴x＝40时，y取最小值，最小值为50×40+20000＝22000（元），
答：总费用y的最小值是22000元．
总结提升：本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能列出函数关系式．
13．(2023•河西区二模）假定甲、乙、丙三地依次在一条直线上，甲乙两地间的距离为280km，乙丙两地之间的距离为140km．一艘游轮从甲地出发前往丙地，途中经过乙地停留时，一艘货轮也沿着同样的线路从甲地出发前往丙地．已知游轮的速度为20km/h，游轮从甲地到达丙地共用了23小时．
若将游轮行驶的时间记为t（h），两艘轮船距离甲地的路程s（km）关于t（h）的图象如图所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）．
（Ⅰ）写出游轮从甲地到乙地所用的时长 14 ；游轮在乙地停留的时长 2 ；
（Ⅱ）直接写出游轮在行驶的过程中s关于t的函数解析式；
（Ⅲ）若货轮比游轮早36分钟到达丙地，则货轮出发后几小时追上游轮？
思路引领：（1）根据图象可得游轮从甲地到乙地所用的时间为14小时，从乙地到丙地所用的时间为7小时，从而可求停留的时间；
（2）结合（1），由图象得A（14，280），B（16，280），C（23，420），从而可求解；
（3）由题意可得货轮行驶的时间为8.4小时，从而可列出一元一次方程，则可求解．
解：（1）游轮从甲地到乙地所用的时间为：280÷20＝14（小时），
游轮从乙地到丙地所用的时间为：140÷20＝7（小时），
∵游轮从甲地到丙地共用了23小时，
∴游轮在乙地停留的时间为：23﹣14﹣7＝2（小时），
故答案为：14，2；
（2）由（1）得：A点坐标为：（14，280），
∵游轮到乙地后停留2小时，
∴B的坐标为：（16，280），C的坐标为：（23，420），
设OA段的解析式为：s＝kt（k≠0），
∴280＝14k，
解得：k＝20，
∴s＝20t（0≤t≤14），
AB段的解析式为：s＝280（14≤t≤16），
设BC段的解析式为s＝k1t+b（k1≠0），
∴16k1+b=28023k1+b=420，
解得：k1=20b=−40，
∴BC段的解析式为s＝20t﹣40（16＜t≤23）；
（3）由题意得，游轮出发14小时后，货轮再出发，且比游轮早36分钟到达丙地，
36分钟＝0.6小时，
∴货轮行驶的时间为：23﹣14﹣0.6＝8.4（小时），
∴货轮的速度为：420÷8.4＝50（km/h），
设货轮出发后x小时追上游轮，则游轮行驶的时间为：14+x﹣2＝（12+x）小时，
∴20（12+x）＝50x，
解得：x＝8，
答：货轮出发8小时追上游轮．
总结提升：本题主要考查一次函数的应用，解答的关键是由函数图象获取准确的信息．
14．(2023秋•渠县期末）【建立模型】课本第7页介绍：美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，直线l过等腰直角三角形ABC的直角顶点C：过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E研究图形，不难发现：△MDC≌△CEB．（无需证明）：
【模型运用】
（1）如图2，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（0，﹣2），A点的坐标为（4，0），求B点坐标；
（2）如图3，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝2x+4分别与y轴，x轴交于点A，B，将直线l1绕点A顺时针或逆时针旋转45°得到l2，请任选一种情况求l2的函数表达式；
（3）如图4，在平面直角坐标系，点B（6，4），过点B作AB⊥y轴于点A，作BC⊥x轴于点C，P为线段BC上的一个动点，点Q（a，2a﹣4）位于第一象限．问点A，P，Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出a的值；若不能，请说明理由．
思路引领：（1）如图1，过点B作BE⊥y轴于E．证明△CEB≌△AOC（AAS）推出BE＝OC＝2，CE＝AO＝4，可得B（﹣2，2），求出直线AB的解析式，即可解决问题；
（2）过点B作BC⊥AB交直线l2于点C，过点C作CD⊥x轴交于点D，由（1）的模型可得△BCD≌△ABO，求出C（﹣6，2），再由待定系数法求函数的解析式即可；
（3）分两种情况讨论：当Q点AB下方时，过Q点作EF∥x轴交y轴于点E，交BC于点F，由（1）的模型可得，△AEQ≌△QFP，可得EQ＝PF＝a，AE＝FQ＝4﹣（2a﹣4）＝8﹣2a，再由EQ+FQ＝6，求出a＝2（舍）；当Q点在AB上方时，同理可得EQ＝PF＝a，AE＝FQ＝2a﹣4﹣4＝2a﹣8，再由EQ+FQ＝6，可求a=143．
解：（1）如图2，过点B作BE⊥y轴于E，
∵点C的坐标为（0，﹣2），A点的坐标为（4，0），
∴OC＝2，OA＝4，
∵等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，
又∵BE⊥y轴，y轴⊥x轴，
∴∠BEC＝∠AOC＝∠ACB＝90°，
∴∠BCE+∠ACO＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠ACO＝∠CBE，
在△CEB和△AOC中，
∠BEC=∠AOC∠CBE=∠ACOBC=AC，
∴△CEB≌△AOC（AAS），
∴BE＝OC＝2，CE＝AO＝4，
∴OE＝CE﹣OC＝4﹣2＝2，
∴B（﹣2，2），
设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∵A（4，0），B（﹣2，2），
∴4k+b=0−2k+b=2，
∴k=−13b=43，
∴直线AB的解析式为y=−13x+43，
∵AB与y轴交点D，
∴D（0，43）；
（2）如图3，过点B作BC⊥AB交直线l2于点C，过点C作CD⊥x轴交于点D，
∵∠CAB＝45°，
∴BC＝AB，
由（1）的模型可得△BCD≌△ABO，
∵y＝2x+4与x轴的交点B（﹣2，0），A（0，4），
∴CD＝2，BD＝4，
∴C（﹣6，2），
设直线l2的解析式为y＝kx+b，
∴−6k+b=2b=4，
解得k=13b=4，
∴y=13x+4；
（3）点A，P，Q能构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，理由如下：
当Q点AB下方时，如图4，过Q点作EF∥x轴交y轴于点E，交BC于点F，
由（1）的模型可得，△AEQ≌△QFP，
∴AE＝FQ，EQ＝PF，
∵B（6，4），
∴OA＝4，CO＝6，
∵点Q（a，2a﹣4），
∴EQ＝PF＝a，AE＝FQ＝4﹣（2a﹣4）＝8﹣2a，
∵EQ+FQ＝6，
∴a+8﹣2a＝6，
解得a＝2，
∴Q（2，0），
∵Q点在第一象限，
∴a＝2（舍）；
当Q点在AB上方时，如图5，
同理可得EQ＝PF＝a，AE＝FQ＝2a﹣4﹣4＝2a﹣8，
∵EQ+FQ＝6，
∴a+2a﹣8＝6，
解得a=143．
综上所述：a的值为143．
总结提升：本题属于一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质和判定，坐标与图形性质等知识；解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形，运用面积法解决问题，属于压轴题．
x
﹣1
0
y
﹣2
1
1．(2023春•高邑县期中）如图是变量y与x之间的函数图象，则函数y的取值范围是（ ）
A．﹣3≤y≤3B．0≤y≤2C．0≤y≤3D．1≤y≤3
2．(2023•博望区校级一模）函数y=ax(x−b)2的图象如图所示：其中a、b为常数．由学习函数的经验，可以推断常数a、b的值满足（ ）
A．a＞0，b＞0B．a＜0，b＞0C．a＞0，b＜0D．a＜0，b＜0
3．(2023•天津模拟）如图，直线y=−13x+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y＝x交于点E，点E的横坐标为3．
（1）求点A的坐标；
（2）在x轴上有一点P（m，0），过点P作x轴的垂线，与直线y=−13x+b交于点C，与直线y＝x交于点D．若CD＝4，求m的值．
4．(2023•罗湖区校级模拟）如图1，在长方形ABCD中，AB＝12cm，BC＝10cm，点P从A出发，沿A→B→C→D的路线运动，到D停止；点Q从D点出发，沿D→C→B→A路线运动，到A点停止．若P、Q两点同时出发，速度分别为每秒1cm、2cm，a秒时P、Q两点同时改变速度，分别变为每秒2cm、54cm（P、Q两点速度改变后一直保持此速度，直到停止），如图2是△APD的面积s（cm2）和运动时间x（秒）的图象．
（1）求出a值；
（2）设点P已行的路程为y1（cm），点Q还剩的路程为y2（cm），请分别求出改变速度后，y1、y2和运动时间x（秒）的关系式；
（3）求P、Q两点都在BC边上，x为何值时P、Q两点相距3cm？
类型二 方程思想
5．(2023•海淀区校级模拟）定义：关于x的一次函数y＝ax+b与y＝bx+a（ab≠0）叫做一对交换函数，例如：一次函数y＝3x+4与y＝4x+3就是一对交换函数．
（1）一次函数y＝2x﹣b的交换函数是 ；
（2）当b≠﹣2时，（1）中两个函数图象交点的横坐标是 ；
（3）若（2）中两个函数图象与y轴围成的三角形的面积为4，求b的值．
6．(2023春•河东区期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0）．现将线段AB向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到线段AB的对应线段CD，连接AC，BD．
（1）点D的坐标为 ；
（2）在y轴上存在一点P，连接PA，PB，且S△PAB＝2，求出满足条件的所有点P的坐标 ．
7．(2023春•上杭县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0）和（3，0）现将线段AB平移得到线段CD，且点A的对应点C的坐标为（0，2），连接AD．
（1）直接写出点D的坐标为 ，△ABD的面积为 ；
（2）平移线段AD得线段EF，点A的对应点E的坐标为E（a，b），如果x＝a，y＝b是方程2x+y＝﹣3的解，且点F在第一象限的角平分线上，求a，b的值．
（3）点P（t，0）是x轴上位于点A右侧的动点连接PC，将线段PC向右平移得线段QD，其中点P的对应点为Q，点C的对应点为D，H是DQ的中点，如果△BDH和△PBD面积相等，求t的值．
类型三 分类讨论思想
8．(2023秋•和平区校级期中）已知一次函数y＝kx+b，当0≤x≤2时，对应的函数值y的取值范围是﹣2≤y≤6，则kb的值为（ ）
A．8B．﹣24C．8或24D．﹣8或﹣24
9．(2023秋•裕华区校级月考）表格中的两组对应值满足一次函数y＝kx+b，现画出了它的图象为直线l，（如图：而某同学为观察k，b对图象的影响，将上面函数中的k与b交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线l′．
（1）求直线l的解析式；
（2）请在图上画出直线l′（不要求列表计算），并求直线l'被直线l和y轴所截线段的长；
（2）设直线y＝a与直线l，l′及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接写出a的值．
10．(2023秋•南海区月考）（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA；
（2）模型应用，如图2：
①已知直线y=34x+3与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段AB绕点B逆时针旋转90度，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的解析式；
②在x轴上是否存在点P，使△ABP为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
类型四 函数与建模思想
11．(2023•方城县三模）某销售公司准备购进A、B两种商品，已知购进3件A商品和2件B商品，需要1100元；购进5件A商品和3件B商品，需要1750元．
（1）求A、B两种商品的进货单价分别是多少元？
（2）若该公司购进A商品200件，B商品300件，准备把这些商品全部运往甲、乙两地销售，已知每件A商品运往甲、乙两地的运费分别为20元和25元；每件B商品运往甲、乙两地的运费分别为15元和24元．若运往甲地的商品共240件，运往乙地的商品共260件．设运往甲地的A商品为x（件），总运费为y（元）．
①请写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
②设投资的总费用为w元，怎样调运A、B两种商品可使投资总费用最少？最少费用是多少元？（投资总费用＝购进商品的费用+运费）
12．(2023春•固始县期末）某校计划购买A、B两种防疫物资共200套，要求A种物资的数量不低于B种物资数量的14，且不高于B种物资数量的13，A、B两种物资的单价分别是150元/套、100元/套，设购买A种物资x套，购买这两种物资所需的总费用为y元．
（1）直接写出y关于x的函数关系式．
（2）求总费用y的最小值．
13．(2023•河西区二模）假定甲、乙、丙三地依次在一条直线上，甲乙两地间的距离为280km，乙丙两地之间的距离为140km．一艘游轮从甲地出发前往丙地，途中经过乙地停留时，一艘货轮也沿着同样的线路从甲地出发前往丙地．已知游轮的速度为20km/h，游轮从甲地到达丙地共用了23小时．
若将游轮行驶的时间记为t（h），两艘轮船距离甲地的路程s（km）关于t（h）的图象如图所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）．
（Ⅰ）写出游轮从甲地到乙地所用的时长 ；游轮在乙地停留的时长 ；
（Ⅱ）直接写出游轮在行驶的过程中s关于t的函数解析式；
（Ⅲ）若货轮比游轮早36分钟到达丙地，则货轮出发后几小时追上游轮？
14．(2023秋•渠县期末）【建立模型】课本第7页介绍：美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，直线l过等腰直角三角形ABC的直角顶点C：过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E研究图形，不难发现：△MDC≌△CEB．（无需证明）：
【模型运用】
（1）如图2，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（0，﹣2），A点的坐标为（4，0），求B点坐标；
（2）如图3，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝2x+4分别与y轴，x轴交于点A，B，将直线l1绕点A顺时针或逆时针旋转45°得到l2，请任选一种情况求l2的函数表达式；
（3）如图4，在平面直角坐标系，点B（6，4），过点B作AB⊥y轴于点A，作BC⊥x轴于点C，P为线段BC上的一个动点，点Q（a，2a﹣4）位于第一象限．问点A，P，Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出a的值；若不能，请说明理由．
x
﹣1
0
y
﹣2
1
专题25 一次函数中数学思想方法（解析版）
类型一 数形结合思想
1．(2023春•高邑县期中）如图是变量y与x之间的函数图象，则函数y的取值范围是（ ）
A．﹣3≤y≤3B．0≤y≤2C．0≤y≤3D．1≤y≤3
思路引领：观察函数图象纵坐标的变化范围，然后得出答案即可．
解：根据函数图象给出的数据可得：自变量y的取值范围是0≤y≤3；
故选：C．
总结提升：本题考查了函数自变量的取值范围，熟记函数概念并准确识图是解题的关键．
2．(2023•博望区校级一模）函数y=ax(x−b)2的图象如图所示：其中a、b为常数．由学习函数的经验，可以推断常数a、b的值满足（ ）
A．a＞0，b＞0B．a＜0，b＞0C．a＞0，b＜0D．a＜0，b＜0
思路引领：由两支曲线的分界线在y轴左侧可以判断b的正负，由x＞0时的函数图象判断a的正负．
解：∵y=ax(x−b)2，
∴x的取值范围是x≠b，
由图可知，两支曲线的分界线位于y轴的右侧，
∴b＞0，
由图可知，当x＞0时的函数图象位于x轴的下方，
∴当x＞0时，y＜0，
又∵当x＞0时，（x﹣b）2＞0，
∴a＜0，
故选：B．
总结提升：本题考查了函数的图象与系数之间的关系，能够从函数的图象中获取信息是解题的关键．
3．(2023•天津模拟）如图，直线y=−13x+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y＝x交于点E，点E的横坐标为3．
（1）求点A的坐标；
（2）在x轴上有一点P（m，0），过点P作x轴的垂线，与直线y=−13x+b交于点C，与直线y＝x交于点D．若CD＝4，求m的值．
思路引领：（1）由点E的坐标确定b的值，求出直线AB的解析式即可解决问题；
（2）根据CD＝4列出方程，解方程即可解决问题．
解：（1）∵E为y＝x与y=−13x+b的交点，且点E的横坐标为3，
∴E（3，3），
∴3=−13×3+b，
∴b＝4，
∴直线AB的解析式为y=−13x+4，当y＝0时，x＝12，
∴A（12，0）．
（2）由题意C（m，−13m+4），D（m，m），
∴CD=|m−(−13m+4)|=|43m−4|，
∵CD＝4，
∴|43m−4|=4，
解得m＝6或m＝0．
∴m＝6或m＝0．
总结提升：本题考查一次函数的应用，解题的关键是灵活运用待定系数法确定函数的解析式，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题．
4．(2023•罗湖区校级模拟）如图1，在长方形ABCD中，AB＝12cm，BC＝10cm，点P从A出发，沿A→B→C→D的路线运动，到D停止；点Q从D点出发，沿D→C→B→A路线运动，到A点停止．若P、Q两点同时出发，速度分别为每秒1cm、2cm，a秒时P、Q两点同时改变速度，分别变为每秒2cm、54cm（P、Q两点速度改变后一直保持此速度，直到停止），如图2是△APD的面积s（cm2）和运动时间x（秒）的图象．
（1）求出a值；
（2）设点P已行的路程为y1（cm），点Q还剩的路程为y2（cm），请分别求出改变速度后，y1、y2和运动时间x（秒）的关系式；
（3）求P、Q两点都在BC边上，x为何值时P、Q两点相距3cm？
思路引领：（1）根据图象变化确定a秒时，P点位置，利用面积求a；
（2）P、Q两点的函数关系式都是在运动6秒的基础上得到的，因此注意在总时间内减去6秒．
（3）以（2）为基础可知，两个点相距3cm分为相遇前相距或相遇后相距，因此由（2）可列方程．
解：（1）由图象可知，当点P在BC上运动时，△APD的面积保持不变，
则a秒时，点P在点AB上，则12×10AP=30
∴AP＝6
则a＝6
（2）由（1）6秒后点P变速，则点P已行的路程为y1＝6+2（x﹣6）＝2x﹣6
∵Q点路程总长为34cm，第6秒时已经走12cm，点Q还剩的路程为y2＝34﹣12−54(x−6)=592−54x
（3）当P、Q两点相遇前相距3cm时，
592−54x−（2x﹣6）＝3
解得x＝10
当P、Q两点相遇后相距3cm时
（2x﹣6）﹣（592−54x）＝3
解得x=15413，
∴当x＝10或15413时，P、Q两点相距3cm
总结提升：本题是双动点问题，解答时应注意分析图象的变化与动点运动位置之间的关系．列函数关系式时，要考虑到时间x的连续性才能直接列出函数关系式．
类型二 方程思想
5．(2023•海淀区校级模拟）定义：关于x的一次函数y＝ax+b与y＝bx+a（ab≠0）叫做一对交换函数，例如：一次函数y＝3x+4与y＝4x+3就是一对交换函数．
（1）一次函数y＝2x﹣b的交换函数是 ；
（2）当b≠﹣2时，（1）中两个函数图象交点的横坐标是 ；
（3）若（2）中两个函数图象与y轴围成的三角形的面积为4，求b的值．
思路引领：（1）由题意可以写出一次函数y＝2x﹣b的交换函数；
（2）根据题意和（1）中的结果，可以求得当b≠﹣2时，（1）中两个函数图象交点的横坐标；
（3）根据题意和（1）、（2）的结果，可以计算出b的值．
解：（1）由题意可得，
一次函数y＝2x﹣b的交换函数是y﹣bx+2，
故答案为：y＝﹣bx+2；
（2）由题意可得，
当2x﹣b＝﹣bx+2时，解得x＝1，
即当b≠﹣2时，（1）中两个函数图象交点的横坐标是x＝1，
故答案为：x＝1；
（3）函数y＝2x﹣b与y轴的交点是（0，﹣b），函数y＝﹣bx+2与y轴的交点为（0，2），
由（2）知，当b≠﹣2时，（1）中两个函数图象交点的横坐标是x＝1，
∵（1）中两个函数图象与y轴围成的三角形的面积为4，
∴|−b−2|×12=4，
解得b＝6或b＝﹣10，
即b的值是6或﹣10．
总结提升：本题考查一次函数的性质、三角形的面积、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和新定义解答．
6．(2023春•河东区期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0）．现将线段AB向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到线段AB的对应线段CD，连接AC，BD．
（1）点D的坐标为 ；
（2）在y轴上存在一点P，连接PA，PB，且S△PAB＝2，求出满足条件的所有点P的坐标 ．
思路引领：（1）由平移的性质可得D（4，2）；
（2）设出P的坐标，用S△PAB＝S四边形ABDC建立方程，解方程即可；
解：（1）∵点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），将线段AB向上平移2个单位，再向右平移1个单位，
∴D的坐标为（3+1，0+2），
即D的坐标为（4，2），
故答案为：（4，2）；
（2）设点P（0，a），
则AB＝3﹣（﹣1）＝4，PO＝|a|，
根据题意，得：12AB•PO＝2，
即12×4•|a|＝2，
解得 a＝±1，
∴P（0，1）或P（0，﹣1）．
故答案为：（0，1）或（0，﹣1）．
总结提升：主要考查了平移的性质，计算三角形面积的方法，解本题的关键用三角形的面积公式建立方程计算．
7．(2023春•上杭县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0）和（3，0）现将线段AB平移得到线段CD，且点A的对应点C的坐标为（0，2），连接AD．
（1）直接写出点D的坐标为 ，△ABD的面积为 ；
（2）平移线段AD得线段EF，点A的对应点E的坐标为E（a，b），如果x＝a，y＝b是方程2x+y＝﹣3的解，且点F在第一象限的角平分线上，求a，b的值．
（3）点P（t，0）是x轴上位于点A右侧的动点连接PC，将线段PC向右平移得线段QD，其中点P的对应点为Q，点C的对应点为D，H是DQ的中点，如果△BDH和△PBD面积相等，求t的值．
思路引领：（1）由已知可得AB＝CD＝4，OC＝2，即可求点D与三角形ABD的面积；
（2）设AD向左平移m个单位，向上平移n个单位，则D点平移后F坐标（4﹣m，2+n），A平移后E坐标（﹣1﹣m，n），根据已知条件可得4﹣m＝2+n，2（﹣1﹣m）+n＝﹣3，即可求a与b；
（3）由已知条件可得Q（t+4，0），H（4+t2，1），根据△BDH和△PBD面积相等，可得BD∥PH，利用平行线的特点即可求解．
解：（1）∵点A，B的坐标分别为（﹣1，0）和（3，0），C的坐标为（0，2），
∴AB＝CD＝4，OC＝2，
∴D（4，2），
∴△ABD的面积=12×4×2=4；
故答案为（4，2），4；
（2）设AD向左平移m个单位，向上平移n个单位，
则D点平移后F坐标（4﹣m，2+n），A平移后E坐标（﹣1﹣m，n），
∵点F在第一象限的角平分线上，
∴4﹣m＝2+n，
∴n＝2﹣m，
∵E（a，b），x＝a，y＝b是方程2x+y＝﹣3的解，
∴2（﹣1﹣m）+n＝﹣3，
∴m＝1，
∴n＝1，
∴a＝﹣2，b＝1；
（3）∵PC向右平移得线段QD，P（t，0）
∴Q（t+4，0），
∵H是DQ的中点，
∴H（4+t2，1），
∵△BDH和△PBD面积相等，
∴BD∥PH，
∴2=14−t2，
∴t＝7．
S△PBD=12×PB×CO=12×（3﹣t）×2＝3﹣t，
S△BDH=12×S△BDQ=12×12×BQ×CO=12×12×（t+4﹣3）×2=12×（t+1），
∴3﹣t=12×（t+1），
∴t=53．
综上所述，t＝7或t=53．
总结提升：本题考查一次函数的图象及性质，图形的平移；根据平行四边形的特点，结合一次函数图象上点的坐标特点是解题的关键．
类型三 分类讨论思想
8．(2023秋•和平区校级期中）已知一次函数y＝kx+b，当0≤x≤2时，对应的函数值y的取值范围是﹣2≤y≤6，则kb的值为（ ）
A．8B．﹣24C．8或24D．﹣8或﹣24
思路引领：根据一次函数的性质，分k＞0和k＜0时两种情况讨论求解．
解：∵一次函数y＝kx+b，当0≤x＜2时，对应的函数值y的取值范围是﹣2≤y＜6，
∴①k＞0，
当k＞0时，y随x的增大而增大，即一次函数为增函数，
∴当x＝0时，y＝﹣2，当x＝2时，y＝6，
代入一次函数解析式y＝kx+b，
得：b=−22k+b=6，解得k=4b=−2，
∴kb＝4×（﹣2）＝﹣8．
②当k＜0时，y随x的增大而减小，即一次函数为减函数，
∴当x＝0时，y＝6，当x＝2时，y＝﹣2，
代入一次函数解析式y＝kx+b得：b=62k+b=−2，
解得k=−4b=6，
∴kb＝﹣4×6＝﹣24．
所以kb的值为﹣8或﹣24．
故选：D．
总结提升：此题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
9．(2023秋•裕华区校级月考）表格中的两组对应值满足一次函数y＝kx+b，现画出了它的图象为直线l，（如图：而某同学为观察k，b对图象的影响，将上面函数中的k与b交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线l′．
（1）求直线l的解析式；
（2）请在图上画出直线l′（不要求列表计算），并求直线l'被直线l和y轴所截线段的长；
（2）设直线y＝a与直线l，l′及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接写出a的值．
思路引领：（1）根据待定系数法求得即可；
（2）由题意可知直线l′为y＝x+3，则与y轴交点为（0，3），两直线解析式联立成方程组解方程组求得交点坐标，然后利用勾股定理即可求得；
（3）求得两条直线与直线y＝a的交点横坐标，分三种情况讨论求得即可．
解：（1）∵直线l：y＝kx+b中，当x＝﹣1时，y＝﹣2；当x＝0时，y＝1，
∴−k+b=−2b=1，解得k=3b=1，
∴直线l的解析式为y＝3x+1；
（2）由题意可知直线l′为y＝x+3，
画出直线l′如图，
由y＝x+3可知B（0，3），
由y=3x+1y=x+3解得x=1y=4，
∴两直线的交点A为（1，4），
∴直线l'被直线l和y轴所截线段AB=12+(4−3)2=2；
（3）把y＝a代入y＝3x+1得，a＝3x+1，解得x=a−13；
把y＝a代入y＝x+3得，a＝x+3，解得x＝a﹣3；
分三种情况：①当第三点在y轴上时，a﹣3+a−13=0，
解得a=52；
②当第三点在直线l上时，2×a−13=a﹣3，
解得a＝7；
③当第三点在直线l'上时，2×（a﹣3）=a−13，
解得a=175；
∴直线y＝a与直线l，l′及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，则a的值为52或7或175．
总结提升：本题考查了一次函数图象与几何变换，两直线相交问题，待定系数法求一次函数的解析式，勾股定理的应用，分类讨论是解题的关键．
10．(2023秋•南海区月考）（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA；
（2）模型应用，如图2：
①已知直线y=34x+3与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段AB绕点B逆时针旋转90度，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的解析式；
②在x轴上是否存在点P，使△ABP为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
思路引领：（1）CB＝CA，∠D＝∠E＝90°，再证明∠BCE＝∠CAD＝90°﹣∠ACD即可；
（2）①过C作CD⊥x轴于D，由△CDB≌△BOA求得C坐标，从而可求AC解析式；
②分三种情况，分别求出P的坐标即可．
解：（1）证明：∵AD⊥ED于D，BE⊥ED于E，
∴∠D＝∠E＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCE＝∠CAD＝90°﹣∠ACD，
在△BEC和△CDA中，
∠D=∠E∠BCE=∠CADCB=CA，
∴△BEC≌△CDA（AAS）；
（2）①过C作CD⊥x轴于D，如图：
在y=34x+3中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝﹣4，
∴A（0，3），B（﹣4，0），即OA＝3，OB＝4，
∵线段AB绕点B逆时针旋转90度，得到线段BC，
∴BC＝BA，∠ABC＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠CBD＝∠ABO，
而∠CDB＝∠BOA＝90°，
∴△CDB≌△BOA（AAS），
∴CD＝OB＝4，BD＝OA＝3，
∴OD＝OB+BD＝7，
∴C（﹣7，4），
设直线AC解析式为y＝kx+b，则4=−7k+b3=b，
解得k=−17b=3，
∴直线AC的解析式为y=−17x+3；
②存在x轴上是否存在点P，使△ABP为等腰三角形，理由如下：
∵A（0，3），B（﹣4，0），
∴AB＝5，
△ABP为等腰三角形，分三种情况：
（一）若AB＝AP，则B、P关于y轴对称，即P（4，0），
（二）若AB＝BP，则BP＝5，P横坐标为﹣4+5＝1或﹣4﹣5＝﹣9，
∴P（1，0）或（﹣9，0），
（三）若AP＝BP，则P在线段AB垂直平分线上，
∵A（0，3），B（﹣4，0），
∴线段AB中点坐标为（﹣2，32），
而直线AB为y=34x+3，
∴线段AB垂直平分线解析式为：y=−43x−76，
在y=−43x−76中令y＝0得x=−78，
∴P（−78，0），
综上所述，△ABP为等腰三角形，P坐标为：（4，0）或P（1，0）或（﹣9，0）或P（−78，0）．
总结提升：本题考查一次函数、等腰三角形及全等三角形等综合知识，解题的关键是利用全等三角形性质求出C坐标，难点是分类讨论．
类型四 函数与建模思想
11．(2023•方城县三模）某销售公司准备购进A、B两种商品，已知购进3件A商品和2件B商品，需要1100元；购进5件A商品和3件B商品，需要1750元．
（1）求A、B两种商品的进货单价分别是多少元？
（2）若该公司购进A商品200件，B商品300件，准备把这些商品全部运往甲、乙两地销售，已知每件A商品运往甲、乙两地的运费分别为20元和25元；每件B商品运往甲、乙两地的运费分别为15元和24元．若运往甲地的商品共240件，运往乙地的商品共260件．设运往甲地的A商品为x（件），总运费为y（元）．
①请写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
②设投资的总费用为w元，怎样调运A、B两种商品可使投资总费用最少？最少费用是多少元？（投资总费用＝购进商品的费用+运费）
思路引领：（1）设A种商品的进货单价是m元，B种商品的进货单价是n元，可得：3m+2n=11005m+3n=1750，即可解得A种商品的进货单价是200元，B种商品的进货单价是250元；
（2）①由题意得：y＝20x+25（200﹣x）+15（240﹣x）+24[260﹣（200﹣x）]＝4x+10040，由x≥0200−x≥0240−x≥0260−(200−x)≥0，得0≤x≤200且x为整数；
②w＝200×200+300×250+4x+10040＝4x+125040，根据一次函数性质得调运240件B商品到甲地，调运200件A商品、60件B商品到乙地可使投资总费用最少，最少费用是125040元．
解：（1）设A种商品的进货单价是m元，B种商品的进货单价是n元，
根据题意得：3m+2n=11005m+3n=1750，
解得：m=200n=250，
答：A种商品的进货单价是200元，B种商品的进货单价是250元；
（2）①由题意得：y＝20x+25（200﹣x）+15（240﹣x）+24[260﹣（200﹣x）]＝4x+10040，
∴y与x的函数关系式为：y＝4x+10040，
∵x≥0200−x≥0240−x≥0260−(200−x)≥0，
∴0≤x≤200且x为整数；
∴y＝4x+10040（0≤x≤200且x为整数）；
②由题意得：w＝200×200+300×250+4x+10040＝4x+125040，
∵k＝4＞0，
∴w随x的增大而增大，
而0≤x≤200，
∴当x＝0时，w最小＝4×0+125040＝125040（元），
此时的调运方案是：调运240件B商品到甲地，调运200件A商品、60件B商品到乙地；
答：调运240件B商品到甲地，调运200件A商品、60件B商品到乙地可使投资总费用最少，最少费用是125040元．
总结提升：本题考查二元一次方程组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式．
12．(2023春•固始县期末）某校计划购买A、B两种防疫物资共200套，要求A种物资的数量不低于B种物资数量的14，且不高于B种物资数量的13，A、B两种物资的单价分别是150元/套、100元/套，设购买A种物资x套，购买这两种物资所需的总费用为y元．
（1）直接写出y关于x的函数关系式．
（2）求总费用y的最小值．
思路引领：（1）根据题意得：y＝150x+100（200﹣x）＝50x+20000；
（2）由A种物资的数量不低于B种物资数量的14，且不高于B种物资数量的13，得40≤x≤50，根据一次函数的性质可得总费用y的最小值是22000元．
解：（1）根据题意得：y＝150x+100（200﹣x）＝50x+20000，
∴y关于x的函数关系式为y＝50x+20000；
（2）∵A种物资的数量不低于B种物资数量的14，且不高于B种物资数量的13，
∴14（200﹣x）≤x≤13（200﹣x），
解得40≤x≤50，
在y＝50x+20000中，
∵50＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴x＝40时，y取最小值，最小值为50×40+20000＝22000（元），
答：总费用y的最小值是22000元．
总结提升：本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能列出函数关系式．
13．(2023•河西区二模）假定甲、乙、丙三地依次在一条直线上，甲乙两地间的距离为280km，乙丙两地之间的距离为140km．一艘游轮从甲地出发前往丙地，途中经过乙地停留时，一艘货轮也沿着同样的线路从甲地出发前往丙地．已知游轮的速度为20km/h，游轮从甲地到达丙地共用了23小时．
若将游轮行驶的时间记为t（h），两艘轮船距离甲地的路程s（km）关于t（h）的图象如图所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）．
（Ⅰ）写出游轮从甲地到乙地所用的时长 14 ；游轮在乙地停留的时长 2 ；
（Ⅱ）直接写出游轮在行驶的过程中s关于t的函数解析式；
（Ⅲ）若货轮比游轮早36分钟到达丙地，则货轮出发后几小时追上游轮？
思路引领：（1）根据图象可得游轮从甲地到乙地所用的时间为14小时，从乙地到丙地所用的时间为7小时，从而可求停留的时间；
（2）结合（1），由图象得A（14，280），B（16，280），C（23，420），从而可求解；
（3）由题意可得货轮行驶的时间为8.4小时，从而可列出一元一次方程，则可求解．
解：（1）游轮从甲地到乙地所用的时间为：280÷20＝14（小时），
游轮从乙地到丙地所用的时间为：140÷20＝7（小时），
∵游轮从甲地到丙地共用了23小时，
∴游轮在乙地停留的时间为：23﹣14﹣7＝2（小时），
故答案为：14，2；
（2）由（1）得：A点坐标为：（14，280），
∵游轮到乙地后停留2小时，
∴B的坐标为：（16，280），C的坐标为：（23，420），
设OA段的解析式为：s＝kt（k≠0），
∴280＝14k，
解得：k＝20，
∴s＝20t（0≤t≤14），
AB段的解析式为：s＝280（14≤t≤16），
设BC段的解析式为s＝k1t+b（k1≠0），
∴16k1+b=28023k1+b=420，
解得：k1=20b=−40，
∴BC段的解析式为s＝20t﹣40（16＜t≤23）；
（3）由题意得，游轮出发14小时后，货轮再出发，且比游轮早36分钟到达丙地，
36分钟＝0.6小时，
∴货轮行驶的时间为：23﹣14﹣0.6＝8.4（小时），
∴货轮的速度为：420÷8.4＝50（km/h），
设货轮出发后x小时追上游轮，则游轮行驶的时间为：14+x﹣2＝（12+x）小时，
∴20（12+x）＝50x，
解得：x＝8，
答：货轮出发8小时追上游轮．
总结提升：本题主要考查一次函数的应用，解答的关键是由函数图象获取准确的信息．
14．(2023秋•渠县期末）【建立模型】课本第7页介绍：美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，直线l过等腰直角三角形ABC的直角顶点C：过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E研究图形，不难发现：△MDC≌△CEB．（无需证明）：
【模型运用】
（1）如图2，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（0，﹣2），A点的坐标为（4，0），求B点坐标；
（2）如图3，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝2x+4分别与y轴，x轴交于点A，B，将直线l1绕点A顺时针或逆时针旋转45°得到l2，请任选一种情况求l2的函数表达式；
（3）如图4，在平面直角坐标系，点B（6，4），过点B作AB⊥y轴于点A，作BC⊥x轴于点C，P为线段BC上的一个动点，点Q（a，2a﹣4）位于第一象限．问点A，P，Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出a的值；若不能，请说明理由．
思路引领：（1）如图1，过点B作BE⊥y轴于E．证明△CEB≌△AOC（AAS）推出BE＝OC＝2，CE＝AO＝4，可得B（﹣2，2），求出直线AB的解析式，即可解决问题；
（2）过点B作BC⊥AB交直线l2于点C，过点C作CD⊥x轴交于点D，由（1）的模型可得△BCD≌△ABO，求出C（﹣6，2），再由待定系数法求函数的解析式即可；
（3）分两种情况讨论：当Q点AB下方时，过Q点作EF∥x轴交y轴于点E，交BC于点F，由（1）的模型可得，△AEQ≌△QFP，可得EQ＝PF＝a，AE＝FQ＝4﹣（2a﹣4）＝8﹣2a，再由EQ+FQ＝6，求出a＝2（舍）；当Q点在AB上方时，同理可得EQ＝PF＝a，AE＝FQ＝2a﹣4﹣4＝2a﹣8，再由EQ+FQ＝6，可求a=143．
解：（1）如图2，过点B作BE⊥y轴于E，
∵点C的坐标为（0，﹣2），A点的坐标为（4，0），
∴OC＝2，OA＝4，
∵等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，
又∵BE⊥y轴，y轴⊥x轴，
∴∠BEC＝∠AOC＝∠ACB＝90°，
∴∠BCE+∠ACO＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠ACO＝∠CBE，
在△CEB和△AOC中，
∠BEC=∠AOC∠CBE=∠ACOBC=AC，
∴△CEB≌△AOC（AAS），
∴BE＝OC＝2，CE＝AO＝4，
∴OE＝CE﹣OC＝4﹣2＝2，
∴B（﹣2，2），
设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∵A（4，0），B（﹣2，2），
∴4k+b=0−2k+b=2，
∴k=−13b=43，
∴直线AB的解析式为y=−13x+43，
∵AB与y轴交点D，
∴D（0，43）；
（2）如图3，过点B作BC⊥AB交直线l2于点C，过点C作CD⊥x轴交于点D，
∵∠CAB＝45°，
∴BC＝AB，
由（1）的模型可得△BCD≌△ABO，
∵y＝2x+4与x轴的交点B（﹣2，0），A（0，4），
∴CD＝2，BD＝4，
∴C（﹣6，2），
设直线l2的解析式为y＝kx+b，
∴−6k+b=2b=4，
解得k=13b=4，
∴y=13x+4；
（3）点A，P，Q能构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，理由如下：
当Q点AB下方时，如图4，过Q点作EF∥x轴交y轴于点E，交BC于点F，
由（1）的模型可得，△AEQ≌△QFP，
∴AE＝FQ，EQ＝PF，
∵B（6，4），
∴OA＝4，CO＝6，
∵点Q（a，2a﹣4），
∴EQ＝PF＝a，AE＝FQ＝4﹣（2a﹣4）＝8﹣2a，
∵EQ+FQ＝6，
∴a+8﹣2a＝6，
解得a＝2，
∴Q（2，0），
∵Q点在第一象限，
∴a＝2（舍）；
当Q点在AB上方时，如图5，
同理可得EQ＝PF＝a，AE＝FQ＝2a﹣4﹣4＝2a﹣8，
∵EQ+FQ＝6，
∴a+2a﹣8＝6，
解得a=143．
综上所述：a的值为143．
总结提升：本题属于一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质和判定，坐标与图形性质等知识；解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形，运用面积法解决问题，属于压轴题．
x
﹣1
0
y
﹣2
1
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