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人教版八年级数学下册 第17章 勾股定理提优测试卷（原卷版+解析）
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这是一份人教版八年级数学下册 第17章 勾股定理提优测试卷（原卷版+解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，A（8，0），C（﹣2，0），以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为（ ）
A．（0，5）B．（5，0）C．（6，0）D．（0，6）
2．如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）
A．CD、EF、GHB．AB、EF、GHC．AB、CD、GHD．AB、CD、EF
3．如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm至D点，则橡皮筋被拉长了（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm
4．如图，AD⊥CD，CD＝4，AD＝3，∠ACB＝90°，AB＝13，则BC的长是（ ）
A．8B．10C．12D．16
5．公元3世纪，我国数学家赵爽在《周髀算经》中巧妙地运用如图所示的“弦图”来证明勾股定理，该图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为a，短直角边长为b，大正方形面积为20，且（a+b）2＝32．则小正方形的面积为（ ）
A．6B．8C．10D．12
6．如果下列各组数是三角形的三边长，那么不能组成直角三角形的一组数是（ ）
A．2，3，5B．1.5，2，2.5C．32，42，52D．1，2，5
7．如图，长方体的长、宽、高分别为3cm，1cm，6cm．如果一只小虫从点A开始爬行，经过两个侧面爬行到另一条侧棱的中点B处，那么这只小虫所爬行的最短路程为（ ）
A．5cmB．43cmC．6cmD．7cm
8．如图所示，已知在三角形纸片ABC中，BC＝3，AB＝6，∠BCA＝90°．在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则DE的长度为（ ）
A．6B．3C．23D．3
9．若直角三角形两条直角边的边长分别为6和8，则斜边上的高是（ ）
A．5B．10C．125D．245
10．若△ABC的三边a、b、c满足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每题3分，第13～18题每题4分，共30分．）
11．如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为 ．
12．如图AB＝BC＝CD＝DE＝1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE等于 ．
13．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∠BAC的平分线AD交BC于点D，分别过点A作AE∥BC，过点B作BE∥AD，AE与BE相交于点E．若CD＝2，则四边形ADBE的面积是 ．
14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB﹣AC＝2，BC＝8，则AB的长是 ．
15．如图，△ABC的周长为36cm，AB：BC：CA＝3：4：5，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点B移动；点Q从点B出发，以2cm/s的速度向点C移动．如果P，Q两点同时出发，那么经过3s后，△BPQ的面积为 cm2．
16．如图，等腰△ABC的底边BC＝20，面积为120，点F在边BC上，且BF＝3FC，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则△CDF周长的最小值为 ．
17．如图，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在点C′的位置上，BC′交AD于点E，若AB＝3，BC＝6，则DE的长为 ．
18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，分别以AB、AC为边作正三角形ABD、ACE，连接DE，交AB于点F，则DF的长为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．在如图所示的4×4方格中，每个小方格的边长都为1．
（1）在图中画出一个三条边长分别为10，3，13的三角形，使它的顶点都在格点上；
（2）求（1）中所作三角形最大边上的高．
20．如图，已知等腰△ABC的底边BC＝13，D是腰AB上一点，且CD＝12，BD＝5．
（1）求证：△BDC是直角三角形；
（2）求AC的长．
21．小李想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂直到地面还多2m（如图①）．当他把绳子的底端拉开10m后，发现底端刚好接触地面（如图②）．求旗杆的高度．
22．如图，在某住宅小区在施工中留下一块空地四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，CD＝24cm，AD＝26cm，试问这块空地的面积？
23．在平面直角坐标系中
（1）在图中描出A（﹣2，﹣2），B（﹣8，6），C（2，1）
（2）连接AB、BC、AC，试判断△ABC的形状；
（3）求△ABC的面积．
24．如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知S1+S2＝4，且AC+BC＝6，求AB的长．
25．如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC，滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B，再由B跑到C，已知两只猴子所经路程都是16m，求树高AB．
26．阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若a2＝b2+c2，则该三角形是直角三角形；②若a2＞b2+c2，则该三角形是钝角三角形；③若a2＜b2+c2，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，62＝36＜42+52，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题：
（1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是 三角形．
（2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x．且这个三角形是直角三角形，求x2的值．
（3）当a＝2，b＝4时，判断△ABC的形状，并求出对应的c2的取值范围．
第17章 勾股定理提优测试卷（解析版）
总分 150分 时间 120分钟
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，A（8，0），C（﹣2，0），以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为（ ）
A．（0，5）B．（5，0）C．（6，0）D．（0，6）
思路引领：根据已知可得AB＝AC＝10，OA＝8．利用勾股定理即可求解．
解：根据已知可得：AB＝AC＝10，OA＝8．
在Rt△ABO中，OB=AB2−OA2=6．
∴B（0，6）．
故选：D．
总结提升：本题考查勾股定理的应用、坐标的特征知识．关键在于利用点的坐标表示边的长度．
2．如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）
A．CD、EF、GHB．AB、EF、GHC．AB、CD、GHD．AB、CD、EF
思路引领：设出正方形的边长，利用勾股定理，解出AB、CD、EF、GH各自的长度，再由勾股定理的逆定理分别验算，看哪三条边能够成直角三角形．
解：设小正方形的边长为1，
则AB2＝22+22＝8，CD2＝22+42＝20，
EF2＝12+22＝5，GH2＝22+32＝13．
因为AB2+EF2＝GH2，
所以能构成一个直角三角形三边的线段是AB、EF、GH．
故选：B．
总结提升：考查了勾股定理逆定理的应用．
3．如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm至D点，则橡皮筋被拉长了（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm
思路引领：根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD﹣AB即为橡皮筋拉长的距离．
解：Rt△ACD中，AC=12AB＝4cm，CD＝3cm；
根据勾股定理，得：AD=AC2+CD2=5cm；
∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2cm；
故橡皮筋被拉长了2cm．
故选：A．
总结提升：此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用．
4．如图，AD⊥CD，CD＝4，AD＝3，∠ACB＝90°，AB＝13，则BC的长是（ ）
A．8B．10C．12D．16
思路引领：直接利用勾股定理得出AC的长，进而求出BC的长．
解：∵AD⊥CD，CD＝4，AD＝3，
∴AC=42+32=5，
∵∠ACB＝90°，AB＝13，
∴BC=132−52=12．
故选：C．
总结提升：此题主要考查了勾股定理，正确应用勾股定理是解题关键．
5．公元3世纪，我国数学家赵爽在《周髀算经》中巧妙地运用如图所示的“弦图”来证明勾股定理，该图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为a，短直角边长为b，大正方形面积为20，且（a+b）2＝32．则小正方形的面积为（ ）
A．6B．8C．10D．12
思路引领：观察图形可知，小正方形的面积＝大正方形的面积﹣4个直角三角形的面积，利用已知（a+b）2＝32，大正方形的面积为20，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案．
解：如图所示：
∵（a+b）2＝32，
∴a2+2ab+b2＝32，
∵大正方形的面积为20，
2ab＝32﹣20＝12，
∴小正方形的面积为20﹣12＝8．
故选：B．
总结提升：此题主要考查了勾股定理、完全平方公式、四边形和三角形面积的计算，利用数形结合的思想是关键．
6．如果下列各组数是三角形的三边长，那么不能组成直角三角形的一组数是（ ）
A．2，3，5B．1.5，2，2.5C．32，42，52D．1，2，5
思路引领：根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形，分析得出即可．
解：A、∵（2）2+（3）2＝（5）2，
∴此三角形是直角三角形，不合题意；
B、∵1.52+22＝2.52，
∴此三角形是直角三角形，不合题意；
C、∵（32）2+（42）2≠（52）2，
∴以32、42、52为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；
D、∵12+22＝（5）2，
∴此三角形是直角三角形，不合题意；
故选：C．
总结提升：本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．
7．如图，长方体的长、宽、高分别为3cm，1cm，6cm．如果一只小虫从点A开始爬行，经过两个侧面爬行到另一条侧棱的中点B处，那么这只小虫所爬行的最短路程为（ ）
A．5cmB．43cmC．6cmD．7cm
思路引领：根据题意把图形展开，连接AB，得出AB的长就是从A处爬到B处的最短路程，分为三种情况展开①②③，根据勾股定理求出AB的长，再比较即可．
解：分为三种情况：
①如图将正面与右面展开在同一平面，连接AB，
由勾股定理得：AB=(3+1)2+32=5（cm）；
②如图将下底面与后面展开在同一平面，连接AB，
由勾股定理得：AB=(3+1)2+32=5（cm）；
③如图将下底面与右面展开在同一平面，连接AB，
由勾股定理得：AB＝
(3+3)2+12=37cm＞5cm，
即从A处爬到B处的最短路程是5cm．
故选：A．
总结提升：本题考查了平面展开﹣最短路径问题，关键是画出图形知道求出哪一条线段的长，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目，切记要进行分类讨论．
8．如图所示，已知在三角形纸片ABC中，BC＝3，AB＝6，∠BCA＝90°．在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则DE的长度为（ ）
A．6B．3C．23D．3
思路引领：易得∠ABC＝60°，∠A＝30°．根据折叠的性质∠CBE＝∠D＝30°．在△BCE和△DCE中运用三角函数求解．
解：∵∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝6，
∴sinA＝BC：AB＝1：2，
∴∠A＝30°，∠CBA＝60°．
根据折叠的性质知，∠CBE＝∠EBA=12∠CBA＝30°，
∴CE＝BCtan30°=3，
∴DE＝2CE＝23．
故选：C．
总结提升：本题考查了：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、直角三角形的性质，锐角三角函数的概念求解．
9．若直角三角形两条直角边的边长分别为6和8，则斜边上的高是（ ）
A．5B．10C．125D．245
思路引领：首先根据题意求出斜边的长，再根据三角形的面积公式即可求出斜边上的高．
解：∵直角三角形的两直角边长为6和8，
斜边长为：62+82=10，
三角形的面积=12×6×8＝24，
设斜边上的高为x，则12x•10＝24，
解得x＝4.8．
故选：D．
总结提升：此题主要考查了勾股定理，以及三角形的面积公式，解决问题的关键是掌握直角三角形的面积公式的两种计算方法．
10．若△ABC的三边a、b、c满足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
思路引领：首先根据题意由非负数的性质可得，进而得到a＝b，a2+b2＝c2，根据勾股定理逆定理可得△ABC的形状为等腰直角三角形．
解：∵（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，
∴a﹣b＝0，a2+b2﹣c2＝0，
解得：a＝b，a2+b2＝c2，
∴△ABC的形状为等腰直角三角形；
故选：C．
总结提升：此题主要考查了勾股定理逆定理以及非负数的性质，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每题3分，第13～18题每题4分，共30分．）
11．如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为 100 ．
思路引领：三个正方形的边长正好构成直角三角形的三边，根据勾股定理得到字母A所代表的正方形的面积A＝36+64＝100．
解：由题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方＝36，一直角边的平方＝64，
则斜边的平方＝36+64＝100．
故答案为100．
总结提升：本题考查正方形的面积公式以及勾股定理．
12．如图AB＝BC＝CD＝DE＝1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE等于 ．
思路引领：由AB与BC垂直，根据垂直定义得到∠B为直角，在直角三角形ABC中，由AB＝BC＝1，利用勾股定理求出AC的长，同理在直角三角形ACD中，由AC及CD的长，利用勾股定理求出AD的长，进而在直角三角形ADE中，由AD及DE的长，利用勾股定理即可求出AE的长．
解：∵AB⊥BC，
∴∠B＝90°，
在Rt△ABC中，AB＝BC＝1，
根据勾股定理得：AC=AB2+BC2=2，
又∵AC⊥CD，
∴∠ACD＝90°，
在Rt△ACD中，AC=2，CD＝1，
根据勾股定理得：AD=AC2+CD2=3，
又∵AD⊥DE，
∴∠ADE＝90°，
在Rt△ADE中，AD=3，DE＝1，
根据勾股定理得：AE=AD2+DE2=2．
故答案为：2．
总结提升：此题考查了勾股定理的运用，勾股定理为：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
13．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∠BAC的平分线AD交BC于点D，分别过点A作AE∥BC，过点B作BE∥AD，AE与BE相交于点E．若CD＝2，则四边形ADBE的面积是 ．
思路引领：过D作DF⊥AB于F，根据角平分线的性质得出DF＝CD＝2．由△ABC是等腰直角三角形得出∠ABC＝45°，再证明△BDF是等腰直角三角形，求出BD=2DF＝22，BC＝2+22=AC．易证四边形ADBE是平行四边形，得出AE＝BD＝22，然后根据平行四边形ADBE的面积＝BD•AC，代入数值计算即可求解．
解：如图，过D作DF⊥AB于F，
∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，
∴DF＝CD＝2．
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠ABC＝45°，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴BF＝DF＝2，BD=2DF＝22，
∴BC＝CD+BD＝2+22，
∴AC＝BC＝2+22．
∵AE∥BC，BE∥AD，
∴四边形ADBE是平行四边形，
∴AE＝BD＝22，
∴平行四边形ADBE的面积＝BD•AC＝22×（2+22）＝42+8．
故答案为：42+8．
总结提升：本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，角平分线的性质，平行四边形的面积．求出BD的长是解题的关键．
14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB﹣AC＝2，BC＝8，则AB的长是 ．
思路引领：在Rt△ABC中，根据勾股定理列出方程即可求解．
解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB﹣AC＝2，BC＝8，
∴AC2+BC2＝AB2，
即（AB﹣2）2+82＝AB2，
解得AB＝17．
故答案为：17．
总结提升：本题考查了勾股定理，解答的关键是熟练掌握勾股定理的定义及其在直角三角形中的表示形式．
15．如图，△ABC的周长为36cm，AB：BC：CA＝3：4：5，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点B移动；点Q从点B出发，以2cm/s的速度向点C移动．如果P，Q两点同时出发，那么经过3s后，△BPQ的面积为 cm2．
思路引领：首先设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，利用方程求出三角形的三边，由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形．再求出3s后BP，BQ的长，利用三角形的面积公式计算求解．
解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，
∵周长为36cm，
∴AB+BC+AC＝36cm，
∴3x+4x+5x＝36，
解得x＝3，
∴AB＝9cm，BC＝12cm，AC＝15cm，
∵AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
过3秒时，BP＝9﹣3×1＝6（cm），BQ＝2×3＝6（cm），
∴S△PBQ=12BP•BQ=12×6×6＝18（cm2）．
故△BPQ的面积为18cm2．
故答案为：18．
总结提升：此题主要考查了勾股定理逆定理、三角形的面积．由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形是解题的关键．
16．如图，等腰△ABC的底边BC＝20，面积为120，点F在边BC上，且BF＝3FC，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则△CDF周长的最小值为 ．
思路引领：如图作AH⊥BC于H，连接AD．由EG垂直平分线段AC，推出DA＝DC，推出DF+DC＝AD+DF，可得当A、D、F共线时，DF+DC的值最小，最小值就是线段AF的长；
解：如图作AH⊥BC于H，连接AD．
∵EG垂直平分线段AC，
∴DA＝DC，
∴DF+DC＝AD+DF，
∴当A、D、F共线时，DF+DC的值最小，最小值就是线段AF的长，
∵12•BC•AH＝120，
∴AH＝12，
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH＝CH＝10，
∵BF＝3FC，
∴CF＝FH＝5，
∴AF=AH2+HF2=122+52=13，
∴DF+DC的最小值为13．
∴△CDF周长的最小值为13+5＝18；
故答案为18．
总结提升：本题考查轴对称﹣最短问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称，解决最短问题，属于中考常考题型．
17．如图，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在点C′的位置上，BC′交AD于点E，若AB＝3，BC＝6，则DE的长为 ．
思路引领：先根据折叠的性质得到∠DBC＝∠DBE，再由AD∥BC得到∠DBC＝∠BDE，则∠DBE＝∠BDE，可判断BE＝DE，设AE＝x，则DE＝BE＝6﹣x，然后在Rt△ABE中利用勾股定理得到x2+32＝（6﹣x）2，再解方程即可得出AE以及DE的长．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝6，∠A＝90°，
∵△BDC′是由△BDC折叠得到，
∴∠DBC＝∠DBE，
∵AD∥BC，
∴∠DBC＝∠BDE，
∴∠DBE＝∠BDE，
∴BE＝DE，
设AE＝x，则DE＝AD﹣AE＝6﹣x，BE＝6﹣x，
在Rt△ABE中，∵AE2+AB2＝BE2，
∴x2+32＝（6﹣x）2，
解得：x=94，
则DE的长为：6−94=154．
故答案为：154．
总结提升：本题考查了矩形的性质、折叠变换的性质、等腰三角形的判定以及勾股定理；熟练掌握折叠变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，分别以AB、AC为边作正三角形ABD、ACE，连接DE，交AB于点F，则DF的长为 ．
思路引领：过D作DG⊥AB于G，过E作EH⊥DA，交DA的延长线于H，依据全等三角形的性质即可得到DF=12DE，再根据勾股定理即可得到DE的长，进而得出DF的长．
解：如图所示，过D作DG⊥AB于G，过E作EH⊥DA，交DA的延长线于H，
∵∠EAC＝60°，∠BAC＝30°，
∴∠EAG＝∠AGD＝90°，
∵BC＝1，
∴Rt△ABC中，AC=3，AB＝2，
又∵△ABD和△ACE是等边三角形，
∴AE=3，DG=3，
∴DG＝AE，
又∵∠DFG＝∠EAF，
∴△AEF≌△GDF（AAS），
∴DF=12DE，
又∵Rt△AEH中，∠EAH＝30°，
∴HE=12AE=123，AH=32，
∴DH＝DA+AH＝2+32=72，
∴Rt△DEH中，DE=HE2+DH2=(123)2+(72)2=13，
∴DF的长为132．
解法二：如图所示，过D作DG⊥AB于G，则AG=12AB＝1，
∵∠EAC＝60°，∠BAC＝30°，
∴∠EAG＝∠AGD＝90°，
∵BC＝1，
∴Rt△ABC中，AC=3，AB＝2，
又∵△ABD和△ACE是等边三角形，
∴AE=3，DG=3，
∴DG＝AE，
又∵∠DFG＝∠EAF，
∴△AEF≌△GDF（AAS），
∴GF=12AG=12，
∴DF=DG2+FG2=(3)2+(12)2=132．
故答案为：132．
总结提升：本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理以及等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．在如图所示的4×4方格中，每个小方格的边长都为1．
（1）在图中画出一个三条边长分别为10，3，13的三角形，使它的顶点都在格点上；
（2）求（1）中所作三角形最大边上的高．
思路引领：（1）直接利用勾股定理得出符合题意的答案；
（2）利用网格结合垂直的定义得出答案．
解：（1）如图所示：△ABC即为所求；
（2）如图所示：AD即为所求．
总结提升：此题主要考查了应用设计与作图以及勾股定理，正确应用勾股定理是解题关键．
20．如图，已知等腰△ABC的底边BC＝13，D是腰AB上一点，且CD＝12，BD＝5．
（1）求证：△BDC是直角三角形；
（2）求AC的长．
思路引领：（1）由BC＝13，CD＝12，BD＝5，知道BC2＝BD2+CD2，所以△BDC为直角三角形，
（2）由（1）可求出AC的长．
证明：（1）∵BC＝13，CD＝12，BD＝5，
∴BC2＝BD2+CD2，
∴△BDC为直角三角形；
（2）设AB＝x，
∵△ABC是等腰三角形，
∴AB＝AC＝x，
∵AC2＝AD2+CD2，
即x2＝（x﹣5）2+122，
解得：x＝16.9，
∴AC＝16.9．
总结提升：此题考查等腰三角形的性质、勾股定理以及逆定理的应用，关键是勾股定理的逆定理解答．
21．小李想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂直到地面还多2m（如图①）．当他把绳子的底端拉开10m后，发现底端刚好接触地面（如图②）．求旗杆的高度．
思路引领：根据题意设旗杆的高AB为x米，则绳子AC的长为（x+2）米，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高．
解：如图：设旗杆的高AB为x米，则绳子AC的长为（x+2）米，
在Rt△ABC中，BC＝10米，
AB2+BC2＝AC2，
∴x2+102＝（x+2）2，
解得x＝24，
故AB＝24米．
答：旗杆的高24米．
总结提升：此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形．
22．如图，在某住宅小区在施工中留下一块空地四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，CD＝24cm，AD＝26cm，试问这块空地的面积？
思路引领：先在Rt△ABC中，利用勾股定理可求AC，在△ACD中，再利用勾股定理的逆定理证得△ACD是直角三角形，分别利用三角形的面积公式求出△ABC、△ACD的面积，两者相加即是四边形ABCD的面积．
解：如图，连接AC，
在Rt△ABC中，AB＝6m，BC＝8m，∠B＝90°，AB2+CB2＝AC2
∴AC=AB2+BC2=10（m），
在△ACD中，AC＝10m，CD＝24m，DA＝26m，
∵AC2+CD2＝102+242＝256，
AD2＝262＝169，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∵S△ABC=12AB•BC=12×6×8＝24，S△ACD=12AC•CD=12×10×24＝120，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝24+120＝144（平方米），
答：这块空地的面积是144平方米．
总结提升：此题主要考查勾股定理、勾股定理的逆定理的应用、三角形的面积公式，解答本题的关键是作出辅助线求出AC及证得△ACD是直角三角形．
23．在平面直角坐标系中
（1）在图中描出A（﹣2，﹣2），B（﹣8，6），C（2，1）
（2）连接AB、BC、AC，试判断△ABC的形状；
（3）求△ABC的面积．
思路引领：（1）根据题目中给出的点的坐标描出点；
（2）连接AB、BC、AC，利用勾股定理结合网格算出AB、BC、AC的长，根据数据可得到AB2+AC2＝BC2，由勾股定理逆定理可得△ABC是直角三角形；
（3）根据三角形面积公式计算即可．
解：（1）如图所示：
（2）AB=62+82=10，
AC=32+42=5，
CB=52+102=55，
∵52+102＝（55）2，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴∠A＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
（3）△ABC的面积=12AB•AC=12×10×5＝25．
总结提升：此题主要考查了描点，勾股定理，以及勾股定理逆定理，关键是正确画出图形，算出AB、BC、AC的长．
24．如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知S1+S2＝4，且AC+BC＝6，求AB的长．
思路引领：根据勾股定理得到AC2+BC2＝AB2，根据扇形面积公式、完全平方公式计算即可．
解：由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，
∵S1+S2＝4，
∴12×π×（AC2）2+12×π×（BC2）2+12×AC×BC−12×π×（AB2）2＝4，
∴AC×BC＝8，
AB=AC2+BC2=(AC+BC)2−2×AC×BC=25．
总结提升：本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
25．如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC，滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B，再由B跑到C，已知两只猴子所经路程都是16m，求树高AB．
思路引领：根据题意表示出AD，AC，BC的长进而利用勾股定理得出AD的长，即可得出答案．
解：由题意可得出：BD＝10m，BC＝6m，设AD＝xm，则AC＝（16﹣x）m，
故在Rt△ABC中
AB2+BC2＝AC2，
即（10+x）2+62＝（16﹣x）2，
解得：x=3013，
故AB＝10+3013=12413（m），
答：树高AB为12413m．
总结提升：此题主要考查了勾股定理的应用以及完全平方公式的应用，得出关于x的等式方程是解题关键．
26．阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若a2＝b2+c2，则该三角形是直角三角形；②若a2＞b2+c2，则该三角形是钝角三角形；③若a2＜b2+c2，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，62＝36＜42+52，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题：
（1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是 锐角 三角形．
（2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x．且这个三角形是直角三角形，求x2的值．
（3）当a＝2，b＝4时，判断△ABC的形状，并求出对应的c2的取值范围．
思路引领：（1）根据72+82＝49+64＝113＞92，于是得到三角形是锐角三角形；
（2）根据勾股定理得到结论；
（3）若△ABC是锐角三角形，若△ABC是直角三角形，若△ABC是钝角三角形，根据a，b，c三条边长度之间的关系即可得到结论．
解：（1）∵72+82＝49+64＝113＞92，
∴三角形是锐角三角形，
故答案为：锐角；
（2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边，
∴52+122＝x2，
∴x2＝169，
当12是斜边，
则52+x2＝122，
解得：x2＝119，
故x2的值为169或119；
（3）∵a＝2，b＝4，
∴4﹣2＜c＜4+2，
∴4＜c2＜36，
若△ABC是锐角三角形，
则a2+b2＜c2或a2+c2＜b2，
则c2＞20或c2＜12，
∴20＜c2＜36或4＜c2＜12；
若△ABC是直角三角形，
则a2+b2＝c2或a2+c2＝b2，
则c2＝20或c2＝12；
若△ABC是钝角三角形，
则a2+b2＞c2或a2+c2＞b2，
则c2＜20或c2＞12，
故 c2的取值范围为4＜c2＜20或者12＜c2＜36．
总结提升：本题主要考查了三角形的综合题，勾股定理的应用，以及三角形三边长度与三角形形状的关系，正确地理解题意是解题的关键．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，A（8，0），C（﹣2，0），以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为（ ）
A．（0，5）B．（5，0）C．（6，0）D．（0，6）
2．如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）
A．CD、EF、GHB．AB、EF、GHC．AB、CD、GHD．AB、CD、EF
3．如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm至D点，则橡皮筋被拉长了（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm
4．如图，AD⊥CD，CD＝4，AD＝3，∠ACB＝90°，AB＝13，则BC的长是（ ）
A．8B．10C．12D．16
5．公元3世纪，我国数学家赵爽在《周髀算经》中巧妙地运用如图所示的“弦图”来证明勾股定理，该图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为a，短直角边长为b，大正方形面积为20，且（a+b）2＝32．则小正方形的面积为（ ）
A．6B．8C．10D．12
6．如果下列各组数是三角形的三边长，那么不能组成直角三角形的一组数是（ ）
A．2，3，5B．1.5，2，2.5C．32，42，52D．1，2，5
7．如图，长方体的长、宽、高分别为3cm，1cm，6cm．如果一只小虫从点A开始爬行，经过两个侧面爬行到另一条侧棱的中点B处，那么这只小虫所爬行的最短路程为（ ）
A．5cmB．43cmC．6cmD．7cm
8．如图所示，已知在三角形纸片ABC中，BC＝3，AB＝6，∠BCA＝90°．在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则DE的长度为（ ）
A．6B．3C．23D．3
9．若直角三角形两条直角边的边长分别为6和8，则斜边上的高是（ ）
A．5B．10C．125D．245
10．若△ABC的三边a、b、c满足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每题3分，第13～18题每题4分，共30分．）
11．如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为 ．
12．如图AB＝BC＝CD＝DE＝1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE等于 ．
13．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∠BAC的平分线AD交BC于点D，分别过点A作AE∥BC，过点B作BE∥AD，AE与BE相交于点E．若CD＝2，则四边形ADBE的面积是 ．
14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB﹣AC＝2，BC＝8，则AB的长是 ．
15．如图，△ABC的周长为36cm，AB：BC：CA＝3：4：5，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点B移动；点Q从点B出发，以2cm/s的速度向点C移动．如果P，Q两点同时出发，那么经过3s后，△BPQ的面积为 cm2．
16．如图，等腰△ABC的底边BC＝20，面积为120，点F在边BC上，且BF＝3FC，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则△CDF周长的最小值为 ．
17．如图，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在点C′的位置上，BC′交AD于点E，若AB＝3，BC＝6，则DE的长为 ．
18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，分别以AB、AC为边作正三角形ABD、ACE，连接DE，交AB于点F，则DF的长为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．在如图所示的4×4方格中，每个小方格的边长都为1．
（1）在图中画出一个三条边长分别为10，3，13的三角形，使它的顶点都在格点上；
（2）求（1）中所作三角形最大边上的高．
20．如图，已知等腰△ABC的底边BC＝13，D是腰AB上一点，且CD＝12，BD＝5．
（1）求证：△BDC是直角三角形；
（2）求AC的长．
21．小李想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂直到地面还多2m（如图①）．当他把绳子的底端拉开10m后，发现底端刚好接触地面（如图②）．求旗杆的高度．
22．如图，在某住宅小区在施工中留下一块空地四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，CD＝24cm，AD＝26cm，试问这块空地的面积？
23．在平面直角坐标系中
（1）在图中描出A（﹣2，﹣2），B（﹣8，6），C（2，1）
（2）连接AB、BC、AC，试判断△ABC的形状；
（3）求△ABC的面积．
24．如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知S1+S2＝4，且AC+BC＝6，求AB的长．
25．如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC，滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B，再由B跑到C，已知两只猴子所经路程都是16m，求树高AB．
26．阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若a2＝b2+c2，则该三角形是直角三角形；②若a2＞b2+c2，则该三角形是钝角三角形；③若a2＜b2+c2，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，62＝36＜42+52，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题：
（1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是 三角形．
（2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x．且这个三角形是直角三角形，求x2的值．
（3）当a＝2，b＝4时，判断△ABC的形状，并求出对应的c2的取值范围．
第17章 勾股定理提优测试卷（解析版）
总分 150分 时间 120分钟
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，A（8，0），C（﹣2，0），以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为（ ）
A．（0，5）B．（5，0）C．（6，0）D．（0，6）
思路引领：根据已知可得AB＝AC＝10，OA＝8．利用勾股定理即可求解．
解：根据已知可得：AB＝AC＝10，OA＝8．
在Rt△ABO中，OB=AB2−OA2=6．
∴B（0，6）．
故选：D．
总结提升：本题考查勾股定理的应用、坐标的特征知识．关键在于利用点的坐标表示边的长度．
2．如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）
A．CD、EF、GHB．AB、EF、GHC．AB、CD、GHD．AB、CD、EF
思路引领：设出正方形的边长，利用勾股定理，解出AB、CD、EF、GH各自的长度，再由勾股定理的逆定理分别验算，看哪三条边能够成直角三角形．
解：设小正方形的边长为1，
则AB2＝22+22＝8，CD2＝22+42＝20，
EF2＝12+22＝5，GH2＝22+32＝13．
因为AB2+EF2＝GH2，
所以能构成一个直角三角形三边的线段是AB、EF、GH．
故选：B．
总结提升：考查了勾股定理逆定理的应用．
3．如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm至D点，则橡皮筋被拉长了（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm
思路引领：根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD﹣AB即为橡皮筋拉长的距离．
解：Rt△ACD中，AC=12AB＝4cm，CD＝3cm；
根据勾股定理，得：AD=AC2+CD2=5cm；
∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2cm；
故橡皮筋被拉长了2cm．
故选：A．
总结提升：此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用．
4．如图，AD⊥CD，CD＝4，AD＝3，∠ACB＝90°，AB＝13，则BC的长是（ ）
A．8B．10C．12D．16
思路引领：直接利用勾股定理得出AC的长，进而求出BC的长．
解：∵AD⊥CD，CD＝4，AD＝3，
∴AC=42+32=5，
∵∠ACB＝90°，AB＝13，
∴BC=132−52=12．
故选：C．
总结提升：此题主要考查了勾股定理，正确应用勾股定理是解题关键．
5．公元3世纪，我国数学家赵爽在《周髀算经》中巧妙地运用如图所示的“弦图”来证明勾股定理，该图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为a，短直角边长为b，大正方形面积为20，且（a+b）2＝32．则小正方形的面积为（ ）
A．6B．8C．10D．12
思路引领：观察图形可知，小正方形的面积＝大正方形的面积﹣4个直角三角形的面积，利用已知（a+b）2＝32，大正方形的面积为20，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案．
解：如图所示：
∵（a+b）2＝32，
∴a2+2ab+b2＝32，
∵大正方形的面积为20，
2ab＝32﹣20＝12，
∴小正方形的面积为20﹣12＝8．
故选：B．
总结提升：此题主要考查了勾股定理、完全平方公式、四边形和三角形面积的计算，利用数形结合的思想是关键．
6．如果下列各组数是三角形的三边长，那么不能组成直角三角形的一组数是（ ）
A．2，3，5B．1.5，2，2.5C．32，42，52D．1，2，5
思路引领：根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形，分析得出即可．
解：A、∵（2）2+（3）2＝（5）2，
∴此三角形是直角三角形，不合题意；
B、∵1.52+22＝2.52，
∴此三角形是直角三角形，不合题意；
C、∵（32）2+（42）2≠（52）2，
∴以32、42、52为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；
D、∵12+22＝（5）2，
∴此三角形是直角三角形，不合题意；
故选：C．
总结提升：本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．
7．如图，长方体的长、宽、高分别为3cm，1cm，6cm．如果一只小虫从点A开始爬行，经过两个侧面爬行到另一条侧棱的中点B处，那么这只小虫所爬行的最短路程为（ ）
A．5cmB．43cmC．6cmD．7cm
思路引领：根据题意把图形展开，连接AB，得出AB的长就是从A处爬到B处的最短路程，分为三种情况展开①②③，根据勾股定理求出AB的长，再比较即可．
解：分为三种情况：
①如图将正面与右面展开在同一平面，连接AB，
由勾股定理得：AB=(3+1)2+32=5（cm）；
②如图将下底面与后面展开在同一平面，连接AB，
由勾股定理得：AB=(3+1)2+32=5（cm）；
③如图将下底面与右面展开在同一平面，连接AB，
由勾股定理得：AB＝
(3+3)2+12=37cm＞5cm，
即从A处爬到B处的最短路程是5cm．
故选：A．
总结提升：本题考查了平面展开﹣最短路径问题，关键是画出图形知道求出哪一条线段的长，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目，切记要进行分类讨论．
8．如图所示，已知在三角形纸片ABC中，BC＝3，AB＝6，∠BCA＝90°．在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则DE的长度为（ ）
A．6B．3C．23D．3
思路引领：易得∠ABC＝60°，∠A＝30°．根据折叠的性质∠CBE＝∠D＝30°．在△BCE和△DCE中运用三角函数求解．
解：∵∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝6，
∴sinA＝BC：AB＝1：2，
∴∠A＝30°，∠CBA＝60°．
根据折叠的性质知，∠CBE＝∠EBA=12∠CBA＝30°，
∴CE＝BCtan30°=3，
∴DE＝2CE＝23．
故选：C．
总结提升：本题考查了：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、直角三角形的性质，锐角三角函数的概念求解．
9．若直角三角形两条直角边的边长分别为6和8，则斜边上的高是（ ）
A．5B．10C．125D．245
思路引领：首先根据题意求出斜边的长，再根据三角形的面积公式即可求出斜边上的高．
解：∵直角三角形的两直角边长为6和8，
斜边长为：62+82=10，
三角形的面积=12×6×8＝24，
设斜边上的高为x，则12x•10＝24，
解得x＝4.8．
故选：D．
总结提升：此题主要考查了勾股定理，以及三角形的面积公式，解决问题的关键是掌握直角三角形的面积公式的两种计算方法．
10．若△ABC的三边a、b、c满足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
思路引领：首先根据题意由非负数的性质可得，进而得到a＝b，a2+b2＝c2，根据勾股定理逆定理可得△ABC的形状为等腰直角三角形．
解：∵（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，
∴a﹣b＝0，a2+b2﹣c2＝0，
解得：a＝b，a2+b2＝c2，
∴△ABC的形状为等腰直角三角形；
故选：C．
总结提升：此题主要考查了勾股定理逆定理以及非负数的性质，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每题3分，第13～18题每题4分，共30分．）
11．如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为 100 ．
思路引领：三个正方形的边长正好构成直角三角形的三边，根据勾股定理得到字母A所代表的正方形的面积A＝36+64＝100．
解：由题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方＝36，一直角边的平方＝64，
则斜边的平方＝36+64＝100．
故答案为100．
总结提升：本题考查正方形的面积公式以及勾股定理．
12．如图AB＝BC＝CD＝DE＝1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE等于 ．
思路引领：由AB与BC垂直，根据垂直定义得到∠B为直角，在直角三角形ABC中，由AB＝BC＝1，利用勾股定理求出AC的长，同理在直角三角形ACD中，由AC及CD的长，利用勾股定理求出AD的长，进而在直角三角形ADE中，由AD及DE的长，利用勾股定理即可求出AE的长．
解：∵AB⊥BC，
∴∠B＝90°，
在Rt△ABC中，AB＝BC＝1，
根据勾股定理得：AC=AB2+BC2=2，
又∵AC⊥CD，
∴∠ACD＝90°，
在Rt△ACD中，AC=2，CD＝1，
根据勾股定理得：AD=AC2+CD2=3，
又∵AD⊥DE，
∴∠ADE＝90°，
在Rt△ADE中，AD=3，DE＝1，
根据勾股定理得：AE=AD2+DE2=2．
故答案为：2．
总结提升：此题考查了勾股定理的运用，勾股定理为：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
13．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∠BAC的平分线AD交BC于点D，分别过点A作AE∥BC，过点B作BE∥AD，AE与BE相交于点E．若CD＝2，则四边形ADBE的面积是 ．
思路引领：过D作DF⊥AB于F，根据角平分线的性质得出DF＝CD＝2．由△ABC是等腰直角三角形得出∠ABC＝45°，再证明△BDF是等腰直角三角形，求出BD=2DF＝22，BC＝2+22=AC．易证四边形ADBE是平行四边形，得出AE＝BD＝22，然后根据平行四边形ADBE的面积＝BD•AC，代入数值计算即可求解．
解：如图，过D作DF⊥AB于F，
∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，
∴DF＝CD＝2．
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠ABC＝45°，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴BF＝DF＝2，BD=2DF＝22，
∴BC＝CD+BD＝2+22，
∴AC＝BC＝2+22．
∵AE∥BC，BE∥AD，
∴四边形ADBE是平行四边形，
∴AE＝BD＝22，
∴平行四边形ADBE的面积＝BD•AC＝22×（2+22）＝42+8．
故答案为：42+8．
总结提升：本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，角平分线的性质，平行四边形的面积．求出BD的长是解题的关键．
14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB﹣AC＝2，BC＝8，则AB的长是 ．
思路引领：在Rt△ABC中，根据勾股定理列出方程即可求解．
解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB﹣AC＝2，BC＝8，
∴AC2+BC2＝AB2，
即（AB﹣2）2+82＝AB2，
解得AB＝17．
故答案为：17．
总结提升：本题考查了勾股定理，解答的关键是熟练掌握勾股定理的定义及其在直角三角形中的表示形式．
15．如图，△ABC的周长为36cm，AB：BC：CA＝3：4：5，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点B移动；点Q从点B出发，以2cm/s的速度向点C移动．如果P，Q两点同时出发，那么经过3s后，△BPQ的面积为 cm2．
思路引领：首先设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，利用方程求出三角形的三边，由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形．再求出3s后BP，BQ的长，利用三角形的面积公式计算求解．
解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，
∵周长为36cm，
∴AB+BC+AC＝36cm，
∴3x+4x+5x＝36，
解得x＝3，
∴AB＝9cm，BC＝12cm，AC＝15cm，
∵AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
过3秒时，BP＝9﹣3×1＝6（cm），BQ＝2×3＝6（cm），
∴S△PBQ=12BP•BQ=12×6×6＝18（cm2）．
故△BPQ的面积为18cm2．
故答案为：18．
总结提升：此题主要考查了勾股定理逆定理、三角形的面积．由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形是解题的关键．
16．如图，等腰△ABC的底边BC＝20，面积为120，点F在边BC上，且BF＝3FC，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则△CDF周长的最小值为 ．
思路引领：如图作AH⊥BC于H，连接AD．由EG垂直平分线段AC，推出DA＝DC，推出DF+DC＝AD+DF，可得当A、D、F共线时，DF+DC的值最小，最小值就是线段AF的长；
解：如图作AH⊥BC于H，连接AD．
∵EG垂直平分线段AC，
∴DA＝DC，
∴DF+DC＝AD+DF，
∴当A、D、F共线时，DF+DC的值最小，最小值就是线段AF的长，
∵12•BC•AH＝120，
∴AH＝12，
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH＝CH＝10，
∵BF＝3FC，
∴CF＝FH＝5，
∴AF=AH2+HF2=122+52=13，
∴DF+DC的最小值为13．
∴△CDF周长的最小值为13+5＝18；
故答案为18．
总结提升：本题考查轴对称﹣最短问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称，解决最短问题，属于中考常考题型．
17．如图，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在点C′的位置上，BC′交AD于点E，若AB＝3，BC＝6，则DE的长为 ．
思路引领：先根据折叠的性质得到∠DBC＝∠DBE，再由AD∥BC得到∠DBC＝∠BDE，则∠DBE＝∠BDE，可判断BE＝DE，设AE＝x，则DE＝BE＝6﹣x，然后在Rt△ABE中利用勾股定理得到x2+32＝（6﹣x）2，再解方程即可得出AE以及DE的长．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝6，∠A＝90°，
∵△BDC′是由△BDC折叠得到，
∴∠DBC＝∠DBE，
∵AD∥BC，
∴∠DBC＝∠BDE，
∴∠DBE＝∠BDE，
∴BE＝DE，
设AE＝x，则DE＝AD﹣AE＝6﹣x，BE＝6﹣x，
在Rt△ABE中，∵AE2+AB2＝BE2，
∴x2+32＝（6﹣x）2，
解得：x=94，
则DE的长为：6−94=154．
故答案为：154．
总结提升：本题考查了矩形的性质、折叠变换的性质、等腰三角形的判定以及勾股定理；熟练掌握折叠变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，分别以AB、AC为边作正三角形ABD、ACE，连接DE，交AB于点F，则DF的长为 ．
思路引领：过D作DG⊥AB于G，过E作EH⊥DA，交DA的延长线于H，依据全等三角形的性质即可得到DF=12DE，再根据勾股定理即可得到DE的长，进而得出DF的长．
解：如图所示，过D作DG⊥AB于G，过E作EH⊥DA，交DA的延长线于H，
∵∠EAC＝60°，∠BAC＝30°，
∴∠EAG＝∠AGD＝90°，
∵BC＝1，
∴Rt△ABC中，AC=3，AB＝2，
又∵△ABD和△ACE是等边三角形，
∴AE=3，DG=3，
∴DG＝AE，
又∵∠DFG＝∠EAF，
∴△AEF≌△GDF（AAS），
∴DF=12DE，
又∵Rt△AEH中，∠EAH＝30°，
∴HE=12AE=123，AH=32，
∴DH＝DA+AH＝2+32=72，
∴Rt△DEH中，DE=HE2+DH2=(123)2+(72)2=13，
∴DF的长为132．
解法二：如图所示，过D作DG⊥AB于G，则AG=12AB＝1，
∵∠EAC＝60°，∠BAC＝30°，
∴∠EAG＝∠AGD＝90°，
∵BC＝1，
∴Rt△ABC中，AC=3，AB＝2，
又∵△ABD和△ACE是等边三角形，
∴AE=3，DG=3，
∴DG＝AE，
又∵∠DFG＝∠EAF，
∴△AEF≌△GDF（AAS），
∴GF=12AG=12，
∴DF=DG2+FG2=(3)2+(12)2=132．
故答案为：132．
总结提升：本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理以及等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．在如图所示的4×4方格中，每个小方格的边长都为1．
（1）在图中画出一个三条边长分别为10，3，13的三角形，使它的顶点都在格点上；
（2）求（1）中所作三角形最大边上的高．
思路引领：（1）直接利用勾股定理得出符合题意的答案；
（2）利用网格结合垂直的定义得出答案．
解：（1）如图所示：△ABC即为所求；
（2）如图所示：AD即为所求．
总结提升：此题主要考查了应用设计与作图以及勾股定理，正确应用勾股定理是解题关键．
20．如图，已知等腰△ABC的底边BC＝13，D是腰AB上一点，且CD＝12，BD＝5．
（1）求证：△BDC是直角三角形；
（2）求AC的长．
思路引领：（1）由BC＝13，CD＝12，BD＝5，知道BC2＝BD2+CD2，所以△BDC为直角三角形，
（2）由（1）可求出AC的长．
证明：（1）∵BC＝13，CD＝12，BD＝5，
∴BC2＝BD2+CD2，
∴△BDC为直角三角形；
（2）设AB＝x，
∵△ABC是等腰三角形，
∴AB＝AC＝x，
∵AC2＝AD2+CD2，
即x2＝（x﹣5）2+122，
解得：x＝16.9，
∴AC＝16.9．
总结提升：此题考查等腰三角形的性质、勾股定理以及逆定理的应用，关键是勾股定理的逆定理解答．
21．小李想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂直到地面还多2m（如图①）．当他把绳子的底端拉开10m后，发现底端刚好接触地面（如图②）．求旗杆的高度．
思路引领：根据题意设旗杆的高AB为x米，则绳子AC的长为（x+2）米，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高．
解：如图：设旗杆的高AB为x米，则绳子AC的长为（x+2）米，
在Rt△ABC中，BC＝10米，
AB2+BC2＝AC2，
∴x2+102＝（x+2）2，
解得x＝24，
故AB＝24米．
答：旗杆的高24米．
总结提升：此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形．
22．如图，在某住宅小区在施工中留下一块空地四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，CD＝24cm，AD＝26cm，试问这块空地的面积？
思路引领：先在Rt△ABC中，利用勾股定理可求AC，在△ACD中，再利用勾股定理的逆定理证得△ACD是直角三角形，分别利用三角形的面积公式求出△ABC、△ACD的面积，两者相加即是四边形ABCD的面积．
解：如图，连接AC，
在Rt△ABC中，AB＝6m，BC＝8m，∠B＝90°，AB2+CB2＝AC2
∴AC=AB2+BC2=10（m），
在△ACD中，AC＝10m，CD＝24m，DA＝26m，
∵AC2+CD2＝102+242＝256，
AD2＝262＝169，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∵S△ABC=12AB•BC=12×6×8＝24，S△ACD=12AC•CD=12×10×24＝120，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝24+120＝144（平方米），
答：这块空地的面积是144平方米．
总结提升：此题主要考查勾股定理、勾股定理的逆定理的应用、三角形的面积公式，解答本题的关键是作出辅助线求出AC及证得△ACD是直角三角形．
23．在平面直角坐标系中
（1）在图中描出A（﹣2，﹣2），B（﹣8，6），C（2，1）
（2）连接AB、BC、AC，试判断△ABC的形状；
（3）求△ABC的面积．
思路引领：（1）根据题目中给出的点的坐标描出点；
（2）连接AB、BC、AC，利用勾股定理结合网格算出AB、BC、AC的长，根据数据可得到AB2+AC2＝BC2，由勾股定理逆定理可得△ABC是直角三角形；
（3）根据三角形面积公式计算即可．
解：（1）如图所示：
（2）AB=62+82=10，
AC=32+42=5，
CB=52+102=55，
∵52+102＝（55）2，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴∠A＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
（3）△ABC的面积=12AB•AC=12×10×5＝25．
总结提升：此题主要考查了描点，勾股定理，以及勾股定理逆定理，关键是正确画出图形，算出AB、BC、AC的长．
24．如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知S1+S2＝4，且AC+BC＝6，求AB的长．
思路引领：根据勾股定理得到AC2+BC2＝AB2，根据扇形面积公式、完全平方公式计算即可．
解：由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，
∵S1+S2＝4，
∴12×π×（AC2）2+12×π×（BC2）2+12×AC×BC−12×π×（AB2）2＝4，
∴AC×BC＝8，
AB=AC2+BC2=(AC+BC)2−2×AC×BC=25．
总结提升：本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
25．如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC，滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B，再由B跑到C，已知两只猴子所经路程都是16m，求树高AB．
思路引领：根据题意表示出AD，AC，BC的长进而利用勾股定理得出AD的长，即可得出答案．
解：由题意可得出：BD＝10m，BC＝6m，设AD＝xm，则AC＝（16﹣x）m，
故在Rt△ABC中
AB2+BC2＝AC2，
即（10+x）2+62＝（16﹣x）2，
解得：x=3013，
故AB＝10+3013=12413（m），
答：树高AB为12413m．
总结提升：此题主要考查了勾股定理的应用以及完全平方公式的应用，得出关于x的等式方程是解题关键．
26．阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若a2＝b2+c2，则该三角形是直角三角形；②若a2＞b2+c2，则该三角形是钝角三角形；③若a2＜b2+c2，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，62＝36＜42+52，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题：
（1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是 锐角 三角形．
（2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x．且这个三角形是直角三角形，求x2的值．
（3）当a＝2，b＝4时，判断△ABC的形状，并求出对应的c2的取值范围．
思路引领：（1）根据72+82＝49+64＝113＞92，于是得到三角形是锐角三角形；
（2）根据勾股定理得到结论；
（3）若△ABC是锐角三角形，若△ABC是直角三角形，若△ABC是钝角三角形，根据a，b，c三条边长度之间的关系即可得到结论．
解：（1）∵72+82＝49+64＝113＞92，
∴三角形是锐角三角形，
故答案为：锐角；
（2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边，
∴52+122＝x2，
∴x2＝169，
当12是斜边，
则52+x2＝122，
解得：x2＝119，
故x2的值为169或119；
（3）∵a＝2，b＝4，
∴4﹣2＜c＜4+2，
∴4＜c2＜36，
若△ABC是锐角三角形，
则a2+b2＜c2或a2+c2＜b2，
则c2＞20或c2＜12，
∴20＜c2＜36或4＜c2＜12；
若△ABC是直角三角形，
则a2+b2＝c2或a2+c2＝b2，
则c2＝20或c2＝12；
若△ABC是钝角三角形，
则a2+b2＞c2或a2+c2＞b2，
则c2＜20或c2＞12，
故 c2的取值范围为4＜c2＜20或者12＜c2＜36．
总结提升：本题主要考查了三角形的综合题，勾股定理的应用，以及三角形三边长度与三角形形状的关系，正确地理解题意是解题的关键．
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