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人教版八年级数学下册 专题4 二次根式的运算与应用（原卷版+解析）
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这是一份人教版八年级数学下册 专题4 二次根式的运算与应用（原卷版+解析），共30页。试卷主要包含了二次根式的计算，与二次根式有关的化简求值，与二次根式有关的规律探究，二次根式的应用等内容，欢迎下载使用。
类型一 二次根式的计算
典例1 (2023秋•渠县校级期末）化简：
（1）(2−6)×18−313． （2）计算：27+483+(2+3)(2−3)．
变式训练
1．(2023秋•长安区期中）下列计算正确的是（ ）
A．23+32=55B．23×32=66
C．55−23=32D．30÷（5+3）=6+10
2．(2023秋•市北区校级期末）计算式子（3−2）2021（3+2）2020的结果是（ ）
A．﹣1B．3−2C．2−3D．1
类型二 与二次根式有关的化简求值
例2 (2023秋•商水县校级月考）问题：先化简，再求值：2a+a2−10a+25，其中a＝3．
小宇和小颖在解答该问题时产生了不同意见，具体如下．
小宇的解答过程如下：
解：2a+a2−10a+25
＝2a+(a−5)2⋯⋯（第一步）
＝2a+a﹣5……（第二步）
＝3a﹣5．……（第三步）
当a＝3时，
原式＝3×3﹣5＝4．……（第四步）
小颖为验证小宇的做法是否正确，她将a＝3直接代入原式中：
2a+a2−10a+25＝6+32−10×3+25＝6+2＝8．
由此，小颖认为小宇的解答有错误，你认为小宇的解答错在哪一步？并给出完整正确的解答过程．
变式训练
1．(2023春•藁城区校级月考）先化简，再求值：2−(a−2)2+(a+1)(a−1)，其中a=2．
2．(2023秋•静安区校级期中）先化简，再求值，如果a＝2−3，b=12−3，求a2−2ab+b2的值．
典例3 (2023秋•青浦区校级期中）先化简再求值：x−2xy+yx−y÷1x+2xy+y，其中x=13+22，y=13−22．
变式训练
1．(2023秋•虹口区校级月考）先化简，再求值：4a−b+a+bba−ab+a−bba−ab，其中a＝1，b＝2．
典例4(2023春•邹城市校级月考）先化简，再求值：
（1）2（a+3）（a−3）﹣a（a﹣6）+6，a=2−1．
（2）已知a＝2+3，b＝2−3，求ab−ba的值．
变式训练
1．已知x=2−3，求代数式(7+43)x2+(2+3)x+3的值；
类型三 与二次根式有关的规律探究
典例5 (2023秋•新蔡县校级月考）发现①计算（2）2＝ ，（23）2＝ ；
②计算：22= ；(−23)2= ；
总结 通过①②的计算，分别探索（a）2（a≥0）与a、a2与a的数量关系规律，请用自己的语言表述出来；
应用 利用你总结的规律，结合图示计算4(m+2)2+(m−1)2+（3−m）2的值．
变式训练
1．(2023秋•忻州月考）综合与实践
小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，下面是小丽的探究过程，请补充完整：
（1）具体运算，发现规律．
等式1：1+13=213．等式2：2+14=314．等式3：3+15=415．等式4： ．
（2）观察、归纳，得出猜想．
n为正整数，猜想等式n可表示为 ，并证明你的猜想．
（3）应用运算规律．
①化简：99+1101×199+1201×402×101．
②小丽写出一个等式m2−2m+1+1n=101n（n＞0），若该等式符合上述规律，则m﹣n的值为 ．
典例6 (2023秋•浦东新区期中）观察下列运算：
（1）由(2+1)(2−1)=1，得12+1=2−1（2）由(3+2)(3−2)=1，得13+2=3−2
…… 问题：（1）通过观察你得出什么规律？用含n的式子表示出来；
（2）利用（1）中发现的规律计算：
(12+1+13+2+14+3+⋯+12018+2017+12019+2018)(2019+1)．
变式训练
1．(2023秋•南山区校级期中）著名数学教育家G•波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料，再解决问题：
数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去里面的一层根号．
例如：3+22=1+2×1×2+2=12+2×1×2+(2)2=(1+2)2=1+2．
解决问题：
（1）在括号内填上适当的数：14+65=9+2×3×5+①=(3+②)2=③
①： ，②： ，③ ．
（2）根据上述思路，化简并求出28−103+7+43的值．
类型四 二次根式的应用
典例1(2023秋•新蔡县校级月考）如图，有一张面积为50cm2的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为2cm．
（1）求长方体盒子的容积；（2）求这个长方体盒子的侧面积．
变式训练
1．(2023秋•洛宁县月考）如图，有一张长为162cm，宽为82cm的长方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形．
（1）若小正方形的边长为2cm，则制作成的无盖长方体盒子的体积是多少？
（2）求这个长方体盒子的侧面积．
典例2 (2023春•锦江区校级期中）阅读材料：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现；当a＞0，b＞0时，有(a−b)2=a﹣2ab+b≥0，∴a+b≥2ab，当且仅当a＝b时取等号．请利用上述结论解决以下问题：
（1）当x＞0时，x+1x的最小值为 ；当x＜0时，x+1x的最大值为 ．
（2）当x＞0时，求y=x2+3x+25x的最小值．
（3）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为12和27，求四边形ABCD面积的最小值．
针对训练
1．(2023秋•武陵区校级期末）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：
当a＞0，b＞0时，∵(a−b)2=a−2ab+b≥0，∴a+b≥2ab，当且仅当a＝b时取等号．
请利用上述结论解决以下问题：
（1）当x＞0时，x+1x的最小值为 ．
（2）当m＞0时，求m2+5m+12m的最小值．
（3）请解答以下问题：
如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设垂直于墙的一边长为x米．若要围成面积为200平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？
专题提优训练
1．下列计算正确的是（ ）
A．2÷16=3 B．246=4C．3÷25=35 D．255=5
2．(2023春•江岸区校级月考）先化简，再求值：25xy+xyx−4yxy−1yxy3，其中x=13，y＝4．
3．(2023春•呼和浩特期末）（1）计算：18−92−3+63+(3−2)0；
（2）先化简，再求值：(3−2x+1)÷3x2+xx+1，其中x=3+1．
4．(2023春•金华月考）在一节数学课上，李老师出了这样一道题目：
先化简，再求值：|x﹣1|+(x−10)2，其中x＝9．
小明同学是这样计算的：
解：|x﹣1|+(x−10)2=x﹣1+x﹣10＝2x﹣11．
当x＝9时，原式＝2×9﹣11＝7．
小荣同学是这样计算的：
解：|x﹣1|+(x−10)2=x﹣1+10﹣x＝9．
聪明的同学，谁的计算结果是正确的呢？错误的计算错在哪里？
5．(2023春•闵行区校级期中）先化简，再求值：已知x=13+22，求(1−x)2x−1+x2+1−2xx2−x的值．
6．(2023春•霍邱县期中）观察与思考：①223=2+23；②338=3+38；③4415=4+415．
式①验证：223=233=(23−2)+222−1=2(22−1)+222−1=2+23；
式②验证：338=338=(33−3)+332−1=3(32−1)+332−1=3+38．
（1）仿照上述式①、式②的验证过程，请写出式③的验证过程；
（2）猜想5524= ；
（3）试用含n（n为自然数，且n≥2）的等式表示这一规律，并加以验证．
7．(2023秋•鄞州区期中）先阅读材料，再解决问题．
13=12=1；13+23=32=3；13+23+33=62=6；13+23+33+43=102=10；…
根据上面的规律，解决问题：
（1）13+23+33+43+53+63= ＝ ；
（2）求13+23+33+⋯+n3（用含n的代数式表示）．
8．(2023秋•中原区校级月考）小明同学在学习的过程中，看到北师大版八年级上册数学课本43页有这样一道题目：如图，两个正方形的边长分别是多少？你能借助这个图形解释8=22吗？
小明想了想做出如下解答过程：“如图，大正方形的面积为8，则它的边长为8；小正方形的面积为2，则小正方形的边长为2．借助这个图形，可以得到大正方形的边长是小正方形边长的2倍，即8=22．”
老师夸赞小明做得非常好，继续提出一个新的问题：你能设计一个图形解释12=22吗？请你画出相应的图形并借助图形帮助小明解答这个问题．
9．(2023春•周至县期末）在一个长为45，宽为35的矩形内部挖去一个边长为（215−5）的正方形，求剩余部分的面积．
10．(2023春•济源期末）【再读教材】：我们八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦﹣秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p=a+b+c2，那么三角形的面积为S=p(p−a)(p−b)(p−c)．
【解决问题】：已知在△ABC中，AC＝4，BC＝7.5，AB＝8.5．
（1）请你用“海伦﹣秦九韶公式”求△ABC的面积．
（2）除了利用“海伦﹣秦九韶公式”求△ABC的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法．
11．(2023春•西城区校级期中）（1）用“＝”、“＞”、“＜”填空：4+3 24×3，1+16 21×16，5+5 25×5．
（2）由（1）中各式猜想m+n与2mn（m≥0，n≥0）的大小，并说明理由．
（3）请利用上述结论解决下面问题：
某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为200m2的花圃，所用的篱笆至少需要 m．
专题4 二次根式的运算与应用（解析版）
典例精析+变式训练
类型一 二次根式的计算
典例1 (2023秋•渠县校级期末）化简：
（1）(2−6)×18−313．
（2）计算：27+483+(2+3)(2−3)．
思路引领：（1）先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答；
（2）先计算二次根式的乘除法，再算加减法，即可解答．
解：（1）(2−6)×18−313
=36−63−3
＝6﹣63−3
＝6﹣73；
（2）27+483+(2+3)(2−3)
=9+16+2﹣3
＝3+4+2﹣3
＝6．
总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
变式训练
1．(2023秋•长安区期中）下列计算正确的是（ ）
A．23+32=55B．23×32=66
C．55−23=32D．30÷（5+3）=6+10
思路引领：先根据二次根式的加减法法法则，二次根式的除法法则和二次根式的乘法法则进行计算，再得出选项即可．
解：A．23和32不能合并同类二次根式，故本选项不符合题意；
B．23×32=（2×3）3×2=66，故本选项符合题意；
C．55和﹣23不能合并同类二次根式，故本选项不符合题意；
D．30÷（5+3）
=30×(5−3)(5+3)×(5−3)
=56−3102，故本选项不符合题意；
故选：B．
总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
2．(2023秋•市北区校级期末）计算式子（3−2）2021（3+2）2020的结果是（ ）
A．﹣1B．3−2C．2−3D．1
思路引领：先根据积的乘方进行变形，再根据平方差公式进行计算，最后求出答案即可．
解：（3−2）2021（3+2）2020
＝[（3−2）×（3+2）]2020×（3−2）
＝（﹣1）2020×（3−2）
＝1×（3−2）
=3−2，
故选：B．
总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式和积的乘方等知识点，能灵活运用平方差公式进行计算是解此题的关键，注意：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
类型二 与二次根式有关的化简求值
例2 (2023秋•商水县校级月考）问题：先化简，再求值：2a+a2−10a+25，其中a＝3．
小宇和小颖在解答该问题时产生了不同意见，具体如下．
小宇的解答过程如下：
解：2a+a2−10a+25
＝2a+(a−5)2⋯⋯（第一步）
＝2a+a﹣5……（第二步）
＝3a﹣5．……（第三步）
当a＝3时，
原式＝3×3﹣5＝4．……（第四步）
小颖为验证小宇的做法是否正确，她将a＝3直接代入原式中：
2a+a2−10a+25
＝6+32−10×3+25
＝6+2
＝8．
由此，小颖认为小宇的解答有错误，你认为小宇的解答错在哪一步？并给出完整正确的解答过程．
思路引领：根据二次根式的性质将二次根式进行化简后，再代入求值即可．
解：错在第二步，
原式＝2a+(a−5)2=2a+|a﹣5|，
∵a＝3＜5，
∴a﹣5＜0，
∴原式＝2a+（5﹣a）
＝a+5，
当a＝3时，
原式＝3+5
＝8．
总结提升：本题康熙二次根式的化简与求值，掌握a2=|a|，是正确解答的关键．
变式训练
1．(2023春•藁城区校级月考）先化简，再求值：2−(a−2)2+(a+1)(a−1)，其中a=2．
思路引领：利用二次根式的相应的运算法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
解：2−(a−2)2+(a+1)(a−1)
＝2﹣|a﹣2|+a2﹣1
＝a2+1﹣|a﹣2|，
当a=2时，
原式＝（2）2+1﹣（2−2）
＝2+1﹣2+2
＝1+2．
总结提升：本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
2．(2023秋•静安区校级期中）先化简，再求值，如果a＝2−3，b=12−3，求a2−2ab+b2的值．
思路引领：直接利用二次根式的性质分母有理化，进而化简二次根式得出答案．
解：∵b=12−3=2+3(2−3)(2+3)=2+3，a＝2−3，
∴a﹣b＝2−3−（2+3）＝2−3−2−3=−23＜0，
∴a2−2ab+b2=(a−b)2=23．
总结提升：此题主要考查了二次根式的化简求值，正确化简二次根式是解题关键．
典例3 (2023秋•青浦区校级期中）先化简再求值：x−2xy+yx−y÷1x+2xy+y，其中x=13+22，y=13−22．
思路引领：根据平方差公式、完全平方公式把原式的分子、分母变形，再根据约分法则化简，利用分母有理化法则把x、y化简，代入计算即可．
解：原式=(x−y)2(x+y)(x−y)•（x+y）2
＝（x−y）•（x+y）
＝x﹣y，
当x=13+22=3−22(3+22)(3−22)=3﹣22，y=13−22=3+22时，
原式＝（3﹣22）﹣（3+22）＝﹣42．
总结提升：本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的乘法法则、平方差公式、完全平方公式是解题的关键．
变式训练
1．(2023秋•虹口区校级月考）先化简，再求值：4a−b+a+bba−ab+a−bba−ab，其中a＝1，b＝2．
思路引领：利用二次根式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
解：4a−b+a+bba−ab+a−bba−ab
=4a−b+2aba−ab
=4(a−b)(a+b)+2aab(b−a)
=4abab(a−b)(a+b)−2a(a+b)ab(a+b)(a+b)
=−2ab+b
=−2(ab−b)ab−b2，
∵a＝1，b＝2，
∴原式=−2(2−2)2−4=2−2．
总结提升：本题主要考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的化简求值的方法是解决本题的关键．
典例4(2023春•邹城市校级月考）先化简，再求值：
（1）2（a+3）（a−3）﹣a（a﹣6）+6，a=2−1．
（2）已知a＝2+3，b＝2−3，求ab−ba的值．
思路引领：（1）利用乘法公式展开，然后合并同类项，再把a的值代入计算；
（2）先计算出a+b、a﹣b和ab的值，再通分和平方差公式得到原式=(a+b)(a−b)ab，然后利用整体代入的方法计算．
解：（1）原式＝2（a2﹣3）﹣a2+6a+6
＝2a2﹣6﹣a2+6a+6
＝a2+6a，
当a=2−1时，原式＝（2−1）2+6（2−1）
＝2﹣22+1+62−6
＝42−3；
（2）∵a＝2+3，b＝2−3，
∴a+b＝4，ab＝4﹣3＝1，a﹣b＝23，
∴ab−ba=a2−b2ab=(a+b)(a−b)ab=4×231=83．
总结提升：本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．利用整体代入的方法可简化计算．
变式训练
1．已知x=2−3，求代数式(7+43)x2+(2+3)x+3的值；
思路引领：先根据完全平方公式求出x2，再根据二次根式的乘法法则计算即可；
解：∵x＝2−3，
∴x2＝（2−3）2＝4﹣43+3＝7﹣43，
则原式＝（7+43）（7﹣43）+（2+3）（2−3）+3
＝49﹣48+4﹣3+3
＝2+3；
总结提升：本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．利用整体代入的方法可简化计算．
类型三 与二次根式有关的规律探究
典例5 (2023秋•新蔡县校级月考）发现①计算（2）2＝ ，（23）2＝ ；
②计算：22= ；(−23)2= ；
总结 通过①②的计算，分别探索（a）2（a≥0）与a、a2与a的数量关系规律，请用自己的语言表述出来；
应用 利用你总结的规律，结合图示计算4(m+2)2+(m−1)2+（3−m）2的值．
思路引领：发现：①利用有理数的乘方的计算方法进行计算即可；
②利用算术平方根的定义进行计算即可；
总结：根据有理数的乘方的计算方法以及算术平方根的定义进行总结即可；
应用：根据数m在数轴上的位置，确定m+2，m﹣1的符号，再根据上述结论进行解答即可．
解：发现：①（2）2＝2，（23）2=23，
故答案为：2，23；
②22=|2|＝2，(−23)2=|−23|=23，
故答案为：2，23；
总结：（a）2＝a（a≥0），a2=|a|=a(a≥0)−a(a＜0)；
应用：由数m在数轴上的位可知，﹣2＜m＜﹣1，
∴m+2＞0，m﹣1＜0，3﹣m＞0，
∴原式＝2（m+2）+1﹣m+3﹣m＝8，
答：4(m+2)2+(m−1)2+（3−m）2＝8．
总结提升：本题考查二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质以及乘除法的计算法则是正确解答的前提．
变式训练
1．(2023秋•忻州月考）综合与实践
小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，下面是小丽的探究过程，请补充完整：
（1）具体运算，发现规律．
等式1：1+13=213．
等式2：2+14=314．
等式3：3+15=415．
等式4： ．
（2）观察、归纳，得出猜想．
n为正整数，猜想等式n可表示为 ，并证明你的猜想．
（3）应用运算规律．
①化简：99+1101×199+1201×402×101．
②小丽写出一个等式m2−2m+1+1n=101n（n＞0），若该等式符合上述规律，则m﹣n的值为 ．
思路引领：（1）根据所给的特例的形式进行求解即可；
（2）分析所给的等式的形式进行总结即可；对等式的左边进行整理，即可求证；
（3）①②利用（2）中的规律进行求解即可．
解：（1）由题意得：4+16=516，
故答案为：4+16=516；
（2）猜想等式n可表示为n+1n+2=（n+1）1n+2，
故答案为：n+1n+2=（n+1）1n+2，
证明：等式左边=n2+2n+1n+2=(n+1)2n+2=（n+1）1n+2=右边，
故猜想成立；
（3）①原式＝1001101×2001201×402×101
＝100×200×1101×101×1201×201×2
＝200002；
②∵等式m2−2m+1+1n=101n（n＞0），符合上述规律，
∴m2﹣2m+1＝9，n＝11，
解得m＝﹣2或4，
∴m﹣n＝﹣13或﹣7．
故答案为：﹣13或﹣7．
总结提升：本题主要考查二次根式混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规律．
典例6 (2023秋•浦东新区期中）观察下列运算：
（1）由(2+1)(2−1)=1，得12+1=2−1
（2）由(3+2)(3−2)=1，得13+2=3−2
……
问题：（1）通过观察你得出什么规律？用含n的式子表示出来；
（2）利用（1）中发现的规律计算：
(12+1+13+2+14+3+⋯+12018+2017+12019+2018)(2019+1)．
思路引领：（1）根据已知算式得出规律即可；
（2）根据（1）中得出的规律进行变形，再根据二次根式的加法法则进行计算，最后根据平方差公式求出答案即可．
解：（1）1n+1+n=n+1−n（n为正整数）；
（2）原式＝（2−1+3−2+4−3+•••+2019−2018）（2019+1）
＝（2019−1）（2019+1）
＝2019﹣1
＝2018．
总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化和平方差公式等知识点，能根据已知算式得出规律是解此题的关键．
变式训练
1．(2023秋•南山区校级期中）著名数学教育家G•波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料，再解决问题：
数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去里面的一层根号．
例如：3+22=1+2×1×2+2=12+2×1×2+(2)2=(1+2)2=1+2．
解决问题：
（1）在括号内填上适当的数：14+65=9+2×3×5+①=(3+②)2=③
①： ，②： ，③ ．
（2）根据上述思路，化简并求出28−103+7+43的值．
思路引领：（1）模仿样例进行解答便可；
（2）把28看成52+(3)2，7看成22+(3)2，借助完全平方公式将每个根号内化成完全平方数的形式，便可开方计算得结果．
解：（1）由题意得，14+65=9+2×3×5+5=(3+5)2=3+5，
则①＝5，②=5，③＝3+5，
故答案为：①5；②5；③3+5；
（2）28−103+7+43
=25−2×5×3+3+4+2×2×3+3
=(5−3)2+(2+3)2
＝5−3+2+3
＝7．
总结提升：本题考查了二次根式的性质，完全平方式的应用，关键是把被开方数化成完全平方数．
类型四 二次根式的应用
典例1(2023秋•新蔡县校级月考）如图，有一张面积为50cm2的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为2cm．
（1）求长方体盒子的容积；
（2）求这个长方体盒子的侧面积．
思路引领：（1）结合题意可知该长方体盒子的长、宽都为52−22=32cm，高为2cm，而长方体的容积为长×宽×高，即可得答案；
（2）该长方体盒子的侧面为长方形，长为32cm，宽为2cm，共4个面，即可得答案．
解：（1）由题意可知：长方体盒子的容积为：(52−22)2×2=182（cm3），
答：长方体盒子的容积为182cm3；
（2）长方体盒子的侧面积为：(52−22)×2×4=24（cm2），
答：这个长方体盒子的侧面积为24cm2．
总结提升：本题考查了二次根式的应用，关键是结合图形，结合二次根式的乘法法则求解．
变式训练
1．(2023秋•洛宁县月考）如图，有一张长为162cm，宽为82cm的长方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形．
（1）若小正方形的边长为2cm，则制作成的无盖长方体盒子的体积是多少？
（2）求这个长方体盒子的侧面积．
思路引领：（1）利用长方体的体积公式计算即可；
（2）大长方形的面积减去4个小正方形的面积，再减去底面面积就是盒子的侧面积．（两个小长方形面积和两个大长方形面积和）
解：（1）无盖长方体盒子的体积为：
（162−22）×（82−22）×2
＝142×62×2
＝1682（cm3）；
答：制作成的无盖长方体盒子的体积是1682cm3．
（2）方法一，长方体盒子的侧面积为：
162×82−4×2×2−（162−22）（82−22）
＝256﹣8﹣168
＝80（cm2）；
答：这个长方体盒子的侧面积为80cm2．
方法二，长方体盒子的侧面积为：
（82−22）×2×2+（162−22）×2×2
＝62×2×2+142×2×2
＝24+56
＝80cm2．
答：这个长方体盒子的侧面积为80cm2．
总结提升：本题考查了二次根式的应用，做题关键是读懂题意列出正确的算式．
典例2 (2023春•锦江区校级期中）阅读材料：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现；当a＞0，b＞0时，有(a−b)2=a﹣2ab+b≥0，∴a+b≥2ab，当且仅当a＝b时取等号．请利用上述结论解决以下问题：
（1）当x＞0时，x+1x的最小值为 ；当x＜0时，x+1x的最大值为 ．
（2）当x＞0时，求y=x2+3x+25x的最小值．
（3）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为12和27，求四边形ABCD面积的最小值．
思路引领：（1）当x＞0时，直接根据公式a+b≥2ab计算即可；当x＜0时，先将x+1x变形为﹣（﹣x−1s），再根据公式a+b≥2ab计算即可；
（2）将原式的分子分别除以分母，变形为可利用公式a+b≥2ab计算的形式，计算即可；
（3）根据等高三角形的性质计算即可．
解：（1）当x＞0时，x+1x≥2x⋅1x=2；
当x＜0时，x+1x=−（﹣x−1x），
∵﹣x−1x≥2(−x)⋅(−1x)=2，
∴﹣（﹣x−1x）≤﹣2，即x+1x≤−2．
故答案为：2；﹣2；
（2）当x＞0时，
y=x2+3x+25x=x+25x+3≥2x⋅25x+3＝13，
∴当x＞0时，y的最小值13；
（3）设S△BOC＝x，
∵S△AOB＝12，S△COD＝27，
∴由等高三角形可得：S△BOC：S△COD＝S△AOB：S△AOD，
∴x：27＝12：S△AOD，
∴S△AOD=324x，
∴四边形ABCD面积＝12+27+x+324x=39+x+324x≥39+2x⋅324x=75．
总结提升：本题是四边形综合题，考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了分式化简和等高三角形的性质，读懂阅读材料中的方法并正确运用是解题的关键．
针对训练
1．(2023秋•武陵区校级期末）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：
当a＞0，b＞0时，∵(a−b)2=a−2ab+b≥0，∴a+b≥2ab，当且仅当a＝b时取等号．
请利用上述结论解决以下问题：
（1）当x＞0时，x+1x的最小值为 ．
（2）当m＞0时，求m2+5m+12m的最小值．
（3）请解答以下问题：
如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设垂直于墙的一边长为x米．若要围成面积为200平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？
思路引领：（1）根据阅读中的公式计算即可；
（2）先配方，化简，运用公式计算即可；
（3）设所需的篱笆长为L米，由题意得L＝2x+200x，再阅读中的公式计算即可．
解：（1）当x＞0时，1x＞0，
∴x+1x≥2x⋅1x=2，
∴x+1x的最小值为2．
故答案为：2；
（2）m2+5m+12m=m+5+12m，
∵m＞0，
∴m+5+12m≥2m⋅12m+5，
又∵m⋅12m=23，
∴m+5+12m≥43+5，即m2+5m+12m≥43+5，
∴m2+5m+12m的最小值为43+5；
（3）设所需的篱笆长为L米，由题意得L＝2x+200x，
由题意可知：2x+200x≥22x⋅200x，
又∵22x⋅200x=40，
∴2x+200x≥40，
∴需要用的篱笆最少是40米．
总结提升：本题考查了配方法的应用，解答本题的关键是明确题意，利用题目中阅读内容解答．
专题提优训练
1．下列计算正确的是（ ）
A．2÷16=3B．246=4C．3÷25=35D．255=5
思路引领：应用分母有理化及二次根式的乘除法法则进行计算即可得出答案．
解：A．∵2÷16=2×6=12=23，∴A选项计算不正确，故A选项不符合题意；
B．∵246=246=4=2，∴B选项计算不正确，故B选项不符合题意；
C．∵3÷25=325=35，∴C选项计算正确，故C选项符合题意；
D．∵255=2555=55，∴D选项计算不正确，故D选项不符合题意；
故选：C．
总结提升：本题主要考查了分母有理化及二次根式的乘除法，熟练掌握分母有理化及二次根式的乘除法法则进行求解是解决本题的关键．
2．(2023春•江岸区校级月考）先化简，再求值：25xy+xyx−4yxy−1yxy3，其中x=13，y＝4．
思路引领：先把各二次根式化为最简二次根式，再合并得到原式=xy，然后把x、y的值代入计算．
解：∵x=13＞0，y＝4＞0，
∴原式＝5xy+xy−4xy−xy
=xy，
当x=13，y＝4时，原式=13×4=233．
总结提升：本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
3．(2023春•呼和浩特期末）（1）计算：18−92−3+63+(3−2)0；
（2）先化简，再求值：(3−2x+1)÷3x2+xx+1，其中x=3+1．
思路引领：（1）根据二次根式的加减法法则、零指数幂的性质计算；
（2）根据分式的混合运算法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
解：（1）原式＝32−322−1−2+1
=22；
（2）原式＝（3x+3x+1−2x+1）•x+1x(3x+1)
=3x+1x+1•x+1x(3x+1)
=1x，
当x=3+1时，原式=13+1=3−12．
总结提升：本题考查的是二次根式的混合运算，分式的化简求值，掌握二次根式的混合运算法则、分式的混合运算法则是解题的关键．
4．(2023春•金华月考）在一节数学课上，李老师出了这样一道题目：
先化简，再求值：|x﹣1|+(x−10)2，其中x＝9．
小明同学是这样计算的：
解：|x﹣1|+(x−10)2=x﹣1+x﹣10＝2x﹣11．
当x＝9时，原式＝2×9﹣11＝7．
小荣同学是这样计算的：
解：|x﹣1|+(x−10)2=x﹣1+10﹣x＝9．
聪明的同学，谁的计算结果是正确的呢？错误的计算错在哪里？
思路引领：根据二次根式的性质判断即可．
解：小荣的计算结果正确，小明的计算结果错误，
错在去掉根号：|x﹣1|+(x−10)2=x﹣1+x﹣10（应为x﹣1+10﹣x）．
总结提升：本题考查了二次根式的性质与化简，能熟记二次根式的性质是解此题的关键，注意：a2=|a|=a(a≥0)−a(a＜0)．
5．(2023春•闵行区校级期中）先化简，再求值：已知x=13+22，求(1−x)2x−1+x2+1−2xx2−x的值．
思路引领：原式利用二次根式化简，约分得到最简结果，由x的值求出x﹣1与1x的值，分别代入计算即可求出值．
解：∵x=13+22=3−22(3+22)(3−22)=3﹣22，
∴x﹣1＝3﹣22−1＝2﹣22＜0，1x=3+22，
则原式=(x−1)2x−1+|x−1|x(x−1)
＝x﹣1+−(x−1)x(x−1)
＝（x﹣1）−1x
＝2﹣22−（3+22）
＝2﹣22−3﹣22
＝﹣1﹣42．
总结提升：此题考查了二次根式的化简求值，分式的化简求值，以及分母有理化，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．(2023春•霍邱县期中）观察与思考：①223=2+23；②338=3+38；③4415=4+415．
式①验证：223=233=(23−2)+222−1=2(22−1)+222−1=2+23；
式②验证：338=338=(33−3)+332−1=3(32−1)+332−1=3+38．
（1）仿照上述式①、式②的验证过程，请写出式③的验证过程；
（2）猜想5524= ；
（3）试用含n（n为自然数，且n≥2）的等式表示这一规律，并加以验证．
思路引领：（1）根据已知算式和二次根式的性质进行变形即可；
（2）根据已知算式得出规律，再根据得出的规律得出答案即可；
（3）根据已知规律得出算式，再根据二次根式的性质进行计算即可．
解：（1）4415=4315=(43−4)+442−1=4(42−1)+442−1=4+415；
（2）5524=5+524，
故答案为：5+524；
（3）nnn2−1=n+nn2−1；
证明：nnn2−1=n3n2−1=(n3−n)+nn2−1=n(n2−1)+nn2−1=n+nn2−1．
总结提升：本题考查了二次根式的性质与化简，能根据已知算式得出规律是解此题的关键．
7．(2023秋•鄞州区期中）先阅读材料，再解决问题．
13=12=1；
13+23=32=3；
13+23+33=62=6；
13+23+33+43=102=10；
…
根据上面的规律，解决问题：
（1）13+23+33+43+53+63= ＝ ；
（2）求13+23+33+⋯+n3（用含n的代数式表示）．
思路引领：（1）观察各个等式中最左边的被开方数中各个幂的底数的和与最右边的结果的关系即可得到结论；
（2）利用（1）发现的规律解答即可．
解：∵13+23=32=3中，1+2＝3，
13+23+33=62=6中，1+2+3＝6，
13+23+33+43=102=10中，1+2+3+4＝10，
∴等式中最左边的被开方数中各个幂的底数的和＝右边的结果．
∵1+2+3+4+5+6＝21，
∴（1）13+23+33+43+53+63=212=21．
故答案为：212，21；
（2）由（1）中发现的规律可得：
13+23+33+⋅⋅⋅+n3=(1+2+3+⋅⋅⋅+n)2=1+2+3+•••+n=n(n+1)2．
总结提升：本题主要考查了二次根式的性质与化简，本题是规律型题目，发现数字间的变化的规律是解题的关键．
8．(2023秋•中原区校级月考）小明同学在学习的过程中，看到北师大版八年级上册数学课本43页有这样一道题目：如图，两个正方形的边长分别是多少？你能借助这个图形解释8=22吗？
小明想了想做出如下解答过程：“如图，大正方形的面积为8，则它的边长为8；小正方形的面积为2，则小正方形的边长为2．借助这个图形，可以得到大正方形的边长是小正方形边长的2倍，即8=22．”
老师夸赞小明做得非常好，继续提出一个新的问题：你能设计一个图形解释12=22吗？请你画出相应的图形并借助图形帮助小明解答这个问题．
思路引领：根据正方形的面积公式得到2个正方形的边长，利用图形得出边长的关系，进而得出答案．
解：如图，
大正方形的面积为2，则它的边长为2；
小正方形的面积为12，则小正方形的边长为12，
观察图形可以得到大正方形边长是小正方形边长的2倍，
则12=22．
总结提升：此题主要考查了算术平方根，正方形的面积，利用已知结合相似图形的性质得出是解题关键．
9．(2023春•周至县期末）在一个长为45，宽为35的矩形内部挖去一个边长为（215−5）的正方形，求剩余部分的面积．
思路引领：根据矩形的面积﹣正方形的面积即可得到剩余部分的面积．
解：45×35−（215−5）2
＝60﹣（60﹣203+5）
＝60﹣60+203−5
＝（203−5）平方米，
答：剩余部分的面积为（203−5）平方米．
总结提升：本题考查了二次根式的应用，掌握（a±b）2＝a2±2ab+b2是解题的关键．
10．(2023春•济源期末）【再读教材】：我们八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦﹣秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p=a+b+c2，那么三角形的面积为S=p(p−a)(p−b)(p−c)．
【解决问题】：已知在△ABC中，AC＝4，BC＝7.5，AB＝8.5．
（1）请你用“海伦﹣秦九韶公式”求△ABC的面积．
（2）除了利用“海伦﹣秦九韶公式”求△ABC的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法．
思路引领：（1）直接代入海伦﹣秦九韶公式求解；
（2）先利用勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形，再用两直角边的积除以2求出面积即可．
解：（l）∵AC＝4，BC＝7.5，AB＝8.5，
∴p=4+7.5+8.52=10，
∴S△ABC=10×(10−4)×(10−7.5)×(10−8.5)=10×6×2.5×1.5=225=15．
即△ABC的面积为15；
（2）∵AC＝4，BC＝7.5，AB＝8.5，
∴AC2=42=16=644，BC2=(152)2=2254，AB2=(172)2=2894，
∴AC2+BC2=644+2254=2894=AB2，
∴∠C＝90°，
∴S△ABC=12AC⋅BC=12×4×7.5=15．
总结提升：本题考查了二次根式的应用，代数式求值，勾股定理的逆定理，准确计算是解题关键．
11．(2023春•西城区校级期中）（1）用“＝”、“＞”、“＜”填空：4+3 24×3，1+16 21×16，5+5 25×5．
（2）由（1）中各式猜想m+n与2mn（m≥0，n≥0）的大小，并说明理由．
（3）请利用上述结论解决下面问题：
某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为200m2的花圃，所用的篱笆至少需要 m．
思路引领：（1）分别进行计算，比较大小即可；
（2）根据第（1）问填大于号或等于号，所以猜想m+n≥2mn；比较大小，可以作差，m+n﹣2mn，联想到完全平方公式，问题得证；
（3）设花圃的长为a米，宽为b米，需要篱笆的长度为（a+2b）米，利用第（2）问的公式即可求得最小值．
解：（1）∵4+3＝7，24×3=43，
∴72＝49，（43）2＝48，
∵49＞48，
∴4+3＞24×3；
∵1+16=76＞1，21×16=63＜1，
∴1+16＞21×16；
∵5+5＝10，25×5=10，
∴5+5＝25×5．
故答案为：＞，＞，＝．
（2）m+n≥2mn（m≥0，n≥0）．理由如下：
当m≥0，n≥0时，
∵（m−n）2≥0，
∴（m）2﹣2m•n+（n）2≥0，
∴m﹣2mn+n≥0，
∴m+n≥2mn．
（3）设花圃的长为a米，宽为b米，则a＞0，b＞0，S＝ab＝200，
根据（2）的结论可得：a+2b≥2a⋅2b=22ab=22×200=2×20＝40，
∴篱笆至少需要40米．
故答案为：40．
总结提升：本题主要考查了二次根式的计算，体现了由特殊到一般的思想方法，解题的关键是联想到完全平方公式，利用平方的非负性求证．
类型一 二次根式的计算
典例1 (2023秋•渠县校级期末）化简：
（1）(2−6)×18−313． （2）计算：27+483+(2+3)(2−3)．
变式训练
1．(2023秋•长安区期中）下列计算正确的是（ ）
A．23+32=55B．23×32=66
C．55−23=32D．30÷（5+3）=6+10
2．(2023秋•市北区校级期末）计算式子（3−2）2021（3+2）2020的结果是（ ）
A．﹣1B．3−2C．2−3D．1
类型二 与二次根式有关的化简求值
例2 (2023秋•商水县校级月考）问题：先化简，再求值：2a+a2−10a+25，其中a＝3．
小宇和小颖在解答该问题时产生了不同意见，具体如下．
小宇的解答过程如下：
解：2a+a2−10a+25
＝2a+(a−5)2⋯⋯（第一步）
＝2a+a﹣5……（第二步）
＝3a﹣5．……（第三步）
当a＝3时，
原式＝3×3﹣5＝4．……（第四步）
小颖为验证小宇的做法是否正确，她将a＝3直接代入原式中：
2a+a2−10a+25＝6+32−10×3+25＝6+2＝8．
由此，小颖认为小宇的解答有错误，你认为小宇的解答错在哪一步？并给出完整正确的解答过程．
变式训练
1．(2023春•藁城区校级月考）先化简，再求值：2−(a−2)2+(a+1)(a−1)，其中a=2．
2．(2023秋•静安区校级期中）先化简，再求值，如果a＝2−3，b=12−3，求a2−2ab+b2的值．
典例3 (2023秋•青浦区校级期中）先化简再求值：x−2xy+yx−y÷1x+2xy+y，其中x=13+22，y=13−22．
变式训练
1．(2023秋•虹口区校级月考）先化简，再求值：4a−b+a+bba−ab+a−bba−ab，其中a＝1，b＝2．
典例4(2023春•邹城市校级月考）先化简，再求值：
（1）2（a+3）（a−3）﹣a（a﹣6）+6，a=2−1．
（2）已知a＝2+3，b＝2−3，求ab−ba的值．
变式训练
1．已知x=2−3，求代数式(7+43)x2+(2+3)x+3的值；
类型三 与二次根式有关的规律探究
典例5 (2023秋•新蔡县校级月考）发现①计算（2）2＝ ，（23）2＝ ；
②计算：22= ；(−23)2= ；
总结 通过①②的计算，分别探索（a）2（a≥0）与a、a2与a的数量关系规律，请用自己的语言表述出来；
应用 利用你总结的规律，结合图示计算4(m+2)2+(m−1)2+（3−m）2的值．
变式训练
1．(2023秋•忻州月考）综合与实践
小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，下面是小丽的探究过程，请补充完整：
（1）具体运算，发现规律．
等式1：1+13=213．等式2：2+14=314．等式3：3+15=415．等式4： ．
（2）观察、归纳，得出猜想．
n为正整数，猜想等式n可表示为 ，并证明你的猜想．
（3）应用运算规律．
①化简：99+1101×199+1201×402×101．
②小丽写出一个等式m2−2m+1+1n=101n（n＞0），若该等式符合上述规律，则m﹣n的值为 ．
典例6 (2023秋•浦东新区期中）观察下列运算：
（1）由(2+1)(2−1)=1，得12+1=2−1（2）由(3+2)(3−2)=1，得13+2=3−2
…… 问题：（1）通过观察你得出什么规律？用含n的式子表示出来；
（2）利用（1）中发现的规律计算：
(12+1+13+2+14+3+⋯+12018+2017+12019+2018)(2019+1)．
变式训练
1．(2023秋•南山区校级期中）著名数学教育家G•波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料，再解决问题：
数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去里面的一层根号．
例如：3+22=1+2×1×2+2=12+2×1×2+(2)2=(1+2)2=1+2．
解决问题：
（1）在括号内填上适当的数：14+65=9+2×3×5+①=(3+②)2=③
①： ，②： ，③ ．
（2）根据上述思路，化简并求出28−103+7+43的值．
类型四 二次根式的应用
典例1(2023秋•新蔡县校级月考）如图，有一张面积为50cm2的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为2cm．
（1）求长方体盒子的容积；（2）求这个长方体盒子的侧面积．
变式训练
1．(2023秋•洛宁县月考）如图，有一张长为162cm，宽为82cm的长方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形．
（1）若小正方形的边长为2cm，则制作成的无盖长方体盒子的体积是多少？
（2）求这个长方体盒子的侧面积．
典例2 (2023春•锦江区校级期中）阅读材料：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现；当a＞0，b＞0时，有(a−b)2=a﹣2ab+b≥0，∴a+b≥2ab，当且仅当a＝b时取等号．请利用上述结论解决以下问题：
（1）当x＞0时，x+1x的最小值为 ；当x＜0时，x+1x的最大值为 ．
（2）当x＞0时，求y=x2+3x+25x的最小值．
（3）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为12和27，求四边形ABCD面积的最小值．
针对训练
1．(2023秋•武陵区校级期末）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：
当a＞0，b＞0时，∵(a−b)2=a−2ab+b≥0，∴a+b≥2ab，当且仅当a＝b时取等号．
请利用上述结论解决以下问题：
（1）当x＞0时，x+1x的最小值为 ．
（2）当m＞0时，求m2+5m+12m的最小值．
（3）请解答以下问题：
如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设垂直于墙的一边长为x米．若要围成面积为200平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？
专题提优训练
1．下列计算正确的是（ ）
A．2÷16=3 B．246=4C．3÷25=35 D．255=5
2．(2023春•江岸区校级月考）先化简，再求值：25xy+xyx−4yxy−1yxy3，其中x=13，y＝4．
3．(2023春•呼和浩特期末）（1）计算：18−92−3+63+(3−2)0；
（2）先化简，再求值：(3−2x+1)÷3x2+xx+1，其中x=3+1．
4．(2023春•金华月考）在一节数学课上，李老师出了这样一道题目：
先化简，再求值：|x﹣1|+(x−10)2，其中x＝9．
小明同学是这样计算的：
解：|x﹣1|+(x−10)2=x﹣1+x﹣10＝2x﹣11．
当x＝9时，原式＝2×9﹣11＝7．
小荣同学是这样计算的：
解：|x﹣1|+(x−10)2=x﹣1+10﹣x＝9．
聪明的同学，谁的计算结果是正确的呢？错误的计算错在哪里？
5．(2023春•闵行区校级期中）先化简，再求值：已知x=13+22，求(1−x)2x−1+x2+1−2xx2−x的值．
6．(2023春•霍邱县期中）观察与思考：①223=2+23；②338=3+38；③4415=4+415．
式①验证：223=233=(23−2)+222−1=2(22−1)+222−1=2+23；
式②验证：338=338=(33−3)+332−1=3(32−1)+332−1=3+38．
（1）仿照上述式①、式②的验证过程，请写出式③的验证过程；
（2）猜想5524= ；
（3）试用含n（n为自然数，且n≥2）的等式表示这一规律，并加以验证．
7．(2023秋•鄞州区期中）先阅读材料，再解决问题．
13=12=1；13+23=32=3；13+23+33=62=6；13+23+33+43=102=10；…
根据上面的规律，解决问题：
（1）13+23+33+43+53+63= ＝ ；
（2）求13+23+33+⋯+n3（用含n的代数式表示）．
8．(2023秋•中原区校级月考）小明同学在学习的过程中，看到北师大版八年级上册数学课本43页有这样一道题目：如图，两个正方形的边长分别是多少？你能借助这个图形解释8=22吗？
小明想了想做出如下解答过程：“如图，大正方形的面积为8，则它的边长为8；小正方形的面积为2，则小正方形的边长为2．借助这个图形，可以得到大正方形的边长是小正方形边长的2倍，即8=22．”
老师夸赞小明做得非常好，继续提出一个新的问题：你能设计一个图形解释12=22吗？请你画出相应的图形并借助图形帮助小明解答这个问题．
9．(2023春•周至县期末）在一个长为45，宽为35的矩形内部挖去一个边长为（215−5）的正方形，求剩余部分的面积．
10．(2023春•济源期末）【再读教材】：我们八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦﹣秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p=a+b+c2，那么三角形的面积为S=p(p−a)(p−b)(p−c)．
【解决问题】：已知在△ABC中，AC＝4，BC＝7.5，AB＝8.5．
（1）请你用“海伦﹣秦九韶公式”求△ABC的面积．
（2）除了利用“海伦﹣秦九韶公式”求△ABC的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法．
11．(2023春•西城区校级期中）（1）用“＝”、“＞”、“＜”填空：4+3 24×3，1+16 21×16，5+5 25×5．
（2）由（1）中各式猜想m+n与2mn（m≥0，n≥0）的大小，并说明理由．
（3）请利用上述结论解决下面问题：
某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为200m2的花圃，所用的篱笆至少需要 m．
专题4 二次根式的运算与应用（解析版）
典例精析+变式训练
类型一 二次根式的计算
典例1 (2023秋•渠县校级期末）化简：
（1）(2−6)×18−313．
（2）计算：27+483+(2+3)(2−3)．
思路引领：（1）先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答；
（2）先计算二次根式的乘除法，再算加减法，即可解答．
解：（1）(2−6)×18−313
=36−63−3
＝6﹣63−3
＝6﹣73；
（2）27+483+(2+3)(2−3)
=9+16+2﹣3
＝3+4+2﹣3
＝6．
总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
变式训练
1．(2023秋•长安区期中）下列计算正确的是（ ）
A．23+32=55B．23×32=66
C．55−23=32D．30÷（5+3）=6+10
思路引领：先根据二次根式的加减法法法则，二次根式的除法法则和二次根式的乘法法则进行计算，再得出选项即可．
解：A．23和32不能合并同类二次根式，故本选项不符合题意；
B．23×32=（2×3）3×2=66，故本选项符合题意；
C．55和﹣23不能合并同类二次根式，故本选项不符合题意；
D．30÷（5+3）
=30×(5−3)(5+3)×(5−3)
=56−3102，故本选项不符合题意；
故选：B．
总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
2．(2023秋•市北区校级期末）计算式子（3−2）2021（3+2）2020的结果是（ ）
A．﹣1B．3−2C．2−3D．1
思路引领：先根据积的乘方进行变形，再根据平方差公式进行计算，最后求出答案即可．
解：（3−2）2021（3+2）2020
＝[（3−2）×（3+2）]2020×（3−2）
＝（﹣1）2020×（3−2）
＝1×（3−2）
=3−2，
故选：B．
总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式和积的乘方等知识点，能灵活运用平方差公式进行计算是解此题的关键，注意：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
类型二 与二次根式有关的化简求值
例2 (2023秋•商水县校级月考）问题：先化简，再求值：2a+a2−10a+25，其中a＝3．
小宇和小颖在解答该问题时产生了不同意见，具体如下．
小宇的解答过程如下：
解：2a+a2−10a+25
＝2a+(a−5)2⋯⋯（第一步）
＝2a+a﹣5……（第二步）
＝3a﹣5．……（第三步）
当a＝3时，
原式＝3×3﹣5＝4．……（第四步）
小颖为验证小宇的做法是否正确，她将a＝3直接代入原式中：
2a+a2−10a+25
＝6+32−10×3+25
＝6+2
＝8．
由此，小颖认为小宇的解答有错误，你认为小宇的解答错在哪一步？并给出完整正确的解答过程．
思路引领：根据二次根式的性质将二次根式进行化简后，再代入求值即可．
解：错在第二步，
原式＝2a+(a−5)2=2a+|a﹣5|，
∵a＝3＜5，
∴a﹣5＜0，
∴原式＝2a+（5﹣a）
＝a+5，
当a＝3时，
原式＝3+5
＝8．
总结提升：本题康熙二次根式的化简与求值，掌握a2=|a|，是正确解答的关键．
变式训练
1．(2023春•藁城区校级月考）先化简，再求值：2−(a−2)2+(a+1)(a−1)，其中a=2．
思路引领：利用二次根式的相应的运算法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
解：2−(a−2)2+(a+1)(a−1)
＝2﹣|a﹣2|+a2﹣1
＝a2+1﹣|a﹣2|，
当a=2时，
原式＝（2）2+1﹣（2−2）
＝2+1﹣2+2
＝1+2．
总结提升：本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
2．(2023秋•静安区校级期中）先化简，再求值，如果a＝2−3，b=12−3，求a2−2ab+b2的值．
思路引领：直接利用二次根式的性质分母有理化，进而化简二次根式得出答案．
解：∵b=12−3=2+3(2−3)(2+3)=2+3，a＝2−3，
∴a﹣b＝2−3−（2+3）＝2−3−2−3=−23＜0，
∴a2−2ab+b2=(a−b)2=23．
总结提升：此题主要考查了二次根式的化简求值，正确化简二次根式是解题关键．
典例3 (2023秋•青浦区校级期中）先化简再求值：x−2xy+yx−y÷1x+2xy+y，其中x=13+22，y=13−22．
思路引领：根据平方差公式、完全平方公式把原式的分子、分母变形，再根据约分法则化简，利用分母有理化法则把x、y化简，代入计算即可．
解：原式=(x−y)2(x+y)(x−y)•（x+y）2
＝（x−y）•（x+y）
＝x﹣y，
当x=13+22=3−22(3+22)(3−22)=3﹣22，y=13−22=3+22时，
原式＝（3﹣22）﹣（3+22）＝﹣42．
总结提升：本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的乘法法则、平方差公式、完全平方公式是解题的关键．
变式训练
1．(2023秋•虹口区校级月考）先化简，再求值：4a−b+a+bba−ab+a−bba−ab，其中a＝1，b＝2．
思路引领：利用二次根式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
解：4a−b+a+bba−ab+a−bba−ab
=4a−b+2aba−ab
=4(a−b)(a+b)+2aab(b−a)
=4abab(a−b)(a+b)−2a(a+b)ab(a+b)(a+b)
=−2ab+b
=−2(ab−b)ab−b2，
∵a＝1，b＝2，
∴原式=−2(2−2)2−4=2−2．
总结提升：本题主要考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的化简求值的方法是解决本题的关键．
典例4(2023春•邹城市校级月考）先化简，再求值：
（1）2（a+3）（a−3）﹣a（a﹣6）+6，a=2−1．
（2）已知a＝2+3，b＝2−3，求ab−ba的值．
思路引领：（1）利用乘法公式展开，然后合并同类项，再把a的值代入计算；
（2）先计算出a+b、a﹣b和ab的值，再通分和平方差公式得到原式=(a+b)(a−b)ab，然后利用整体代入的方法计算．
解：（1）原式＝2（a2﹣3）﹣a2+6a+6
＝2a2﹣6﹣a2+6a+6
＝a2+6a，
当a=2−1时，原式＝（2−1）2+6（2−1）
＝2﹣22+1+62−6
＝42−3；
（2）∵a＝2+3，b＝2−3，
∴a+b＝4，ab＝4﹣3＝1，a﹣b＝23，
∴ab−ba=a2−b2ab=(a+b)(a−b)ab=4×231=83．
总结提升：本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．利用整体代入的方法可简化计算．
变式训练
1．已知x=2−3，求代数式(7+43)x2+(2+3)x+3的值；
思路引领：先根据完全平方公式求出x2，再根据二次根式的乘法法则计算即可；
解：∵x＝2−3，
∴x2＝（2−3）2＝4﹣43+3＝7﹣43，
则原式＝（7+43）（7﹣43）+（2+3）（2−3）+3
＝49﹣48+4﹣3+3
＝2+3；
总结提升：本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．利用整体代入的方法可简化计算．
类型三 与二次根式有关的规律探究
典例5 (2023秋•新蔡县校级月考）发现①计算（2）2＝ ，（23）2＝ ；
②计算：22= ；(−23)2= ；
总结 通过①②的计算，分别探索（a）2（a≥0）与a、a2与a的数量关系规律，请用自己的语言表述出来；
应用 利用你总结的规律，结合图示计算4(m+2)2+(m−1)2+（3−m）2的值．
思路引领：发现：①利用有理数的乘方的计算方法进行计算即可；
②利用算术平方根的定义进行计算即可；
总结：根据有理数的乘方的计算方法以及算术平方根的定义进行总结即可；
应用：根据数m在数轴上的位置，确定m+2，m﹣1的符号，再根据上述结论进行解答即可．
解：发现：①（2）2＝2，（23）2=23，
故答案为：2，23；
②22=|2|＝2，(−23)2=|−23|=23，
故答案为：2，23；
总结：（a）2＝a（a≥0），a2=|a|=a(a≥0)−a(a＜0)；
应用：由数m在数轴上的位可知，﹣2＜m＜﹣1，
∴m+2＞0，m﹣1＜0，3﹣m＞0，
∴原式＝2（m+2）+1﹣m+3﹣m＝8，
答：4(m+2)2+(m−1)2+（3−m）2＝8．
总结提升：本题考查二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质以及乘除法的计算法则是正确解答的前提．
变式训练
1．(2023秋•忻州月考）综合与实践
小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，下面是小丽的探究过程，请补充完整：
（1）具体运算，发现规律．
等式1：1+13=213．
等式2：2+14=314．
等式3：3+15=415．
等式4： ．
（2）观察、归纳，得出猜想．
n为正整数，猜想等式n可表示为 ，并证明你的猜想．
（3）应用运算规律．
①化简：99+1101×199+1201×402×101．
②小丽写出一个等式m2−2m+1+1n=101n（n＞0），若该等式符合上述规律，则m﹣n的值为 ．
思路引领：（1）根据所给的特例的形式进行求解即可；
（2）分析所给的等式的形式进行总结即可；对等式的左边进行整理，即可求证；
（3）①②利用（2）中的规律进行求解即可．
解：（1）由题意得：4+16=516，
故答案为：4+16=516；
（2）猜想等式n可表示为n+1n+2=（n+1）1n+2，
故答案为：n+1n+2=（n+1）1n+2，
证明：等式左边=n2+2n+1n+2=(n+1)2n+2=（n+1）1n+2=右边，
故猜想成立；
（3）①原式＝1001101×2001201×402×101
＝100×200×1101×101×1201×201×2
＝200002；
②∵等式m2−2m+1+1n=101n（n＞0），符合上述规律，
∴m2﹣2m+1＝9，n＝11，
解得m＝﹣2或4，
∴m﹣n＝﹣13或﹣7．
故答案为：﹣13或﹣7．
总结提升：本题主要考查二次根式混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规律．
典例6 (2023秋•浦东新区期中）观察下列运算：
（1）由(2+1)(2−1)=1，得12+1=2−1
（2）由(3+2)(3−2)=1，得13+2=3−2
……
问题：（1）通过观察你得出什么规律？用含n的式子表示出来；
（2）利用（1）中发现的规律计算：
(12+1+13+2+14+3+⋯+12018+2017+12019+2018)(2019+1)．
思路引领：（1）根据已知算式得出规律即可；
（2）根据（1）中得出的规律进行变形，再根据二次根式的加法法则进行计算，最后根据平方差公式求出答案即可．
解：（1）1n+1+n=n+1−n（n为正整数）；
（2）原式＝（2−1+3−2+4−3+•••+2019−2018）（2019+1）
＝（2019−1）（2019+1）
＝2019﹣1
＝2018．
总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化和平方差公式等知识点，能根据已知算式得出规律是解此题的关键．
变式训练
1．(2023秋•南山区校级期中）著名数学教育家G•波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料，再解决问题：
数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去里面的一层根号．
例如：3+22=1+2×1×2+2=12+2×1×2+(2)2=(1+2)2=1+2．
解决问题：
（1）在括号内填上适当的数：14+65=9+2×3×5+①=(3+②)2=③
①： ，②： ，③ ．
（2）根据上述思路，化简并求出28−103+7+43的值．
思路引领：（1）模仿样例进行解答便可；
（2）把28看成52+(3)2，7看成22+(3)2，借助完全平方公式将每个根号内化成完全平方数的形式，便可开方计算得结果．
解：（1）由题意得，14+65=9+2×3×5+5=(3+5)2=3+5，
则①＝5，②=5，③＝3+5，
故答案为：①5；②5；③3+5；
（2）28−103+7+43
=25−2×5×3+3+4+2×2×3+3
=(5−3)2+(2+3)2
＝5−3+2+3
＝7．
总结提升：本题考查了二次根式的性质，完全平方式的应用，关键是把被开方数化成完全平方数．
类型四 二次根式的应用
典例1(2023秋•新蔡县校级月考）如图，有一张面积为50cm2的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为2cm．
（1）求长方体盒子的容积；
（2）求这个长方体盒子的侧面积．
思路引领：（1）结合题意可知该长方体盒子的长、宽都为52−22=32cm，高为2cm，而长方体的容积为长×宽×高，即可得答案；
（2）该长方体盒子的侧面为长方形，长为32cm，宽为2cm，共4个面，即可得答案．
解：（1）由题意可知：长方体盒子的容积为：(52−22)2×2=182（cm3），
答：长方体盒子的容积为182cm3；
（2）长方体盒子的侧面积为：(52−22)×2×4=24（cm2），
答：这个长方体盒子的侧面积为24cm2．
总结提升：本题考查了二次根式的应用，关键是结合图形，结合二次根式的乘法法则求解．
变式训练
1．(2023秋•洛宁县月考）如图，有一张长为162cm，宽为82cm的长方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形．
（1）若小正方形的边长为2cm，则制作成的无盖长方体盒子的体积是多少？
（2）求这个长方体盒子的侧面积．
思路引领：（1）利用长方体的体积公式计算即可；
（2）大长方形的面积减去4个小正方形的面积，再减去底面面积就是盒子的侧面积．（两个小长方形面积和两个大长方形面积和）
解：（1）无盖长方体盒子的体积为：
（162−22）×（82−22）×2
＝142×62×2
＝1682（cm3）；
答：制作成的无盖长方体盒子的体积是1682cm3．
（2）方法一，长方体盒子的侧面积为：
162×82−4×2×2−（162−22）（82−22）
＝256﹣8﹣168
＝80（cm2）；
答：这个长方体盒子的侧面积为80cm2．
方法二，长方体盒子的侧面积为：
（82−22）×2×2+（162−22）×2×2
＝62×2×2+142×2×2
＝24+56
＝80cm2．
答：这个长方体盒子的侧面积为80cm2．
总结提升：本题考查了二次根式的应用，做题关键是读懂题意列出正确的算式．
典例2 (2023春•锦江区校级期中）阅读材料：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现；当a＞0，b＞0时，有(a−b)2=a﹣2ab+b≥0，∴a+b≥2ab，当且仅当a＝b时取等号．请利用上述结论解决以下问题：
（1）当x＞0时，x+1x的最小值为 ；当x＜0时，x+1x的最大值为 ．
（2）当x＞0时，求y=x2+3x+25x的最小值．
（3）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为12和27，求四边形ABCD面积的最小值．
思路引领：（1）当x＞0时，直接根据公式a+b≥2ab计算即可；当x＜0时，先将x+1x变形为﹣（﹣x−1s），再根据公式a+b≥2ab计算即可；
（2）将原式的分子分别除以分母，变形为可利用公式a+b≥2ab计算的形式，计算即可；
（3）根据等高三角形的性质计算即可．
解：（1）当x＞0时，x+1x≥2x⋅1x=2；
当x＜0时，x+1x=−（﹣x−1x），
∵﹣x−1x≥2(−x)⋅(−1x)=2，
∴﹣（﹣x−1x）≤﹣2，即x+1x≤−2．
故答案为：2；﹣2；
（2）当x＞0时，
y=x2+3x+25x=x+25x+3≥2x⋅25x+3＝13，
∴当x＞0时，y的最小值13；
（3）设S△BOC＝x，
∵S△AOB＝12，S△COD＝27，
∴由等高三角形可得：S△BOC：S△COD＝S△AOB：S△AOD，
∴x：27＝12：S△AOD，
∴S△AOD=324x，
∴四边形ABCD面积＝12+27+x+324x=39+x+324x≥39+2x⋅324x=75．
总结提升：本题是四边形综合题，考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了分式化简和等高三角形的性质，读懂阅读材料中的方法并正确运用是解题的关键．
针对训练
1．(2023秋•武陵区校级期末）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：
当a＞0，b＞0时，∵(a−b)2=a−2ab+b≥0，∴a+b≥2ab，当且仅当a＝b时取等号．
请利用上述结论解决以下问题：
（1）当x＞0时，x+1x的最小值为 ．
（2）当m＞0时，求m2+5m+12m的最小值．
（3）请解答以下问题：
如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设垂直于墙的一边长为x米．若要围成面积为200平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？
思路引领：（1）根据阅读中的公式计算即可；
（2）先配方，化简，运用公式计算即可；
（3）设所需的篱笆长为L米，由题意得L＝2x+200x，再阅读中的公式计算即可．
解：（1）当x＞0时，1x＞0，
∴x+1x≥2x⋅1x=2，
∴x+1x的最小值为2．
故答案为：2；
（2）m2+5m+12m=m+5+12m，
∵m＞0，
∴m+5+12m≥2m⋅12m+5，
又∵m⋅12m=23，
∴m+5+12m≥43+5，即m2+5m+12m≥43+5，
∴m2+5m+12m的最小值为43+5；
（3）设所需的篱笆长为L米，由题意得L＝2x+200x，
由题意可知：2x+200x≥22x⋅200x，
又∵22x⋅200x=40，
∴2x+200x≥40，
∴需要用的篱笆最少是40米．
总结提升：本题考查了配方法的应用，解答本题的关键是明确题意，利用题目中阅读内容解答．
专题提优训练
1．下列计算正确的是（ ）
A．2÷16=3B．246=4C．3÷25=35D．255=5
思路引领：应用分母有理化及二次根式的乘除法法则进行计算即可得出答案．
解：A．∵2÷16=2×6=12=23，∴A选项计算不正确，故A选项不符合题意；
B．∵246=246=4=2，∴B选项计算不正确，故B选项不符合题意；
C．∵3÷25=325=35，∴C选项计算正确，故C选项符合题意；
D．∵255=2555=55，∴D选项计算不正确，故D选项不符合题意；
故选：C．
总结提升：本题主要考查了分母有理化及二次根式的乘除法，熟练掌握分母有理化及二次根式的乘除法法则进行求解是解决本题的关键．
2．(2023春•江岸区校级月考）先化简，再求值：25xy+xyx−4yxy−1yxy3，其中x=13，y＝4．
思路引领：先把各二次根式化为最简二次根式，再合并得到原式=xy，然后把x、y的值代入计算．
解：∵x=13＞0，y＝4＞0，
∴原式＝5xy+xy−4xy−xy
=xy，
当x=13，y＝4时，原式=13×4=233．
总结提升：本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
3．(2023春•呼和浩特期末）（1）计算：18−92−3+63+(3−2)0；
（2）先化简，再求值：(3−2x+1)÷3x2+xx+1，其中x=3+1．
思路引领：（1）根据二次根式的加减法法则、零指数幂的性质计算；
（2）根据分式的混合运算法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
解：（1）原式＝32−322−1−2+1
=22；
（2）原式＝（3x+3x+1−2x+1）•x+1x(3x+1)
=3x+1x+1•x+1x(3x+1)
=1x，
当x=3+1时，原式=13+1=3−12．
总结提升：本题考查的是二次根式的混合运算，分式的化简求值，掌握二次根式的混合运算法则、分式的混合运算法则是解题的关键．
4．(2023春•金华月考）在一节数学课上，李老师出了这样一道题目：
先化简，再求值：|x﹣1|+(x−10)2，其中x＝9．
小明同学是这样计算的：
解：|x﹣1|+(x−10)2=x﹣1+x﹣10＝2x﹣11．
当x＝9时，原式＝2×9﹣11＝7．
小荣同学是这样计算的：
解：|x﹣1|+(x−10)2=x﹣1+10﹣x＝9．
聪明的同学，谁的计算结果是正确的呢？错误的计算错在哪里？
思路引领：根据二次根式的性质判断即可．
解：小荣的计算结果正确，小明的计算结果错误，
错在去掉根号：|x﹣1|+(x−10)2=x﹣1+x﹣10（应为x﹣1+10﹣x）．
总结提升：本题考查了二次根式的性质与化简，能熟记二次根式的性质是解此题的关键，注意：a2=|a|=a(a≥0)−a(a＜0)．
5．(2023春•闵行区校级期中）先化简，再求值：已知x=13+22，求(1−x)2x−1+x2+1−2xx2−x的值．
思路引领：原式利用二次根式化简，约分得到最简结果，由x的值求出x﹣1与1x的值，分别代入计算即可求出值．
解：∵x=13+22=3−22(3+22)(3−22)=3﹣22，
∴x﹣1＝3﹣22−1＝2﹣22＜0，1x=3+22，
则原式=(x−1)2x−1+|x−1|x(x−1)
＝x﹣1+−(x−1)x(x−1)
＝（x﹣1）−1x
＝2﹣22−（3+22）
＝2﹣22−3﹣22
＝﹣1﹣42．
总结提升：此题考查了二次根式的化简求值，分式的化简求值，以及分母有理化，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．(2023春•霍邱县期中）观察与思考：①223=2+23；②338=3+38；③4415=4+415．
式①验证：223=233=(23−2)+222−1=2(22−1)+222−1=2+23；
式②验证：338=338=(33−3)+332−1=3(32−1)+332−1=3+38．
（1）仿照上述式①、式②的验证过程，请写出式③的验证过程；
（2）猜想5524= ；
（3）试用含n（n为自然数，且n≥2）的等式表示这一规律，并加以验证．
思路引领：（1）根据已知算式和二次根式的性质进行变形即可；
（2）根据已知算式得出规律，再根据得出的规律得出答案即可；
（3）根据已知规律得出算式，再根据二次根式的性质进行计算即可．
解：（1）4415=4315=(43−4)+442−1=4(42−1)+442−1=4+415；
（2）5524=5+524，
故答案为：5+524；
（3）nnn2−1=n+nn2−1；
证明：nnn2−1=n3n2−1=(n3−n)+nn2−1=n(n2−1)+nn2−1=n+nn2−1．
总结提升：本题考查了二次根式的性质与化简，能根据已知算式得出规律是解此题的关键．
7．(2023秋•鄞州区期中）先阅读材料，再解决问题．
13=12=1；
13+23=32=3；
13+23+33=62=6；
13+23+33+43=102=10；
…
根据上面的规律，解决问题：
（1）13+23+33+43+53+63= ＝ ；
（2）求13+23+33+⋯+n3（用含n的代数式表示）．
思路引领：（1）观察各个等式中最左边的被开方数中各个幂的底数的和与最右边的结果的关系即可得到结论；
（2）利用（1）发现的规律解答即可．
解：∵13+23=32=3中，1+2＝3，
13+23+33=62=6中，1+2+3＝6，
13+23+33+43=102=10中，1+2+3+4＝10，
∴等式中最左边的被开方数中各个幂的底数的和＝右边的结果．
∵1+2+3+4+5+6＝21，
∴（1）13+23+33+43+53+63=212=21．
故答案为：212，21；
（2）由（1）中发现的规律可得：
13+23+33+⋅⋅⋅+n3=(1+2+3+⋅⋅⋅+n)2=1+2+3+•••+n=n(n+1)2．
总结提升：本题主要考查了二次根式的性质与化简，本题是规律型题目，发现数字间的变化的规律是解题的关键．
8．(2023秋•中原区校级月考）小明同学在学习的过程中，看到北师大版八年级上册数学课本43页有这样一道题目：如图，两个正方形的边长分别是多少？你能借助这个图形解释8=22吗？
小明想了想做出如下解答过程：“如图，大正方形的面积为8，则它的边长为8；小正方形的面积为2，则小正方形的边长为2．借助这个图形，可以得到大正方形的边长是小正方形边长的2倍，即8=22．”
老师夸赞小明做得非常好，继续提出一个新的问题：你能设计一个图形解释12=22吗？请你画出相应的图形并借助图形帮助小明解答这个问题．
思路引领：根据正方形的面积公式得到2个正方形的边长，利用图形得出边长的关系，进而得出答案．
解：如图，
大正方形的面积为2，则它的边长为2；
小正方形的面积为12，则小正方形的边长为12，
观察图形可以得到大正方形边长是小正方形边长的2倍，
则12=22．
总结提升：此题主要考查了算术平方根，正方形的面积，利用已知结合相似图形的性质得出是解题关键．
9．(2023春•周至县期末）在一个长为45，宽为35的矩形内部挖去一个边长为（215−5）的正方形，求剩余部分的面积．
思路引领：根据矩形的面积﹣正方形的面积即可得到剩余部分的面积．
解：45×35−（215−5）2
＝60﹣（60﹣203+5）
＝60﹣60+203−5
＝（203−5）平方米，
答：剩余部分的面积为（203−5）平方米．
总结提升：本题考查了二次根式的应用，掌握（a±b）2＝a2±2ab+b2是解题的关键．
10．(2023春•济源期末）【再读教材】：我们八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦﹣秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p=a+b+c2，那么三角形的面积为S=p(p−a)(p−b)(p−c)．
【解决问题】：已知在△ABC中，AC＝4，BC＝7.5，AB＝8.5．
（1）请你用“海伦﹣秦九韶公式”求△ABC的面积．
（2）除了利用“海伦﹣秦九韶公式”求△ABC的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法．
思路引领：（1）直接代入海伦﹣秦九韶公式求解；
（2）先利用勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形，再用两直角边的积除以2求出面积即可．
解：（l）∵AC＝4，BC＝7.5，AB＝8.5，
∴p=4+7.5+8.52=10，
∴S△ABC=10×(10−4)×(10−7.5)×(10−8.5)=10×6×2.5×1.5=225=15．
即△ABC的面积为15；
（2）∵AC＝4，BC＝7.5，AB＝8.5，
∴AC2=42=16=644，BC2=(152)2=2254，AB2=(172)2=2894，
∴AC2+BC2=644+2254=2894=AB2，
∴∠C＝90°，
∴S△ABC=12AC⋅BC=12×4×7.5=15．
总结提升：本题考查了二次根式的应用，代数式求值，勾股定理的逆定理，准确计算是解题关键．
11．(2023春•西城区校级期中）（1）用“＝”、“＞”、“＜”填空：4+3 24×3，1+16 21×16，5+5 25×5．
（2）由（1）中各式猜想m+n与2mn（m≥0，n≥0）的大小，并说明理由．
（3）请利用上述结论解决下面问题：
某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为200m2的花圃，所用的篱笆至少需要 m．
思路引领：（1）分别进行计算，比较大小即可；
（2）根据第（1）问填大于号或等于号，所以猜想m+n≥2mn；比较大小，可以作差，m+n﹣2mn，联想到完全平方公式，问题得证；
（3）设花圃的长为a米，宽为b米，需要篱笆的长度为（a+2b）米，利用第（2）问的公式即可求得最小值．
解：（1）∵4+3＝7，24×3=43，
∴72＝49，（43）2＝48，
∵49＞48，
∴4+3＞24×3；
∵1+16=76＞1，21×16=63＜1，
∴1+16＞21×16；
∵5+5＝10，25×5=10，
∴5+5＝25×5．
故答案为：＞，＞，＝．
（2）m+n≥2mn（m≥0，n≥0）．理由如下：
当m≥0，n≥0时，
∵（m−n）2≥0，
∴（m）2﹣2m•n+（n）2≥0，
∴m﹣2mn+n≥0，
∴m+n≥2mn．
（3）设花圃的长为a米，宽为b米，则a＞0，b＞0，S＝ab＝200，
根据（2）的结论可得：a+2b≥2a⋅2b=22ab=22×200=2×20＝40，
∴篱笆至少需要40米．
故答案为：40．
总结提升：本题主要考查了二次根式的计算，体现了由特殊到一般的思想方法，解题的关键是联想到完全平方公式，利用平方的非负性求证．
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