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2024届高考物理一轮复习热点题型归类训练专题20电场力的性质(原卷版+解析)
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这是一份2024届高考物理一轮复习热点题型归类训练专题20电场力的性质(原卷版+解析)，共62页。试卷主要包含了库仑定律与带电体平衡，电场强度的理解和计算，电场强度的叠加，静电场中的动力学分析等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc9028" 题型一 库仑定律与带电体平衡 PAGEREF _Tc9028 \h 1
\l "_Tc19984" 类型1 库仑力的叠加 PAGEREF _Tc19984 \h 1
\l "_Tc10566" 类型2 库仑力作用下的平衡 PAGEREF _Tc10566 \h 5
\l "_Tc32521" 题型二 电场强度的理解和计算 PAGEREF _Tc32521 \h 10
\l "_Tc6398" 题型三 等量同种和异种点电荷周围电场强度的比较 PAGEREF _Tc6398 \h 13
\l "_Tc17683" 题型四 电场强度的叠加 PAGEREF _Tc17683 \h 18
\l "_Tc12268" 类型1 点电荷电场强度的叠加 PAGEREF _Tc12268 \h 19
\l "_Tc19270" 类型2 非点电荷电场强度的叠加及计算 PAGEREF _Tc19270 \h 23
\l "_Tc10743" 题型五 静电场中的动力学分析 PAGEREF _Tc10743 \h 34
题型一 库仑定律与带电体平衡
1．库仑定律适用于真空中静止点电荷间的相互作用。
2．对于两个均匀带电绝缘球体，可将其视为电荷集中在球心的点电荷，r为球心间的距离。
3．对于两个带电金属球，要考虑表面电荷的重新分布，如图2所示。
(1)同种电荷：F＜keq \f(q1q2,r2)；
(2)异种电荷：F＞keq \f(q1q2,r2)。
4．不能根据公式错误地认为r→0时，库仑力F→∞，因为当r →0时，两个带电体已不能看作点电荷了。
类型1 库仑力的叠加
【例1】（2023·全国·模拟预测）如图所示，在半径为R的圆周上均匀地分布着六个电荷量均为q的正电荷。在圆心O处固定有一个电荷量为q的负电荷，现随机将六个正电荷中的两个更换为电荷量为q的负电荷，静电力常量为k，此时O点的负电荷受到的静电力大小可能为（ ）
A．B．
C．D．
【例2】（2023·全国·模拟预测）如图所示，质量相等可视为点电荷的A、B、C三个带电绝缘小球，其中A带负电并固定在绝缘竖直弹簧下端，当A、B、C三个小球的球心距离为L时，B、C小球带电荷量相等并悬在空中处于静止状态，下列说法正确的是（ ）
A．小球A带的电荷量是小球B带电荷量的2倍
B．小球A受到五个作用力
C．弹簧弹力等于B、C两个小球对A球引力的矢量和
D．剪断弹簧后B、C两个小球一起做自由落体运动
【例3】．（2023·全国·高三专题练习）如图，M、N和P是以为直径的半圆弧上的三点，O点为半圆弧的圆心，。电荷量相等、符号相反的两个点电荷分别置于M、N两点，这时处于O点的点电荷所受静电力大小为；若将N点处的点电荷移至P点，则O点的点电荷所受静电力大小变为，与之比为（ ）
A．B．C．D．
【例4】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，真空中有三个带正电的点电荷，它们固定在边长为的等边三角形的顶点A、B、C处，已知每个点电荷的电荷量都是q，静电力常量为k，则A、B处的电荷对C处电荷的静电力的合力大小为（ ）
A．B．C．D．
类型2 库仑力作用下的平衡
(1)解题思路
涉及库仑力的平衡问题，其解题思路与力学中的平衡问题一样，只是在原来受力的基础上多了库仑力，具体步骤如下：
(2)“三个自由点电荷”的平衡问题
①平衡的条件：每个点电荷受到另外两个点电荷的合力为零或每个点电荷处于另外两个点电荷产生的合电场强度为零的位置。
②
【例1】（2023·海南·统考模拟预测）如图，一劲度系数为的绝缘轻质弹簧，一端固定在倾角为的光滑绝缘斜面的上端，另一端与带电量为、质量为m的球a连接。a的右侧固定有带电量为Q的球b、系统静止时，a对斜面的压力恰好为零，两球心高度相同，球心间距和弹簧的长均为l。已知静电力常量为k，重力加速度为g，两带电小球视为点电荷，则（ ）
A．球b带正电，B．球b带负电，
C．弹簧的原长为D．弹簧的原长为
【例2】．（2023·海南·统考二模）用绝缘细线a、b将两个带电小球1和2连接并悬挂，已知小球2的重力为G，如图所示，两小球处于静止状态，细线a与竖直方向的夹角为30°，两小球连线与水平方向夹角为30°，细线b水平，则（ ）
A．小球1带电量一定小于小球2的带电量
B．细线a拉力大小为
C．细线b拉力大小为
D．小球1与2的质量比为
【例3】．（2023·北京朝阳·统考二模）某同学设计如图所示的实验装置来验证库仑定律：将一个带电小球A用绝缘细线悬挂，并将另一个与小球A带同种电荷的小球B与它靠近，A球受到B球的静电斥力F而发生偏移，测得A球的质量为m，悬点到A球球心的距离为l。首先，在保持两球电荷量不变的情况下，移动小球B改变两球之间的距离，用刻度尺测量稳定后两球间的距离r和A球偏移的距离d（实验中满足）；然后，设法改变两球的电荷量，再进行相关实验。下列说法正确的是（ ）
A．实验中，小球A所受静电力的测量值
B．为方便验证“静电力与距离平方成反比的关系”，应由实验数据作出F与的关系图像
C．用不带电导体球C分别与A、B两球接触后，A、B两球一定带等量同种电荷
D．实验中仅测量d与r，也可以验证“静电力与距离平方成反比的关系”
【例4】．（2023·全国·高三专题练习）在光滑、绝缘的水平面上，沿一直线依次排列三个带电小球A、B、C，均可视为质点，如图所示。若它们恰能处于平衡状态，那么这三个小球所带电荷量及电性的关系可能的是（ ）
A．，，B．，，C．，，D．，，
【例5】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，带电金属小球A用绝缘细线悬挂于O点，O点正下方带电小球B固定在绝缘支座上，两小球可视为质点，平衡时其间距离为L。现将与小球A完全相同的三个不带电的金属小球依次并充分与A接触后移开，则再次平衡后A、B间距离为（ ）
A．B．
C．D．L
【例6】（2023·山西运城·统考三模）如图，水平向右的匀强电场中有a、b两个可视为质点的带电小球，小球所带电荷量的大小相同、电性未知。现将两小球用绝缘细线悬挂于同一点，两球静止时，它们距水平面的高度相等，线与竖直方向的夹角分别为，且，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．若a、b电性相反，则球a的质量一定大于球b的质量
B．若a、b电性相反，则球a的质量可能等于球b的质量
C．若同时剪断两根细绳，则a球可能先落地
D．若同时剪断两根细绳，则a、b两球一定同时落地
题型二 电场强度的理解和计算
1．电场强度的性质
(1)矢量性：规定正电荷在电场中某点所受电场力的方向为该点电场强度的方向。
(2)唯一性：电场中某一点的电场强度E是唯一的，它的大小和方向与放入该点的电荷q无关，它决定于形成电场的电荷(场源电荷)及空间位置。
(3)叠加性：如果有几个静止点电荷在空间同时产生电场，那么空间某点的电场强度是各场源电荷单独存在时在该点所产生的电场强度的矢量和。
2．电场强度的三个公式比较
eq \a\vs4\al(三个,公式)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(E＝\f(F,q)（适用于任何电场）,E＝\f(kQ,r2)（适用于点电荷产生的电场）,E＝\f(U,d)（适用于匀强电场）))
【例1】(多选)如图甲所示，在x轴上有一个点电荷Q(图中未画出)，O、A、B为轴上三点．放在A、B两点的试探电荷受到的电场力跟试探电荷所带电荷量的关系如图乙所示．以x轴的正方向为电场力的正方向，则( )
A．点电荷Q一定为正电荷
B．点电荷Q在A、B之间
C．A点的电场强度大小为2×103 N/C
D．同一电荷在A点受到的电场力比在B点的大
【例2】（2023·全国·高三专题练习）图甲中AB是一条过点电荷的线，图乙为在线上a、b处的检验电荷所受静电力大小与电荷量之间的关系图像，由此可知以下判断可能正确的是（ ）
A．场源电荷是一定是正电荷，位于a点的左侧
B．场源电荷是正电荷，位于b点的右侧
C．场源电荷可以是负电荷，位于a点的左侧
D．场源电荷是负电荷，位于b点的右侧
【例3】真空中Ox坐标轴上的某点有一个点电荷Q，坐标轴上A、B两点的坐标分别为0.2 m和0.7 m．在A点放一个带正电的试探电荷，在B点放一个带负电的试探电荷，A、B两点的试探电荷受到静电力的方向都跟x轴正方向相同，静电力的大小F跟试探电荷电荷量q的关系分别如图中直线a、b所示．忽略A、B间的作用力．下列说法正确的是( )
A．B点的电场强度大小为0.25 N/C
B．A点的电场强度的方向沿x轴负方向
C．点电荷Q的位置坐标为0.3 m
D．点电荷Q是正电荷
题型三 等量同种和异种点电荷周围电场强度的比较
【例1】（2023·河南安阳·统考二模）如图所示，A、B为真空中两个等量异种点电荷，O为连线的中点，c、d两点位于两电荷连线的中垂线上，且，取无穷远处为零势面，则下列说法正确的是（ ）
A．图中a、b两点的电场强度相同，ab连线间O点场强最大
B．图中c、d两点的电场强度相同，cd连线间O点场强最大
C．图中a、b两点的电势不同，ab连线间O点电势为0
D．图中c、d两点的电势不同，cd连线间O点电势为0
【例2】（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）如图所示，两个等量异种电荷产生的电场中，abcd四点分别处于正方形的四个顶点上，其中ab两点在等量正负电荷的连线上，且关于连线的中垂线对称，则下列说法正确的是（ ）
A．ab两点的电势相等
B．cd两点的电场强度相同
C．移动单位负电荷从d到c，电场力做正功
D．移动单位正电荷从b到d，电场力沿做功比直接沿对角线做功大
【例3】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，实线是电量为q的等量异种点电荷的电场线分布示意图，虚直线是两电荷连线PQ的中垂线，圆形虚线的圆心在正电荷处，半径为R，右侧与虚直线相切于O点，M、N是圆形虚线上的两点，电势均为，N点到负电荷的距离为，静电力常量为k，规定无穷远处电势为零，两电荷固定不动，下列说法正确的是（ ）
A．在圆形虚线上移动电荷，电场力不做功
B．O点的场强小于N点的场强
C．N点的场强大小为
D．把电量为q的负电荷从N点移到O点的过程中电势能增加
【例4】．（2023·高三课时练习）如图所示，两个带等量负电荷的小球A、B（可视为点电荷），被固定在光滑的绝缘水平面上，M、N是小球A、B连线的水平中垂线上的两点，且MO＝ON。现将一个电荷量很小的带正电的小球C（可视为质点）由M点静止释放，在小球C向N点运动的过程中，下列关于小球C的说法可能正确的是（ ）
A．速度先增大，再减小
B．速度一直增大
C．加速度先增大再减小，过O点后，加速度先减小再增大
D．加速度先减小，再增大
【例5】．（2023·湖南·统考模拟预测）如图所示，两个带等量正电的点电荷分别位于x轴上的P、Q两点，其位置关于点O对称。圆弧曲线是一个以O点为圆心的半圆，c点为半圆与y轴的交点，a、b为一平行于x轴的直线与半圆的交点，下列说法正确的是（ ）
A．a、b两点的场强相同
B．a、b两点的电势相同
C．将一个负点电荷沿着圆弧从a移到c点再沿y轴正方向移动，电势能先增大后不变
D．半圆上任一点，两电荷的电场强度大小分别是、，则为一定值
【例6】（2023·青海海东·高三校考阶段练习）如图所示，纸面内固定着两个等量的同种点电荷，它们之间的距离为4R。以其连线的中点O为圆心、R为半径画圆，A、B、C、D为圆周上的四个点，A、B两点在两点电荷的连线上，C、D 两点在两点电荷连线的中垂线上，下列说法正确的是（ ）
A．C点的场强与D点的场强相同
B．若从A点由静止释放一质子，则该质子将沿A、B直线一直加速
C．A、C两点之间的电势差等于B、D两点之间的电势差
D．将一电子从A点沿直线移到O点再沿直线移到C点，则电子的电势能先增加后不变
题型四 电场强度的叠加
1．电场强度的叠加(如图所示)
2．“等效法”“对称法”和“填补法”
(1)等效法
在保证效果相同的前提下，将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景．
例如：一个点电荷＋q与一个无限大薄金属板形成的电场，等效为两个等量异种点电荷形成的电场，如图甲、乙所示．
(2)对称法
利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题大为简化．
例如：如图所示，均匀带电的eq \f(3,4)球壳在O点产生的场强，等效为弧BC产生的场强，弧BC产生的场强方向，又等效为弧的中点M在O点产生的场强方向．
(3)填补法
将有缺口的带电圆环或圆板补全为完整的圆环或圆板，或将半球面补全为球面，从而化难为易、事半功倍．
3．选用技巧
(1)点电荷电场、匀强电场场强叠加一般应用合成法．
(2)均匀带电体与点电荷场强叠加一般应用对称法．
(3)计算均匀带电体某点产生的场强一般应用补偿法或微元法．
类型1 点电荷电场强度的叠加
【例1】（2023·福建·模拟预测）如图所示，半径为的球面下方有一圆周，该圆周与球面直径垂直，在该圆周上等分的三点位置分别固定电荷量为的三个点电荷A、、，且点电荷A与球心的连线与球直径的夹角，在球面的最高点处固定另电荷量同为的点电荷，已知静电力常量为，则下列说法正确的是（ ）
A．点电荷受到的库仑力大小为
B．点的场强竖直向下
C．沿着直径由到电势先降低再升高
D．点电场强度小于点
【例2】（2023·湖北·华中师大一附中校联考模拟预测）如图所示，空间存在一个正四面体ABCD，其边长为a，在水平面上两个顶点B、C各固定一个电荷量为的点电荷，在顶点D固定一个电荷量为的点电荷，则顶点A处的电场强度大小为（ ）
A．B．C．D．
【例3】(2021·湖南卷，4)如图所示，在(a，0)位置放置电荷量为q的正点电荷，在(0，a)位置放置电荷量为q的负点电荷，在距P(a，a)为eq \r(2)a的某点处放置正点电荷Q，使得P点的电场强度为零。则Q的位置及电荷量分别为 ( )
A．(0，2a)，eq \r(2)q B．(0，2a)，2eq \r(2)q
C．(2a，0)，eq \r(2)q D．(2a，0)，2eq \r(2)q
【例4】（2022届云南省昆明市第一中学月考）如图所示，真空中有A.、B、C、D四个点在同一直线上，AB=BC=CD=d，在A、C两点各放置一个点电荷，其中位于C点的点电荷带电量为q（q<0），已知D点的电场强度为零，静电力常量为k，则B点的电场强度为（ ）
A. ，方向由C指向B B. ，方向由B指向C
C. ，方向由C指向B D. ，方向由B指向C
类型2 非点电荷电场强度的叠加及计算
1．等效法
在保证效果相同的前提下，将复杂的电场情境变换为简单的或熟悉的电场情境。
例如：一个点电荷＋q与一个无限大薄金属板形成的电场，等效为两个异种点电荷形成的电场，如图甲、乙所示。
【例1】如图所示，一无限大接地导体板MN前面放有一点电荷＋Q，它们在周围产生的电场可看作是在没有导体板MN存在的情况下，由点电荷＋Q与其像电荷－Q共同激发产生的。像电荷－Q的位置就是把导体板当作平面镜时，点电荷＋Q在此镜中的像位置。已知＋Q所在位置P点到金属板MN的距离为L，a为OP的中点，abcd是边长为L的正方形，其中ab边平行于MN。则( )
A．a点的电场强度大小为E＝4eq \f(kQ,L2)
B．a点的电场强度大小大于b点的电场强度大小
C．b点的电场强度和c点的电场强度相同
D．一正点电荷从a点经b、c运动到d点的过程中电势能的变化量为零
【例2】（2023·四川·模拟预测）一半径为R的半球面均匀带有正电荷Q，电荷Q在球心O处产生的场强大小，方向如图所示。把半球面分为表面积相等的上、下两部分，如图甲所示，上、下两部分电荷在球心O处产生电场的场强大小分别为E1、E2；把半球面分为表面积相等的左、右两部分，如图乙所示，左、右两部分电荷在球心O处产生电场的场强大小分别为E3、E4，则（ ）
A．B．
C．D．
【例3】(2022·陕西西安中学高三期中)一段均匀带电的半圆形细线在其圆心O处产生的场强为E，把细线分成等长的三段圆弧，则圆弧BC在圆心O处产生的场强大小和方向为( )
A.eq \f(E,2)，水平向右
B.eq \f(E,2)，水平向左
C.eq \f(E,3)，水平向右
D.eq \f(E,3)，水平向左
【例4】（2023·湖南·高三专题练习）半径为R的绝缘细圆环固定在图示位置，圆心位于O点，环上均匀分布着电量为Q的正电荷。点A、B、C将圆环三等分，取走A、B处两段弧长均为ΔL的小圆弧上的电荷。将一点电荷q置于OC延长线上距C点为2R的D点，O点的电场强度刚好为零。圆环上剩余电荷分布不变，则q为（ ）
A．正电荷，B．正电荷，
C．负电荷，D．负电荷，
【例5】（2023·全国·高三专题练习）如图，在点电荷的电场中，放着一块带有一定电量、电荷均匀分布的绝缘矩形薄板，MN为其对称轴，O点为几何中心．点电荷与a、O、b之间的距离分别为d、2d、3d。已知图中a点的电场强度为零，则图中b点处的电场强度的大小和方向分别为（ ）
A．，水平向右B．，水平向右
C．，水平向左D．，水平向右
2．对称法
利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题大为简化。
例如：如图所示，均匀带电的eq \f(3,4)球壳在O点产生的电场强度，等效为弧BC产生的电场强度，弧BC产生的电场强度方向，又等效为弧的中点M在O点产生的电场强度方向。
【例6】（2023·全国·高三专题练习）电荷量为+Q的点电荷与半径为R的均匀带电圆形薄板相距2R，点电荷与圆心O连线垂直薄板，A点位于点电荷与圆心O连线的中点，B与A关于O对称，若A点的电场强度为0，则（ ）
A．圆形薄板所带电荷量为+Q
B．圆形薄板所带电荷在A点的电场强度大小为，方向水平向左
C．B点的电场强度大小为，方向水平向右
D．B点的电场强度大小为，方向水平向右
【例5】（2023·湖南·统考模拟预测）如图所示，abcd是由粗细均匀的绝缘线制成的正方形线框，其边长为L，O点是线框的中心，线框上均匀地分布着正电荷，现将线框左侧中点M处取下足够短的一小段，该小段带电量为q，然后将其沿OM连线向左移动的距离到N点处，线框其他部分的带电量与电荷分布保持不变，若此时在O点放一个带电量为Q的正点电荷，静电力常量为k，则该点电荷受到的电场力大小为（ ）
A．B．C．D．
【例8】（2023·河北·校联考模拟预测）已知均匀带电薄壳外部空间电场与其上电荷全部集中在球心时产生的电场一样，内部空间的电场处处为0．如图所示为一带电量为，半径为r的均匀带电球壳，以球心为坐标原点，建立轴，其中A点为壳内一点，B点坐标为，静电力常量为k，下列说法正确的是（ ）
A．将的试探电荷由壳内A点移到O点，试探电荷的电势能减小
B．在圆心O处放一个电量为的点电荷，球壳外表面带电量仍为
C．在处取走极小的一块面积，O点场强大小为
D．在圆心O正上方处取走极小一块面积，B点场强大小为
3．填补法
将有缺口的带电圆环或圆板补全为完整的圆环或圆板，或将半球面补全为球面，从而化难为易、事半功倍。
【例9】（2023·河北邢台·校联考一模）如图所示，竖直面内一绝缘细半圆环均匀分布着正电荷，、为圆环水平直径上的两个点且点为圆心，弧和弧都是四分之一圆弧。已知均匀带电圆环内各点的场强均为零，则下列说法正确的是（ ）
A．点电场强度的方向垂直于向下
B．点电场强度的方向斜向下
C．若弧在点的电场强度大小为，则半圆环在点的电场强度大小为
D．若弧在点的电场强度大小为，则半圆环在点的电场强度大小为
【例10】（2023·全国·高三专题练习）均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场．如图所示，在半球面AB上均匀分布正电荷，其电荷量为q，球面半径为R，CD为通过半球顶点与球心O的轴线，在轴线上有M、N两点，OM=ON=2R．已知M点的场强大小为E，则N点的场强大小为（ ）
A．B．C．D．
【例11】（2023·全国·高三专题练习）均匀带电球体在球的外部产生的电场与一个位于球心的、电荷量相等的点电荷产生的电场相同。如图所示，半径为的球体上均匀分布着正电荷，在过球心的直线上有、、三个点，，。若以为直径在球内挖一球形空腔，球的体积公式为，则、两点的电场强度大小之比为（ ）
A．B．
C．D．
题型五 静电场中的动力学分析
【例1】（2023·全国·高三专题练习）三个相同的金属小球A、B、C均带电，其中A和B所带的电荷量分别为q、，二者分别与两根等长的绝缘细线一端相连，两细线的另一端固定在同一点O，平衡时连接小球的细线与竖直方向的夹角均为，如图所示，现用小球C先与A接触，再与B接触，然后移开C（过程中A、B之间未接触），A和B再次平衡后，两细线之间的夹角变为，求初始时小球C所带的电荷量。
【例2】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在绝缘水平面上的O点固定一电荷量为+Q点电荷，在O点正上方高为H的A处由静止释放某带电荷量为+q的小液珠，开始运动的瞬间小液珠的加速度大小恰好等于重力加速度，方向竖直向上。已知静电力常量为k，两电荷均可看成点电荷，不计空气阻力。求：
（1）液珠开始运动瞬间所受库仑力的大小和方向；
（2）运动过程中小液珠速度最大时其离O点的距离h。（以上两问结果只能用题中已知的物理量k，Q，q，H表示）
【例3】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，电荷量Q＝2×10－7C的正点电荷A固定在空间中O点，将质量m＝2×10－4kg、电荷量q＝1×10－7C的另一正点电荷B从O点正上方高0.5m的某处由静止释放，B运动过程中速度最大位置在P。若静电力常量k＝9×109N·m2/C2，重力加速度取g＝10m/s2。求：
（1）B运动到距O点l＝0.5m处的加速度大小；
（2）P、O间的距离L。
【例4】．（2023·宁夏银川·高三校考阶段练习）如图所示，Q为固定的正点电荷，A、B两点在Q的正上方和Q相距分别为h和，将一带电小球从A点由静止释放，运动到B点时速度正好又变为0。若此带电小球在A点的加速度大小为，g取，静电力常量为k，试求：
（1）此带电小球在B点的加速度大小；
（2）A、B两点间的电势差（用Q和h表示）。
【例5】．（2023·黑龙江佳木斯·高三佳木斯一中期中）如图所示，固定于同一条竖直线上的A、B是两个带等量异种电荷的点电荷，电荷量分别为+Q和—Q，A、B相距为2d，MN是竖直放置的光滑绝缘细杆，另有一个穿过细杆的带电小球p，质量为m、电荷量为+q（可视为点电荷，不影响电场的分布），现将小球p从与点电荷A等高的C处由静止开始释放，小球p向下运动到距C点距离为d的O点时，速度为v，已知MN与AB之间的距离为d，静电力常量为k，重力加速度为g。求：
（1）C、O间的电势差；
（2）小球p经过O点时的加速度。
【例6】．（2023·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）如图所示，光滑绝缘直杆水平放置并固定不动，其中、、的长度均为，杆上套有一质量为、电荷量为的小球（可视为质点），小球通过绝缘轻质弹簧与固定点连接，直杆处固定电荷量为的点电荷，小球从点由静止开始释放，运动到点时速度恰好达到最大值。垂直于直杆，且的长度为弹簧原长，静电力常量为。
（1）求、两点间的电势差。
（2）求小球刚释放时的加速度大小。
（3）求小球运动到点时，点的电场强度大小。
【例7】．（2021·全国·高三专题练习）如图所示，在倾角为α的足够长光滑斜面上放置两个质量分别为和m的带电小球A和B（均可视为质点），它们相距为L。两球同时由静止开始释放时，B球的加速度恰好等于零。经过一段时间后，当两球距离为时，A、B的加速度大小之比为。已知重力加速度为g，静电力常量为k。
(1)若B球带正电荷且电荷量为q，求A球所带电荷量Q及电性；
(2)在(1)条件下求与L的比值。
【例8】．（2023·湖南长沙·高三长沙一中阶段练习）如图所示，带电小球A和B（可视为点电荷）放在倾角为的光滑固定绝缘斜面上，已知A球的质量为m，所带电荷量为+q，B球的质量为2m，所带电荷量为-q。沿斜面向上的恒力F作用于A球，可使A、B保持间距r不变沿斜面向上做匀加速直线运动，已知重力加速度为g，静电力常量为k，求：
(1)加速度a的大小；
(2)F的大小。
【例9】．（2017·山东菏泽·一模）如图，空间有一竖直向下沿x轴方向的静电场，电场的场强大小按分布（x是轴上某点到O点的距离）。x轴上，有一长为L的绝缘细线连接均带负电的两个小球A、B，两球质量均为m，B球带电荷量大小为q，A球距O点的距离为L。两球现处于静止状态，不计两球之间的静电力作用。
(1)求A球的带电荷量大小qA；
(2)剪断细线后，求B球下落速度达到最大时，B球距O点距离为x0；
(3)剪断细线后，求B球下落最大高度h。
比较项目
等量异种点
电荷
等量同种点
电荷
电场线的分布图
连线中点O
处的场强
连线上O点场强最小，指向负电荷一方
为零
连线上的场强大小(从左到右)
沿连线先变小，再变大
沿连线先变小，再变大
沿连线的中垂线由O点向外的场强大小
O点最大，向外逐渐变小
O点最小，向外先变大后变小
关于O点对称点的场强(如A与A′、B与B′、C与C′等)
等大同向
等大反向
专题20 电场力的性质
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc9028" 题型一 库仑定律与带电体平衡 PAGEREF _Tc9028 \h 1
\l "_Tc19984" 类型1 库仑力的叠加 PAGEREF _Tc19984 \h 1
\l "_Tc10566" 类型2 库仑力作用下的平衡 PAGEREF _Tc10566 \h 5
\l "_Tc32521" 题型二 电场强度的理解和计算 PAGEREF _Tc32521 \h 10
\l "_Tc6398" 题型三 等量同种和异种点电荷周围电场强度的比较 PAGEREF _Tc6398 \h 13
\l "_Tc17683" 题型四 电场强度的叠加 PAGEREF _Tc17683 \h 18
\l "_Tc12268" 类型1 点电荷电场强度的叠加 PAGEREF _Tc12268 \h 19
\l "_Tc19270" 类型2 非点电荷电场强度的叠加及计算 PAGEREF _Tc19270 \h 23
\l "_Tc10743" 题型五 静电场中的动力学分析 PAGEREF _Tc10743 \h 34
题型一 库仑定律与带电体平衡
1．库仑定律适用于真空中静止点电荷间的相互作用。
2．对于两个均匀带电绝缘球体，可将其视为电荷集中在球心的点电荷，r为球心间的距离。
3．对于两个带电金属球，要考虑表面电荷的重新分布，如图2所示。
(1)同种电荷：F＜keq \f(q1q2,r2)；
(2)异种电荷：F＞keq \f(q1q2,r2)。
4．不能根据公式错误地认为r→0时，库仑力F→∞，因为当r →0时，两个带电体已不能看作点电荷了。
类型1 库仑力的叠加
【例1】（2023·全国·模拟预测）如图所示，在半径为R的圆周上均匀地分布着六个电荷量均为q的正电荷。在圆心O处固定有一个电荷量为q的负电荷，现随机将六个正电荷中的两个更换为电荷量为q的负电荷，静电力常量为k，此时O点的负电荷受到的静电力大小可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【详解】采用等效替代法，在更换电荷的位置，再放一个电荷量为q的正电荷和一个电荷量为q的负电荷，对于O点电荷的受力不产生实际影响，所有正电荷对O点电荷的作用力的合力为0，更换电荷后所有电荷对O点电荷的作用力可等效为在A、B、C、D、E、F中随机两个点位置放置电荷量为2q的负电荷对O点电荷作用力的合力，有邻、间、对三种可能，如图所示
A处电荷对O点电荷的作用力
则对位时，合力
邻位时两力夹角为60°，合力
间位时两力夹角为120°，合力
故选BC。
【例2】（2023·全国·模拟预测）如图所示，质量相等可视为点电荷的A、B、C三个带电绝缘小球，其中A带负电并固定在绝缘竖直弹簧下端，当A、B、C三个小球的球心距离为L时，B、C小球带电荷量相等并悬在空中处于静止状态，下列说法正确的是（ ）
A．小球A带的电荷量是小球B带电荷量的2倍
B．小球A受到五个作用力
C．弹簧弹力等于B、C两个小球对A球引力的矢量和
D．剪断弹簧后B、C两个小球一起做自由落体运动
【答案】A
【详解】A．根据受力平衡可得B、C小球带等量的正电，设小球A、B的电荷量绝对值分别为、，A、B之间的库仑力
B、C之间的库仑力
分析B受力如图所示，可得
，
得
故A正确；
B．分析A的受力有重力、两个库仑力和弹簧弹力，共四个力，故B错误；
C．把三个小球看成整体，可得弹簧弹力等于三个小球的总重力，故C错误；
D．剪断弹簧后A受重力和B、C小球对A的库仑力，A下落的加速度大于重力加速度，剪断瞬间小球B、C受力不变，加速度为零，故D错误。
故选A。
【例3】．（2023·全国·高三专题练习）如图，M、N和P是以为直径的半圆弧上的三点，O点为半圆弧的圆心，。电荷量相等、符号相反的两个点电荷分别置于M、N两点，这时处于O点的点电荷所受静电力大小为；若将N点处的点电荷移至P点，则O点的点电荷所受静电力大小变为，与之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】假设M、O两处点电荷带正电、N处点电荷带负电，依题意，M、N处两点电荷对O点的点电荷的静电力大小均为，则当N点处的点电荷移至P点时，O处点电荷所受静电力如图所示
由几何关系可知，合力大小为
则有
故选B。
【例4】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，真空中有三个带正电的点电荷，它们固定在边长为的等边三角形的顶点A、B、C处，已知每个点电荷的电荷量都是q，静电力常量为k，则A、B处的电荷对C处电荷的静电力的合力大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意可得，两点电荷间的静电力为
由三个带正电的点电荷构成等边三角形，由几何知识可得，A、B处的电荷对C处电荷的静电力的合力大小为
故选C。
类型2 库仑力作用下的平衡
(1)解题思路
涉及库仑力的平衡问题，其解题思路与力学中的平衡问题一样，只是在原来受力的基础上多了库仑力，具体步骤如下：
(2)“三个自由点电荷”的平衡问题
①平衡的条件：每个点电荷受到另外两个点电荷的合力为零或每个点电荷处于另外两个点电荷产生的合电场强度为零的位置。
②
【例1】（2023·海南·统考模拟预测）如图，一劲度系数为的绝缘轻质弹簧，一端固定在倾角为的光滑绝缘斜面的上端，另一端与带电量为、质量为m的球a连接。a的右侧固定有带电量为Q的球b、系统静止时，a对斜面的压力恰好为零，两球心高度相同，球心间距和弹簧的长均为l。已知静电力常量为k，重力加速度为g，两带电小球视为点电荷，则（ ）
A．球b带正电，B．球b带负电，
C．弹簧的原长为D．弹簧的原长为
【答案】B
【详解】AB．a对斜面的压力恰好为零，球b一定带负电，电场力
根据平衡条件
解得
故A错误，B正确；
CD．根据题中条件
可得弹簧的原长为
故CD错误。
故选B。
【例2】．（2023·海南·统考二模）用绝缘细线a、b将两个带电小球1和2连接并悬挂，已知小球2的重力为G，如图所示，两小球处于静止状态，细线a与竖直方向的夹角为30°，两小球连线与水平方向夹角为30°，细线b水平，则（ ）
A．小球1带电量一定小于小球2的带电量
B．细线a拉力大小为
C．细线b拉力大小为
D．小球1与2的质量比为
【答案】B
【详解】A．由
可知，不能确定小球1与小球2的带电量，故A不符合题意；
C．对小球2，由平衡条件可得
解得细线b拉力大小为
故C不符合题意；
BD．对小球1，由平衡条件可得
解得细线a拉力大小为
小球1与2的质量比为
故B符合题意，D不符合题意。
故选B。
【例3】．（2023·北京朝阳·统考二模）某同学设计如图所示的实验装置来验证库仑定律：将一个带电小球A用绝缘细线悬挂，并将另一个与小球A带同种电荷的小球B与它靠近，A球受到B球的静电斥力F而发生偏移，测得A球的质量为m，悬点到A球球心的距离为l。首先，在保持两球电荷量不变的情况下，移动小球B改变两球之间的距离，用刻度尺测量稳定后两球间的距离r和A球偏移的距离d（实验中满足）；然后，设法改变两球的电荷量，再进行相关实验。下列说法正确的是（ ）
A．实验中，小球A所受静电力的测量值
B．为方便验证“静电力与距离平方成反比的关系”，应由实验数据作出F与的关系图像
C．用不带电导体球C分别与A、B两球接触后，A、B两球一定带等量同种电荷
D．实验中仅测量d与r，也可以验证“静电力与距离平方成反比的关系”
【答案】D
【详解】AD．设小球A受静电斥力作用发生偏移达到平衡后细丝线与竖直方向的夹角为，由于ld，可以认为两小球在一直线上，小球A所受的静电力
F=mg
由于很小，=，所以
再由库仑定律
可得
所以实验中仅测量d与r，也可以验证“静电力与距离平方成反比的关系”，故A错误，D正确；
B．为方便验证“静电力与距离平方成反比的关系”，应由实验数据作出F与的关系图像，得到一条倾斜的直线，故B错误；
C．用完全相同的不带电导体球C先与A接触，A的电量减半；C再与B球接触时，由于C球此时已经带有一定电量，故B小球的电量不会减半，A、B两球带电量不相等，故C错误。
故选D。
【例4】．（2023·全国·高三专题练习）在光滑、绝缘的水平面上，沿一直线依次排列三个带电小球A、B、C，均可视为质点，如图所示。若它们恰能处于平衡状态，那么这三个小球所带电荷量及电性的关系可能的是（ ）
A．，，B．，，C．，，D．，，
【答案】C
【详解】要使三个小球均处于平衡状态，先以A对对象，要使A平衡，B和C所带电性应相反（B、C对A的作用力方向必须相反）；同理，要使C平衡，A和B所带电性应相反；综上，电荷电性需满足“两同夹异”的规律：三点共线，两同夹异，两大夹小，近小远大。
故选C。
【例5】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，带电金属小球A用绝缘细线悬挂于O点，O点正下方带电小球B固定在绝缘支座上，两小球可视为质点，平衡时其间距离为L。现将与小球A完全相同的三个不带电的金属小球依次并充分与A接触后移开，则再次平衡后A、B间距离为（ ）
A．B．
C．D．L
【答案】C
【详解】对小球A进行受力分析如图
可得与相似，故有
又由库仑定律
，
所以代入可得
小球A与三个完全相同的不带电的金属小球依次充分接触后的带电量
所以再次平衡后A、B间距离
C正确。
故选C。
【例6】（2023·山西运城·统考三模）如图，水平向右的匀强电场中有a、b两个可视为质点的带电小球，小球所带电荷量的大小相同、电性未知。现将两小球用绝缘细线悬挂于同一点，两球静止时，它们距水平面的高度相等，线与竖直方向的夹角分别为，且，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．若a、b电性相反，则球a的质量一定大于球b的质量
B．若a、b电性相反，则球a的质量可能等于球b的质量
C．若同时剪断两根细绳，则a球可能先落地
D．若同时剪断两根细绳，则a、b两球一定同时落地
【答案】AD
【详解】AB．若a、b电性相反，只有a带负电，b带正电才能受力平衡，a、b水平方向都有
又由
，
得
故A正确，B错误；
CD．同时剪断两根细绳，两球竖直方向做自由落体运动，高度相同，故一定同时落地，故C错误，D正确。
故选AD。
题型二 电场强度的理解和计算
1．电场强度的性质
(1)矢量性：规定正电荷在电场中某点所受电场力的方向为该点电场强度的方向。
(2)唯一性：电场中某一点的电场强度E是唯一的，它的大小和方向与放入该点的电荷q无关，它决定于形成电场的电荷(场源电荷)及空间位置。
(3)叠加性：如果有几个静止点电荷在空间同时产生电场，那么空间某点的电场强度是各场源电荷单独存在时在该点所产生的电场强度的矢量和。
2．电场强度的三个公式比较
eq \a\vs4\al(三个,公式)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(E＝\f(F,q)（适用于任何电场）,E＝\f(kQ,r2)（适用于点电荷产生的电场）,E＝\f(U,d)（适用于匀强电场）))
【例1】(多选)如图甲所示，在x轴上有一个点电荷Q(图中未画出)，O、A、B为轴上三点．放在A、B两点的试探电荷受到的电场力跟试探电荷所带电荷量的关系如图乙所示．以x轴的正方向为电场力的正方向，则( )
A．点电荷Q一定为正电荷
B．点电荷Q在A、B之间
C．A点的电场强度大小为2×103 N/C
D．同一电荷在A点受到的电场力比在B点的大
【答案】 BCD
【解析】 由题图乙知，两直线都是过原点的倾斜直线，由场强的定义式可知，其斜率的绝对值大小为各点的场强大小，则EA＝eq \f(FA,qA)＝2×103 N/C，EB＝eq \f(FB,qB)＝0.5×103 N/C＝eq \f(EA,4).同一电荷在A点受到的静电力比在B点的大，C、D正确；由题图知正试探电荷在A点受静电力方向为正，负试探电荷在B点受静电力方向也为正，可得A、B两点电场强度方向相反，则点电荷Q在A、B之间，且为负电荷，A错误，B正确．
【例2】（2023·全国·高三专题练习）图甲中AB是一条过点电荷的线，图乙为在线上a、b处的检验电荷所受静电力大小与电荷量之间的关系图像，由此可知以下判断可能正确的是（ ）
A．场源电荷是一定是正电荷，位于a点的左侧
B．场源电荷是正电荷，位于b点的右侧
C．场源电荷可以是负电荷，位于a点的左侧
D．场源电荷是负电荷，位于b点的右侧
【答案】C
【详解】由知，F—q图像的斜率表示电场强度，根据题图乙F—q图线，可知
由，可知
无论场源电荷是正电荷还是负电荷，均应在a点左侧。
故选C。
【例3】真空中Ox坐标轴上的某点有一个点电荷Q，坐标轴上A、B两点的坐标分别为0.2 m和0.7 m．在A点放一个带正电的试探电荷，在B点放一个带负电的试探电荷，A、B两点的试探电荷受到静电力的方向都跟x轴正方向相同，静电力的大小F跟试探电荷电荷量q的关系分别如图中直线a、b所示．忽略A、B间的作用力．下列说法正确的是( )
A．B点的电场强度大小为0.25 N/C
B．A点的电场强度的方向沿x轴负方向
C．点电荷Q的位置坐标为0.3 m
D．点电荷Q是正电荷
【答案】 C
【解析】 由A处试探电荷的F－q图线可得，该处的场强为E1＝eq \f(F1,q1)＝4×105 N/C，方向水平向右，同理可得，B处的场强为E2＝eq \f(F2,q2)＝0.25×105 N/C，方向水平向左，A、B错误；由A、B的分析可知，点电荷Q应为负电荷，且在A、B之间，设Q到A点的距离为l，由点电荷场强公式可得E1＝keq \f(Q,l2)＝4×105 N/C，E2＝keq \f(Q,0.5－l2)＝eq \f(1,4)×105 N/C，联立解得l＝0.1 m，故点电荷Q的位置坐标为0.3 m，C正确，D错误．
题型三 等量同种和异种点电荷周围电场强度的比较
【例1】（2023·河南安阳·统考二模）如图所示，A、B为真空中两个等量异种点电荷，O为连线的中点，c、d两点位于两电荷连线的中垂线上，且，取无穷远处为零势面，则下列说法正确的是（ ）
A．图中a、b两点的电场强度相同，ab连线间O点场强最大
B．图中c、d两点的电场强度相同，cd连线间O点场强最大
C．图中a、b两点的电势不同，ab连线间O点电势为0
D．图中c、d两点的电势不同，cd连线间O点电势为0
【答案】BC
【详解】A．真空中两个等量异种点电荷的电场线分布如图
可得两电荷连线上的电场强度方向相同，从a点到b点，电场强度先减小后增大，所以
故A错误；
B．cd连线为两等量异种点电荷连线的中垂线，中垂线上的电场强度方向相同，从c点到d点，电场强度先增大后减小，所以
故B正确；
CD．cd连线为两等量异种点电荷连线的中垂线，中垂线上的电势都为零，即
因为ab连线上电场方向向右，所以
故C正确，D错误。
故选BC。
【例2】（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）如图所示，两个等量异种电荷产生的电场中，abcd四点分别处于正方形的四个顶点上，其中ab两点在等量正负电荷的连线上，且关于连线的中垂线对称，则下列说法正确的是（ ）
A．ab两点的电势相等
B．cd两点的电场强度相同
C．移动单位负电荷从d到c，电场力做正功
D．移动单位正电荷从b到d，电场力沿做功比直接沿对角线做功大
【答案】C
【详解】A．由于沿电场线电势降低，可知
A错误；
B．电场线分布的疏密程度表示电场的强弱，根据等量异种电荷的电场线分布特征可知，cd两点的电场强度大小相等，方向不同，即cd两点的电场强度不相同，B错误；
C．由于沿电场线电势降低，可知
根据
可知移动单位负电荷从d到c，电场力做正功，C正确；
D．根据
可知，移动单位正电荷从b到d，电场力沿做功与直接沿对角线做功相等，D错误。
故选C。
【例3】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，实线是电量为q的等量异种点电荷的电场线分布示意图，虚直线是两电荷连线PQ的中垂线，圆形虚线的圆心在正电荷处，半径为R，右侧与虚直线相切于O点，M、N是圆形虚线上的两点，电势均为，N点到负电荷的距离为，静电力常量为k，规定无穷远处电势为零，两电荷固定不动，下列说法正确的是（ ）
A．在圆形虚线上移动电荷，电场力不做功
B．O点的场强小于N点的场强
C．N点的场强大小为
D．把电量为q的负电荷从N点移到O点的过程中电势能增加
【答案】D
【详解】A．在圆形虚线上移动电荷时，左边正电荷对电荷的作用力与位移方向始终垂直不做功，右边负电荷对电荷的库仑力方向不可能与电荷的位移方向一直垂直，所以要做功，故在圆形虚线上移动电荷，电场力做功，A错误；
B．根据图中的电场线分布示意图可知，O点的电场线比N点的电场线密集，所以O点的场强大于N点的场强，B错误；
C．正负电荷在N点的场强大小分别为
，
因为N点到负电荷的距离为，根据几何知识可知正负电荷在N点的场强方向夹角为，所以N点的场强大小为
C错误；
D．根据等量异种点电荷的电场线分布可知PQ的中垂线为一等势线且电势为0，故O点电势为0，N点电势为，所以把电量为q的负电荷从N点移到O点的过程中电势能增加，D正确。
故选D。
【例4】．（2023·高三课时练习）如图所示，两个带等量负电荷的小球A、B（可视为点电荷），被固定在光滑的绝缘水平面上，M、N是小球A、B连线的水平中垂线上的两点，且MO＝ON。现将一个电荷量很小的带正电的小球C（可视为质点）由M点静止释放，在小球C向N点运动的过程中，下列关于小球C的说法可能正确的是（ ）
A．速度先增大，再减小
B．速度一直增大
C．加速度先增大再减小，过O点后，加速度先减小再增大
D．加速度先减小，再增大
【答案】AD
【详解】根据等量负点电荷的电场线分布可知，在AB的中垂线上，从无穷远处到O点，电场强度先变大后变小，到O点变为零，电场强度方向沿中垂线指向O点；若M、N相距较远，则小球C受库仑力从M向O运动时，小球C的速度不断增大，加速度先变大后变小，在O点时加速度变为零，速度达到最大，从O向N运动时，小球C的速度不断减小，加速度先变大后变小——具有对称性。如果M、N相距较近，则小球C受库仑力从M向O运动时，小球C的速度不断增大，加速度越来越小，在O点时加速度变为零，速度达到最大，从O向N运动时，速度不断减小，加速度越来越大。
故选AD。
【例5】．（2023·湖南·统考模拟预测）如图所示，两个带等量正电的点电荷分别位于x轴上的P、Q两点，其位置关于点O对称。圆弧曲线是一个以O点为圆心的半圆，c点为半圆与y轴的交点，a、b为一平行于x轴的直线与半圆的交点，下列说法正确的是（ ）
A．a、b两点的场强相同
B．a、b两点的电势相同
C．将一个负点电荷沿着圆弧从a移到c点再沿y轴正方向移动，电势能先增大后不变
D．半圆上任一点，两电荷的电场强度大小分别是、，则为一定值
【答案】BD
【详解】A．由对称性可知，电场强度大小相等，但方向不同，选项A错误；
B．由对称性和等势线可知，a、b两点电势相同，选项B正确；
C．负电荷沿该路径电势一直减小，电势能一直增大，选项C错误；
D．半圆上任一点，设与P点连线与夹角为，
则为定值。选项D正确。
故选BD。
【例6】（2023·青海海东·高三校考阶段练习）如图所示，纸面内固定着两个等量的同种点电荷，它们之间的距离为4R。以其连线的中点O为圆心、R为半径画圆，A、B、C、D为圆周上的四个点，A、B两点在两点电荷的连线上，C、D 两点在两点电荷连线的中垂线上，下列说法正确的是（ ）
A．C点的场强与D点的场强相同
B．若从A点由静止释放一质子，则该质子将沿A、B直线一直加速
C．A、C两点之间的电势差等于B、D两点之间的电势差
D．将一电子从A点沿直线移到O点再沿直线移到C点，则电子的电势能先增加后不变
【答案】C
【详解】A．根据等量同种电荷电场分布特点，C、D 两点电场强度大小相等、方向想反，A错误；
B．A、O间电场方向由A指向O，O、B间电场方向由B指向O，则质子将沿A、B直线先加速运动，再减速运动，B错误；
C．根据等量同种电荷电势分布特点，可知
，
则
即
C正确；
D．将一电子从A点沿直线移到O点再沿直线移到C点，电势始终降低，则电子的电势能始终增大，D错误。
故选C。
题型四 电场强度的叠加
1．电场强度的叠加(如图所示)
2．“等效法”“对称法”和“填补法”
(1)等效法
在保证效果相同的前提下，将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景．
例如：一个点电荷＋q与一个无限大薄金属板形成的电场，等效为两个等量异种点电荷形成的电场，如图甲、乙所示．
(2)对称法
利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题大为简化．
例如：如图所示，均匀带电的eq \f(3,4)球壳在O点产生的场强，等效为弧BC产生的场强，弧BC产生的场强方向，又等效为弧的中点M在O点产生的场强方向．
(3)填补法
将有缺口的带电圆环或圆板补全为完整的圆环或圆板，或将半球面补全为球面，从而化难为易、事半功倍．
3．选用技巧
(1)点电荷电场、匀强电场场强叠加一般应用合成法．
(2)均匀带电体与点电荷场强叠加一般应用对称法．
(3)计算均匀带电体某点产生的场强一般应用补偿法或微元法．
类型1 点电荷电场强度的叠加
【例1】（2023·福建·模拟预测）如图所示，半径为的球面下方有一圆周，该圆周与球面直径垂直，在该圆周上等分的三点位置分别固定电荷量为的三个点电荷A、、，且点电荷A与球心的连线与球直径的夹角，在球面的最高点处固定另电荷量同为的点电荷，已知静电力常量为，则下列说法正确的是（ ）
A．点电荷受到的库仑力大小为
B．点的场强竖直向下
C．沿着直径由到电势先降低再升高
D．点电场强度小于点
【答案】AD
【详解】A．如图所示
由几何关系可以得到P、A间的距离为
P、A间连线与竖直方向的夹角为
由库仑力的合成可以得到点电荷P所受的库仑力大小为
解得
故A正确；
B．设圆周ABC的圆心为，A、B、C三个点电荷在O处产生的场强大小为
方向沿MP方向，点电荷P在O处产生的场强大小为
所以O点处的合场强为
方向向上，故B错误；
D．A、B、C三个点电荷在M处产生的场强大小为
方向向下，点电荷P在M处产生的场强大小为
方向向下，所以M点处的合场强为
故D正确；
C．在OM之间沿着直径由O向M方向的电场强度的方向先向上再向下，故电势的高低变化是先升高，再降低，故C错误。
故选AD。
【例2】（2023·湖北·华中师大一附中校联考模拟预测）如图所示，空间存在一个正四面体ABCD，其边长为a，在水平面上两个顶点B、C各固定一个电荷量为的点电荷，在顶点D固定一个电荷量为的点电荷，则顶点A处的电场强度大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】根据点电荷场强公式，可知三个点电荷在顶点A产生的场强大小相同，均为
在平面ACD中，如图所示，
两顶点C、D处点电荷在A点产生的合场强大小为
方向水平。顶点B处点电荷在A点产生的场强方向与垂直，则
故选A。
【例3】(2021·湖南卷，4)如图所示，在(a，0)位置放置电荷量为q的正点电荷，在(0，a)位置放置电荷量为q的负点电荷，在距P(a，a)为eq \r(2)a的某点处放置正点电荷Q，使得P点的电场强度为零。则Q的位置及电荷量分别为 ( )
A．(0，2a)，eq \r(2)q B．(0，2a)，2eq \r(2)q
C．(2a，0)，eq \r(2)q D．(2a，0)，2eq \r(2)q
【答案】 B
【解析】 (a，0)和(0，a)两点处的电荷量为q的点电荷在P点产生的电场强度的矢量和E＝eq \f(\r(2)kq,a2)，方向由点(a，a)指向点(0，2a)，如图所示。因在距P点为eq \r(2)a的某点处放置的正点电荷Q，使得P点电场强度为零，此正电荷Q应位于(0，2a)点，且电荷量Q满足eq \f(kQ,（\r(2)a）2)＝eq \f(\r(2)kq,a2)，解得Q＝2eq \r(2)q，B正确。
【例4】（2022届云南省昆明市第一中学月考）如图所示，真空中有A.、B、C、D四个点在同一直线上，AB=BC=CD=d，在A、C两点各放置一个点电荷，其中位于C点的点电荷带电量为q（q<0），已知D点的电场强度为零，静电力常量为k，则B点的电场强度为（ ）
A. ，方向由C指向B B. ，方向由B指向C
C. ，方向由C指向B D. ，方向由B指向C
【答案】D
【解析】
【详解】由于D点的电场强度为零
可知
则B点的电场强度
方向由B指向C，故D正确。
故选D。
类型2 非点电荷电场强度的叠加及计算
1．等效法
在保证效果相同的前提下，将复杂的电场情境变换为简单的或熟悉的电场情境。
例如：一个点电荷＋q与一个无限大薄金属板形成的电场，等效为两个异种点电荷形成的电场，如图甲、乙所示。
【例1】如图所示，一无限大接地导体板MN前面放有一点电荷＋Q，它们在周围产生的电场可看作是在没有导体板MN存在的情况下，由点电荷＋Q与其像电荷－Q共同激发产生的。像电荷－Q的位置就是把导体板当作平面镜时，点电荷＋Q在此镜中的像位置。已知＋Q所在位置P点到金属板MN的距离为L，a为OP的中点，abcd是边长为L的正方形，其中ab边平行于MN。则( )
A．a点的电场强度大小为E＝4eq \f(kQ,L2)
B．a点的电场强度大小大于b点的电场强度大小
C．b点的电场强度和c点的电场强度相同
D．一正点电荷从a点经b、c运动到d点的过程中电势能的变化量为零
【答案】 B
【解析】 由题意可知，点电荷＋Q和金属板MN周围空间电场与等量异种点电荷产生的电场等效，所以a点的电场强度E＝keq \f(Q,（\f(L,2)）2)＋keq \f(Q,（\f(3L,2)）2)＝eq \f(40kQ,9L2)，A错误；等量异种点电荷周围的电场线分布如图所示，由图可知Ea＞Eb，B正确；图中b、c两点的场强方向不同，C错误；由于a点的电势高于d点的电势，所以一正点电荷从a点经b、c运动到d点的过程中电场力做正功，电荷的电势能减小，D错误。
【例2】（2023·四川·模拟预测）一半径为R的半球面均匀带有正电荷Q，电荷Q在球心O处产生的场强大小，方向如图所示。把半球面分为表面积相等的上、下两部分，如图甲所示，上、下两部分电荷在球心O处产生电场的场强大小分别为E1、E2；把半球面分为表面积相等的左、右两部分，如图乙所示，左、右两部分电荷在球心O处产生电场的场强大小分别为E3、E4，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【详解】AB．根据点电荷电场强度公式，且电荷只分布在球的表面，可知每个电荷在球心O处产生的电场强度大小相同。对于图甲，表面积相同，所分布电荷总量相同，由电场强度的矢量叠加可知，上、下两部分电荷在球心O处产生电场的场强大小关系为
El＞E2
因电荷Q在球心O处产生的场强大小
则
故A正确，B错误；
CD．对于图乙，半球面分为表面积相等的左、右两部分，由于左右两个半个球壳在同一点产生的场强大小相等，则根据电场的叠加可知，左侧部分在O点产生的场强与右侧电荷在O点产生的场强大小相等，即
E3＝E4
由于方向不共线，由合成法则可知
故C错误，D正确。
故选AD.
【例3】(2022·陕西西安中学高三期中)一段均匀带电的半圆形细线在其圆心O处产生的场强为E，把细线分成等长的三段圆弧，则圆弧BC在圆心O处产生的场强大小和方向为( )
A.eq \f(E,2)，水平向右
B.eq \f(E,2)，水平向左
C.eq \f(E,3)，水平向右
D.eq \f(E,3)，水平向左
【答案】 A
【解析】 如图所示，B、C两点把半圆环等分为三段。设每段在O点产生的电场强度大小均为E′。AB段和CD段在O处产生的场强夹角为120°，它们的合场强大小为E′。则O点的合场强E＝2E′，则E′＝eq \f(E,2)，所以圆弧BC在圆心O处产生的场强为eq \f(E,2)，方向水平向右，故A正确，B、C、D错误。
【例4】（2023·湖南·高三专题练习）半径为R的绝缘细圆环固定在图示位置，圆心位于O点，环上均匀分布着电量为Q的正电荷。点A、B、C将圆环三等分，取走A、B处两段弧长均为ΔL的小圆弧上的电荷。将一点电荷q置于OC延长线上距C点为2R的D点，O点的电场强度刚好为零。圆环上剩余电荷分布不变，则q为（ ）
A．正电荷，B．正电荷，
C．负电荷，D．负电荷，
【答案】D
【详解】取走A、B处两段弧长均为的小圆弧上的电荷，根据对称性可知，圆环在O点产生的电场强度为与A在同一直径上的A1和与B在同一直径上的B1产生的电场强度的矢量和，如图所示
因为两段弧长非常小，故可看成点电荷，则有
由图可知，两场强的夹角为，则两者的合场强为
根据O点的合场强为0，则放在D点的点电荷带负电，大小为
根据
联立解得
故选D。
【例5】（2023·全国·高三专题练习）如图，在点电荷的电场中，放着一块带有一定电量、电荷均匀分布的绝缘矩形薄板，MN为其对称轴，O点为几何中心．点电荷与a、O、b之间的距离分别为d、2d、3d。已知图中a点的电场强度为零，则图中b点处的电场强度的大小和方向分别为（ ）
A．，水平向右B．，水平向右
C．，水平向左D．，水平向右
【答案】B
【详解】由于a点的电场强度为零，则带电矩形薄板在a点的电场强度E1与点电荷在a点的电场强度大小相等，方向相反，有
由对称性可知，带电矩形薄板在b点的电场强度大小也为E1，方向水平向右，与点电荷在b点的电场强度叠加，则b点处的电场强度方向水平向右，大小为
故选B。
2．对称法
利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题大为简化。
例如：如图所示，均匀带电的eq \f(3,4)球壳在O点产生的电场强度，等效为弧BC产生的电场强度，弧BC产生的电场强度方向，又等效为弧的中点M在O点产生的电场强度方向。
【例6】（2023·全国·高三专题练习）电荷量为+Q的点电荷与半径为R的均匀带电圆形薄板相距2R，点电荷与圆心O连线垂直薄板，A点位于点电荷与圆心O连线的中点，B与A关于O对称，若A点的电场强度为0，则（ ）
A．圆形薄板所带电荷量为+Q
B．圆形薄板所带电荷在A点的电场强度大小为，方向水平向左
C．B点的电场强度大小为，方向水平向右
D．B点的电场强度大小为，方向水平向右
【答案】BD
【详解】AB．A点的电场强度为零，而点电荷在A点产生的场强为
，方向水平向右
则可知圆形薄板所带电荷在A点的电场强度大小为，方向水平向左，知圆形薄板带正电；若圆形薄板所带电荷量集中在圆心O，则电荷量大小应为，而实际上圆形薄板的电荷量是均匀分布在薄板上的，除了圆心O处距离A点的距离与点电荷距离O点的距离相同外，其余各点距离O点的距离都大于，若将电荷量均匀的分布在薄板上，则根据点电荷在某点处产生的场强公式
可知，合场强一定小于，因此可知圆形薄板所带电荷量一定大于+Q，故A错误，B正确；
CD．B点关于O点与A点对称，则可知圆形薄板在B点产生的电场强度为
，方向水平向右
而点电荷在B点产生的场强为
，方向水平向右
则根据电场强度的叠加法则可得B点得电场强度为
，方向水平向右
故C错误，D正确
故选BD。
【例5】（2023·湖南·统考模拟预测）如图所示，abcd是由粗细均匀的绝缘线制成的正方形线框，其边长为L，O点是线框的中心，线框上均匀地分布着正电荷，现将线框左侧中点M处取下足够短的一小段，该小段带电量为q，然后将其沿OM连线向左移动的距离到N点处，线框其他部分的带电量与电荷分布保持不变，若此时在O点放一个带电量为Q的正点电荷，静电力常量为k，则该点电荷受到的电场力大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】没有截取一小段时，根据对称性可知，点的合场强为零，则截取的部分和剩下的部分在点产生的场强等大反向，剩下的部分在点产生的场强大小为
方向水平向左，当截取部分移到点时，其在点产生的场强大小为
方向水平向右，则点的合场强大小为
方向水平向左，若此时在点放一个带电量为的正点电荷，该点电荷受到的电场力大小为
故选D。
【例8】（2023·河北·校联考模拟预测）已知均匀带电薄壳外部空间电场与其上电荷全部集中在球心时产生的电场一样，内部空间的电场处处为0．如图所示为一带电量为，半径为r的均匀带电球壳，以球心为坐标原点，建立轴，其中A点为壳内一点，B点坐标为，静电力常量为k，下列说法正确的是（ ）
A．将的试探电荷由壳内A点移到O点，试探电荷的电势能减小
B．在圆心O处放一个电量为的点电荷，球壳外表面带电量仍为
C．在处取走极小的一块面积，O点场强大小为
D．在圆心O正上方处取走极小一块面积，B点场强大小为
【答案】C
【详解】A．壳内场强处处为0，故移动试探电荷不做功，A错误；
B．在圆心O处放一个电量为的点电荷，由于静电感应，球壳内表面感应出的电荷，则球壳外表面的电荷量为，B错误；
C．在处取走极小一块面积，根据对称性，在处极小一块面积的电荷产生的电场
C正确；
D．整个球壳在B点的电场
水平向右，在圆心O正上方处取走极小一块面积在B点的场强为
方向斜向右下，与矢量作差即为B点电场强度，D错误。
故选C。
3．填补法
将有缺口的带电圆环或圆板补全为完整的圆环或圆板，或将半球面补全为球面，从而化难为易、事半功倍。
【例9】（2023·河北邢台·校联考一模）如图所示，竖直面内一绝缘细半圆环均匀分布着正电荷，、为圆环水平直径上的两个点且点为圆心，弧和弧都是四分之一圆弧。已知均匀带电圆环内各点的场强均为零，则下列说法正确的是（ ）
A．点电场强度的方向垂直于向下
B．点电场强度的方向斜向下
C．若弧在点的电场强度大小为，则半圆环在点的电场强度大小为
D．若弧在点的电场强度大小为，则半圆环在点的电场强度大小为
【答案】AD
【详解】如图所示，把半圆环补成一个圆环
AB．则点的合场强为零，假设弧在点的电场强度的方向不垂直于，且电场强度的大小为，根据对称性可知，弧在点的电场强度为，且和关于对称，则此种情况下点的合场强不为零，假设不成立，所以点电场强度的方向垂直于向下，故A正确，B错误；
CD．令是弧的中点，是弧的中点，根据电场强度的叠加可得，弧在点的电场强度方向沿方向，弧在点的电场强度方向沿方向，角，则根据电场强度的叠加可得，若弧在点的电场强度大小为，则半圆环在点的电场强度大小为，故C错误，D正确。
故选AD。
【例10】（2023·全国·高三专题练习）均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场．如图所示，在半球面AB上均匀分布正电荷，其电荷量为q，球面半径为R，CD为通过半球顶点与球心O的轴线，在轴线上有M、N两点，OM=ON=2R．已知M点的场强大小为E，则N点的场强大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】假设在O点有一个完整的带电荷量为2q的带电球壳，设完整球壳在N点产生的场强大小为E0，左半球壳在N点产生的电场强度大小为E左，右半球壳在N点产生的电场强度大小为E右，根据电场叠加原理
根据题意
根据对称性可知右半球壳在N点产生的电场强度大小和左球壳在M点产生场强大小相等即
解得
A正确，BCD错误。
故选A。
【例11】（2023·全国·高三专题练习）均匀带电球体在球的外部产生的电场与一个位于球心的、电荷量相等的点电荷产生的电场相同。如图所示，半径为的球体上均匀分布着正电荷，在过球心的直线上有、、三个点，，。若以为直径在球内挖一球形空腔，球的体积公式为，则、两点的电场强度大小之比为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】设原来半径为的整个均匀带电球体的电荷量为，由于均匀带电，可知被挖的球形空腔部分的电荷量为
可知以为直径在球内挖一球形空腔后，、两点的电场强度等于整个均匀带电球体在、两点的电场强度减去被挖的球形在、两点的电场强度，则有
可得
C正确，ABD错误；
故选C。
题型五 静电场中的动力学分析
【例1】（2023·全国·高三专题练习）三个相同的金属小球A、B、C均带电，其中A和B所带的电荷量分别为q、，二者分别与两根等长的绝缘细线一端相连，两细线的另一端固定在同一点O，平衡时连接小球的细线与竖直方向的夹角均为，如图所示，现用小球C先与A接触，再与B接触，然后移开C（过程中A、B之间未接触），A和B再次平衡后，两细线之间的夹角变为，求初始时小球C所带的电荷量。
【答案】或
【详解】设细绳的长度为，由几何关系可知，初始时A、B间的距离为，则
对A球由平衡条件可得
当C小球分别与A、B接触后，由题意结合几何关系可知，A、B间的距离变为，根据平衡条件可得
可得
此时小球A、B所带的电荷量分别为
联立解得
，
【例2】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在绝缘水平面上的O点固定一电荷量为+Q点电荷，在O点正上方高为H的A处由静止释放某带电荷量为+q的小液珠，开始运动的瞬间小液珠的加速度大小恰好等于重力加速度，方向竖直向上。已知静电力常量为k，两电荷均可看成点电荷，不计空气阻力。求：
（1）液珠开始运动瞬间所受库仑力的大小和方向；
（2）运动过程中小液珠速度最大时其离O点的距离h。（以上两问结果只能用题中已知的物理量k，Q，q，H表示）
【答案】（1），方向竖直向上；（2）
【详解】（1）根据库仑定律有
因为同种电荷相互排斥，所以库仑力方向竖直向上。
（2）开始运动瞬间根据牛顿第二定律得
速度最大时加速度为零，则
即
解得
【例3】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，电荷量Q＝2×10－7C的正点电荷A固定在空间中O点，将质量m＝2×10－4kg、电荷量q＝1×10－7C的另一正点电荷B从O点正上方高0.5m的某处由静止释放，B运动过程中速度最大位置在P。若静电力常量k＝9×109N·m2/C2，重力加速度取g＝10m/s2。求：
（1）B运动到距O点l＝0.5m处的加速度大小；
（2）P、O间的距离L。
【答案】（1）6.4m/s2；（2）0.3m
【详解】（1）分析电荷B的受力，得
mg－＝ma
代入数据得
a＝6.4m/s2
（2）B运动过程中速度最大时，加速度为零，此时
mg＝
代入数据得
L＝0.3m
【例4】．（2023·宁夏银川·高三校考阶段练习）如图所示，Q为固定的正点电荷，A、B两点在Q的正上方和Q相距分别为h和，将一带电小球从A点由静止释放，运动到B点时速度正好又变为0。若此带电小球在A点的加速度大小为，g取，静电力常量为k，试求：
（1）此带电小球在B点的加速度大小；
（2）A、B两点间的电势差（用Q和h表示）。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）这一电荷必为正电荷，设其电荷量为q，由牛顿第二定律，在A点时
在B点时
解得
方向竖直向上。
（2）从A到B过程，由动能定理得
解得
【例5】．（2023·黑龙江佳木斯·高三佳木斯一中期中）如图所示，固定于同一条竖直线上的A、B是两个带等量异种电荷的点电荷，电荷量分别为+Q和—Q，A、B相距为2d，MN是竖直放置的光滑绝缘细杆，另有一个穿过细杆的带电小球p，质量为m、电荷量为+q（可视为点电荷，不影响电场的分布），现将小球p从与点电荷A等高的C处由静止开始释放，小球p向下运动到距C点距离为d的O点时，速度为v，已知MN与AB之间的距离为d，静电力常量为k，重力加速度为g。求：
（1）C、O间的电势差；
（2）小球p经过O点时的加速度。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）小球由C运动到O时，由动能定理得
解得
（2）小球p经过点O时受力如图所示
由边角关系知，，由库仑定律得
它们的合力为
由牛顿第二定律得
解得
【例6】．（2023·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）如图所示，光滑绝缘直杆水平放置并固定不动，其中、、的长度均为，杆上套有一质量为、电荷量为的小球（可视为质点），小球通过绝缘轻质弹簧与固定点连接，直杆处固定电荷量为的点电荷，小球从点由静止开始释放，运动到点时速度恰好达到最大值。垂直于直杆，且的长度为弹簧原长，静电力常量为。
（1）求、两点间的电势差。
（2）求小球刚释放时的加速度大小。
（3）求小球运动到点时，点的电场强度大小。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）小球从点运动到点的过程中弹簧弹力做功为零，由动能定理有
解得
（2）小球在点时，设弹簧与水平方向的夹角为，则
在点时有
解得
（3）设处点电荷在点产生的电场强度大小为，方向向右；带电小球运动到点时在点产生的电场强度大小为，方向向左，则
解得点的电场强度大小
【例7】．（2021·全国·高三专题练习）如图所示，在倾角为α的足够长光滑斜面上放置两个质量分别为和m的带电小球A和B（均可视为质点），它们相距为L。两球同时由静止开始释放时，B球的加速度恰好等于零。经过一段时间后，当两球距离为时，A、B的加速度大小之比为。已知重力加速度为g，静电力常量为k。
(1)若B球带正电荷且电荷量为q，求A球所带电荷量Q及电性；
(2)在(1)条件下求与L的比值。
【答案】(1)，带正电荷；(2)
【详解】(1)由初始B球的加速度等于零及B球带正电荷，可知A球带正电荷。
对B球受力分析，沿斜面方向B球受到的合力为零，即
根据库仑定律得
解得
(2)两球距离为时，A球加速度方向沿斜面向下，根据牛顿第二定律有
B球加速度方向沿斜面向下，根据牛顿第二定律有
依题意由
且
解得
又
解得
【例8】．（2023·湖南长沙·高三长沙一中阶段练习）如图所示，带电小球A和B（可视为点电荷）放在倾角为的光滑固定绝缘斜面上，已知A球的质量为m，所带电荷量为+q，B球的质量为2m，所带电荷量为-q。沿斜面向上的恒力F作用于A球，可使A、B保持间距r不变沿斜面向上做匀加速直线运动，已知重力加速度为g，静电力常量为k，求：
(1)加速度a的大小；
(2)F的大小。
【答案】(1)；(2)
【详解】(1)根据库仑定律，两球相互吸引的库仑力
A球和B球的加速度相同，隔离B球，由牛顿第二定律有
所以
(2)把A球和B球看成整体，A、B间的库仑力为系统内力，由牛顿第二定律有
【例9】．（2017·山东菏泽·一模）如图，空间有一竖直向下沿x轴方向的静电场，电场的场强大小按分布（x是轴上某点到O点的距离）。x轴上，有一长为L的绝缘细线连接均带负电的两个小球A、B，两球质量均为m，B球带电荷量大小为q，A球距O点的距离为L。两球现处于静止状态，不计两球之间的静电力作用。
(1)求A球的带电荷量大小qA；
(2)剪断细线后，求B球下落速度达到最大时，B球距O点距离为x0；
(3)剪断细线后，求B球下落最大高度h。
【答案】(1)qA=6q；(2)x0=4L；(3)h=4L
【详解】(1)对A、B由整体法得
解得
qA=6q
(2)当B球下落速度达到最大时，由平衡条件得
解得
x0=4L
(3)运动过程中，电场力大小线性变化，所以由动能定理得
解得
h=4L比较项目
等量异种点
电荷
等量同种点
电荷
电场线的分布图
连线中点O
处的场强
连线上O点场强最小，指向负电荷一方
为零
连线上的场强大小(从左到右)
沿连线先变小，再变大
沿连线先变小，再变大
沿连线的中垂线由O点向外的场强大小
O点最大，向外逐渐变小
O点最小，向外先变大后变小
关于O点对称点的场强(如A与A′、B与B′、C与C′等)
等大同向
等大反向
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc9028" 题型一 库仑定律与带电体平衡 PAGEREF _Tc9028 \h 1
\l "_Tc19984" 类型1 库仑力的叠加 PAGEREF _Tc19984 \h 1
\l "_Tc10566" 类型2 库仑力作用下的平衡 PAGEREF _Tc10566 \h 5
\l "_Tc32521" 题型二 电场强度的理解和计算 PAGEREF _Tc32521 \h 10
\l "_Tc6398" 题型三 等量同种和异种点电荷周围电场强度的比较 PAGEREF _Tc6398 \h 13
\l "_Tc17683" 题型四 电场强度的叠加 PAGEREF _Tc17683 \h 18
\l "_Tc12268" 类型1 点电荷电场强度的叠加 PAGEREF _Tc12268 \h 19
\l "_Tc19270" 类型2 非点电荷电场强度的叠加及计算 PAGEREF _Tc19270 \h 23
\l "_Tc10743" 题型五 静电场中的动力学分析 PAGEREF _Tc10743 \h 34
题型一 库仑定律与带电体平衡
1．库仑定律适用于真空中静止点电荷间的相互作用。
2．对于两个均匀带电绝缘球体，可将其视为电荷集中在球心的点电荷，r为球心间的距离。
3．对于两个带电金属球，要考虑表面电荷的重新分布，如图2所示。
(1)同种电荷：F＜keq \f(q1q2,r2)；
(2)异种电荷：F＞keq \f(q1q2,r2)。
4．不能根据公式错误地认为r→0时，库仑力F→∞，因为当r →0时，两个带电体已不能看作点电荷了。
类型1 库仑力的叠加
【例1】（2023·全国·模拟预测）如图所示，在半径为R的圆周上均匀地分布着六个电荷量均为q的正电荷。在圆心O处固定有一个电荷量为q的负电荷，现随机将六个正电荷中的两个更换为电荷量为q的负电荷，静电力常量为k，此时O点的负电荷受到的静电力大小可能为（ ）
A．B．
C．D．
【例2】（2023·全国·模拟预测）如图所示，质量相等可视为点电荷的A、B、C三个带电绝缘小球，其中A带负电并固定在绝缘竖直弹簧下端，当A、B、C三个小球的球心距离为L时，B、C小球带电荷量相等并悬在空中处于静止状态，下列说法正确的是（ ）
A．小球A带的电荷量是小球B带电荷量的2倍
B．小球A受到五个作用力
C．弹簧弹力等于B、C两个小球对A球引力的矢量和
D．剪断弹簧后B、C两个小球一起做自由落体运动
【例3】．（2023·全国·高三专题练习）如图，M、N和P是以为直径的半圆弧上的三点，O点为半圆弧的圆心，。电荷量相等、符号相反的两个点电荷分别置于M、N两点，这时处于O点的点电荷所受静电力大小为；若将N点处的点电荷移至P点，则O点的点电荷所受静电力大小变为，与之比为（ ）
A．B．C．D．
【例4】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，真空中有三个带正电的点电荷，它们固定在边长为的等边三角形的顶点A、B、C处，已知每个点电荷的电荷量都是q，静电力常量为k，则A、B处的电荷对C处电荷的静电力的合力大小为（ ）
A．B．C．D．
类型2 库仑力作用下的平衡
(1)解题思路
涉及库仑力的平衡问题，其解题思路与力学中的平衡问题一样，只是在原来受力的基础上多了库仑力，具体步骤如下：
(2)“三个自由点电荷”的平衡问题
①平衡的条件：每个点电荷受到另外两个点电荷的合力为零或每个点电荷处于另外两个点电荷产生的合电场强度为零的位置。
②
【例1】（2023·海南·统考模拟预测）如图，一劲度系数为的绝缘轻质弹簧，一端固定在倾角为的光滑绝缘斜面的上端，另一端与带电量为、质量为m的球a连接。a的右侧固定有带电量为Q的球b、系统静止时，a对斜面的压力恰好为零，两球心高度相同，球心间距和弹簧的长均为l。已知静电力常量为k，重力加速度为g，两带电小球视为点电荷，则（ ）
A．球b带正电，B．球b带负电，
C．弹簧的原长为D．弹簧的原长为
【例2】．（2023·海南·统考二模）用绝缘细线a、b将两个带电小球1和2连接并悬挂，已知小球2的重力为G，如图所示，两小球处于静止状态，细线a与竖直方向的夹角为30°，两小球连线与水平方向夹角为30°，细线b水平，则（ ）
A．小球1带电量一定小于小球2的带电量
B．细线a拉力大小为
C．细线b拉力大小为
D．小球1与2的质量比为
【例3】．（2023·北京朝阳·统考二模）某同学设计如图所示的实验装置来验证库仑定律：将一个带电小球A用绝缘细线悬挂，并将另一个与小球A带同种电荷的小球B与它靠近，A球受到B球的静电斥力F而发生偏移，测得A球的质量为m，悬点到A球球心的距离为l。首先，在保持两球电荷量不变的情况下，移动小球B改变两球之间的距离，用刻度尺测量稳定后两球间的距离r和A球偏移的距离d（实验中满足）；然后，设法改变两球的电荷量，再进行相关实验。下列说法正确的是（ ）
A．实验中，小球A所受静电力的测量值
B．为方便验证“静电力与距离平方成反比的关系”，应由实验数据作出F与的关系图像
C．用不带电导体球C分别与A、B两球接触后，A、B两球一定带等量同种电荷
D．实验中仅测量d与r，也可以验证“静电力与距离平方成反比的关系”
【例4】．（2023·全国·高三专题练习）在光滑、绝缘的水平面上，沿一直线依次排列三个带电小球A、B、C，均可视为质点，如图所示。若它们恰能处于平衡状态，那么这三个小球所带电荷量及电性的关系可能的是（ ）
A．，，B．，，C．，，D．，，
【例5】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，带电金属小球A用绝缘细线悬挂于O点，O点正下方带电小球B固定在绝缘支座上，两小球可视为质点，平衡时其间距离为L。现将与小球A完全相同的三个不带电的金属小球依次并充分与A接触后移开，则再次平衡后A、B间距离为（ ）
A．B．
C．D．L
【例6】（2023·山西运城·统考三模）如图，水平向右的匀强电场中有a、b两个可视为质点的带电小球，小球所带电荷量的大小相同、电性未知。现将两小球用绝缘细线悬挂于同一点，两球静止时，它们距水平面的高度相等，线与竖直方向的夹角分别为，且，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．若a、b电性相反，则球a的质量一定大于球b的质量
B．若a、b电性相反，则球a的质量可能等于球b的质量
C．若同时剪断两根细绳，则a球可能先落地
D．若同时剪断两根细绳，则a、b两球一定同时落地
题型二 电场强度的理解和计算
1．电场强度的性质
(1)矢量性：规定正电荷在电场中某点所受电场力的方向为该点电场强度的方向。
(2)唯一性：电场中某一点的电场强度E是唯一的，它的大小和方向与放入该点的电荷q无关，它决定于形成电场的电荷(场源电荷)及空间位置。
(3)叠加性：如果有几个静止点电荷在空间同时产生电场，那么空间某点的电场强度是各场源电荷单独存在时在该点所产生的电场强度的矢量和。
2．电场强度的三个公式比较
eq \a\vs4\al(三个,公式)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(E＝\f(F,q)（适用于任何电场）,E＝\f(kQ,r2)（适用于点电荷产生的电场）,E＝\f(U,d)（适用于匀强电场）))
【例1】(多选)如图甲所示，在x轴上有一个点电荷Q(图中未画出)，O、A、B为轴上三点．放在A、B两点的试探电荷受到的电场力跟试探电荷所带电荷量的关系如图乙所示．以x轴的正方向为电场力的正方向，则( )
A．点电荷Q一定为正电荷
B．点电荷Q在A、B之间
C．A点的电场强度大小为2×103 N/C
D．同一电荷在A点受到的电场力比在B点的大
【例2】（2023·全国·高三专题练习）图甲中AB是一条过点电荷的线，图乙为在线上a、b处的检验电荷所受静电力大小与电荷量之间的关系图像，由此可知以下判断可能正确的是（ ）
A．场源电荷是一定是正电荷，位于a点的左侧
B．场源电荷是正电荷，位于b点的右侧
C．场源电荷可以是负电荷，位于a点的左侧
D．场源电荷是负电荷，位于b点的右侧
【例3】真空中Ox坐标轴上的某点有一个点电荷Q，坐标轴上A、B两点的坐标分别为0.2 m和0.7 m．在A点放一个带正电的试探电荷，在B点放一个带负电的试探电荷，A、B两点的试探电荷受到静电力的方向都跟x轴正方向相同，静电力的大小F跟试探电荷电荷量q的关系分别如图中直线a、b所示．忽略A、B间的作用力．下列说法正确的是( )
A．B点的电场强度大小为0.25 N/C
B．A点的电场强度的方向沿x轴负方向
C．点电荷Q的位置坐标为0.3 m
D．点电荷Q是正电荷
题型三 等量同种和异种点电荷周围电场强度的比较
【例1】（2023·河南安阳·统考二模）如图所示，A、B为真空中两个等量异种点电荷，O为连线的中点，c、d两点位于两电荷连线的中垂线上，且，取无穷远处为零势面，则下列说法正确的是（ ）
A．图中a、b两点的电场强度相同，ab连线间O点场强最大
B．图中c、d两点的电场强度相同，cd连线间O点场强最大
C．图中a、b两点的电势不同，ab连线间O点电势为0
D．图中c、d两点的电势不同，cd连线间O点电势为0
【例2】（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）如图所示，两个等量异种电荷产生的电场中，abcd四点分别处于正方形的四个顶点上，其中ab两点在等量正负电荷的连线上，且关于连线的中垂线对称，则下列说法正确的是（ ）
A．ab两点的电势相等
B．cd两点的电场强度相同
C．移动单位负电荷从d到c，电场力做正功
D．移动单位正电荷从b到d，电场力沿做功比直接沿对角线做功大
【例3】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，实线是电量为q的等量异种点电荷的电场线分布示意图，虚直线是两电荷连线PQ的中垂线，圆形虚线的圆心在正电荷处，半径为R，右侧与虚直线相切于O点，M、N是圆形虚线上的两点，电势均为，N点到负电荷的距离为，静电力常量为k，规定无穷远处电势为零，两电荷固定不动，下列说法正确的是（ ）
A．在圆形虚线上移动电荷，电场力不做功
B．O点的场强小于N点的场强
C．N点的场强大小为
D．把电量为q的负电荷从N点移到O点的过程中电势能增加
【例4】．（2023·高三课时练习）如图所示，两个带等量负电荷的小球A、B（可视为点电荷），被固定在光滑的绝缘水平面上，M、N是小球A、B连线的水平中垂线上的两点，且MO＝ON。现将一个电荷量很小的带正电的小球C（可视为质点）由M点静止释放，在小球C向N点运动的过程中，下列关于小球C的说法可能正确的是（ ）
A．速度先增大，再减小
B．速度一直增大
C．加速度先增大再减小，过O点后，加速度先减小再增大
D．加速度先减小，再增大
【例5】．（2023·湖南·统考模拟预测）如图所示，两个带等量正电的点电荷分别位于x轴上的P、Q两点，其位置关于点O对称。圆弧曲线是一个以O点为圆心的半圆，c点为半圆与y轴的交点，a、b为一平行于x轴的直线与半圆的交点，下列说法正确的是（ ）
A．a、b两点的场强相同
B．a、b两点的电势相同
C．将一个负点电荷沿着圆弧从a移到c点再沿y轴正方向移动，电势能先增大后不变
D．半圆上任一点，两电荷的电场强度大小分别是、，则为一定值
【例6】（2023·青海海东·高三校考阶段练习）如图所示，纸面内固定着两个等量的同种点电荷，它们之间的距离为4R。以其连线的中点O为圆心、R为半径画圆，A、B、C、D为圆周上的四个点，A、B两点在两点电荷的连线上，C、D 两点在两点电荷连线的中垂线上，下列说法正确的是（ ）
A．C点的场强与D点的场强相同
B．若从A点由静止释放一质子，则该质子将沿A、B直线一直加速
C．A、C两点之间的电势差等于B、D两点之间的电势差
D．将一电子从A点沿直线移到O点再沿直线移到C点，则电子的电势能先增加后不变
题型四 电场强度的叠加
1．电场强度的叠加(如图所示)
2．“等效法”“对称法”和“填补法”
(1)等效法
在保证效果相同的前提下，将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景．
例如：一个点电荷＋q与一个无限大薄金属板形成的电场，等效为两个等量异种点电荷形成的电场，如图甲、乙所示．
(2)对称法
利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题大为简化．
例如：如图所示，均匀带电的eq \f(3,4)球壳在O点产生的场强，等效为弧BC产生的场强，弧BC产生的场强方向，又等效为弧的中点M在O点产生的场强方向．
(3)填补法
将有缺口的带电圆环或圆板补全为完整的圆环或圆板，或将半球面补全为球面，从而化难为易、事半功倍．
3．选用技巧
(1)点电荷电场、匀强电场场强叠加一般应用合成法．
(2)均匀带电体与点电荷场强叠加一般应用对称法．
(3)计算均匀带电体某点产生的场强一般应用补偿法或微元法．
类型1 点电荷电场强度的叠加
【例1】（2023·福建·模拟预测）如图所示，半径为的球面下方有一圆周，该圆周与球面直径垂直，在该圆周上等分的三点位置分别固定电荷量为的三个点电荷A、、，且点电荷A与球心的连线与球直径的夹角，在球面的最高点处固定另电荷量同为的点电荷，已知静电力常量为，则下列说法正确的是（ ）
A．点电荷受到的库仑力大小为
B．点的场强竖直向下
C．沿着直径由到电势先降低再升高
D．点电场强度小于点
【例2】（2023·湖北·华中师大一附中校联考模拟预测）如图所示，空间存在一个正四面体ABCD，其边长为a，在水平面上两个顶点B、C各固定一个电荷量为的点电荷，在顶点D固定一个电荷量为的点电荷，则顶点A处的电场强度大小为（ ）
A．B．C．D．
【例3】(2021·湖南卷，4)如图所示，在(a，0)位置放置电荷量为q的正点电荷，在(0，a)位置放置电荷量为q的负点电荷，在距P(a，a)为eq \r(2)a的某点处放置正点电荷Q，使得P点的电场强度为零。则Q的位置及电荷量分别为 ( )
A．(0，2a)，eq \r(2)q B．(0，2a)，2eq \r(2)q
C．(2a，0)，eq \r(2)q D．(2a，0)，2eq \r(2)q
【例4】（2022届云南省昆明市第一中学月考）如图所示，真空中有A.、B、C、D四个点在同一直线上，AB=BC=CD=d，在A、C两点各放置一个点电荷，其中位于C点的点电荷带电量为q（q<0），已知D点的电场强度为零，静电力常量为k，则B点的电场强度为（ ）
A. ，方向由C指向B B. ，方向由B指向C
C. ，方向由C指向B D. ，方向由B指向C
类型2 非点电荷电场强度的叠加及计算
1．等效法
在保证效果相同的前提下，将复杂的电场情境变换为简单的或熟悉的电场情境。
例如：一个点电荷＋q与一个无限大薄金属板形成的电场，等效为两个异种点电荷形成的电场，如图甲、乙所示。
【例1】如图所示，一无限大接地导体板MN前面放有一点电荷＋Q，它们在周围产生的电场可看作是在没有导体板MN存在的情况下，由点电荷＋Q与其像电荷－Q共同激发产生的。像电荷－Q的位置就是把导体板当作平面镜时，点电荷＋Q在此镜中的像位置。已知＋Q所在位置P点到金属板MN的距离为L，a为OP的中点，abcd是边长为L的正方形，其中ab边平行于MN。则( )
A．a点的电场强度大小为E＝4eq \f(kQ,L2)
B．a点的电场强度大小大于b点的电场强度大小
C．b点的电场强度和c点的电场强度相同
D．一正点电荷从a点经b、c运动到d点的过程中电势能的变化量为零
【例2】（2023·四川·模拟预测）一半径为R的半球面均匀带有正电荷Q，电荷Q在球心O处产生的场强大小，方向如图所示。把半球面分为表面积相等的上、下两部分，如图甲所示，上、下两部分电荷在球心O处产生电场的场强大小分别为E1、E2；把半球面分为表面积相等的左、右两部分，如图乙所示，左、右两部分电荷在球心O处产生电场的场强大小分别为E3、E4，则（ ）
A．B．
C．D．
【例3】(2022·陕西西安中学高三期中)一段均匀带电的半圆形细线在其圆心O处产生的场强为E，把细线分成等长的三段圆弧，则圆弧BC在圆心O处产生的场强大小和方向为( )
A.eq \f(E,2)，水平向右
B.eq \f(E,2)，水平向左
C.eq \f(E,3)，水平向右
D.eq \f(E,3)，水平向左
【例4】（2023·湖南·高三专题练习）半径为R的绝缘细圆环固定在图示位置，圆心位于O点，环上均匀分布着电量为Q的正电荷。点A、B、C将圆环三等分，取走A、B处两段弧长均为ΔL的小圆弧上的电荷。将一点电荷q置于OC延长线上距C点为2R的D点，O点的电场强度刚好为零。圆环上剩余电荷分布不变，则q为（ ）
A．正电荷，B．正电荷，
C．负电荷，D．负电荷，
【例5】（2023·全国·高三专题练习）如图，在点电荷的电场中，放着一块带有一定电量、电荷均匀分布的绝缘矩形薄板，MN为其对称轴，O点为几何中心．点电荷与a、O、b之间的距离分别为d、2d、3d。已知图中a点的电场强度为零，则图中b点处的电场强度的大小和方向分别为（ ）
A．，水平向右B．，水平向右
C．，水平向左D．，水平向右
2．对称法
利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题大为简化。
例如：如图所示，均匀带电的eq \f(3,4)球壳在O点产生的电场强度，等效为弧BC产生的电场强度，弧BC产生的电场强度方向，又等效为弧的中点M在O点产生的电场强度方向。
【例6】（2023·全国·高三专题练习）电荷量为+Q的点电荷与半径为R的均匀带电圆形薄板相距2R，点电荷与圆心O连线垂直薄板，A点位于点电荷与圆心O连线的中点，B与A关于O对称，若A点的电场强度为0，则（ ）
A．圆形薄板所带电荷量为+Q
B．圆形薄板所带电荷在A点的电场强度大小为，方向水平向左
C．B点的电场强度大小为，方向水平向右
D．B点的电场强度大小为，方向水平向右
【例5】（2023·湖南·统考模拟预测）如图所示，abcd是由粗细均匀的绝缘线制成的正方形线框，其边长为L，O点是线框的中心，线框上均匀地分布着正电荷，现将线框左侧中点M处取下足够短的一小段，该小段带电量为q，然后将其沿OM连线向左移动的距离到N点处，线框其他部分的带电量与电荷分布保持不变，若此时在O点放一个带电量为Q的正点电荷，静电力常量为k，则该点电荷受到的电场力大小为（ ）
A．B．C．D．
【例8】（2023·河北·校联考模拟预测）已知均匀带电薄壳外部空间电场与其上电荷全部集中在球心时产生的电场一样，内部空间的电场处处为0．如图所示为一带电量为，半径为r的均匀带电球壳，以球心为坐标原点，建立轴，其中A点为壳内一点，B点坐标为，静电力常量为k，下列说法正确的是（ ）
A．将的试探电荷由壳内A点移到O点，试探电荷的电势能减小
B．在圆心O处放一个电量为的点电荷，球壳外表面带电量仍为
C．在处取走极小的一块面积，O点场强大小为
D．在圆心O正上方处取走极小一块面积，B点场强大小为
3．填补法
将有缺口的带电圆环或圆板补全为完整的圆环或圆板，或将半球面补全为球面，从而化难为易、事半功倍。
【例9】（2023·河北邢台·校联考一模）如图所示，竖直面内一绝缘细半圆环均匀分布着正电荷，、为圆环水平直径上的两个点且点为圆心，弧和弧都是四分之一圆弧。已知均匀带电圆环内各点的场强均为零，则下列说法正确的是（ ）
A．点电场强度的方向垂直于向下
B．点电场强度的方向斜向下
C．若弧在点的电场强度大小为，则半圆环在点的电场强度大小为
D．若弧在点的电场强度大小为，则半圆环在点的电场强度大小为
【例10】（2023·全国·高三专题练习）均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场．如图所示，在半球面AB上均匀分布正电荷，其电荷量为q，球面半径为R，CD为通过半球顶点与球心O的轴线，在轴线上有M、N两点，OM=ON=2R．已知M点的场强大小为E，则N点的场强大小为（ ）
A．B．C．D．
【例11】（2023·全国·高三专题练习）均匀带电球体在球的外部产生的电场与一个位于球心的、电荷量相等的点电荷产生的电场相同。如图所示，半径为的球体上均匀分布着正电荷，在过球心的直线上有、、三个点，，。若以为直径在球内挖一球形空腔，球的体积公式为，则、两点的电场强度大小之比为（ ）
A．B．
C．D．
题型五 静电场中的动力学分析
【例1】（2023·全国·高三专题练习）三个相同的金属小球A、B、C均带电，其中A和B所带的电荷量分别为q、，二者分别与两根等长的绝缘细线一端相连，两细线的另一端固定在同一点O，平衡时连接小球的细线与竖直方向的夹角均为，如图所示，现用小球C先与A接触，再与B接触，然后移开C（过程中A、B之间未接触），A和B再次平衡后，两细线之间的夹角变为，求初始时小球C所带的电荷量。
【例2】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在绝缘水平面上的O点固定一电荷量为+Q点电荷，在O点正上方高为H的A处由静止释放某带电荷量为+q的小液珠，开始运动的瞬间小液珠的加速度大小恰好等于重力加速度，方向竖直向上。已知静电力常量为k，两电荷均可看成点电荷，不计空气阻力。求：
（1）液珠开始运动瞬间所受库仑力的大小和方向；
（2）运动过程中小液珠速度最大时其离O点的距离h。（以上两问结果只能用题中已知的物理量k，Q，q，H表示）
【例3】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，电荷量Q＝2×10－7C的正点电荷A固定在空间中O点，将质量m＝2×10－4kg、电荷量q＝1×10－7C的另一正点电荷B从O点正上方高0.5m的某处由静止释放，B运动过程中速度最大位置在P。若静电力常量k＝9×109N·m2/C2，重力加速度取g＝10m/s2。求：
（1）B运动到距O点l＝0.5m处的加速度大小；
（2）P、O间的距离L。
【例4】．（2023·宁夏银川·高三校考阶段练习）如图所示，Q为固定的正点电荷，A、B两点在Q的正上方和Q相距分别为h和，将一带电小球从A点由静止释放，运动到B点时速度正好又变为0。若此带电小球在A点的加速度大小为，g取，静电力常量为k，试求：
（1）此带电小球在B点的加速度大小；
（2）A、B两点间的电势差（用Q和h表示）。
【例5】．（2023·黑龙江佳木斯·高三佳木斯一中期中）如图所示，固定于同一条竖直线上的A、B是两个带等量异种电荷的点电荷，电荷量分别为+Q和—Q，A、B相距为2d，MN是竖直放置的光滑绝缘细杆，另有一个穿过细杆的带电小球p，质量为m、电荷量为+q（可视为点电荷，不影响电场的分布），现将小球p从与点电荷A等高的C处由静止开始释放，小球p向下运动到距C点距离为d的O点时，速度为v，已知MN与AB之间的距离为d，静电力常量为k，重力加速度为g。求：
（1）C、O间的电势差；
（2）小球p经过O点时的加速度。
【例6】．（2023·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）如图所示，光滑绝缘直杆水平放置并固定不动，其中、、的长度均为，杆上套有一质量为、电荷量为的小球（可视为质点），小球通过绝缘轻质弹簧与固定点连接，直杆处固定电荷量为的点电荷，小球从点由静止开始释放，运动到点时速度恰好达到最大值。垂直于直杆，且的长度为弹簧原长，静电力常量为。
（1）求、两点间的电势差。
（2）求小球刚释放时的加速度大小。
（3）求小球运动到点时，点的电场强度大小。
【例7】．（2021·全国·高三专题练习）如图所示，在倾角为α的足够长光滑斜面上放置两个质量分别为和m的带电小球A和B（均可视为质点），它们相距为L。两球同时由静止开始释放时，B球的加速度恰好等于零。经过一段时间后，当两球距离为时，A、B的加速度大小之比为。已知重力加速度为g，静电力常量为k。
(1)若B球带正电荷且电荷量为q，求A球所带电荷量Q及电性；
(2)在(1)条件下求与L的比值。
【例8】．（2023·湖南长沙·高三长沙一中阶段练习）如图所示，带电小球A和B（可视为点电荷）放在倾角为的光滑固定绝缘斜面上，已知A球的质量为m，所带电荷量为+q，B球的质量为2m，所带电荷量为-q。沿斜面向上的恒力F作用于A球，可使A、B保持间距r不变沿斜面向上做匀加速直线运动，已知重力加速度为g，静电力常量为k，求：
(1)加速度a的大小；
(2)F的大小。
【例9】．（2017·山东菏泽·一模）如图，空间有一竖直向下沿x轴方向的静电场，电场的场强大小按分布（x是轴上某点到O点的距离）。x轴上，有一长为L的绝缘细线连接均带负电的两个小球A、B，两球质量均为m，B球带电荷量大小为q，A球距O点的距离为L。两球现处于静止状态，不计两球之间的静电力作用。
(1)求A球的带电荷量大小qA；
(2)剪断细线后，求B球下落速度达到最大时，B球距O点距离为x0；
(3)剪断细线后，求B球下落最大高度h。
比较项目
等量异种点
电荷
等量同种点
电荷
电场线的分布图
连线中点O
处的场强
连线上O点场强最小，指向负电荷一方
为零
连线上的场强大小(从左到右)
沿连线先变小，再变大
沿连线先变小，再变大
沿连线的中垂线由O点向外的场强大小
O点最大，向外逐渐变小
O点最小，向外先变大后变小
关于O点对称点的场强(如A与A′、B与B′、C与C′等)
等大同向
等大反向
专题20 电场力的性质
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc9028" 题型一 库仑定律与带电体平衡 PAGEREF _Tc9028 \h 1
\l "_Tc19984" 类型1 库仑力的叠加 PAGEREF _Tc19984 \h 1
\l "_Tc10566" 类型2 库仑力作用下的平衡 PAGEREF _Tc10566 \h 5
\l "_Tc32521" 题型二 电场强度的理解和计算 PAGEREF _Tc32521 \h 10
\l "_Tc6398" 题型三 等量同种和异种点电荷周围电场强度的比较 PAGEREF _Tc6398 \h 13
\l "_Tc17683" 题型四 电场强度的叠加 PAGEREF _Tc17683 \h 18
\l "_Tc12268" 类型1 点电荷电场强度的叠加 PAGEREF _Tc12268 \h 19
\l "_Tc19270" 类型2 非点电荷电场强度的叠加及计算 PAGEREF _Tc19270 \h 23
\l "_Tc10743" 题型五 静电场中的动力学分析 PAGEREF _Tc10743 \h 34
题型一 库仑定律与带电体平衡
1．库仑定律适用于真空中静止点电荷间的相互作用。
2．对于两个均匀带电绝缘球体，可将其视为电荷集中在球心的点电荷，r为球心间的距离。
3．对于两个带电金属球，要考虑表面电荷的重新分布，如图2所示。
(1)同种电荷：F＜keq \f(q1q2,r2)；
(2)异种电荷：F＞keq \f(q1q2,r2)。
4．不能根据公式错误地认为r→0时，库仑力F→∞，因为当r →0时，两个带电体已不能看作点电荷了。
类型1 库仑力的叠加
【例1】（2023·全国·模拟预测）如图所示，在半径为R的圆周上均匀地分布着六个电荷量均为q的正电荷。在圆心O处固定有一个电荷量为q的负电荷，现随机将六个正电荷中的两个更换为电荷量为q的负电荷，静电力常量为k，此时O点的负电荷受到的静电力大小可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【详解】采用等效替代法，在更换电荷的位置，再放一个电荷量为q的正电荷和一个电荷量为q的负电荷，对于O点电荷的受力不产生实际影响，所有正电荷对O点电荷的作用力的合力为0，更换电荷后所有电荷对O点电荷的作用力可等效为在A、B、C、D、E、F中随机两个点位置放置电荷量为2q的负电荷对O点电荷作用力的合力，有邻、间、对三种可能，如图所示
A处电荷对O点电荷的作用力
则对位时，合力
邻位时两力夹角为60°，合力
间位时两力夹角为120°，合力
故选BC。
【例2】（2023·全国·模拟预测）如图所示，质量相等可视为点电荷的A、B、C三个带电绝缘小球，其中A带负电并固定在绝缘竖直弹簧下端，当A、B、C三个小球的球心距离为L时，B、C小球带电荷量相等并悬在空中处于静止状态，下列说法正确的是（ ）
A．小球A带的电荷量是小球B带电荷量的2倍
B．小球A受到五个作用力
C．弹簧弹力等于B、C两个小球对A球引力的矢量和
D．剪断弹簧后B、C两个小球一起做自由落体运动
【答案】A
【详解】A．根据受力平衡可得B、C小球带等量的正电，设小球A、B的电荷量绝对值分别为、，A、B之间的库仑力
B、C之间的库仑力
分析B受力如图所示，可得
，
得
故A正确；
B．分析A的受力有重力、两个库仑力和弹簧弹力，共四个力，故B错误；
C．把三个小球看成整体，可得弹簧弹力等于三个小球的总重力，故C错误；
D．剪断弹簧后A受重力和B、C小球对A的库仑力，A下落的加速度大于重力加速度，剪断瞬间小球B、C受力不变，加速度为零，故D错误。
故选A。
【例3】．（2023·全国·高三专题练习）如图，M、N和P是以为直径的半圆弧上的三点，O点为半圆弧的圆心，。电荷量相等、符号相反的两个点电荷分别置于M、N两点，这时处于O点的点电荷所受静电力大小为；若将N点处的点电荷移至P点，则O点的点电荷所受静电力大小变为，与之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】假设M、O两处点电荷带正电、N处点电荷带负电，依题意，M、N处两点电荷对O点的点电荷的静电力大小均为，则当N点处的点电荷移至P点时，O处点电荷所受静电力如图所示
由几何关系可知，合力大小为
则有
故选B。
【例4】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，真空中有三个带正电的点电荷，它们固定在边长为的等边三角形的顶点A、B、C处，已知每个点电荷的电荷量都是q，静电力常量为k，则A、B处的电荷对C处电荷的静电力的合力大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意可得，两点电荷间的静电力为
由三个带正电的点电荷构成等边三角形，由几何知识可得，A、B处的电荷对C处电荷的静电力的合力大小为
故选C。
类型2 库仑力作用下的平衡
(1)解题思路
涉及库仑力的平衡问题，其解题思路与力学中的平衡问题一样，只是在原来受力的基础上多了库仑力，具体步骤如下：
(2)“三个自由点电荷”的平衡问题
①平衡的条件：每个点电荷受到另外两个点电荷的合力为零或每个点电荷处于另外两个点电荷产生的合电场强度为零的位置。
②
【例1】（2023·海南·统考模拟预测）如图，一劲度系数为的绝缘轻质弹簧，一端固定在倾角为的光滑绝缘斜面的上端，另一端与带电量为、质量为m的球a连接。a的右侧固定有带电量为Q的球b、系统静止时，a对斜面的压力恰好为零，两球心高度相同，球心间距和弹簧的长均为l。已知静电力常量为k，重力加速度为g，两带电小球视为点电荷，则（ ）
A．球b带正电，B．球b带负电，
C．弹簧的原长为D．弹簧的原长为
【答案】B
【详解】AB．a对斜面的压力恰好为零，球b一定带负电，电场力
根据平衡条件
解得
故A错误，B正确；
CD．根据题中条件
可得弹簧的原长为
故CD错误。
故选B。
【例2】．（2023·海南·统考二模）用绝缘细线a、b将两个带电小球1和2连接并悬挂，已知小球2的重力为G，如图所示，两小球处于静止状态，细线a与竖直方向的夹角为30°，两小球连线与水平方向夹角为30°，细线b水平，则（ ）
A．小球1带电量一定小于小球2的带电量
B．细线a拉力大小为
C．细线b拉力大小为
D．小球1与2的质量比为
【答案】B
【详解】A．由
可知，不能确定小球1与小球2的带电量，故A不符合题意；
C．对小球2，由平衡条件可得
解得细线b拉力大小为
故C不符合题意；
BD．对小球1，由平衡条件可得
解得细线a拉力大小为
小球1与2的质量比为
故B符合题意，D不符合题意。
故选B。
【例3】．（2023·北京朝阳·统考二模）某同学设计如图所示的实验装置来验证库仑定律：将一个带电小球A用绝缘细线悬挂，并将另一个与小球A带同种电荷的小球B与它靠近，A球受到B球的静电斥力F而发生偏移，测得A球的质量为m，悬点到A球球心的距离为l。首先，在保持两球电荷量不变的情况下，移动小球B改变两球之间的距离，用刻度尺测量稳定后两球间的距离r和A球偏移的距离d（实验中满足）；然后，设法改变两球的电荷量，再进行相关实验。下列说法正确的是（ ）
A．实验中，小球A所受静电力的测量值
B．为方便验证“静电力与距离平方成反比的关系”，应由实验数据作出F与的关系图像
C．用不带电导体球C分别与A、B两球接触后，A、B两球一定带等量同种电荷
D．实验中仅测量d与r，也可以验证“静电力与距离平方成反比的关系”
【答案】D
【详解】AD．设小球A受静电斥力作用发生偏移达到平衡后细丝线与竖直方向的夹角为，由于ld，可以认为两小球在一直线上，小球A所受的静电力
F=mg
由于很小，=，所以
再由库仑定律
可得
所以实验中仅测量d与r，也可以验证“静电力与距离平方成反比的关系”，故A错误，D正确；
B．为方便验证“静电力与距离平方成反比的关系”，应由实验数据作出F与的关系图像，得到一条倾斜的直线，故B错误；
C．用完全相同的不带电导体球C先与A接触，A的电量减半；C再与B球接触时，由于C球此时已经带有一定电量，故B小球的电量不会减半，A、B两球带电量不相等，故C错误。
故选D。
【例4】．（2023·全国·高三专题练习）在光滑、绝缘的水平面上，沿一直线依次排列三个带电小球A、B、C，均可视为质点，如图所示。若它们恰能处于平衡状态，那么这三个小球所带电荷量及电性的关系可能的是（ ）
A．，，B．，，C．，，D．，，
【答案】C
【详解】要使三个小球均处于平衡状态，先以A对对象，要使A平衡，B和C所带电性应相反（B、C对A的作用力方向必须相反）；同理，要使C平衡，A和B所带电性应相反；综上，电荷电性需满足“两同夹异”的规律：三点共线，两同夹异，两大夹小，近小远大。
故选C。
【例5】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，带电金属小球A用绝缘细线悬挂于O点，O点正下方带电小球B固定在绝缘支座上，两小球可视为质点，平衡时其间距离为L。现将与小球A完全相同的三个不带电的金属小球依次并充分与A接触后移开，则再次平衡后A、B间距离为（ ）
A．B．
C．D．L
【答案】C
【详解】对小球A进行受力分析如图
可得与相似，故有
又由库仑定律
，
所以代入可得
小球A与三个完全相同的不带电的金属小球依次充分接触后的带电量
所以再次平衡后A、B间距离
C正确。
故选C。
【例6】（2023·山西运城·统考三模）如图，水平向右的匀强电场中有a、b两个可视为质点的带电小球，小球所带电荷量的大小相同、电性未知。现将两小球用绝缘细线悬挂于同一点，两球静止时，它们距水平面的高度相等，线与竖直方向的夹角分别为，且，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．若a、b电性相反，则球a的质量一定大于球b的质量
B．若a、b电性相反，则球a的质量可能等于球b的质量
C．若同时剪断两根细绳，则a球可能先落地
D．若同时剪断两根细绳，则a、b两球一定同时落地
【答案】AD
【详解】AB．若a、b电性相反，只有a带负电，b带正电才能受力平衡，a、b水平方向都有
又由
，
得
故A正确，B错误；
CD．同时剪断两根细绳，两球竖直方向做自由落体运动，高度相同，故一定同时落地，故C错误，D正确。
故选AD。
题型二 电场强度的理解和计算
1．电场强度的性质
(1)矢量性：规定正电荷在电场中某点所受电场力的方向为该点电场强度的方向。
(2)唯一性：电场中某一点的电场强度E是唯一的，它的大小和方向与放入该点的电荷q无关，它决定于形成电场的电荷(场源电荷)及空间位置。
(3)叠加性：如果有几个静止点电荷在空间同时产生电场，那么空间某点的电场强度是各场源电荷单独存在时在该点所产生的电场强度的矢量和。
2．电场强度的三个公式比较
eq \a\vs4\al(三个,公式)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(E＝\f(F,q)（适用于任何电场）,E＝\f(kQ,r2)（适用于点电荷产生的电场）,E＝\f(U,d)（适用于匀强电场）))
【例1】(多选)如图甲所示，在x轴上有一个点电荷Q(图中未画出)，O、A、B为轴上三点．放在A、B两点的试探电荷受到的电场力跟试探电荷所带电荷量的关系如图乙所示．以x轴的正方向为电场力的正方向，则( )
A．点电荷Q一定为正电荷
B．点电荷Q在A、B之间
C．A点的电场强度大小为2×103 N/C
D．同一电荷在A点受到的电场力比在B点的大
【答案】 BCD
【解析】 由题图乙知，两直线都是过原点的倾斜直线，由场强的定义式可知，其斜率的绝对值大小为各点的场强大小，则EA＝eq \f(FA,qA)＝2×103 N/C，EB＝eq \f(FB,qB)＝0.5×103 N/C＝eq \f(EA,4).同一电荷在A点受到的静电力比在B点的大，C、D正确；由题图知正试探电荷在A点受静电力方向为正，负试探电荷在B点受静电力方向也为正，可得A、B两点电场强度方向相反，则点电荷Q在A、B之间，且为负电荷，A错误，B正确．
【例2】（2023·全国·高三专题练习）图甲中AB是一条过点电荷的线，图乙为在线上a、b处的检验电荷所受静电力大小与电荷量之间的关系图像，由此可知以下判断可能正确的是（ ）
A．场源电荷是一定是正电荷，位于a点的左侧
B．场源电荷是正电荷，位于b点的右侧
C．场源电荷可以是负电荷，位于a点的左侧
D．场源电荷是负电荷，位于b点的右侧
【答案】C
【详解】由知，F—q图像的斜率表示电场强度，根据题图乙F—q图线，可知
由，可知
无论场源电荷是正电荷还是负电荷，均应在a点左侧。
故选C。
【例3】真空中Ox坐标轴上的某点有一个点电荷Q，坐标轴上A、B两点的坐标分别为0.2 m和0.7 m．在A点放一个带正电的试探电荷，在B点放一个带负电的试探电荷，A、B两点的试探电荷受到静电力的方向都跟x轴正方向相同，静电力的大小F跟试探电荷电荷量q的关系分别如图中直线a、b所示．忽略A、B间的作用力．下列说法正确的是( )
A．B点的电场强度大小为0.25 N/C
B．A点的电场强度的方向沿x轴负方向
C．点电荷Q的位置坐标为0.3 m
D．点电荷Q是正电荷
【答案】 C
【解析】 由A处试探电荷的F－q图线可得，该处的场强为E1＝eq \f(F1,q1)＝4×105 N/C，方向水平向右，同理可得，B处的场强为E2＝eq \f(F2,q2)＝0.25×105 N/C，方向水平向左，A、B错误；由A、B的分析可知，点电荷Q应为负电荷，且在A、B之间，设Q到A点的距离为l，由点电荷场强公式可得E1＝keq \f(Q,l2)＝4×105 N/C，E2＝keq \f(Q,0.5－l2)＝eq \f(1,4)×105 N/C，联立解得l＝0.1 m，故点电荷Q的位置坐标为0.3 m，C正确，D错误．
题型三 等量同种和异种点电荷周围电场强度的比较
【例1】（2023·河南安阳·统考二模）如图所示，A、B为真空中两个等量异种点电荷，O为连线的中点，c、d两点位于两电荷连线的中垂线上，且，取无穷远处为零势面，则下列说法正确的是（ ）
A．图中a、b两点的电场强度相同，ab连线间O点场强最大
B．图中c、d两点的电场强度相同，cd连线间O点场强最大
C．图中a、b两点的电势不同，ab连线间O点电势为0
D．图中c、d两点的电势不同，cd连线间O点电势为0
【答案】BC
【详解】A．真空中两个等量异种点电荷的电场线分布如图
可得两电荷连线上的电场强度方向相同，从a点到b点，电场强度先减小后增大，所以
故A错误；
B．cd连线为两等量异种点电荷连线的中垂线，中垂线上的电场强度方向相同，从c点到d点，电场强度先增大后减小，所以
故B正确；
CD．cd连线为两等量异种点电荷连线的中垂线，中垂线上的电势都为零，即
因为ab连线上电场方向向右，所以
故C正确，D错误。
故选BC。
【例2】（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）如图所示，两个等量异种电荷产生的电场中，abcd四点分别处于正方形的四个顶点上，其中ab两点在等量正负电荷的连线上，且关于连线的中垂线对称，则下列说法正确的是（ ）
A．ab两点的电势相等
B．cd两点的电场强度相同
C．移动单位负电荷从d到c，电场力做正功
D．移动单位正电荷从b到d，电场力沿做功比直接沿对角线做功大
【答案】C
【详解】A．由于沿电场线电势降低，可知
A错误；
B．电场线分布的疏密程度表示电场的强弱，根据等量异种电荷的电场线分布特征可知，cd两点的电场强度大小相等，方向不同，即cd两点的电场强度不相同，B错误；
C．由于沿电场线电势降低，可知
根据
可知移动单位负电荷从d到c，电场力做正功，C正确；
D．根据
可知，移动单位正电荷从b到d，电场力沿做功与直接沿对角线做功相等，D错误。
故选C。
【例3】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，实线是电量为q的等量异种点电荷的电场线分布示意图，虚直线是两电荷连线PQ的中垂线，圆形虚线的圆心在正电荷处，半径为R，右侧与虚直线相切于O点，M、N是圆形虚线上的两点，电势均为，N点到负电荷的距离为，静电力常量为k，规定无穷远处电势为零，两电荷固定不动，下列说法正确的是（ ）
A．在圆形虚线上移动电荷，电场力不做功
B．O点的场强小于N点的场强
C．N点的场强大小为
D．把电量为q的负电荷从N点移到O点的过程中电势能增加
【答案】D
【详解】A．在圆形虚线上移动电荷时，左边正电荷对电荷的作用力与位移方向始终垂直不做功，右边负电荷对电荷的库仑力方向不可能与电荷的位移方向一直垂直，所以要做功，故在圆形虚线上移动电荷，电场力做功，A错误；
B．根据图中的电场线分布示意图可知，O点的电场线比N点的电场线密集，所以O点的场强大于N点的场强，B错误；
C．正负电荷在N点的场强大小分别为
，
因为N点到负电荷的距离为，根据几何知识可知正负电荷在N点的场强方向夹角为，所以N点的场强大小为
C错误；
D．根据等量异种点电荷的电场线分布可知PQ的中垂线为一等势线且电势为0，故O点电势为0，N点电势为，所以把电量为q的负电荷从N点移到O点的过程中电势能增加，D正确。
故选D。
【例4】．（2023·高三课时练习）如图所示，两个带等量负电荷的小球A、B（可视为点电荷），被固定在光滑的绝缘水平面上，M、N是小球A、B连线的水平中垂线上的两点，且MO＝ON。现将一个电荷量很小的带正电的小球C（可视为质点）由M点静止释放，在小球C向N点运动的过程中，下列关于小球C的说法可能正确的是（ ）
A．速度先增大，再减小
B．速度一直增大
C．加速度先增大再减小，过O点后，加速度先减小再增大
D．加速度先减小，再增大
【答案】AD
【详解】根据等量负点电荷的电场线分布可知，在AB的中垂线上，从无穷远处到O点，电场强度先变大后变小，到O点变为零，电场强度方向沿中垂线指向O点；若M、N相距较远，则小球C受库仑力从M向O运动时，小球C的速度不断增大，加速度先变大后变小，在O点时加速度变为零，速度达到最大，从O向N运动时，小球C的速度不断减小，加速度先变大后变小——具有对称性。如果M、N相距较近，则小球C受库仑力从M向O运动时，小球C的速度不断增大，加速度越来越小，在O点时加速度变为零，速度达到最大，从O向N运动时，速度不断减小，加速度越来越大。
故选AD。
【例5】．（2023·湖南·统考模拟预测）如图所示，两个带等量正电的点电荷分别位于x轴上的P、Q两点，其位置关于点O对称。圆弧曲线是一个以O点为圆心的半圆，c点为半圆与y轴的交点，a、b为一平行于x轴的直线与半圆的交点，下列说法正确的是（ ）
A．a、b两点的场强相同
B．a、b两点的电势相同
C．将一个负点电荷沿着圆弧从a移到c点再沿y轴正方向移动，电势能先增大后不变
D．半圆上任一点，两电荷的电场强度大小分别是、，则为一定值
【答案】BD
【详解】A．由对称性可知，电场强度大小相等，但方向不同，选项A错误；
B．由对称性和等势线可知，a、b两点电势相同，选项B正确；
C．负电荷沿该路径电势一直减小，电势能一直增大，选项C错误；
D．半圆上任一点，设与P点连线与夹角为，
则为定值。选项D正确。
故选BD。
【例6】（2023·青海海东·高三校考阶段练习）如图所示，纸面内固定着两个等量的同种点电荷，它们之间的距离为4R。以其连线的中点O为圆心、R为半径画圆，A、B、C、D为圆周上的四个点，A、B两点在两点电荷的连线上，C、D 两点在两点电荷连线的中垂线上，下列说法正确的是（ ）
A．C点的场强与D点的场强相同
B．若从A点由静止释放一质子，则该质子将沿A、B直线一直加速
C．A、C两点之间的电势差等于B、D两点之间的电势差
D．将一电子从A点沿直线移到O点再沿直线移到C点，则电子的电势能先增加后不变
【答案】C
【详解】A．根据等量同种电荷电场分布特点，C、D 两点电场强度大小相等、方向想反，A错误；
B．A、O间电场方向由A指向O，O、B间电场方向由B指向O，则质子将沿A、B直线先加速运动，再减速运动，B错误；
C．根据等量同种电荷电势分布特点，可知
，
则
即
C正确；
D．将一电子从A点沿直线移到O点再沿直线移到C点，电势始终降低，则电子的电势能始终增大，D错误。
故选C。
题型四 电场强度的叠加
1．电场强度的叠加(如图所示)
2．“等效法”“对称法”和“填补法”
(1)等效法
在保证效果相同的前提下，将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景．
例如：一个点电荷＋q与一个无限大薄金属板形成的电场，等效为两个等量异种点电荷形成的电场，如图甲、乙所示．
(2)对称法
利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题大为简化．
例如：如图所示，均匀带电的eq \f(3,4)球壳在O点产生的场强，等效为弧BC产生的场强，弧BC产生的场强方向，又等效为弧的中点M在O点产生的场强方向．
(3)填补法
将有缺口的带电圆环或圆板补全为完整的圆环或圆板，或将半球面补全为球面，从而化难为易、事半功倍．
3．选用技巧
(1)点电荷电场、匀强电场场强叠加一般应用合成法．
(2)均匀带电体与点电荷场强叠加一般应用对称法．
(3)计算均匀带电体某点产生的场强一般应用补偿法或微元法．
类型1 点电荷电场强度的叠加
【例1】（2023·福建·模拟预测）如图所示，半径为的球面下方有一圆周，该圆周与球面直径垂直，在该圆周上等分的三点位置分别固定电荷量为的三个点电荷A、、，且点电荷A与球心的连线与球直径的夹角，在球面的最高点处固定另电荷量同为的点电荷，已知静电力常量为，则下列说法正确的是（ ）
A．点电荷受到的库仑力大小为
B．点的场强竖直向下
C．沿着直径由到电势先降低再升高
D．点电场强度小于点
【答案】AD
【详解】A．如图所示
由几何关系可以得到P、A间的距离为
P、A间连线与竖直方向的夹角为
由库仑力的合成可以得到点电荷P所受的库仑力大小为
解得
故A正确；
B．设圆周ABC的圆心为，A、B、C三个点电荷在O处产生的场强大小为
方向沿MP方向，点电荷P在O处产生的场强大小为
所以O点处的合场强为
方向向上，故B错误；
D．A、B、C三个点电荷在M处产生的场强大小为
方向向下，点电荷P在M处产生的场强大小为
方向向下，所以M点处的合场强为
故D正确；
C．在OM之间沿着直径由O向M方向的电场强度的方向先向上再向下，故电势的高低变化是先升高，再降低，故C错误。
故选AD。
【例2】（2023·湖北·华中师大一附中校联考模拟预测）如图所示，空间存在一个正四面体ABCD，其边长为a，在水平面上两个顶点B、C各固定一个电荷量为的点电荷，在顶点D固定一个电荷量为的点电荷，则顶点A处的电场强度大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】根据点电荷场强公式，可知三个点电荷在顶点A产生的场强大小相同，均为
在平面ACD中，如图所示，
两顶点C、D处点电荷在A点产生的合场强大小为
方向水平。顶点B处点电荷在A点产生的场强方向与垂直，则
故选A。
【例3】(2021·湖南卷，4)如图所示，在(a，0)位置放置电荷量为q的正点电荷，在(0，a)位置放置电荷量为q的负点电荷，在距P(a，a)为eq \r(2)a的某点处放置正点电荷Q，使得P点的电场强度为零。则Q的位置及电荷量分别为 ( )
A．(0，2a)，eq \r(2)q B．(0，2a)，2eq \r(2)q
C．(2a，0)，eq \r(2)q D．(2a，0)，2eq \r(2)q
【答案】 B
【解析】 (a，0)和(0，a)两点处的电荷量为q的点电荷在P点产生的电场强度的矢量和E＝eq \f(\r(2)kq,a2)，方向由点(a，a)指向点(0，2a)，如图所示。因在距P点为eq \r(2)a的某点处放置的正点电荷Q，使得P点电场强度为零，此正电荷Q应位于(0，2a)点，且电荷量Q满足eq \f(kQ,（\r(2)a）2)＝eq \f(\r(2)kq,a2)，解得Q＝2eq \r(2)q，B正确。
【例4】（2022届云南省昆明市第一中学月考）如图所示，真空中有A.、B、C、D四个点在同一直线上，AB=BC=CD=d，在A、C两点各放置一个点电荷，其中位于C点的点电荷带电量为q（q<0），已知D点的电场强度为零，静电力常量为k，则B点的电场强度为（ ）
A. ，方向由C指向B B. ，方向由B指向C
C. ，方向由C指向B D. ，方向由B指向C
【答案】D
【解析】
【详解】由于D点的电场强度为零
可知
则B点的电场强度
方向由B指向C，故D正确。
故选D。
类型2 非点电荷电场强度的叠加及计算
1．等效法
在保证效果相同的前提下，将复杂的电场情境变换为简单的或熟悉的电场情境。
例如：一个点电荷＋q与一个无限大薄金属板形成的电场，等效为两个异种点电荷形成的电场，如图甲、乙所示。
【例1】如图所示，一无限大接地导体板MN前面放有一点电荷＋Q，它们在周围产生的电场可看作是在没有导体板MN存在的情况下，由点电荷＋Q与其像电荷－Q共同激发产生的。像电荷－Q的位置就是把导体板当作平面镜时，点电荷＋Q在此镜中的像位置。已知＋Q所在位置P点到金属板MN的距离为L，a为OP的中点，abcd是边长为L的正方形，其中ab边平行于MN。则( )
A．a点的电场强度大小为E＝4eq \f(kQ,L2)
B．a点的电场强度大小大于b点的电场强度大小
C．b点的电场强度和c点的电场强度相同
D．一正点电荷从a点经b、c运动到d点的过程中电势能的变化量为零
【答案】 B
【解析】 由题意可知，点电荷＋Q和金属板MN周围空间电场与等量异种点电荷产生的电场等效，所以a点的电场强度E＝keq \f(Q,（\f(L,2)）2)＋keq \f(Q,（\f(3L,2)）2)＝eq \f(40kQ,9L2)，A错误；等量异种点电荷周围的电场线分布如图所示，由图可知Ea＞Eb，B正确；图中b、c两点的场强方向不同，C错误；由于a点的电势高于d点的电势，所以一正点电荷从a点经b、c运动到d点的过程中电场力做正功，电荷的电势能减小，D错误。
【例2】（2023·四川·模拟预测）一半径为R的半球面均匀带有正电荷Q，电荷Q在球心O处产生的场强大小，方向如图所示。把半球面分为表面积相等的上、下两部分，如图甲所示，上、下两部分电荷在球心O处产生电场的场强大小分别为E1、E2；把半球面分为表面积相等的左、右两部分，如图乙所示，左、右两部分电荷在球心O处产生电场的场强大小分别为E3、E4，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【详解】AB．根据点电荷电场强度公式，且电荷只分布在球的表面，可知每个电荷在球心O处产生的电场强度大小相同。对于图甲，表面积相同，所分布电荷总量相同，由电场强度的矢量叠加可知，上、下两部分电荷在球心O处产生电场的场强大小关系为
El＞E2
因电荷Q在球心O处产生的场强大小
则
故A正确，B错误；
CD．对于图乙，半球面分为表面积相等的左、右两部分，由于左右两个半个球壳在同一点产生的场强大小相等，则根据电场的叠加可知，左侧部分在O点产生的场强与右侧电荷在O点产生的场强大小相等，即
E3＝E4
由于方向不共线，由合成法则可知
故C错误，D正确。
故选AD.
【例3】(2022·陕西西安中学高三期中)一段均匀带电的半圆形细线在其圆心O处产生的场强为E，把细线分成等长的三段圆弧，则圆弧BC在圆心O处产生的场强大小和方向为( )
A.eq \f(E,2)，水平向右
B.eq \f(E,2)，水平向左
C.eq \f(E,3)，水平向右
D.eq \f(E,3)，水平向左
【答案】 A
【解析】 如图所示，B、C两点把半圆环等分为三段。设每段在O点产生的电场强度大小均为E′。AB段和CD段在O处产生的场强夹角为120°，它们的合场强大小为E′。则O点的合场强E＝2E′，则E′＝eq \f(E,2)，所以圆弧BC在圆心O处产生的场强为eq \f(E,2)，方向水平向右，故A正确，B、C、D错误。
【例4】（2023·湖南·高三专题练习）半径为R的绝缘细圆环固定在图示位置，圆心位于O点，环上均匀分布着电量为Q的正电荷。点A、B、C将圆环三等分，取走A、B处两段弧长均为ΔL的小圆弧上的电荷。将一点电荷q置于OC延长线上距C点为2R的D点，O点的电场强度刚好为零。圆环上剩余电荷分布不变，则q为（ ）
A．正电荷，B．正电荷，
C．负电荷，D．负电荷，
【答案】D
【详解】取走A、B处两段弧长均为的小圆弧上的电荷，根据对称性可知，圆环在O点产生的电场强度为与A在同一直径上的A1和与B在同一直径上的B1产生的电场强度的矢量和，如图所示
因为两段弧长非常小，故可看成点电荷，则有
由图可知，两场强的夹角为，则两者的合场强为
根据O点的合场强为0，则放在D点的点电荷带负电，大小为
根据
联立解得
故选D。
【例5】（2023·全国·高三专题练习）如图，在点电荷的电场中，放着一块带有一定电量、电荷均匀分布的绝缘矩形薄板，MN为其对称轴，O点为几何中心．点电荷与a、O、b之间的距离分别为d、2d、3d。已知图中a点的电场强度为零，则图中b点处的电场强度的大小和方向分别为（ ）
A．，水平向右B．，水平向右
C．，水平向左D．，水平向右
【答案】B
【详解】由于a点的电场强度为零，则带电矩形薄板在a点的电场强度E1与点电荷在a点的电场强度大小相等，方向相反，有
由对称性可知，带电矩形薄板在b点的电场强度大小也为E1，方向水平向右，与点电荷在b点的电场强度叠加，则b点处的电场强度方向水平向右，大小为
故选B。
2．对称法
利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题大为简化。
例如：如图所示，均匀带电的eq \f(3,4)球壳在O点产生的电场强度，等效为弧BC产生的电场强度，弧BC产生的电场强度方向，又等效为弧的中点M在O点产生的电场强度方向。
【例6】（2023·全国·高三专题练习）电荷量为+Q的点电荷与半径为R的均匀带电圆形薄板相距2R，点电荷与圆心O连线垂直薄板，A点位于点电荷与圆心O连线的中点，B与A关于O对称，若A点的电场强度为0，则（ ）
A．圆形薄板所带电荷量为+Q
B．圆形薄板所带电荷在A点的电场强度大小为，方向水平向左
C．B点的电场强度大小为，方向水平向右
D．B点的电场强度大小为，方向水平向右
【答案】BD
【详解】AB．A点的电场强度为零，而点电荷在A点产生的场强为
，方向水平向右
则可知圆形薄板所带电荷在A点的电场强度大小为，方向水平向左，知圆形薄板带正电；若圆形薄板所带电荷量集中在圆心O，则电荷量大小应为，而实际上圆形薄板的电荷量是均匀分布在薄板上的，除了圆心O处距离A点的距离与点电荷距离O点的距离相同外，其余各点距离O点的距离都大于，若将电荷量均匀的分布在薄板上，则根据点电荷在某点处产生的场强公式
可知，合场强一定小于，因此可知圆形薄板所带电荷量一定大于+Q，故A错误，B正确；
CD．B点关于O点与A点对称，则可知圆形薄板在B点产生的电场强度为
，方向水平向右
而点电荷在B点产生的场强为
，方向水平向右
则根据电场强度的叠加法则可得B点得电场强度为
，方向水平向右
故C错误，D正确
故选BD。
【例5】（2023·湖南·统考模拟预测）如图所示，abcd是由粗细均匀的绝缘线制成的正方形线框，其边长为L，O点是线框的中心，线框上均匀地分布着正电荷，现将线框左侧中点M处取下足够短的一小段，该小段带电量为q，然后将其沿OM连线向左移动的距离到N点处，线框其他部分的带电量与电荷分布保持不变，若此时在O点放一个带电量为Q的正点电荷，静电力常量为k，则该点电荷受到的电场力大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】没有截取一小段时，根据对称性可知，点的合场强为零，则截取的部分和剩下的部分在点产生的场强等大反向，剩下的部分在点产生的场强大小为
方向水平向左，当截取部分移到点时，其在点产生的场强大小为
方向水平向右，则点的合场强大小为
方向水平向左，若此时在点放一个带电量为的正点电荷，该点电荷受到的电场力大小为
故选D。
【例8】（2023·河北·校联考模拟预测）已知均匀带电薄壳外部空间电场与其上电荷全部集中在球心时产生的电场一样，内部空间的电场处处为0．如图所示为一带电量为，半径为r的均匀带电球壳，以球心为坐标原点，建立轴，其中A点为壳内一点，B点坐标为，静电力常量为k，下列说法正确的是（ ）
A．将的试探电荷由壳内A点移到O点，试探电荷的电势能减小
B．在圆心O处放一个电量为的点电荷，球壳外表面带电量仍为
C．在处取走极小的一块面积，O点场强大小为
D．在圆心O正上方处取走极小一块面积，B点场强大小为
【答案】C
【详解】A．壳内场强处处为0，故移动试探电荷不做功，A错误；
B．在圆心O处放一个电量为的点电荷，由于静电感应，球壳内表面感应出的电荷，则球壳外表面的电荷量为，B错误；
C．在处取走极小一块面积，根据对称性，在处极小一块面积的电荷产生的电场
C正确；
D．整个球壳在B点的电场
水平向右，在圆心O正上方处取走极小一块面积在B点的场强为
方向斜向右下，与矢量作差即为B点电场强度，D错误。
故选C。
3．填补法
将有缺口的带电圆环或圆板补全为完整的圆环或圆板，或将半球面补全为球面，从而化难为易、事半功倍。
【例9】（2023·河北邢台·校联考一模）如图所示，竖直面内一绝缘细半圆环均匀分布着正电荷，、为圆环水平直径上的两个点且点为圆心，弧和弧都是四分之一圆弧。已知均匀带电圆环内各点的场强均为零，则下列说法正确的是（ ）
A．点电场强度的方向垂直于向下
B．点电场强度的方向斜向下
C．若弧在点的电场强度大小为，则半圆环在点的电场强度大小为
D．若弧在点的电场强度大小为，则半圆环在点的电场强度大小为
【答案】AD
【详解】如图所示，把半圆环补成一个圆环
AB．则点的合场强为零，假设弧在点的电场强度的方向不垂直于，且电场强度的大小为，根据对称性可知，弧在点的电场强度为，且和关于对称，则此种情况下点的合场强不为零，假设不成立，所以点电场强度的方向垂直于向下，故A正确，B错误；
CD．令是弧的中点，是弧的中点，根据电场强度的叠加可得，弧在点的电场强度方向沿方向，弧在点的电场强度方向沿方向，角，则根据电场强度的叠加可得，若弧在点的电场强度大小为，则半圆环在点的电场强度大小为，故C错误，D正确。
故选AD。
【例10】（2023·全国·高三专题练习）均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场．如图所示，在半球面AB上均匀分布正电荷，其电荷量为q，球面半径为R，CD为通过半球顶点与球心O的轴线，在轴线上有M、N两点，OM=ON=2R．已知M点的场强大小为E，则N点的场强大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】假设在O点有一个完整的带电荷量为2q的带电球壳，设完整球壳在N点产生的场强大小为E0，左半球壳在N点产生的电场强度大小为E左，右半球壳在N点产生的电场强度大小为E右，根据电场叠加原理
根据题意
根据对称性可知右半球壳在N点产生的电场强度大小和左球壳在M点产生场强大小相等即
解得
A正确，BCD错误。
故选A。
【例11】（2023·全国·高三专题练习）均匀带电球体在球的外部产生的电场与一个位于球心的、电荷量相等的点电荷产生的电场相同。如图所示，半径为的球体上均匀分布着正电荷，在过球心的直线上有、、三个点，，。若以为直径在球内挖一球形空腔，球的体积公式为，则、两点的电场强度大小之比为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】设原来半径为的整个均匀带电球体的电荷量为，由于均匀带电，可知被挖的球形空腔部分的电荷量为
可知以为直径在球内挖一球形空腔后，、两点的电场强度等于整个均匀带电球体在、两点的电场强度减去被挖的球形在、两点的电场强度，则有
可得
C正确，ABD错误；
故选C。
题型五 静电场中的动力学分析
【例1】（2023·全国·高三专题练习）三个相同的金属小球A、B、C均带电，其中A和B所带的电荷量分别为q、，二者分别与两根等长的绝缘细线一端相连，两细线的另一端固定在同一点O，平衡时连接小球的细线与竖直方向的夹角均为，如图所示，现用小球C先与A接触，再与B接触，然后移开C（过程中A、B之间未接触），A和B再次平衡后，两细线之间的夹角变为，求初始时小球C所带的电荷量。
【答案】或
【详解】设细绳的长度为，由几何关系可知，初始时A、B间的距离为，则
对A球由平衡条件可得
当C小球分别与A、B接触后，由题意结合几何关系可知，A、B间的距离变为，根据平衡条件可得
可得
此时小球A、B所带的电荷量分别为
联立解得
，
【例2】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在绝缘水平面上的O点固定一电荷量为+Q点电荷，在O点正上方高为H的A处由静止释放某带电荷量为+q的小液珠，开始运动的瞬间小液珠的加速度大小恰好等于重力加速度，方向竖直向上。已知静电力常量为k，两电荷均可看成点电荷，不计空气阻力。求：
（1）液珠开始运动瞬间所受库仑力的大小和方向；
（2）运动过程中小液珠速度最大时其离O点的距离h。（以上两问结果只能用题中已知的物理量k，Q，q，H表示）
【答案】（1），方向竖直向上；（2）
【详解】（1）根据库仑定律有
因为同种电荷相互排斥，所以库仑力方向竖直向上。
（2）开始运动瞬间根据牛顿第二定律得
速度最大时加速度为零，则
即
解得
【例3】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，电荷量Q＝2×10－7C的正点电荷A固定在空间中O点，将质量m＝2×10－4kg、电荷量q＝1×10－7C的另一正点电荷B从O点正上方高0.5m的某处由静止释放，B运动过程中速度最大位置在P。若静电力常量k＝9×109N·m2/C2，重力加速度取g＝10m/s2。求：
（1）B运动到距O点l＝0.5m处的加速度大小；
（2）P、O间的距离L。
【答案】（1）6.4m/s2；（2）0.3m
【详解】（1）分析电荷B的受力，得
mg－＝ma
代入数据得
a＝6.4m/s2
（2）B运动过程中速度最大时，加速度为零，此时
mg＝
代入数据得
L＝0.3m
【例4】．（2023·宁夏银川·高三校考阶段练习）如图所示，Q为固定的正点电荷，A、B两点在Q的正上方和Q相距分别为h和，将一带电小球从A点由静止释放，运动到B点时速度正好又变为0。若此带电小球在A点的加速度大小为，g取，静电力常量为k，试求：
（1）此带电小球在B点的加速度大小；
（2）A、B两点间的电势差（用Q和h表示）。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）这一电荷必为正电荷，设其电荷量为q，由牛顿第二定律，在A点时
在B点时
解得
方向竖直向上。
（2）从A到B过程，由动能定理得
解得
【例5】．（2023·黑龙江佳木斯·高三佳木斯一中期中）如图所示，固定于同一条竖直线上的A、B是两个带等量异种电荷的点电荷，电荷量分别为+Q和—Q，A、B相距为2d，MN是竖直放置的光滑绝缘细杆，另有一个穿过细杆的带电小球p，质量为m、电荷量为+q（可视为点电荷，不影响电场的分布），现将小球p从与点电荷A等高的C处由静止开始释放，小球p向下运动到距C点距离为d的O点时，速度为v，已知MN与AB之间的距离为d，静电力常量为k，重力加速度为g。求：
（1）C、O间的电势差；
（2）小球p经过O点时的加速度。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）小球由C运动到O时，由动能定理得
解得
（2）小球p经过点O时受力如图所示
由边角关系知，，由库仑定律得
它们的合力为
由牛顿第二定律得
解得
【例6】．（2023·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）如图所示，光滑绝缘直杆水平放置并固定不动，其中、、的长度均为，杆上套有一质量为、电荷量为的小球（可视为质点），小球通过绝缘轻质弹簧与固定点连接，直杆处固定电荷量为的点电荷，小球从点由静止开始释放，运动到点时速度恰好达到最大值。垂直于直杆，且的长度为弹簧原长，静电力常量为。
（1）求、两点间的电势差。
（2）求小球刚释放时的加速度大小。
（3）求小球运动到点时，点的电场强度大小。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）小球从点运动到点的过程中弹簧弹力做功为零，由动能定理有
解得
（2）小球在点时，设弹簧与水平方向的夹角为，则
在点时有
解得
（3）设处点电荷在点产生的电场强度大小为，方向向右；带电小球运动到点时在点产生的电场强度大小为，方向向左，则
解得点的电场强度大小
【例7】．（2021·全国·高三专题练习）如图所示，在倾角为α的足够长光滑斜面上放置两个质量分别为和m的带电小球A和B（均可视为质点），它们相距为L。两球同时由静止开始释放时，B球的加速度恰好等于零。经过一段时间后，当两球距离为时，A、B的加速度大小之比为。已知重力加速度为g，静电力常量为k。
(1)若B球带正电荷且电荷量为q，求A球所带电荷量Q及电性；
(2)在(1)条件下求与L的比值。
【答案】(1)，带正电荷；(2)
【详解】(1)由初始B球的加速度等于零及B球带正电荷，可知A球带正电荷。
对B球受力分析，沿斜面方向B球受到的合力为零，即
根据库仑定律得
解得
(2)两球距离为时，A球加速度方向沿斜面向下，根据牛顿第二定律有
B球加速度方向沿斜面向下，根据牛顿第二定律有
依题意由
且
解得
又
解得
【例8】．（2023·湖南长沙·高三长沙一中阶段练习）如图所示，带电小球A和B（可视为点电荷）放在倾角为的光滑固定绝缘斜面上，已知A球的质量为m，所带电荷量为+q，B球的质量为2m，所带电荷量为-q。沿斜面向上的恒力F作用于A球，可使A、B保持间距r不变沿斜面向上做匀加速直线运动，已知重力加速度为g，静电力常量为k，求：
(1)加速度a的大小；
(2)F的大小。
【答案】(1)；(2)
【详解】(1)根据库仑定律，两球相互吸引的库仑力
A球和B球的加速度相同，隔离B球，由牛顿第二定律有
所以
(2)把A球和B球看成整体，A、B间的库仑力为系统内力，由牛顿第二定律有
【例9】．（2017·山东菏泽·一模）如图，空间有一竖直向下沿x轴方向的静电场，电场的场强大小按分布（x是轴上某点到O点的距离）。x轴上，有一长为L的绝缘细线连接均带负电的两个小球A、B，两球质量均为m，B球带电荷量大小为q，A球距O点的距离为L。两球现处于静止状态，不计两球之间的静电力作用。
(1)求A球的带电荷量大小qA；
(2)剪断细线后，求B球下落速度达到最大时，B球距O点距离为x0；
(3)剪断细线后，求B球下落最大高度h。
【答案】(1)qA=6q；(2)x0=4L；(3)h=4L
【详解】(1)对A、B由整体法得
解得
qA=6q
(2)当B球下落速度达到最大时，由平衡条件得
解得
x0=4L
(3)运动过程中，电场力大小线性变化，所以由动能定理得
解得
h=4L比较项目
等量异种点
电荷
等量同种点
电荷
电场线的分布图
连线中点O
处的场强
连线上O点场强最小，指向负电荷一方
为零
连线上的场强大小(从左到右)
沿连线先变小，再变大
沿连线先变小，再变大
沿连线的中垂线由O点向外的场强大小
O点最大，向外逐渐变小
O点最小，向外先变大后变小
关于O点对称点的场强(如A与A′、B与B′、C与C′等)
等大同向
等大反向
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