江西省宜春中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试卷

这是一份江西省宜春中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试卷，共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，给出下列命题：①终边经过点的角的集合是；②将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是；③若是第三象限角，则是第二象限角；④若，则．其中假命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．若都是第一象限角，则“”是“”成立的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知函数，且对，满足，若，则（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数，若有且仅有三个零点，则下列说法中不正确的是（ ）
A．有且仅有两个零点 B．有一个或两个零点
C．的取值范围是 D．在区间上单调递减
6．已知函数，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
7．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成；一个半径为的扇形，它的周长是，则这个扇形所含弓形的面积是（ ）
A． B． C． D．
8．冬季是流感高发期，其中甲型流感病毒传染性非常强。基本再生数与世代间隔是流行病学基本参考数据。某市疾控中心数据库统计分析，可以用函数模型来描述累计感染甲型流感病毒的人数随时间（单位：天）的变化规律，其中指数增长率与基本再生数和世代间隔之间的关系近似满足，根据已有数据估计出时，。据此回答，累计感染甲型流感病毒的人数增加至的3倍至少需要（参考数据：）（ ）
A．6天 B．7天 C．8天 D．9天
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．若不等式对一切实数恒成立，则实数的可能取值范围是（ ）
A．0 B．2 C． D．4
10．函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象可由函数向左平移个长度单位得到
B．是函数图象的一条对称轴
C．若，则的最小值为
D．方程在区间上只有一个根时，实数的取值范围为
11．已知函数，若存在四个实数，使得，则（ ）
A．的范围为 B．的取值范围为
C．的取值范围为 D．的取值范围为
12．已知，则（ ）
A．的最小值为 B．的最大值为
C．的最小值为 D．的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设函数满足，则_______。
14．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是_______。
15．已知函数。若存在，使不等式成立，则的取值范围是_______。
16．已知正数满足，则的最小值是_______。
四、解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）化简：；
（2）化简：。
18．已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围。
19．国务院于2023年开展第五次全国经济普查，为更好地推动第五次全国经济普查工作，某地充分利用信息网络开展普查宜传，向基层普查人员、广大普查对象及社会公众宣传经济普查知识。为了解宣传进展情况，现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组），第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．
（1）求这组数据的分位数（精确到0.1）；
（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人。
①再从第二组和第五组中抽取的人中任选3人进行问卷调查，求从中至少抽到2人进行问卷调查的概率；
②若第2组中参与调查的人的年龄的平均数和方差分别为30和6，第3组中参与调查的人的年龄的平均数和方差分别为40和6，据此估计这次参与调查的人中第2组和第3组所有人的年龄的方差。
20．已知函数，其中。
（1）当时，求在区间上的最值及取最值时的值；
（2）若的最小值为，求。
21．定义在上的函数满足：如果对任意的，都有，则称函数是上的凹函数，已知二次函数
（1）当时，求函数的值域；
（2）当时，试判断函数是否为凹函数，并说明理由；
（3）如果函数对任意的时，都有，试求实数的范围．
22．设函数且是定义域为的奇函数。
（1）求的值；
（2）若，求使不等式对一切恒成立的实数的取值范围；
（3）若函数的图象过点，是否存在正数，使函数在上的最大值为0，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。
2026届高一下学期开学考试数学答案
一、BACB DCCB
二、多选题：9．BC 10．BC 11．ACD 12．ABD
三、填空题：
13． 14． 15． 16．8
四、解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．【详解】
（1）
。5分
（2）
。10分
18．【详解】（1）因为，2分
所以或或，
解得或或，
综上所述，不等式的解集为。6分
（2）由（1）知当时，；
当时，；
当时，；
综上，，9分
所以，
故，故，解得，
即实数的取值范围为。12分
19．【详解】（1）由表中数据可得，解得，
设第30百分位数为，
，
位于第三组：内，
；3分
（2）①由题意得，第2组和第5组的频率分别为，故第2组和第5组所抽取的人数之和为，且第2组和第5组抽取人数之比为，
即第2组3人，记为，
第5组2人，记为甲，乙，
对应的样本空间为：甲，乙，甲，乙，甲乙，甲，乙，甲乙，甲乙，共10个样本点，
设事件为“至2人被选上”，
则有甲，乙，甲，乙，甲，乙，共有7个样本点，
；
（2）设第2组的宣传使者的年龄平均数分为，方差为，
设第3组的宣传使者的年龄平均数为，方差为，
第2组和第3组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为，
则，10分
即第2组和第3组所有宣传使者的年龄平均数为。
即第2组和第3组所有宣传使者的年龄方差为27。12分
20．（1）当时，，
令，则，2分
的图象对称轴为，开口向上，
所以当时，即时，取得最小值，最小值为，4分
当时，即时，取得最大值，最大值为42。6分
（2）因为的最小值为，8分
所以，所以，10分
又，
所以。12分
21．【详解】（1）当时，，
由二次函数的图象及性质可知，，即所值域为；3分。
（2）当时，函数是凹函数，此时，，
作差得到：，
即有，故函数是凹函数；8分
（3）由，则有，即
当时，有，即10分
又，则，
当时，，
综上实数的取值范围为。12分
22．【详解】【详解】（1）是定义域为的奇函数
，
；经检验，符合题意。2分
（2）由（1）得，
由得又，
由得，
为奇函数，
为上的增函数。4分，
对一切恒成立，
即对一切恒成立，
故，解得；6分
（3）假设存在正数符合题意，由得
，8分
设，则，
，12分
记，
函数在上的最大值为0，9分
（i）若，则函数在有最小值为1，
对称轴，不合题意；10分
（ii）若，则函数在上恒成立，且最大值为1，最小值大于0，
①，
又此时，
又，故无意义，
所以应舍去；12分
（2）无解，12分
故不存在正数，使函数在上的最大值为0。12分