2023-2024学年四川省德阳中学高一（下）入学数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省德阳中学高一（下）入学数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知U={x∈Z|−3≤x≤3}，A={−3,−2,1}，B={0,1,2}，则∁U(A∪B)=( )
A. {−1,0,1}B. {−1,3}C. {−1,1,3}D. {−1,0,1,3}
2.命题p：∀x∈[1,2]，x2−1≥0，则￢p是( )
A. ∀x∉[1,2]，x2−1≥0B. ∀x∈[1,2]，x2−1<0
C. ∃x0∉[1,2]，x02−1≥0D. ∃x0∈[1,2]，x02−1<0
3.“关于x的不等式ax2−2x+1>0对∀x∈R上恒成立”的一个必要不充分条件是( )
A. a>0B. a>1C. 02
4.设a=lg20.3，b=lg0.30.2，c=sin37°，则a，b，c之间的大小关系是( )
A. a>b>cB. b>a>cC. c>a>bD. b>c>a
5.函数①y=ax；②y=bx；③y=cx；④y=dx的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：54， 3，13，12中的一个，则a，b，c，d的值分别是( )
A. 54， 3，13，12B. 3，54，13，12
C. 12，13， 3，54D. 13，12，54， 3
6.用二分法求函数f(x)=ex−x−2的一个正零点的近似值(精确度为0.1)时，依次计算得到如下数据；f(1)≈−0.28，f(1.5)≈0.98，f(1.25)≈0.24，f(1.125)≈−0.04，关于下一步的说法正确的是( )
A. 已经达到精确度的要求，可以取1.1作为近似值
B. 已经达到精确度的要求，可以取1.125作为近似值
C. 没有达到精确度的要求，应该接着计算f(1.1875)
D. 没有达到精确度的要求，应该接着计算f(1.0625)
7.北京时间2021年10月16日0时23分，搭载神州十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，约582秒后，神州十三号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富3名航天员送入太空，发射取得圆满成功．据测算：在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)、火箭的质量(除燃料外)m(单位：kg)的函数关系是ν=2000ln(1+Mm).当火箭的最大速度达到11.5km/s时，则燃料质量与火箭质量之比约为(参考数据：e5.75≈314)( )
A. 314B. 313C. 312D. 311
8.已知函数f(x)= 2cs(ωx−π4)，其中ω>0.若f(x)在区间(π3,3π4)上单调递增，则ω的取值范围是( )
A. (0,13]B. [34,53]C. (0,53]D. (0,1]
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中，以π为最小正周期，且在区间(π2,π)上单调递增的是( )
A. y=|sinx|B. y=cs2xC. y=tanxD. y=sin2x
10.给出下列结论，其中不正确的结论是( )
A. 函数y=(12)−x2+1的最大值为12
B. 已知函数y=lga(2−ax)(a>0且a≠1)在(0,1)上是减函数，则实数a的取值范围是(1,2)
C. 在同一平面直角坐标系中，函数y=2x与y=lg2x的图象关于直线y=x对称
D. 已知定义在R上的奇函数f(x)在(−∞,0)内有1010个零点，则函数f(x)的零点个数为2021
11.下列说法错误的是( )
A. 若sinθ>0，则θ是第一象限角或第二象限角
B. 若α，β是锐角△ABC的内角，则sinα>csβ
C. 函数y=sin(x−3π2)是偶函数
D. 函数y=tanx是增函数
12.已知sinα−csα= 55，0≤α≤π，则下列选项中正确的有( )
A. sinα⋅csα=25B. sinα+csα=3 55
C. tanα+1tanα=53D. sinα= 55
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知扇形的圆心角为3π4，弧长为3π，则扇形的面积为______．
14.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P(12, 32)，线段OP绕点O顺时针方向旋转90°后，得到线段OQ，则点Q的坐标为______．
15.若方程cs2x+sinx−a=0在x∈[π6,2π3]有解，则a的取值范围是______．
16.已知函数f(x)=|lg2x|，若f(x1)=f(x2)(x1≠x2)，则4x1+x2的最小值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知合A={x|−1(1)当m=0时，求A∩B；
(2)若x∈B是x∈A的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
18.(本小题12分)
已知函数f(α)=sin(2π−α)cs(π+α)sin(9π2+α)．
(Ⅰ)求证：f(α)=sinα；
(Ⅱ)若f(α)=35且α为第二象限角，求tanα⋅ 1+csα1−csα−1的值．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)= 22cs(2x+π6)．
(1)求函数f(x)的最大值，并求出使函数f(x)取得最大值的x的集合；
(2)求函数f(x)在[0,π]上的单调递减区间．
20.(本小题12分)
近来，流感病毒肆虐，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系为y=mat(a>0，且a≠1).根据图中提供的信息，求：
(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式；
(2)为确保学生健康安全，药物释放过程中要求学生全部撤离，药物释放完毕后，空气中每立方米含药量不超过0.15毫克时，学生方可进入教室.那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室.(精确到0.1小时)(参考值：ln2≈0.69，ln3≈1.10，ln5≈1.61)
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=lg2(2−x)−lg2(2+x)．
(Ⅰ)用定义证明f(x)在定义域上是减函数；
(Ⅱ)若函数g(x)=f(x)−x+a在x∈[0,23]上有零点，求实数a的取值范围．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=x+tx，t∈R．
(Ⅰ)当t=2时，写出f(x)的单调递减区间(不必证明)，并求f(x)的值域；
(Ⅱ)设函数g(x)=−4cs(x+π3)，若对任意x1∈[1,2]，总有x2∈[0,π]，使得f(x1)=g(x2)，求实数t的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：因为U={x∈Z|−3≤x≤3}={−3,−2,−1,0,1,2,3}，
又A={−3,−2,1}，B={0,1,2}，
所以A∪B={0,1,2,−3,−2}，
则∁U(A∪B)={−1,3}．
故选：B．
由已知结合集合的并集及补集运算即可求解．
本题主要考查了集合的并集及补集运算，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：因为命题p为全称命题，其否定为特称命题，
即为：∃x0∈[1,2]，x02−1<0，
故选：D．
利用全称命题与特称命题的否定关系即可求解．
本题考查了全称命题与特称命题的否定关系，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：当a=0时，不等式化为−2x+1>0，解得x<12，在R上不恒成立；
当a≠0时，若不等式ax2−2x+1>0对∀x∈R恒成立，则a>0Δ=4−4a<0，解得a>1．
综上所述，“关于x的不等式ax2−2x+1>0对∀x∈R上恒成立”的充要条件为“a>1”，
因此，所求必要不充分条件，对应的范围应该真包含(1,+∞)，对照各项可知A项“a>0”符合题意．
故选：A．
根据题意，分a=0、a≠0两种情况讨论：在a=0时，直接加以验证；在a≠0时，列出关于实数a的不等式组，解出实数a的取值范围．然后根据必要不充分条件的定义判断出正确答案．
本题主要考查二次函数的图象与性质、不等式恒成立、充要条件的判断等知识，考查逻辑推理能力，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：因为a=lg20.3<0，b=lg0.30.2>1，c=sin37°∈(12,1)，
则a故选：D．
由已知结合对数函数及正弦函数的单调性分别判断a，b，c的范围，即可比较．
本题主要考查了对数函数及正弦函数单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：直线x=1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，
由 3>54>12>13，
故选：C．
只需明确直线x=1与函数图象的交点的纵坐标大小，即可得出答案．
本题考查指数函数的图象，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：根据题意，由二分法的定义，可得正零点所在区间不断缩小，
当零点在区间(1.125,1.25)时，区间的长度为|1.125−1.25|=0.125>0.1，
故没有达到精确的要求，应该接着计算f(1.125+1.252)=f(1.1875)的值．
故选：C．
根据题意，先分析精确度是否符合要求，再由二分法的步骤分析可得答案．
本题考查二分法的步骤和应用，注意二分法的定义，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：由题意可得，v=11.5×1000=11500，
则11500=2000ln(1+Mm)，
故Mm=e5.75−1≈314−1=313．
故选：B．
令v=11500，即可求得燃料质量与火箭质量之比．
本题主要考查函数的实际应用，掌握对数函数的公式是解本题的关键，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：令−π+2kπ⩽ωx−π4⩽2kπ(k∈Z)，
解得−34π+2kπω⩽x⩽π4+2kπω(k∈Z)，
因为f(x)在区间(π3,3π4)上单调递增
所以−34π+2kπω⩽π3,π4+2kπω⩾3π4,，解得−94+6k⩽ω⩽13+83k(k∈Z)，
因为ω>0，
当k=0时，可得0<ω⩽13．
故选：A．
由已知结合余弦函数的单调性即可求解．
本题主要考查了余弦函数单调性的应用，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：根据三角函数的性质可得：
y=|sinx|的周期为π，且该函数在间(π2,π)上单调递减，故A选项错误；
y=cs2x的周期为π，且该函数在间(π2,π)上也单调递增，故B选项正确；
y=tanx的周期为π，且该函数在间(π2,π)上也单调递增，故C选项正确；
y=sin2x的周期为π，且该函数在间(π2,π)上不具有单调性，故D选项错误．
故选：BC．
根据三角函数的性质，即可分别求解．
本题考查三角函数的性质，属基础题．
10.【答案】AB
【解析】解：A：函数y=(12)−x2+1，t=−x2+1的最大值为1，所以t≤1，则y=(12)t单调递减，所以的最小值为12，所以A不正确；
B：函数y=lga(2−ax)(a>0且a≠1)，t=2−ax在(0,1)上是减函数，所以函数y=lga(2−ax)(a>0且a≠1)在(0,1)上是减函数，则y=lgat在t>0上单调递增，所以a>12−a≥0，解得：1C：函数y=2x与y=lg2x是互为反函数的，所以在同一平面直角坐标系中，函数y=2x与y=lg2x的图象关于直线y=x对称图象关于直线y=x对称，所以C正确；
D：R上的奇函数f(x)在(−∞,0)内有1010个零点，所以函数f(x)在(0,+∞)内有1010个零点，又f(0)=0，所以函数f(x)的零点个数为2021，所以D正确．
故选：AB．
A：函数y=(12)−x2+1，由复合函数的单调性可得有最小值；可得A不正确
B：函数y=lga(2−ax)(a>0且a≠1)在(0,1)，由复合函数的单调性可得a满足的条件：a>12−a×1≥0可得a的范围，B不正确；
C：由互为反函数的图象关于直线y=x对称，所以C正确；
D：由奇函数的性质，图象关于原点对称，及f(0)=0可得零点的个数，所以D正确．
本题考查复合函数的单调性及函数的奇偶性和反函数的性质，属于中档题．
11.【答案】AD
【解析】解：当sinθ>0，则θ是第一象限角或第二象限角或y轴非负半轴，A错误；
若α，β是锐角△ABC的内角，则α+β>π2，即π2>α>π2−β>0，
所以sinα>sin(π2−β)=csβ，B正确；
y=sin(x−3π2)=csx为偶函数，C正确；
y=tanx在(−π2+kπ,π2+kπ)，k∈Z，但在定义域上不是单调函数，D错误．
故选：AD．
结合三角函数定义检验选项A；结合锐角三角函数定义检验选项B；结合诱导公式进行化简，然后结合余弦函数的奇偶性检验选项C，结合正切函数定义检验选项D．
本题主要考查了三角函数的定义，锐角三角函数定义，函数的奇偶性，正切函数的性质，属于基础题．
12.【答案】AB
【解析】解：因为sinα−csα= 55，sin2α+cs2α=1，
两边平方得(sinα−csα)2=1−2sinαcsα=15，
所以sinαcsα=25，A正确；
因为α∈[0,π]，所以sinα>0，csα>0，
又因为(sinα+csα)2=1+2sinαcsα=95，所以sinα+csα=3 55，故选项B正确；
因为tanα+1tanα=sinαcsα+csαsinα=1sinαcsα=52，故选项C错误；
由sinα−csα= 55，sinα+csα=3 55，所以sinα=2 55故选项 D错误．
故选：AB．
由已知结合同角基本关系检验各选项即可判断．
本题主要考查了同角基本关系的应用，属于中档题．
13.【答案】6π
【解析】解：由l=rα可知，r=lα=3π3π4=4，
所以扇形面积S=12lr=12×4×3π=6π．
故答案为：6π．
根据扇形的弧长公式及面积公式求解．
本题考查扇形的弧长公式及面积公式，属于基础题．
14.【答案】( 32,−12)
【解析】解：因为(12)2+( 32)2=1，所以点P在单位圆x2+y2=1上，
且点P在60°角的终边所在的直线上，
则点P的初始位置坐标(12, 32)=(cs60°,sin60°)，
线段OP绕点O顺时针转动90°后，点P在60°−90°=−30°角的终边所在的直线上，
所以点P所在位置的坐标为(cs(−30°),sin(−30°))=( 32,−12)．
故答案为：( 32,−12)．
首先弄清顺时针旋转为负角，再利用三角函数定义确定点P的坐标．
本题考查任意角三角函数的定义，属于中档题．
15.【答案】[1,54]
【解析】解：由cs2x+sinx−a=0，转化为1−sin2x+sinx−a=0，即(sinx−12)2=54−a，
因为x∈[π6,2π3]，则sinx∈[12,1]，则(sinx−12)∈[0,12]，
所以(sinx−12)2∈[0,14]，则0≤54−a≤14，解得1≤a≤54，
即a的取值范围是[1,54]．
故答案为：[1,54]．
根据题意，将原式化为(sinx−12)2=54−a，由正弦函数的值域列出不等式，代入计算，即可得到结果．
本题考查了正弦函数的性质，考查了方程思想和函数思想的应用，属于基础题．
16.【答案】4
【解析】解：f(x)=|lg2x|=−lg2x,0若f(x1)=f(x2)(x1≠x2)，不妨设0则−lg2x1=lg2x2，
所以lg2x1+lg2x2=lg2x1⋅x2=0，即x1⋅x2=1，
所以4x1+x2≥2 4x1⋅x2=4，当且仅当x1=12，x2=2时，等号成立．
故答案为：4．
由题意及对数的运算与对数函数的性质可得x1⋅x2=1，利用基本不等式即可求解．
本题考查对数函数的性质及对数的运算，考查基本不等式的运用，是中档题．
17.【答案】解：(1)当m=0时，集合B={x|x因为A={x|−1(2)因为x∈B是x∈A的必要不充分条件，所以A是B的真子集，
而A={x|−1所以m−1≥3或m+1≤−1，故m≥4或m≤−2，即实数m的取值范围为(−∞,−2]∪[4,+∞)．
【解析】(1)根据题意，代入m=0化简集合B，再利用集合的交集运算法则可得A∩B；
(2)利用集合与充要条件的关系，可得到A是B的真子集，由此列式求得m的取值范围．
本题主要考查了集合的概念与基本运算、充要条件的定义与判断等知识，属于基础题．
18.【答案】解：(Ⅰ)证明：f(α)=sin(2π−α)cs(π+α)sin(9π2+α)=(−sinα)(−csα)csα=sinα．
得证．
(Ⅱ)因为f(α)=sinα=35且α为第二象限角，
所以csα=− 1−sin2α=−45，tanα=sinαcsα=−34，
所以tanα⋅ 1+csα1−csα−1=(−34)× 1−451+45−1=−54．
【解析】(Ⅰ)利用诱导公式即可化简证明．
(Ⅱ)由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解．
本题考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式的应用，属于基础题．
19.【答案】解：(1)令2x+π6=2kπ(k∈Z)，
解得x=kπ−π12(k∈Z)，
∴当x=kπ−π12(k∈Z)时，f(x)的最大值为 22，
∴函数f(x)的最大值为 22，取得最大值的x的集合为{x|x=kπ−π12,k∈Z}；
(2)令2kπ<2x+π6≤2kπ+π(k∈Z)，
解得kπ−π12≤x≤kπ+5π12(k∈Z)，
记集合A={x|kπ−π12≤x≤kπ+5π12,k∈Z}，B=[0,π]，
∴A∩B={x|0≤x≤5π12或11π12≤x≤π}，
∴函数f(x)在[0,π]上的单调递减区间为[0,512π]和[11π12,π]．
【解析】(1)由题意可知，f(x)的最大值为 22，再令2x+π6=2kπ(k∈Z)求出x的值即可；
(2)令2kπ<2x+π6≤2kπ+π(k∈Z)求出f(x)的单调递减区间，再与[0,π]求交集即可．
本题主要考查了余弦函数的图象和性质，属于基础题．
20.【答案】解：(1)当0≤t≤12时，设y=kt，将(12,2)代入得：2=12k，解得k=4，所以y=4t，
当t>12时，y=mat，将(12,2)，(1,1)代入：ma12=2ma=1，解得a=14，m=4，所以y=41−t，
综上：y=4t,0≤t≤1241−t,t>12；
(2)令41−t≤0.15=320，得1−t≤lg4320=lg43−lg420，
化简得：t≥2+lg45−lg43，
解得：t≥2+ln5−ln3ln4≈2.4，
所以从药物释放开始，至少经过2.4小时后学生才能进入教室．
【解析】(1)当0≤t≤12时，设y=kt，当t>12时，设y=mat(a>0且a≠1)，将相应点的坐标代入函数解析式，求出参数的值，综合可得出y关于t的函数解析式；
(2)分析函数的单调性，当t>12时，解不等式y≤0.15，即可得出结论．
本题考查了分段函数和指数函数模型的实际应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)证明：根据题意，函数f(x)=lg2(2−x)−lg2(2+x)，
则有2−x>02+x>0，解可得−2设−2由于−21，
故f(x1)−f(x2)=lg2(2−x1)(2+x2)(2+x1)(2−x2)>0，
则函数f(x)在定义域上是减函数；
(2)根据题意，由(1)的结论，函数f(x)在定义域为(−2,2)上的减函数，则g(x)=f(x)−x+a为减函数，
若函数g(x)=f(x)−x+a在x∈[0,23]上有零点，则g(0)=a≥0g(23)=lg215−23+a≤0，解可得：0≤a≤23+lg25，
故a的取值范围为[0,23+lg25]．
【解析】(1)根据题意，由作差法分析可得结论；
(2)根据题意，分析g(x)的单调性，由此可得关于a的不等式，解可得答案．
本题考查函数零点与方程的关系，涉及函数单调性的证明，属于基础题．
22.【答案】解：(Ⅰ)当t=2时，f(x)=x+2x，
f(x)的单调递减区间为(− 2,0),(0, 2)，单调递增区间为(−∞,− 2),( 2,+∞)，
当x<0时，f(x)=x+2x=−[(−x)+2−x]≤−2 (−x)⋅2(−x)=−2 2，
当且仅当−x=−2x，即x=− 2时取等号，
当x>0时，f(x)=x+2x≥2 x⋅2x=2 2
当且仅当x=2x，即x= 2时取等号，
故函数f(x)的值域为(−∞,−2 2]∪[2 2,+∞)；
(Ⅱ)函数g(x)=−4cs(x+π3)，
当x∈[0,π]时，x+π3∈[π3,4π3]，所以g(x)∈[−2,4]，
设函数f(x)在x∈[1,2]上的值域为A，
因为对任意x1∈[1,2]，总有x2∈[0,π]，使得f(x1)=g(x2)，
所以A⊆[−2,4]，
又f(1)=1+t，f(2)=2+t2，
故1+t∈[−2,4],2+t2∈[−2,4]，
解得−3≤t≤4，
当−3≤t≤0时，f(x)=x+tx在[1,2]上单调递增，
则有A=[1+t,2+t2]⊆[−2,4]，
可得1+t≥−22+t2≤4，解得−3≤t≤4，
所以−3≤t≤0；
当0①当0< t≤1，即0所以A=[1+t,2+t2]⊆[−2,4]，
可得2+t2⩽41+t⩾−2，解得−3≤t≤4，
所以0②当1< t≤ 2，即1f(1)，
所以A=[2 t,2+t2]⊆[−2,4]，
2 t≥−22+t2≤4，解得0≤t≤4，
所以1③当 2< t≤2，即2f(2)，
所以A=[2 t,1+t]⊆[−2,4]，
可得2 t≥−21+t≤4，解得0≤t≤3，
所以2综上可得，t的取值范围为[−3,3]．
【解析】(Ⅰ)直接利用对勾函数的性质写出单调区间，利用基本不等式求出函数的最值，即可得到答案；
(Ⅱ)分别求出函数g(x)和f(x)的值域，将对任意x1∈[1,2]，总有x2∈[0,π]，使得f(x1)=g(x2)，转化为两个值域之间的包含关系，利用集合的包含关系求解即可．
本题考查了函数的综合应用，涉及了函数单调性的判断、方程恒成立的研究，同时考查了双勾函数的性质以及利用基本不等式求最值问题，综合性较强，知识的涉及面较广．