2023-2024学年广西柳州高级中学高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广西柳州高级中学高二（上）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.集合A={x∈N*|x2−3x−4≤0}，B={0,2,4,6}，则A∩B中元素的个数为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
2.设z=i(2+i)则|z|=( )
A. 3B. 5C. 3D. 1
3.已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(−2,4)，则cs(π2−θ)−2cs(π−θ)=( )
A. −4 55B. −3 55C. 0D. 4 55
4.白居易的《别毡帐火炉》写道：“赖有青毡帐，风前自张设.”古代北方游牧民族以毡帐为居室.如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与圆柱的组合体，圆锥的高为4m，圆柱的高为3m，底面圆的直径为6m，则该毡帐的侧面积(单位m2)是( )
A. 39πB. 32πC. 33πD. 45π
5.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2=2，且a2，a3，a4−2成等差数列，则S4=( )
A. 7B. 12C. 15D. 31
6.在第19届杭州亚运会期间，某项目有A，B，C，D四个不同的服务站，现需要将包含甲在内的5名志愿者分配到这四个不同的服务站，每个服务站至少一名志愿者，则甲志愿者被分到A服务站的不同分法的种数为( )
A. 80B. 120C. 160D. 60
7.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F1，O为坐标原点，点P在椭圆上，点Q在直线x=a2c上，若PQ=2F1O，F1Q=λ(F1P|F1P|+F1O|F1O|)(λ>0)，则椭圆的离心率为( )
A. 12B. 32C. 3−12D. 5−12
8.设函数f(x)=ax2+ax−ln(x+1)，若f(x0)1时，2x+1x−1的最小值为2 2+2
C. 数列{an}满足an=4an−1+3(n≥2)且a1=0，则数列{an}的通项公式是an=4n−1−1
D. 曲线y=sin2x在点(π,0)处的切线的方程是x−y−π=0
12.如图，双曲线C：x2−y2=a2的左右顶点为A，B，P为C右支上一点(不包含顶点)，∠PAB=α，∠PBA=β，∠APB=γ，直线l与C的渐近线交于F、G，M为线段FG的中点，则( )
A. 双曲线C的离心率为e= 2
B. P到两条渐近线的距离之积为a2
C. tanα+tanβ+2tanγ=0
D. 若直线l与OM的斜率分别为k1，k2，则k1k2=1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量a=(2,1)，b=(3,m)，若(2a−b)与b平行，则m的值是______．
14.将A，B，C，D，E共5名同学排成一排，则A与B之间恰好有1名同学的概率为______．
15.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|2.则a2024= ______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知函数f(x)=x2−4x+(2−a)lnx，a∈R．
(1)当a=8时，求f(x)的极值；
(2)若f(x)在区间[2,+∞)内单调递增，求a的取值范围．
18.(本小题12分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a−12c=bcsC．
(1)求角B的大小；
(2)如图，若D是△ABC外接圆的劣弧AC上一点，且a=6，c=8，CD=6.求AD．
19.(本小题12分)
记数列{an}的前n项和为Sn，对任意正整数n，有2Sn=(n+2)(an−1)．
(1)证明：数列{an+1n+1}为常数列；
(2)求数列{1anan+1}的前n项和Tn．
20.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB/​/CD，AB⊥AD，AB=1，AD=CD=2，PB= 5，E为棱PC上一点，BE⊥PC，平面ABE与棱PD交于点F．
(1)求证：F为PD的中点；
(2)求二面角B−FC−P的余弦值．
21.(本小题12分)
已知抛物线L：y2=2px(p>0)的焦点为F，过点M(5,0)的动直线l与抛物线L交于A，B两点，直线AF交抛物线L于另一点C，|AC|的最小值为4．
(Ⅰ)求抛物线L的方程；
(Ⅱ)记△ABC、△AFM的面积分别为S1，S2，求S1⋅S2的最小值．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=2ex−ax，a∈R．
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；
(Ⅱ)当a=e时，求证：f(x)>e(1−csx)．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：解不等式x2−3x−4≤0可得：−1≤x≤4，
因为x∈N*，所以集合A={1,2,3,4}，
又B={0,2,4,6}，
所以A∩B={2,4}，
所以A∩B中元素的个数为2．
故选：A．
先解不等式，求出集合A，然后得到A∩B，即可求解．
本题考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：由z=i(2+i)=−1+2i，
可得|z|=|2i−1|= 5．
故选：B．
先求解z，再求模长即可．
本题主要考查复数的模长，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：∵P(−2,4)，∴r=|OP|=2 5(O为坐标原点)，
由三角函数的定义得，sinθ=42 5=2 5，csθ=−22 5=−1 5，
∴cs(π2−θ)−2cs(π−θ)=sinθ+2csθ=2 5+2×(−1 5)=0．
故选：C．
根据三角函数的定义和诱导公式运算求解．
本题主要考查了三角函数的定义及诱导公式的应用，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：由于圆锥的高为4m，圆柱的高为3m，底面圆的直径为6m，则圆锥的母线长为 32+42=5，
故圆锥的侧面积为π⋅3⋅5=15π；
圆柱的侧面积为2π⋅3⋅3=18π；
故毡帐的侧面积为15π+18π=33π．
故选：C．
首先求出圆锥的侧面积，进一步求出圆柱的侧面积，进一步求出结果．
本题考查的知识要点：组合体的侧面积，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
5.【答案】C
【解析】解：设公比为q(q≠0)，
∵a2，a3，a4−2成等差数列，∴2a3=a2+a4−2，
则2×2q=2+2q2−2，解得：q=2或0(舍去)，
a2=2，∴a1=1，故S4=1×(1−24)1−2=15．
故选：C．
设出公比，根据a2，a3，a4−2成等差数列列出方程，求出公比，利用等比数列求和公式求出答案．
本题主要考查等差与等比数列的综合，考查运算求解能力，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：根据题意，分种情况讨论：
当A服务站安排两人时，除甲外的其余4人每人去一个服务站，不同的安排方法有A44种，
当A服务站只安排有1人(甲)时，其余4人分成3组，再安排到剩余的3个服务站，不同的安排方法有C42A33，
所以不同的安排方法有A44+C42A33=24+36=60种．
故选：D．
根据已知条件可知，肯定有一个服务站安排两个人，该问题分为两类，一类是A服务站安排两人，一类是A服务站只安排1人，运用分类加法及分步乘法计数原理分析可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：因为PQ=2F1O，所以PQ/​/x轴，则P点横坐标为a2c−2c，Q点横坐标为a2c，
所以yp2=yQ2=b2−b2⋅(a2c−2c)2a2，
因为F1Q=λ(F1P|F1P|+F1O|F1O||(λ>0),
则点Q在∠PF1F2角平分线上，所以四边形PF1F2Q为菱形，
则PF2⊥QF1，所以kPF2⋅kQF1=−1，
即yPa2c−2c−c⋅yQa2c+c=−1，
所以b2−b2⋅(a2c−2c)2a2=−(a2c−3c)(a2c+c)，
即(a2−c2)[1−(a2−2c2)2a2c2]=−(a2−3c2)(a2+c2)c2，
整理可得：a4−3a2c2+c4=0，
即e4−3e2+1=0，
解得e2=3± 52，因为0−1)，
∴h′(x)=1−ln(x+1)(x+1)2，
令h′(x)=0得x=e−1，
∴当x∈(−1,e−1)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增；当x∈(e−1,+∞)时，h′(x)0，且需满足h(1)>g(1)h(2)>g(2)h(3)≤g(3)，即ln22>aln33>2aln44≤3a，
解得ln26≤ag(1)h(2)>g(2)h(3)≤g(3)，从而求出a的取值范围．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查了函数的零点与方程根的关系，同时考查了数形结合的数学思想，是中档题．
9.【答案】AB
【解析】解：对于A，由频率分布直方图得：(0.01+0.01+m+0.02+0.02)×10=1，
解得m=0.04，故A正确；
对于B，成绩不低于80分的职工人数为(0.02+0.02)×10×200=80，故B正确；
对于C，平均成绩为55×0.1+65×0.1+75×0.4+85×0.2+95×0.2=78，故C错误；
对于D，[50,80)的频率为(0.01+0.01+0.04)×10=0.6，
[50,90)的频率为(0.01+0.01+0.04+0.02)×10=0.8，
第75%分位数为80+0.75−0.60.8−0.6×10=87.5>87，故D错误．
故选：AB．
利用频率分布直方图判断A；利用频数判断B；利用平均数判断C；利用百分位数判断D．
本题考查频率分布直方图、频数、平均数、百分位数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：对于A，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，
由图可知直线B1C1/​/BC，
又BC⊂平面A1CB，B1C1⊄平面A1CD，所以B1C1/​/平面A1CB，故A正确；
对于B，由图可知直线EC1与直线AD都在平面B1ADC1中，故B错误；
对于C，连接A1C1，BC1，A1B，取A1C1的中点O，
则EO//BC1，∵BC1⊥平面AC1D，
∴EO⊥平面AC1D，即F在O点处时，可使EF⊥平面A1CD，故C正确；
对于D，取B1C的中点M，可证BM⊥平面A1CD，
∴∠BA1M即为直线BA1与平面A1CD所成角，
∵BM=12BA1，∠BMA1=90°，∴∠BA1M=30°，故D错误．
故选：AC．
直线B1C1/​/BC容易判断A正确；取A1C1的中点O，则EO//BC1，由图形容易说明EC1，AD在同一平面内，易判断B错误，取A1C1的中点易证EO⊥平面AC1D，判断B正确；求解线面角判断D正确．
本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中点、线、面间的位置关系及距离，考查空间角的求法，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题．
11.【答案】BC
【解析】解：对于A，5名运动员争夺3项比赛冠军(每项比赛无并列冠军)，
由分步乘法计数原理可得获得冠军的可能种数为5×5×5=53，
故A错误；
对于B，当x>1时，2x+1x−1=2x−2+1x−1+2≥2 (2x−2)⋅1x−1+2=2 2+2，
当且仅当2x−2=1x−1，即x= 22+1时等号成立，
故B正确；
对于C，设an+λ=4(an−1+λ)，
则an=4an−1+3λ，
又因为an=4an−1+3(n≥2)，
所以3λ=3，
则λ=1，
所以an+1=4(an−1+1)，
因为a1+1=1≠0，
所以an+1≠0
所以an+1an−1+1=4为常数，
所以{an+1}是首项为1，公比为4的等比数列，
所以an+1=1×4n−1=4n−1，
所以an=4n−1−1，
故C正确；
对于D，函数y=sin2x的导函数为y′=cs2x⋅2=2cs2x，
则y′|x=π=2cs2π=2，
所以函数y=sin2x的图象在点(π,0)处的切线的方程是y=2(x−π)，
即2x−y−2π=0，
故D错误．
故选：BC．
由分步乘法计数原理及基本不等式的应用，结合数列通项公式的求法及导数的应用逐一判断．
本题考查了分步乘法计数原理及基本不等式的应用，重点考查了数列通项公式的求法及导数的应用，属中档题．
12.【答案】ACD
【解析】解：对A，等轴双曲线的离心率为 2，所以A正确；
对B：双曲线C：x2−y2=a2的渐近线为y=±x，
设P(x0,y0)，P到两条渐近线的距离为d1，d2，
则d1d2=|x0−y0| 2⋅|x0+y0| 2=|x02−y02|2=a22，所以B错；
对C：tanα⋅tanβ=kPA⋅(−kPB)=y0x0+a⋅−y0x0−a=−y02x02−a2=a2−x02x02−a2=−1，
tanγ=−tan(α+β)=−tanα+tanβ1−tanα⋅tanβ=−tanα+tanβ2，
所以tanα+tanβ+2tanγ=0，C正确；
对D：设l与双曲线及其渐近线依次交于E，F，G，H，
设F(x1,y1)，G(x2,y2)，则M(x1+x22,y1+y22)，
由y=kx+mx2−y2=a2⇒(k2−1)x2+2mkx+m2+a2=0得EH中点的横坐标为mk1−k2，
由y=kx+mx2−y2=0⇒(k2−1)x2+2mkx+m2=0得FG中点的横坐标为mk1−k2，
所以EH和FG的中点重合，即M为双曲线弦EH的中点，由点差法得
x12−y12=a2x22−y22=a2⇒(x12−x22)−(y12−y22)=0，
x1+x2y1+y2=y1−y2x1−x2，
设直线l的斜率为k1=y1−y2x1−x2,OM斜率为k2=y1+y2x1+x2，
则k1k2=1，所以D正确．
故选：ACD．
对A，根据等轴双曲线的离心率即可判断；对B，结合渐近线与点到直线的距离即可；对C，由tanα⋅tanβ=kPA⋅(−kPB)=−1，结合tanγ=−tan(α+β)即可；对D结合点差法即可．
本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
13.【答案】32
【解析】解：∵向量a=(2,1)，b=(3,m)，
∴2a−b=(1,2−m)，
又(2a−b)与b平行，
∴3(2−m)−m=0，解得m=32．
故答案为：32．
根据平面向量的坐标运算与向量平行的坐标表示列出方程求出m的值．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
14.【答案】310
【解析】解：将A，B，C，D，E这5名同学从左至右随机地排成一排，
基本事件总数为：n=A55=5×4×3×2×1=120，
则符合“A与B之间恰好有1名同学”的事件个数为：
A31A22A33=3×2×6=36，
∴A与B之间恰好有1名同学的概率为P=36120=310．
故答案为：310．
利用古典概型、排列组合能求出A与B之间恰好有1名同学的概率．
本题考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15.【答案】 22
【解析】解：根据正弦函数的性质结合函数的对称性可得：π4−(−π4)=π2=T4+kT2,k∈Z，
所以T=22k+1π,k∈Z，ω=2πT=2k+1,k∈Z，
因为x∈[0,2π3]，所以φ≤ωx+φ≤2π3ω+φ，
又|φ|