【新结构】2023-2024学年广西壮族自治区桂林市高二下学期入学联合检测卷数学试题（含解析）

这是一份【新结构】2023-2024学年广西壮族自治区桂林市高二下学期入学联合检测卷数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.甲同学计划分别从3份不同的语文试卷、5份不同的数学试卷中各任选1份试卷练习，则不同的选法共有( )
A. 8种B. 15种C. 35种D. 53种
2.双曲线E:x23−y26=1的渐近线方程为( )
A. 2x±y=0B. x± 2y=0C. 3x±y=0D. x± 3y=0
3.下列四对向量中，垂直的是( )
A. a=(2,0,1)，b=(−1,1,−2)B. a=(2,1,3)，b=(−1,−1,1)
C. a=(4,0,6)，b=(2,0,3)D. a=(3,1,1)，b=(−1,−2,2)
4.(1x−2x2)9的展开式中，常数项为( )
A. −672B. 672C. −144D. 144
5.对两个变量的三组数据进行统计，得到以下散点图，关于两个变量相关系数的比较，正确的是( )
A. r1>r2>r3B. r2>r3>r1C. r1>r3>r2D. r3>r2>r1
6.在四面体ABCD中，BM=2MC，AN=ND，则MN=( )
A. 13AB+23AC+12ADB. 13AB+23AC−12AD
C. −13AB−23AC+12ADD. −13AB+23AC+12AD
7.从甲、乙等12人中任选5人，则甲、乙至多有1人被选中的选法共有( )
A. 252种B. 420种C. 672种D. 10080种
8.已知直线l1:mx+y+4=0与直线l2:x−my−6−4m=0交于点P(x0,y0)，则x02+y02的最大值为( )
A. 4B. 8C. 32D. 64
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机变量X~N(12,σ2),且P(X14)=0.2B. P(10≤X≤14)=0.6
C. 若Y=3X+1,则EY=36D. 若Y=3X+1,则DY=9σ2
10.已知直线l:x+ 3y+c=0(c≠0)，O为坐标原点，则( )
A. 直线l的倾斜角为120∘
B. 过O且与直线l平行的直线的方程为x+ 3y=0
C. 若O到直线l的距离为1，则c=2
D. 过O且与直线l垂直的直线的方程为 3x−y=0
11.若曲线C1:y=k|x|+2与曲线C2:x22+y|y|=1有6个公共点，则k的值可能是( )
A. − 153B. − 102C. − 72D. − 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.直线l1:ax+2y−3=0，l2:2x+ay+a+5=0，若l1/​/l2，则a= ．
13.已知抛物线E:y2=8x的焦点为F，M(x0,y0)是E上一点，且|MF|=4x03，则x0= ．
14.22024被9除的余数为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知圆C上有两个点A(2,3)，B(4,9)，且AB为圆C的直径．
(1)求圆C的方程;
(2)已知点P(0,5)，求过点P且与圆C相切的直线的方程．
16.(本小题12分)
下表是某社区男、女居民对附近商场体验感评价的调查结果(单位：人)．
(1)完善上述表格数据，试问是否有99%的把握判断体验感评价与性别有关?
(2)从评价高的居民中按性别采用分层随机抽样的方法选取6人，再从这6人中任选3人进行深度调查，记进行深度调查的男居民的人数为X，求X的分布列与期望．
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d．
当χ2≤2.706时，没有充分的证据判断变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的;
当χ2>2.706时，有90%的把握判断变量A，B有关联;
当χ2>3.841时，有95%的把握判断变量A，B有关联;
当χ2>6.635时，有99%的把握判断变量A，B有关联．
17.(本小题12分)
如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD是平行四边形，△PAB是边长为2的正三角形，平面PAB⊥平面ABCD，∠ABC=π3，BC=4，E为棱PD的中点．
(1)证明：AC⊥平面PAB．
(2)求直线BE与平面PAC所成角的正弦值．
18.(本小题12分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 33，且椭圆C的短轴长为2 6．
(1)求椭圆C的方程．
(2)设P是椭圆C上第一象限内的一点，A是椭圆C的左顶点，B是椭圆C的上顶点，直线PA与y轴相交于点M，直线PB与x轴相交于点N.记△ABN的面积为S1，△AMN的面积为S2.证明：|S1−S2|为定值．
19.(本小题12分)
某学校食堂每天中午为师生提供冰糖雪梨汤和苹果百合汤，其均有止咳润肺的功效.某同学每天中午都会在两种汤中选择一种，已知他第一天选择冰糖雪梨汤的概率为23，若前一天选择冰糖雪梨汤，则后一天继续选择冰糖雪梨汤的概率为13，而前一天选择苹果百合汤，后一天继续选择苹果百合汤的概率为12，如此往复．
(1)求该同学第二天中午选择冰糖雪梨汤的概率．
(2)记该同学第n天中午选择冰糖雪梨汤的概率为Pn，证明：{Pn−37}为等比数列．
(3)求从第1天到第10天中，该同学中午选择冰糖雪梨汤的概率大于苹果百合汤概率的天数．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查分步乘法计数原理，属于基础题．
根据分步乘法计数原理即可求解．
【解答】
解：根据分步乘法计数原理，不同的选法共有3×5=15种．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查双曲线的性质，解题中需要理清思路，属于基础题．
求出双曲线的a，b，再由渐近线方程y=±bax，即可得出答案．
【解答】
解：双曲线x23−y26=1的a= 3，b= 6，
则渐近线方程为y=± 6 3x，即 2x±y=0．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查空间向量垂直的判断，属于基础题．
根据数量积是否为0逐个判断即可．
【解答】
解：对于A选项，a⋅b=2×(−1)+0×1+1×(−2)=−4≠0，不正确．
对于B选项，a⋅b=2×(−1)+1×(−1)+3×1=0，正确．
对于C选项，a⋅b=4×2+0×0+6×3=26≠0，不正确．
对于D选项，a⋅b=3×(−1)+1×(−2)+1×2=−3≠0，不正确．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．
写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得r值，则答案可求．
【解答】
解：(1x−2x2)9的展开式的通项为Tr+1=C9r⋅(1x)9−r⋅(−2x2)r=(−1)r⋅2r．C9r⋅x3r−9，
由3r−9=0，得r=3．
∴在(1x−2x2)9的二项展开式中，常数项等于(−8) ×C93=−672．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查散点图和变量的相关系数，属于基础题．
利用散点图和相关系数的性质即可判断．
【解答】
解：由图可知，r1>0，r2r3>r2．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了空间向量的线性运算，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
利用空间向量的加法，减法，数乘运算法则得出结果．
【解答】
解：如图所示，
由题意得：MN=MC+CD+DN=13BC+AD−AC−12AD
=13AC−AB+12AD−AC=−13AB−23AC+12AD．
故选：C．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查组合问题，属于基础题．
将甲、乙都没被选中的情况加上甲、乙恰有1人被选中的情况即可．
【解答】
解：根据题意分成两类，
第一类：甲、乙都没被选中，共有C105=252种选法．
第二类：甲、乙恰有1人被选中，共有C21C104=420种选法．
故甲、乙至多有1人被选中的选法共有252+420=672种．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查圆上的点到定点距离的最大值的求法，属于中档题．
求出两直线的交点的轨迹为圆后，结合x02+y02的几何意义即可求解．
【解答】
解：∵直线mx+y+4=0与直线x−my−6−4m=0垂直，
并且分别过定点(0,−4)，(6,−4)，m∈R，
且直线mx+y+4=0与直线x−my−6−4m=0交于点P(x0,y0)，
∵(0,−4)，(6,−4)两点所成线段的中点为(3,−4)
所成线段长 6−02+−4−(−4)2=6，
∴点P的轨迹为以(3,−4)为圆心，3为半径的圆．
x02+y02表示坐标原点O与点P之间距离的平方，
由题可知5−3≤|OP|≤5+3，
所以x02+y02的最大值为64．
故答案为D
9.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查正态分布、期望和方差的性质，属于基础题.
利用正态分布的概率计算、期望和方差的性质即可判断.
【解答】
解：因为随机变量X~N(12,σ​2),且P(X14)=P(X12(n=1,2,⋯,10)，
则37+521×(−16)n−1>12，即(−16)n−1>310(n=1,2,⋯,10)．
显然n必为奇数，偶数不成立．
当n=1，3，5，7，9时，有(−16)n−1=(16)n−1>310
当n=1时，显然成立．
当n=3时，(16)2−3101−Pn，即(−16)n−1>310(n=1,2,⋯,10)，对n进行讨论，结合函数单调性即可求解．X
1
2
3
P
15
35
15