2023-2024学年江苏省镇江市镇江中学高二下学期见面（开学）考试数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省镇江市镇江中学高二下学期见面（开学）考试数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，准线为l，则焦点F到准线l的距离为
( )
A. 1B. 2C. 4D. 8
2.设z=3−i1+2i，则|z|=( )
A. 2B. 3C. 2D. 1
3.为了得到函数y=2sin3x的图象，只要把函数y=2sin(3x+π5)图象上所有的点
( )
A. 向左平移π5个单位长度B. 向右平移π5个单位长度
C. 向左平移π15个单位长度D. 向右平移π15个单位长度
4.已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5=3a3+4a1，则a3=( )
A. 16B. 8C. 4D. 2
5.设A(2,−1)，B(4,1)，则以线段AB为直径的圆的方程为
( )
A. (x−3)2+y2=4B. (x−3)2+y2=2
C. (x+3)2+y2=2D. (x+3)2+y2=8
6.已知A,B,C为球O的球面上的三个点，⊙O1为▵ABC的外接圆，若⊙O1的面积为4π，AB=BC=AC=OO1，则球O的表面积为
( )
A. 64πB. 48πC. 36πD. 32π
7.若f(x)=(x+a)ln2x−12x+1为偶函数，则a=( )
A. −1B. 0C. 12D. 1
8.如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则( )
A. BM=EN，且直线BM，EN是相交直线
B. BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线
C. BM=EN，且直线BM，EN是异面直线
D. BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.为响应自己城市倡导的低碳出行，小李上班可以选择公交车、自行车两种交通工具，他分别记录了100次坐公交车和骑车所用时间(单位：分钟)，得到下列两个频率分布直方图：基于以上统计信息，则正确的是( )
A. 骑车时间的中位数的估计值是22分钟
B. 骑车时间的众数的估计值是21分钟
C. 坐公交车时间的40%分位数的估计值是19分钟
D. 坐公交车时间的平均数的估计值小于骑车时间的平均数的估计值
10.已知等差数列an的前n项和为Sn，S10=0，S15=25，则
( )
A. a5=0B. an的前n项和中S5最小
C. 使SnB，则csA>csB
B. 若A=π6，a=4，则▵ABC外接圆半径为4
C. 若a=2bcsC，则▵ABC为直角三角形
D. 若b=1，c=3，A=2π3，则S△ABC=3 34
12.已知椭圆C:x225+y29=1,F1,F2分别为它的左右焦点，A,B分别为它的左右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有
( )
A. 存在P使得∠F1PF2=π2B. cs∠F1PF2的最小值为−18
C. 直线PA与直线PB斜率乘积为定值925D. PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为9
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量a=(1,3)，b=(3,4)，若(a−λb)⊥b，则λ= ．
14.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为 3，B=60°，a2+c2=3ac，则b= ．
15.已知双曲线C：x2m−y2=1(m>0)的一条渐近线为 3x+my=0，则C的焦距为 ．
16.已知点S，A，B，C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥平面ABC，则SA= ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=−a5．
(1)若a3=4，求{an}的通项公式；
(2)若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．
18.(本小题12分)
直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=AB=AC=2,AA1⊥AB,AC⊥AB，D为A1B1的中点，E为AA1的中点，F为CD的中点．
(1)求证：EF//平面ABC；
(2)求直线BE与平面CC1D所成角的正弦值；
(3)求平面A1CD与平面CC1D夹角的余弦值．
19.(本小题12分)
为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A、B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每组小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：
记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70．
(1)求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；
(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．
20.(本小题12分)
记▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csA1+sinA=sin2B1+cs2B．
(1)若C=2π3，求B；
(2)求a2+b2c2的最小值．
21.(本小题12分)
已知{an}的前n项和为Sn，a1=2，且满足 ，现有以下条件：
①2a1+22a2+23a3+⋯+2nan=4n+1−43; ②Sn=2an−2; ③Sn+1−2Sn=2．
请在三个条件中任选一个，补充到上述题目中的横线处，并求解下面的问题：
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=nlg2an+1，求{2n+1bn2}的前n项和Tn，并证明：34⩽Tn0)，根据条件可得a1+a1q+a1q2+a1q3=15a1q4=3a1q2+4a1，解方程即可．
【解答】
解：设等比数列{an}的公比为q(q>0)，
则由前4项和为15，且a5=3a3+4a1，
有a1+a1q+a1q2+a1q3=15a1q4=3a1q2+4a1,∴a1=1q=2,
∴a3=22=4，
故选C．
5.【答案】B
【解析】【分析】由题知圆心为3,0，半径为 2，再求方程即可．
【详解】解：由题知线段AB中点为3,0，AB= 4+4=2 2，
所以，以线段AB为直径的圆的圆心为3,0，半径为 2，其方程为(x−3)2+y2=2
故选：B
6.【答案】A
【解析】【分析】由已知可得等边▵ABC的外接圆半径，进而求出其边长，得出OO1的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论．
【详解】设圆O1半径为r，球的半径为R，依题意，
得πr2=4π,∴r=2，∵▵ABC为等边三角形，
由正弦定理可得AB=2rsin60∘=2 3，
∴OO1=AB=2 3，根据球的截面性质OO1⊥平面ABC，
∴OO1⊥O1A,R=OA= OO 12+O1A2= OO 12+r2=4，
∴球O的表面积S=4πR2=64π．
故选：A

【点睛】
本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查利用函数的奇偶性求参数，属于基础题．
根据偶函数有f(−x)=f(x)，即可求参数a．
【解答】
解：因为g(x)=ln2x−12x+1是奇函数，而f(x)=(x+a)g(x)为偶函数，有
f(−x)=(−x+a)g(−x)=−(−x+a)g(x)=(x+a)g(x)=f(x)，故x−a=x+a，则a=0，
故选B．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查两直线的位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．
推导出BM是△BDE中DE边上的中线，EN是△BDE中BD边上的中线，从而直线BM，EN是相交直线，设DE=a，通过计算得到BM≠EN．
【解答】
解：连接BD，∵点N为正方形ABCD的中心，则N为BD中点，
又M是线段ED的中点，
∴BM⊂平面BDE，EN⊂平面BDE，
∵BM是△BDE中DE边上的中线，EN是△BDE中BD边上的中线，
∴直线BM，EN是相交直线，
取CD中点F，连接EF，BF，FN，则CD⊥EF，
∵平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD=CD，EF⊂平面ECD，
∴EF⊥平面ABCD，
又BF、FN⊂平面ABCD，
∴EF⊥BF，EF⊥FN，
设DE=a，则BD= 2a，EF= 32a，BF= 52a，FN=12a，
则BE= 34a2+54a2= 2a，
∴BM⊥DE，
∴BM= 72a，EN= 34a2+14a2=a，
∴BM≠EN，
故选B．
9.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查频率分布直方图和样本数字特征．
由频率分布直方图、中位数、众数和平均数即可判断．
对于A：找到骑车时间的中位数所在组，代入公式求值即可；
对于B：找到骑车时间的频率最高的一组，取其组中值即为骑车时间的众数的估计值；
对于C：找到坐公交车时间的40%分位数所在组，代入公式求值即可；
对于D：分别计算出坐公交车时间的平均数与骑车时间的平均数的估计值，比较即可．
【解答】
解：对于A：∵0.1×2=0.20.5，
所以骑车时间的中位数在20,22这一组，为20+0.5−0.20.4×2=21.5分钟，故A错误；
对于B：骑车时间的众数的估计值是20+222=21分钟，故B正确；
对于C：∵(0.025+0.050+0.075)×2=0.30.4，所以坐公交车时间的40%分位数的估计值在18,20这一组，为18+0.4−0.30.2×2=19分钟，故C正确；
对于D：坐公交车时间的平均数的估计值为：
2×(0.025×13+0.050×15+0.075×17+0.100×19+0.100×21
+0.075×23+0.050×25+0.025×27)=20，
骑车时间的平均数的估计值为：
2×(0.10×19+0.20×21+0.15×23+0.05×25)=21.6，
则坐公交车时间的平均数的估计值小于骑车时间的平均数的估计值，故D正确．
故选BCD．
10.【答案】BCD
【解析】【分析】根据条件先求解出an的通项公式以及前n项和Sn；A：代入an的通项公式检验即可；B：根据Sn的表达式结合二次函数的性质进行分析判断；C：由条件得到关于n的一元二次不等式，由此求解出结果并判断；D：先判断Snn为等差数列，然后利用公式进行求和并判断．
【详解】设等差数列的首项为a1，公差为d，
所以S10=10a1+45d=0S15=15a1+105d=25，解得a1=−3d=23,
所以an=−3+n−1×23=2n3−113，Sn=a1+ann2=13n2−103n，
对于A：a5=103−113=−13≠0，故错误；
对于B：Sn=13n2−103n=13n−52−253，
由二次函数的性质可知Snmin=S5=−253，故正确；
对于C：令13n2−103n