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2023-2024学年安徽省马鞍山市高一上学期期末数学试题（含解析）
展开这是一份2023-2024学年安徽省马鞍山市高一上学期期末数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x∈N|0≤x≤4}，B={−1,0,1,2,3}，则A∩B=( )
A. {0,1,2,3}B. {1,2,3}C. {x|−1≤x≤4}D. {x|0≤x≤3}
2.已知函数f(x)=x+1,x⩽1x−2,x>1，则f(f(2))=( )
A. 15B. −3C. 54D. 109
3.下列直线中，与函数y=tan(2x−π4)的图象不相交的是( )
A. x=π2B. y=π2C. x=3π8D. y=3π8
4.已知a=0.30.3，b=lg0.33，c=30.3，则( )
A. a
A. (0,13)B. (13,12)C. (12,1)D. (1,2)
6.已知sinθ+csθ=15(0<θ<π)，则cs2θ=( )
A. ±2425B. −2425C. ±725D. −725
7.已知0
C. D.
8.已知函数f(x)=sin|x|+|sinx|，下列结论正确的是( )
A. f(x)是奇函数B. f(x)在区间(−π,−π2)上单调递减
C. f(x)在区间[−π,π]上有3个零点D. f(x)的最小值为−1
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题是真命题的是( )
A. 命题“∀x>0，lnx≤x−1”的否定是“∃x>0，lnx≥x−1”
B. ∀x∈R，x2+x+1>0
C. “a>1”是“f(x)=x+ax在(1,+∞)上单调递增”的充要条件
D. 若a>0>b，则ab
A. cs(A+B)=−csCB. tan(B+C)=tanA
C. csA+C2=sinBD. sinB+C2=csA2
11.若m，n均为正数，且满足m+2n=2，则( )
A. mn的最大值为12B. 1m+1n的最小值为3+2 2
C. 2m+4n的最小值为4D. 2m+mn的最小值为1+2 2
12.已知实数x>0，y>0，满足lg2x−lg2y<(12)x−(12)y，则( )
A. 1x<1yB. x2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知lg0.8a>1，则实数a的取值范围为 ．
14.已知幂函数y=(m2−2m−2)xm2−m−3在(0,+∞)单调递增，则实数m= ．
15.写出函数f(x)=2sinπx的一条对称轴方程： ．
16.把一条线段分割为两部分，使较长部分的长度与全长的比值等于较短与较长部分的长度的比值，这个比值称为黄金分割比(简称黄金比).黄金比在建筑、艺术和科学等领域中都有广泛应用.我们把顶角为36∘的等腰三角形称为黄金三角形，它满足较短边与较长边的长度之比等于黄金比.由上述信息可求得sin18∘= ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
计算下列各式的值：
(1)2lg23+(e−π)0+(1258)13;
(2)sin8π3+tan(−5π4)+cs7π6．
18.(本小题12分)
已知A={x|x2−5x+4≤0}，B={x|m≤x≤m+2}．
(1)若m=0，求(∁RA)∪B;
(2)若x∈B是x∈A的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
19.(本小题12分)
某乡镇为全面实施乡村振兴战略，大力发展特色农产业，提升特色农产品的知名度，邀请了一家广告牌制作公司设计一个宽为x米、长为y米的长方形展牌，其中y>x，其面积为3(x−y+15)平方米．
(1)求y关于x的函数解析式，并求出x的取值范围;
(2)如何设计展牌的长和宽，才能使展牌的周长最小?并求出周长的最小值．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=sin(2x−π6).
(1)若g(x)=f(π6−x)，求函数g(x)的单调递增区间;
(2)当x∈[−π4,0]时，函数y=2af(x)+b的最大值为1，最小值为−3，求实数a，b的值．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=2024x−a2024x+1为奇函数．
(1)求实数a的值;
(2)判断函数f(x)的单调性，并用函数单调性的定义证明;
(3)若f(m+5)+f(3m−m2)>0，求实数m的取值范围．
22.(本小题12分)
已知f(x)=2sinxsin(x+π3)+a，且f(π6)=1．
(1)求a的值及f(x)的最小正周期;
(2)将f(x)的图象向左平移π6个单位长度，再向下平移12个单位长度，得到g(x)的图象.若关于x的方程g(x)−m=0在x∈[0,π2]有两个不同的根，求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了交集及其运算，属于基础题．
先求出集合A，再利用集合的交集运算求解．
【解答】
解：集合A={x ∈N|0≤x≤4}={0，1，2，3，4}，集合B={−1,0,1,2,3}，
所以A ∩B={0,1,2,3}．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查分段函数求值，属于基础题．
根据分段函数的定义域先求出f(2)，再求出f(f(2))，注意定义域．
【解答】
解： ∵函数f(x)=x+1,x⩽1x−2,x>1，2>1
∴f(2)=2−2=14，
∴ff2=f14=14+1=54．
故选C．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查正切函数的性质，属于基础题，利用正切函数的定义域及题意可知，2x−π4=kπ+π2(k∈Z)，解得x=kπ2+3π8(k∈Z)，结合选项即可判断．
【解答】
解：令2x−π4=kπ+π2(k∈Z)，解得x=kπ2+3π8(k∈Z)．
令k=0，得x=3π8．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了对数函数和指数函数的性质，考查了计算能力，属于基础题，
根据指数、对数函数的性质比较大小即可．
【解答】
解：∵0
∴b
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，根据函数的解析式求函数的值，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题．
由函数的解析式求得f( 1)f( 2)<0，再根据函数的零点的判定定理，可得函数f(x)=x3−lg12x−2的零点所在区间．
【解答】
解：∵函数f(x)=x3−lg12x−2，是(0,+∞)上增函数，
∴f1=13−lg121−2=−1<0，f2=23−lg122−2=7>0，
可得f( 1)f( 2)<0．
根据函数的零点的存在性定理，
可得函数f(x)=x3−lg12x−2的零点所在区间为(1,2)，
故选：D．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了二倍角公式和同角三角函数的基本关系的应用.属于基础题．
先根据sin θ+cs θ=15，求出sin2θ，然后求出2θ的范围，即可利用同角三角函数的基本关系求出cs2θ．
【解答】
解：∵sin θ+cs θ=15，
，
∴sin2θ=−2425，
∵0<θ<π，sin θ+cs θ=15，
∴|sinθ|>|csθ|，
∴π2<θ<3π4，
∴π<2θ<3π2，
，
故选D．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查指数函数与对数函数的图象，属于基础题．
根据对数函数和指数函数的图象和性质，即可判断．
【解答】
解：当0
故选B．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性、函数的单调性、函数的最值、函数的零点，以及正弦函数的图像的应用，属于中档题．
对于A，根据奇偶性函数的定义及诱导公式可判断；对于B，当时，f(x)=−2sinx，由正弦函数的单调性可判断；对于C，作出函数f(x)在[−π,π]的图像可判断；对于D，由y=sin|x|与y=|sinx|的最小值都为0且当x=0时f(x)=0可判断.
【解答】
解：f(−x)=sin|−x|+|sin(−x)|=sin|x|+|sinx|=f(x)，
∴f(x)为偶函数，故A不正确;
当时，f(x)= −sinx− sinx=−2sinx，
由正弦函数的单调性得f(x)在单调递增，故B不正确；
f(x)在[−π,π]的图像如图所示，
由图可知函数f(x)在[−π,π]只有3个零点，故C正确;
∵y=sin|x|与y=|sinx|的最小值都为0且当x=0时，f(x)=0，
∴f(x)的最小值为0，故D不正确．
故选C．
9.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查全称量词命题的否定，不等式恒成立，函数的单调性，不等式的性质，属于基础题．
根据全称量词命题否定是存在量词命题可判断A；由x2+x+1=(x+12)2+34>0，可判断B；举反例可判断C；利用不等式性质可判断D．
【解答】
解：对于A，由全称量词命题否定是存在量词命题可得，其否定为∃x>0，lnx>x−1，故A错误；
对于B，由x2+x+1=(x+12)2+34>0，故B正确；
对于C，当a=0时，f(x)=x，显然在(1,+∞)上单调递增，故C错误；
对于D，因为a>0>b，所以a2>0>ab，故D正确；
故选BD．
10.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查了诱导公式，考查计算能力，属于基础题．
根据三角形内角和为180°结合诱导公式进行解答，即可求解．
【解答】
解：∵A+B+C=π，∴A+B=π−C，
∴cs(A+B)=cs(π−C)=−cs C，tan(B+C)=tan(π−A)=−tanA，故A正确，B项不正确；
∵A+C=π−B，∴A+C2=π−B2，
∴cs A+C2=csπ2−B2=sin B2，故C项不正确；
∵B+C=π−A，∴sin B+C2=sinπ2−A2=cs A2，故D项正确．
故选AD．
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查利用基本不等式求最值，是中档题．
A选项，由基本不等式得到2⩾2 2mn，求出mn⩽12，可判断；
B选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值可判断；
C选项，利用2m+4n⩾2 2m·4n=2 2m+2n=4，求出最小值可判断；
D选项，先把2m+mn变形为2m+2n−2，再利用基本不等式可判断．
【解答】
解：对于A，因为 m>0,n>0，由基本不等式得： m+2n⩾2 2mn，即 2⩾2 2mn，解得： mn⩽12，
当且仅当m=2n，即m=1,n=12时，等号成立，mn的最大值为12，故A正确；
对于B，因为m>0,n>0，
故1m+1n=12(1m+1n)(m+2n)=12(1+2+mn+2nm)⩾32+12×2 mn⋅2nm=32+ 2，
当且仅当mn=2nm，等号成立，
故1m+1n的最小值为32+ 2，B错误；
对于C、 2m+4n⩾2 2m·4n=2 2m+2n=4，当且仅当 m=1,n=12时，取等号，故C正确；
对于D，因为m+2n=2，所以m=2−2n，故2m+mn=2m+2−2nn=2m+2n−2，
其中2m+2n=m+2nm+m+2nn=2+1+2nm+mn⩾3+2 2nm·mn=3+2 2，
当且仅当mn=2nm时，等号成立，
即2m+mn的最小值为1+2 2，D正确．
故选：ACD．
12.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查对数函数和指数函数的性质，考查比较大小，属于中档题．
由题意判断出x，y的大小，再逐项判断对错．
【解答】
解：原不等式可变形为 lg2x−(12)x
因为x−y<0,所以2x−y<20=1 ，D正确．
故选：BCD．
13.【答案】(0,0.8)
【解析】【分析】本题主要考查利用对数函数的单调性解不等式，属于基础题．
由题意，利用对数函数的单调性，求得a的范围．
【解答】
解：∵lg0.8a>1=lg0.80.8，
求得0
故答案为：(0,0.8)．
14.【答案】3
【解析】【分析】
本题考查了幂函数的定义和性质，属于基础题．
根据幂函数的定义求出m的值，结合函数的单调性确定m的值即可．
【解答】
解：因为幂函数y=(m2−2m−2)xm2−m−3在(0,+∞)上单调递增，
所以m2−2m−2=1，
解得：m=3或m=−1;
又因为当m=3时，f(x)=x3，函数在区间(0,+∞)递增，
当m=−1时，f(x)=x−1=1x，函数在区间(0,+∞)上递减，
所以m=3．
故答案为：3．
15.【答案】x=12(答案不唯一)
【解析】【分析】
本题考查三角函数图像中的对称轴问题，属于基础题．
利用y=sinx的图像的对称轴方程是，直接令，进而求解即可．
【解答】
解：y=sinx的图像的对称轴方程是，
令，
得x=12+k(k∈Z)．
当k=0时，x=12，
故函数f(x)=2sinπx的图像的一条对称轴方程可以为x=12(答案不唯一)．
16.【答案】 5−14
【解析】【分析】
本题考查三角函数的运用，属于中档题．
先根据题意求得黄金分割比m= 5−12，再根据三角形中的边角关系求得sin18°的值即可．
【解答】
解：设一条线段分割后，较长部分长度为b，较短部分长度为a，
则ba+b=ab，即ab2+ab−1=0，
令m=abm>0，则m即为黄金分割比，
可知m2+m−1=0，解得m= 5−12，
如图：
在△ABC中，∠BAC=36°，AB=AC，AD⊥BC，
则∠BAD=∠CAD=18°，点D为BC的中点，
因为BCAB= 5−12，
所以sin18°=sin∠BAD=BDAB=BC2AB= 5−14．
故答案为： 5−14．
17.【答案】解：(1)2lg23+(e−π)0+(1258)13=3+1+52=132．
(2)sin8π3+tan(−5π4)+cs7π6= 32−1− 32=−1．
【解析】本题考查指数运算，三角函数运算，属于简单题．
(1)利用指数运算法则即可计算；
(2)利用三角函数知识即可即可计算．
18.【答案】解：(1)A={x|x2−5x+4≤0}={x|1≤x≤4}，∁RA={xx<1或x>4}，
若m=0，，则B={x|0≤x≤2}．
所以(∁RA)∪B={x⩽2或x>4}；
(2)∵x∈B是x∈A的充分不必要条件，
∴B⫋A，∴m⩾1m+2⩽4，等号不同时成立，则1⩽m⩽2，
综上，实数m的取值范围是[1,2]．
【解析】本题考查解一元二次不等式，充分、必要、充要条件与集合的关系，属于基础题．
(1)先求出集合A，再求(∁RA)∪B，即可求出m的范围；
(2)x∈B是x∈A的充分不必要条件，可得B⫋A，即可求出m的范围．
19.【答案】解：(1)由题意知，xy=3(x−y+15)，
即(x+3)y=3x+45，y=3x+45x+3=3+36x+3，
∵y>x>0，∴3+36x+3>x>0，得0
则L=2x+2y=2x+6+72x+3=2(x+3)+72x+3≥2 2(x+3)×72x+3=24，
当且仅当2(x+3)=72x+3即x=3时等号成立，
∵0<3<3 5，∴x=3时周长L最小，此时y=3+36x+3=9，
所以设计展牌的长为9米，宽为3米时，使展牌的周长最小，最小值为24米．
【解析】本题考查分式函数模型的综合应用，考查函数的解析式，考查利用基本不等式解决实际问题，属于中档题．
(1)由题意可知，xy=3(x−y+15)，则y=3+36x+3，即可求得函数解析式；
(2)设长方形展牌的周长为L，则L=2(x+y)=2[(x+3)+72x+3]，利用基本不等式求最值即可．
20.【答案】解：(1)由题意，可得：g(x)=f(π6−x)=sin(π6−2x)=−sin(2x−π6).
求函数g(x)的单调递增区间，等价于求y=sin(2x−π6)的单调递减区间．
令π2+2kπ≤2x−π6≤3π2+2kπ，(k∈Z)得：π3+kπ≤x≤5π6+kπ，(k∈Z)，
所以，函数g(x)的单调递增区间：[kπ+π3,kπ+5π6](k∈Z)，
(2)当x∈[−π4,0]时，−2π3≤2x−π6≤−π6，则−1≤sin(2x−π6)≤−12．
当a>0时，−2a+b=−3−a+b=1，解得：a=4b=5;
当a<0时，−2a+b=1−a+b=−3解得：a=−4b=−7．
综上，a=4，b=5或a=−4，b=−7．
【解析】本题主要考查正弦型函数的单调性，以及求正弦型函数的最值，解题的关键是熟练掌握正弦函数的图象和性质，属于中档题．
(1)根据诱导公式先得出g(x)，再根据正弦型三角函数的单调性求解即可；
(2)根据正弦型三角函数的图象与性质对a进行分类讨论由函数的最值求a，b即可．
21.【答案】解：(1)易知定义域R，关于原点对称．
∵f(x)为奇函数，∴f(−x)+f(x)=0，即2024−x−a2024−x+1+2024x−a2024x+1=0，
整理得a−1=0，故a=1；
(2) f(x)在R上单调递增，证明如下：
由(1)知，f(x)=2024x−12024x+1=1−22024x+1，x∈R，
∀x1，x2∈R，且x1
即f(x1)
由于f(x)为奇函数，则f(m+5)>f(−3m+m2)，
由(2)知f(x)在R上单调递增，则m+5>−3m+m2，
即m2−4m−5<0，解得−1
【解析】本题考查函数的奇偶性，单调性，对数函数及其性质，属于中档题．
(1)由奇函数的定义即可求出a的值即可；
(2)根据函数单调性的定义进行证明，即取值−作差−变形−判断符号−下结论；
(3)根据奇函数的性质将不等式转化为：f(m+5)>f(−3m+m2)，，再由函数的单调性即可求出实数m的取值范围．
22.【答案】解：(1)∵f(x)=2sinxsin(x+π3)+a，f(π6)=1，
∴2sinπ6sin(π6+π3)+a=1⇒a=0，
∴f(x)=2sinxsin(x+π3)=2sinx(sinxcsπ3+csxsinπ3)
=2sinx(12sinx+ 32csx)=sin2x+ 3sinxcsx
=1−cs2x2+ 32sin2x= 32sin2x−12csx+12
=sin(2x−π6)+12．
所以f(x)的最小正周期为2π2=π．
所以a=0，f(x)的最小正周期为π．
(2)由题意得g(x)=sin(2x+π6)，
由x∈[0,π2]得2x+π6∈[π6,7π6]，g(x)∈[−12,1]，
方程g(x)−m=0在x∈[0,π2]有两个不同的根，
即函数g(x)的图象与直线y=m有两个不同的交点，
结合g(x)在x∈[0,π2]的图象，可得m的取值范围是[12,1)．
【解析】本题主要考查三角恒等变换，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，考查运算求解能力，属于中档题．
(1)由f(π6)=1得，a=0，利用三角恒等变换可以化简为f(x)=sin(2x−π6)+12，从而可求得T=2π2=π；
(2)由题意可得，结合g(x)在x∈[0,π2]的图象得m的取值范围．
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