盐城市阜宁县2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷（含答案解析）

这是一份盐城市阜宁县2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷（含答案解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下列函数中，y一定是x的二次函数的是（ ）
A．y=ax2+bx+cB．y=x(x2+1)C．y=x+1D．y=-3x2
2．已知一元二次方程x2+kx-4=0有一个根为1，则k的值为（ ）
A．-5B．3C．-3D．5
3．如图，点A、B、C在⊙O上，若∠C=38°，则∠AOB的度数为（ ）
A．38°B．78°C．76°D．60°
4．如图，转盘中四个扇形的面积都相等，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在灰色区域的概率是（ ）

A．B．C．D．
5．为了了解居民的环保意识，社区工作人员在光明小区随机抽取了20名居民开展主题为“共创美好家园”的环保知识有奖问答活动，得分情况如表所示：
则抽取的居民得分的平均数为（ ）
A．8B．8.15C．8.26D．9
6．已知，，且的周长为15，则的周长为（ ）
A．30B．5C．15D．45
7．校园里一片小小的树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，如果将看作一条线段，P为的黄金分割点，，那么的长度为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，已知抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为，且，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．3B．1C．2D．0
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上）
9．抛物线的顶点坐标是．
10．设、是关于x的方程的两个根，则．
11．如图，是⊙O的弦，半径，垂足为E，设⊙O的半径为4，，则的长为．

12．将抛物线的图象向上平移3个单位，再向右平移2个单位的抛物线为．
13．已知点，在抛物线上，且，则．（填“”或“”或“=”）
14．如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C、D为格点，连接相交于点E，则的长为．
15．如图，在中，，，，将绕点C逆时针旋转到的位置，点B的对应点D首次落在斜边上，则点A的运动路径的长为．

第15题图第16题图
16．如图，在矩形中，，，点E、F分别为、边上的点，且的长为4，点G为的中点，点P为上一动点，则的最小值为．
三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解下列方程：
（1）；（2）．
18．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）以原点O为位似中心，在第三象限内画出与位似的，使它与的相似比为；
（2）直接写出的面积为________．
19．甲、乙两人在6次打靶测试中命中的环数如下：
甲：8，8，7，8，10，7；乙：5，8，5，10，10，10．
（1）填写下表：
（2）教练根据这6次成绩，选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？
（3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙的射击成绩的方差__________．（填“变大”、“变小”或“不变”）
20．随着盐城交通的快速发展，城乡居民出行更加便捷，如图，从甲镇到乙镇有乡村公路A和省级公路B两条路线；从乙镇到盐城南洋国际机场，有省级公路C、高速公路D和城市高架E三条路线．小华驾车从甲镇到盐城南洋国际机场接人（不考虑其他因素）．

（1）从乙镇到盐城南洋国际机场，小华所选路线是城市高架E的概率为_________；
（2）用列表或画树状图的方法，求小华都选省级公路的概率．
21．已知线段a、b满足，且．
（1）求线段a、b的长；
（2）若线段c是线段a、b的比例中项，求线段c的长．
22．定义新运算“”：对于实数m，n，p，q．有，其中等式的右边是通常的加法和乘法运算．例如：．
（1）求关于x的方程的根；
（2）若关于x的方程有两个实数根，求k的取值范围．
23．如图，在阳光下，某一时刻，旗杆的影子一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗杆在地面上的影长为，在墙面上的影长为．同一时刻，直立于地面长的标杆的影长为，求旗杆的高度．
24．如图，O为线段上一点，以点O为圆心，长为半径的交于点A，点C在上，连接，满足．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的值．
25．A品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，开心超市每天购进一批成本价为每千克4元的A品牌大米，以不低于成本价且不超过每千克8元的价格销售．当每千克售价为6元时，每天售出该大米900；当每千克售价为7元时，每天售出该大米850．通过分析销售数据发现：每天销售A品牌大米的质量与每千克售价x（元）满足一次函数关系．
（1）请求出y与x的函数关系式；
（2）当每千克售价定为多少元时，开心超市销售A品牌大米每天获得的利润最大？最大利润为多少元？
26．【初步感知】如图①，在正方形中，E为边上一点，连结，过点E作交于点F．易证：．（不需要证明）
【尝试探究】如图②，在矩形中，E为边上一点，连结，过点E作交于点F．
（1）求证：；
（2）若，，E为的中点，求的长．
【拓展应用】如图③，在中，，，．E为边上一点（点E不与点A、B重合），连结，过点E作交于点F．当为等腰三角形时，的长为__________．

27．在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点和点，点E是直线的图像与二次函数图像在第一象限内的交点．

（1）求二次函数的解析式；
（2）如图①，若点M是二次函数图像上的点，且在直线的上方，连接，求四边形面积的最大值；
（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F（点F与点C不重合），请直接写出点F的坐标．
得分
6
7
8
9
10
人数
3
5
3
4
5
平均数
众数
中位数
方差
甲
8
__________
8
__________
乙
__________
10
__________
5
参考答案
1．D
【分析】本题主要考查二次函数的概念，掌握相关知识是解题的关键。形如y=ax2+bx+c（a≠0）的函数即为二次函数，据此进行判断即可。
【详解】
解：A、中当a=0，b≠0时，y是x的一次函数，则A不符合题意；
B、y=x(x2+1)不是二次函数，则B不符合题意；
C、y=x+1是一次函数，则C不符合题意；
D、y=-3x2符合二次函数定义，它是二次函数，则D符合题意；
故选：D
2．B
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．解题的关键在于熟练掌握：是的两根，则，．
记一元二次方程的另一个根为，则，计算求解即可．
【详解】解：记一元二次方程的另一个根为，
∵，∴，
解得，，，
故选：B．
3．C
【分析】本题考查了圆周角定理，根据“同弧所对的圆心角是圆周角的两倍”，即可解答．
【详解】解：∵，∴，故选：C．
4．C
【分析】根据灰色区域与整个面积的比即可求解．
【详解】解：∵转盘中四个扇形的面积都相等，设整个圆的面积为1，
∴灰色区域的面积为,
∴当转盘停止转动时，指针落在灰色区域的概率是，
故选：C．
【点睛】本题考查了几何概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
5．B
【分析】本题考查的是加权平均数的求法，根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可得出答案．
【详解】解：根据题意得：（分），
所以，抽取的居民得分的平均数为8.15分．
故选：B．
6．D
【分析】本题考查对相似三角形性质，因为，相似比为，根据相似三角形周长比等于相似比，即可求出周长．
【详解】解：∵，，
∴的周长：的周长，
∵的周长为15，
∴的周长为45．
故选：D．
7．A
【分析】本题主要考查了黄金分割的比值关系，熟悉掌握比值关系建立式子是解题的关键．
利用黄金分割的比值关系进行运算即可．
【详解】解： P为的黄金分割点，
，
故选：A
8．A
【分析】本题主要考查抛物线的性质，熟练掌握数形结合的数学思维是解题的关键．根据抛物线的性质一一判断即可．
【详解】解：由图像可知，当时，，即，故①正确；
对称轴为直线，
，即，
，故②错误；
由图像可知，当时，，即，故③正确；
由图像可知，当时，，即，
，
故，故④正确；
故选A．
9．
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数（a，b，c为常数，），顶点坐标是，可得答案．
【详解】解：的顶点坐标是，
故答案为：．
10．5
【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．直接利用根与系数的关系求解．
【详解】解：根据根与系数的关系得．
故答案为：5
11．
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，解题的关键是利用勾股定理先求出．
由于半径，利用垂径定理可知，又，易求，在中利用勾股定理易求，进而可求．
【详解】解：如图，连接，

∵半径，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
故答案为．
12．
【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键，根据“上加下减，左加右减”的法则求得新的拋物线解析式
【详解】解：将的图象向上平移3个单位得到，即．再将向右平移2个单位得到．
故答案为：．
13．
【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，依据题意，求出抛物线的对称轴，从而由二次函数的性质，根据抛物线开口向上，故当时，y随x的增大而减小，进而判断得解．
【详解】解：由题意得抛物线的对称轴，
又，
∴抛物线开口向上．
∴当时y随x的增大而减小．
∴对于A、B当时，．
故答案为：．
14．
【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质，勾股定理，根据题意可得，所以，进而可以解决问题．
【详解】解：根据题意可知：，，
∴，
∴，
∴，
解得．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查旋转的性质，弧长的计算，直角三角形的性质，由旋转的性质可求，可证是等边三角形，可得，由弧长公式可求解．
【详解】解：∵将绕点C逆时针旋转到的位置，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴点A的运动路径的长为，
故答案为：．
16．##
【分析】本题考查了利用轴对称求最短路径，解题关键利用轴对称和直角三角形的性质确定最短路径．作点A关于的对称点H，连接，，，可知当H、P、G、D共线时，最小，求出、长即可．
【详解】解：作点A关于的对称点H，连接，，，如图所示：
∵，
∴当H、P、G、D共线时，最小，
∵，，
∴，，
∵的长为4，点为的中点，
∴，
∴，
故答案为：．
17．（1），
（2），
【分析】此题主要考查了一元二次方程的解法应用，注意熟练利用配方法、公式法、因式分解法解方程是解题关键．
（1）此题方程的二次项系数为1，一次项系数为，适合用配方法解方程．
（2）移项后，将看作整体，利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：，
，
，
即
，；
（2）解：，
，
，
，，
，
18．（1）详见解析
（2）8
【分析】本题主要考查了位似变换、三角形的面积，解题的关键是注意位似中心及相似比．
（1）把、、的坐标都乘以得到的坐标，然后描点连线即可；
（2）用所在的长方形面积减去周围三个三角形面积即可得到答案．
【详解】（1）如图，为所要作的图形；
（2）面积．
19．（1）见详解；
（2）选择甲参加射击比赛，详见解析；
（3）变小
【分析】本题考查了平均数，中位数，众数和方差的意义．
（1）根据众数、平均数和中位数的定义求解：
（2）方差就是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定．
（3）根据方差公式求解：如果乙再射击1次，命中8环，那么乙的射击成绩的方差变小．
【详解】（1）解：∵8出现了3次，出现的次数最多，
∴甲的众数为8，
甲组数据的方差为，
乙的平均数，
把这些数从小到大排列，则乙的中位数为．
故填表如下：
（2）解：因为他们的平均数相等，而甲的方差小，发挥比较稳定，所以选择甲参加射击比赛；
（3）解：如果乙再射击1次，命中8环，平均数不变，根据方差公式可得乙的射击成绩的方差变小；
故答案为：变小．
20．（1）
（2）
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）方法一：列出表格，用符合条件的情况数除以所有等可能发生的情况数即可；
方法二：画出树状图，用符合条件的情况数除以所有等可能发生的情况数即可．
【详解】（1）∵从乙镇到盐城南洋国际机场，有省级公路C、高速公路D和城市高架E三条路线，
∴从乙镇到盐城南洋国际机场，小华所选路线是城市高架E的概率为．
故答案为：；
（2）方法一：用表格列出所有可能的结果：
由表格可知，共有6种可能的结果，并且它们的出现是等可能的．
“小华都选省级公路”记为事件F，它的发生只有一种可能．
，
小华都选省级公路的概率为．
方法二：用树状图列出所有可能的结果：

由树状图可知，共有6种可能的结果，并且它们的出现是等可能的．
“小华都选省级公路”记为事件F，它的发生只有一种可能．
，
小华都选省级公路的概率为
21．（1）线段的长为18，线段的长为12
（2）线段的长为
【分析】本题考查了成比例线段，熟练掌握成比例线段是解题关键．
（1）设，，代入计算可得的值，由此即可得；
（2）根据比例中项可得，由此即可得．
【详解】（1）解：，
设，，
，
，
，
，，
线段的长为18，线段的长为12．
（2）解：线段是线段、的比例中项，，，
，
由题意知，，
，
线段的长为．
22．（1），
（2）且
【分析】本题考查了新定义下的实数运算，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式．明确新定义的运算规则是解题的关键．
（1）由新定义规定的运算法则，将其化为关于x的一元二次方程，解方程即可；
（2）按新定义规定的运算法则，将其化为关于x的一元二次方程，在利用根的判别式进行求解即可解决．
【详解】（1），
，
．
，
，
，
（2）
，
整理得：．
方程有两个实数根，
且，
解得：且
23．旗杆的高度为
【分析】此题主要考查了相似三角形的相似，正确得出的长是解题的关键．根据题意构造直角三角形，求得的长，进而得出答案；
【详解】解：分别延长、相交于点F,
根据题意得：
，
，
，
，
，
，
，
答：旗杆的高度为25.5m．
24．（1）详见解析
（2）
【分析】（1）连接，证明，求出，证明，得出是的切线；
（2）设，，根据勾股定理求出，根据相似三角形的性质求出即可．
【详解】（1）证明：连接，如图所示：
，
，
，
，
，
，
．
，
，
，
，
∵为的半径，
是的切线．
（2）解：设，，
，，，
，，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
25．（1）
（2）当每千克售价定为8元时，开心超市销售A品牌大米每天获得的利润最大，最大利润为3200元
【分析】本题考查了二次函数以及一次函数的应用；
（1）根据题意利用待定系数法求函数关系式即可；
（2）设开心超市销售A品牌大米每天获利W元，根据题意列出W关于x的函数关系式；再根据自变量的取值确定函数的最值即可；
准确列出函数关系式以及掌握函数的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：设，
由题意得，
解得：
则y与x的函数关系式；，
（2）设开心超市销售A品牌大米每天获利W元
根据题意可得：，
即，
，对称轴为直线，
当时，W随x的增大而增大，
又，
时，（元）
答：当每千克售价定为8元时，开心超市销售A品牌大米每天获得的利润最大，最大利润为3200元．
26．[尝试探究]（1）详见解析；（2）；[拓展应用]或8
【分析】[尝试探究]（1）由题意可求，，进而可证；（2）由题意知，，由（1）知，则，即，计算求解即可；
[拓展应用]由勾股定理得，则，证明；由题意知，当为等腰三角形时，分，，，三种情况求解；当时，则，，进而可求结果；当时，，则，，进而可求结果；当时，此时不成立．
【详解】解：[尝试探究]（1）证明：四边形是矩形，
，
．
，
，
，
，
又，
；
（2）为的中点，
，
由（1）知，
，即，
．
[拓展应用]解：∵，，
∴，，
解得，，
∵，
∴，
∴；
由题意知，当为等腰三角形时，分，，，三种情况求解；
当时，则，
∴；
当时，，
∴，
∴，
∴；
当时，，
∴，此时不成立；
综上所述，的长为或8，
故答案为：或8．
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键．
27．（1）
（2）
（3）
【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）将二次函数与一次函数解析式联立，求出点E的坐标，过点M作轴，交直线于点H，用代数式表示出的长度，进而根据三角形面积公式及相关点的坐标表示出四边形的面积，即可求解；
（3）先求出二次函数与x轴的交点坐标，进而求出和，再根据圆周角定理得出，进而证明，再根据相似三角形对应边成比例求出，即可得到点F的坐标．
【详解】（1）解：将和代入，
得，
解得，
二次函数的解析式为；
（2）解：将二次函数与一次函数解析式联立，得：
，
消去y，得，
解得，，
当时，，
．
如图，过点M作轴，交直线于点H，

设，则，
，
，
当时，四边形面积取最大值，最大值为；
（3）解：如图所示，连接，

当时，
解得，
，
，，
，
，
即，
解得，
．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查二次函数的图象和性质，二次函数和一次函数的交点问题，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等，解题的关键是掌握上述知识点，熟练运用数形结合思想．平均数
众数
中位数
方差
甲
8
8
8
1
乙
8
10
9
5
从甲镇到乙镇
从乙镇到南洋国际机场
C
D
E
A
B