高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.1 平面向量的概念同步练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.1 平面向量的概念同步练习题，共5页。试卷主要包含了下列说法中，正确的个数是，下列说法中，正确的有，下面几个命题正确的是，C错误，a与b的方向不一定相同，故选D，给出以下5个条件等内容，欢迎下载使用。
A级——基础过关练
1．下列说法中，正确的个数是( )
①时间、摩擦力、重力都是向量；
②向量的模是一个正实数；
③相等向量一定是平行向量；
④向量a与b不共线，则a与b都是非零向量．
A．1B．2
C．3D．4
【答案】B
【解析】对于①，时间没有方向，不是向量，摩擦力、重力都是向量，故①错误；对于②，零向量的模为0，故②错误；③正确，相等向量的方向相同，因此一定是平行向量；④显然正确．
2．(多选)下列说法中，正确的有( )
A．向量 eq \(AB,\s\up6(→))的长度与向量 eq \(BA,\s\up6(→))的长度相等
B．任何一个非零向量都可以平行移动
C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量
D．两个有共同起点且共线的向量其终点必相同
【答案】ABC
【解析】很明显选项A，B，C正确．共线向量只与方向有关，方向相同或相反的向量都是共线向量，所以选项D不正确．
3．下面几个命题正确的是( )
A．若a＝b，则|a|＝|b|
B．若|a|＝0，则a＝0
C．若|a|＝|b|，则a＝b
D．若向量a，b满足 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(
|a|＝|b|，,
a∥b，
))则a＝b
【答案】A
【解析】A正确．B错误，|a|＝0，则a＝0．C错误，a与b的方向不一定相同．D错误，a与b的方向有可能相反．
4．在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是( )
A．单位圆B．一段弧
C．线段D．直线
【答案】A
【解析】平面内到定点距离等于定长的点的轨迹是圆．
5．设O是△ABC的外心，则 eq \(AO,\s\up6(→))， eq \(BO,\s\up6(→))， eq \(CO,\s\up6(→))是( )
A．相等向量B．模相等的向量
C．平行向量D．起点相同的向量
【答案】B
【解析】因为三角形的外心是三角形外接圆的圆心，所以点O到三个顶点A，B，C的距离相等，所以 eq \(AO,\s\up6(→))， eq \(BO,\s\up6(→))， eq \(CO,\s\up6(→))是模相等的向量．
6．如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断错误的是( )
A． eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \(OC,\s\up6(→))B． eq \(AB,\s\up6(→))∥ eq \(DE,\s\up6(→))
C．| eq \(AD,\s\up6(→))|＝| eq \(BE,\s\up6(→))|D． eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \(FC,\s\up6(→))
【答案】D
【解析】由题图可知，| eq \(AD,\s\up6(→))|＝| eq \(FC,\s\up6(→))|，但 eq \(AD,\s\up6(→))， eq \(FC,\s\up6(→))的方向不同，故 eq \(AD,\s\up6(→))≠ eq \(FC,\s\up6(→))．故选D．
7．如图，在四边形ABCD中，若 eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \(DC,\s\up6(→))，则图中相等的向量是( )
A． eq \(AD,\s\up6(→))与 eq \(CB,\s\up6(→))B． eq \(OB,\s\up6(→))与 eq \(OD,\s\up6(→))
C． eq \(AC,\s\up6(→))与 eq \(BD,\s\up6(→))D． eq \(AO,\s\up6(→))与 eq \(OC,\s\up6(→))
【答案】D
【解析】∵ eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \(DC,\s\up6(→))，∴四边形ABCD是平行四边形，则AO＝OC，即| eq \(AO,\s\up6(→))|＝| eq \(OC,\s\up6(→))|．又∵ eq \(AO,\s\up6(→))与 eq \(OC,\s\up6(→))同向，∴ eq \(AO,\s\up6(→))＝ eq \(OC,\s\up6(→))．
8．给出以下5个条件：
①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0；⑤a与b都是单位向量．其中能使a∥b成立的是__________(填序号)．
【答案】①③④
【解析】相等向量一定是共线向量，①能使a∥b；方向相同或相反的向量一定是共线向量，③能使a∥b；零向量与任一向量平行，④成立．
9．如图，已知正方形ABCD的边长为2，O为其中心，则| eq \(OA,\s\up6(→))|＝__________．
【答案】 eq \r(2)
【解析】因为正方形的对角线长为2 eq \r(2)，所以| eq \(OA,\s\up6(→))|＝ eq \r(2)．
10．如图，已知四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形．
(1)与 eq \(AB,\s\up6(→))相等的向量有哪些？
(2)与 eq \(AB,\s\up6(→))共线的向量有哪些？
(3)若| eq \(AB,\s\up6(→))|＝1.5，求| eq \(CE,\s\up6(→))|．
解：(1)与 eq \(AB,\s\up6(→))相等的向量有 eq \(ED,\s\up6(→))， eq \(DC,\s\up6(→))．
(2)与 eq \(AB,\s\up6(→))共线的向量有 eq \(BA,\s\up6(→))， eq \(ED,\s\up6(→))， eq \(DC,\s\up6(→))， eq \(EC,\s\up6(→))， eq \(DE,\s\up6(→))， eq \(CD,\s\up6(→))， eq \(CE,\s\up6(→))．
(3)若| eq \(AB,\s\up6(→))|＝1.5，
则| eq \(CE,\s\up6(→))|＝| eq \(EC,\s\up6(→))|＝| eq \(ED,\s\up6(→))|＋| eq \(DC,\s\up6(→))|＝2| eq \(AB,\s\up6(→))|＝3．
B级——能力提升练
11．如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则( )
A． eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \(BC,\s\up6(→))B． eq \(AC,\s\up6(→))＝ eq \(BD,\s\up6(→))
C． eq \(PE,\s\up6(→))＝ eq \(PF,\s\up6(→))D． eq \(EP,\s\up6(→))＝ eq \(PF,\s\up6(→))
【答案】D
【解析】由平面几何知识知， eq \(AD,\s\up6(→))与 eq \(BC,\s\up6(→))方向不同，故 eq \(AD,\s\up6(→))≠ eq \(BC,\s\up6(→))； eq \(AC,\s\up6(→))与 eq \(BD,\s\up6(→))方向不同，故 eq \(AC,\s\up6(→))≠ eq \(BD,\s\up6(→))； eq \(PE,\s\up6(→))与 eq \(PF,\s\up6(→))的模相等而方向相反，故 eq \(PE,\s\up6(→))≠ eq \(PF,\s\up6(→))； eq \(EP,\s\up6(→))与 eq \(PF,\s\up6(→))的模相等且方向相同，所以 eq \(EP,\s\up6(→))＝ eq \(PF,\s\up6(→))．
12．(多选)如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则以下说法正确的有( )
A．与 eq \(AB,\s\up6(→))相等的向量只有一个(不含 eq \(AB,\s\up6(→)))
B．与 eq \(AB,\s\up6(→))的模相等的向量有9个(不含 eq \(AB,\s\up6(→)))
C． eq \(BD,\s\up6(→))的模恰为 eq \(DA,\s\up6(→))的模的 eq \r(3)倍
D． eq \(CB,\s\up6(→))与 eq \(DA,\s\up6(→))不共线
【答案】ABC
【解析】由于 eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \(DC,\s\up6(→))，因此与 eq \(AB,\s\up6(→))相等的向量只有 eq \(DC,\s\up6(→))，而与 eq \(AB,\s\up6(→))的模相等的向量有 eq \(DA,\s\up6(→))， eq \(DC,\s\up6(→))， eq \(AC,\s\up6(→))， eq \(CB,\s\up6(→))， eq \(AD,\s\up6(→))， eq \(CD,\s\up6(→))， eq \(CA,\s\up6(→))， eq \(BC,\s\up6(→))， eq \(BA,\s\up6(→))，因此选项A，B正确；而Rt△AOD中，∠ADO＝30°，∴| eq \(DO,\s\up6(→))|＝ eq \f(\r(3),2)| eq \(DA,\s\up6(→))|，故| eq \(DB,\s\up6(→))|＝ eq \r(3)| eq \(DA,\s\up6(→))|，因此选项C正确；由于 eq \(CB,\s\up6(→))＝ eq \(DA,\s\up6(→))，因此 eq \(CB,\s\up6(→))与 eq \(DA,\s\up6(→))是共线的，故选项D错误．
13．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量 eq \(AB,\s\up6(→))是平行向量，与 eq \(BC,\s\up6(→))是共线向量，则m＝__________．
【答案】0
【解析】因为A，B，C不共线，所以 eq \(AB,\s\up6(→))与 eq \(BC,\s\up6(→))不共线．又因为m与 eq \(AB,\s\up6(→))， eq \(BC,\s\up6(→))都共线，所以m＝0．
14．如果在一个边长为5的等边三角形ABC中，一个向量所对应的有向线段为 eq \(AD,\s\up6(→))(其中D在边BC上运动)，那么向量 eq \(AD,\s\up6(→))长度的最小值为__________．
【答案】 eq \f(5\r(3),2)
【解析】根据题意，在等边三角形ABC中，有向线段AD的长度最小时，AD应与边BC垂直，有向线段AD长度的最小值为等边三角形ABC的高，为 eq \f(5\r(3),2)．
15．如图，O为正方形ABCD的两条对角线的交点，四边形OAED和四边形OCFB都是正方形，在图中所示的向量中：
(1)分别写出与 eq \(AO,\s\up6(→))， eq \(BO,\s\up6(→))相等的向量；
(2)写出与 eq \(AO,\s\up6(→))共线的向量；
(3)写出与 eq \(AO,\s\up6(→))的模相等的向量；
(4)向量 eq \(AO,\s\up6(→))与 eq \(CO,\s\up6(→))是否相等？
解：(1) eq \(AO,\s\up6(→))＝ eq \(OC,\s\up6(→))＝ eq \(BF,\s\up6(→))， eq \(BO,\s\up6(→))＝ eq \(OD,\s\up6(→))＝ eq \(AE,\s\up6(→))．
(2)与 eq \(AO,\s\up6(→))共线的向量： eq \(AC,\s\up6(→))， eq \(OC,\s\up6(→))， eq \(DE,\s\up6(→))， eq \(BF,\s\up6(→))．
(3)与 eq \(AO,\s\up6(→))的模相等的向量： eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AO,\s\up6(→))))＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(OC,\s\up6(→))))＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(BO,\s\up6(→))))＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(OD,\s\up6(→))))＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(BF,\s\up6(→))))＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(CF,\s\up6(→))))＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AE,\s\up6(→))))＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(DE,\s\up6(→))))．
(4)向量 eq \(AO,\s\up6(→))与 eq \(CO,\s\up6(→))长度相等，但方向相反，因此向量 eq \(AO,\s\up6(→))与 eq \(CO,\s\up6(→))不相等．