2024春高中数学第六章平面向量及其应用章末检测（人教A版必修第二册）

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第六章章末检测(时间：120分钟，满分150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知 eq \o(AB,\s\up6(→))＝(3，0)，那么| eq \o(AB,\s\up6(→))|等于(　　)A．2 B．3C．(1，2) D．5【答案】B【解析】∵ eq \o(AB,\s\up6(→))＝(3，0)，∴| eq \o(AB,\s\up6(→))|＝ eq \r(32＋02)＝3．故选B．2．若 eq \o(OA,\s\up6(→))＝(－1，2)， eq \o(OB,\s\up6(→))＝(1，－1)，则 eq \o(AB,\s\up6(→))＝(　　)A．(－2，3) B．(0，1)C．(－1，2) D．(2，－3)【答案】D【解析】 eq \o(OA,\s\up6(→))＝(－1，2)， eq \o(OB,\s\up6(→))＝(1，－1)，所以 eq \o(AB,\s\up6(→))＝ eq \o(OB,\s\up6(→))－ eq \o(OA,\s\up6(→))＝(1＋1，－1－2)＝(2，－3)．3．(2023年信阳模拟)在△ABC中， eq \o(BD,\s\up6(→))＝ eq \o(DC,\s\up6(→))，则 eq \o(AD,\s\up6(→))＝(　　)A． eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up6(→))－ eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up6(→)) B． eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up6(→))C．2 eq \o(AB,\s\up6(→))＋2 eq \o(AC,\s\up6(→)) D．2 eq \o(AB,\s\up6(→))－ eq \o(AC,\s\up6(→))【答案】B【解析】如图，在△ABC中，∵ eq \o(BD,\s\up6(→))＝ eq \o(DC,\s\up6(→))，∴D为BC的中点．由向量加法的平行四边形法则可得 eq \o(AD,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up6(→))．故选B．4．(2023年绍兴二模)已知非零向量a，b满足|a|＝1，〈a，b〉＝ eq \f(π,6)，|a－2b|＝1，则|b|＝(　　)A． eq \f(\r(3),2) B．1C． eq \r(3) D．2【答案】A【解析】∵|a|＝1，〈a，b〉＝ eq \f(π,6)，|a－2b|＝1，∴(a－2b)2＝a2－4a·b＋4b2＝1－2 eq \r(3)|b|＋4|b|2＝1，且|b|≠0，解得|b|＝ eq \f(\r(3),2)．故选A．5．在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．若b2＋c2－a2＝ eq \f(6,5)bc，则sin (B＋C)的值为(　　)A．－ eq \f(4,5) B． eq \f(4,5)C．－ eq \f(3,5) D． eq \f(3,5)【答案】B【解析】由b2＋c2－a2＝ eq \f(6,5)bc，得cos A＝ eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝ eq \f(3,5)，则sin (B＋C)＝sin A＝ eq \f(4,5)．6．已知|a|＝|b|＝2，a·b＝－2，若|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围为(　　)A． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2))) B． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(5,2)))C．[2，3] D．[1，3]【答案】D【解析】∵已知|a|＝|b|＝2，a·b＝－2，|c－a－b|＝1＝|c－(a＋b)|≥|c|－|a＋b|，∴|c|≤1＋|a＋b|．又|a＋b|＝ eq \r((a＋b)2)＝ eq \r(a2＋2a·b＋b2)＝ eq \r(4＋2·(－2)＋4)＝2，∴|c|≤3．再根据|c－a－b|＝|c－(a＋b)|≥|a＋b|－|c|，可得|c|≥|a＋b|－1＝2－1＝1，故有1≤|c|≤3．故选D．7．(2023年邯郸二模)向量m，n满足m·n＝5，且m＝(－1，3)，则n在m上的投影向量为(　　)A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－5，\f(5,3))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,10)，\f(3,10)))C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(10),5)，\f(3\r(10),5)))【答案】C【解析】因为m＝(－1，3)，所以|m|＝ eq \r(10)．又因为m·n＝5，所以n在m上的投影向量为 eq \f(m·n,|m|)· eq \f(m,|m|)＝ eq \f(5,\r(10))· eq \f(m,\r(10))＝ eq \f(1,2)(－1，3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2)))．故选C．8．(2023年重庆模拟)如图，边长为2的正三角形ABC，以BC的中点O为圆心，BC为直径在点A的另一侧作半圆弧 eq \o(BC,\s\up8(︵))，点P在圆弧上运动，则 eq \o(AB,\s\up6(→))· eq \o(AP,\s\up6(→))的取值范围为(　　)A．[2，2 eq \r(3)] B．[2，4]C．[2，5] D．[4，3 eq \r(3)]【答案】C【解析】如图，当点P在点C处时， eq \o(AB,\s\up6(→))· eq \o(AP,\s\up6(→))最小，此时 eq \o(AB,\s\up6(→))· eq \o(AP,\s\up6(→))＝|AB|·|AE|＝| eq \o(AB,\s\up6(→))|·| eq \o(AC,\s\up6(→))|cos  eq \f(π,3)＝2×2× eq \f(1,2)＝2．过圆心O作OP∥AB交圆弧于点P，连接AP，此时 eq \o(AB,\s\up6(→))· eq \o(AP,\s\up6(→))最大，过点O作OG⊥AB于点G，PF⊥AB的延长线于点F，则 eq \o(AB,\s\up6(→))· eq \o(AP,\s\up6(→))＝|AB||AF|＝|AB|(|AG|＋|GF|)＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)＋1))＝5，所以 eq \o(AB,\s\up6(→))· eq \o(AP,\s\up6(→))的取值范围为[2，5]．故选C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．以下关于正弦定理或其变形正确的有(　　)A．在△ABC中，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin CB．在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则a＝bC．在△ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”的充要条件D．在△ABC中， eq \f(a,sin A)＝ eq \f(b＋c,sin B＋sin C)【答案】ACD【解析】对于A，由正弦定理， eq \f(a,sin A)＝ eq \f(b,sin B)＝ eq \f(c,sin C)＝2R，可得a∶b∶c＝2R sin A∶2R sin B∶2R sin C＝sin A∶sin B∶sin C，故正确；对于B，由sin 2A＝sin 2B，可得A＝B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝ eq \f(π,2)，∴a＝b或a2＋b2＝c2，故B错误；对于C，在△ABC中，由正弦定理可得sin A＞sin B⇔a＞b⇔A＞B，因此A＞B是sin A＞sin B的充要条件，正确；对于D，由正弦定理 eq \f(a,sin A)＝ eq \f(b,sin B)＝ eq \f(c,sin C)＝2R，可得右边＝ eq \f(b＋c,sin B＋sin C)＝ eq \f(2R sin B＋2R sin C,sin B＋sin C)＝2R＝左边，故正确．故选ACD．10．(2023年扬州期末)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法中正确的有(　　)A．若tan A＋tan B＋tan C＜0，则△ABC为钝角三角形B．A＝ eq \f(π,3)，a＝ eq \r(14)，b＝4，则此三角形有两解C．若 eq \f(a,cos B)＝ eq \f(b,cos A)，则△ABC为等腰直角三角形D．若a＞b，则cos A＜cos B【答案】ABD【解析】对于A，∵tan A＋tan B＝tan (A＋B)(1－tan A tan B)，∴tan A＋tan B＝－tan C(1－tan A tan B)，∴tan A＋tan B＋tan C＝tan A tan B tan C，∵tan A＋tan B＋tan C＜0，∴tan A tan B tan C＜0，∴tan A，tan B，tan C只有一个小于0，∴△ABC是钝角三角形，故A正确；对于B，∵A＝ eq \f(π,3)，a＝ eq \r(14)，b＝4，∴b sin A＝2 eq \r(3)＜a＝ eq \r(14)＜b＝4，∴此三角形有两解正确，故B正确；对于C，∵ eq \f(a,cos B)＝ eq \f(b,cos A)，∴a cos A＝b cos B，∴sin A cos A＝sin B cos B，∴sin 2A＝sin 2B，∴2A＝2B或2A＋2B＝π，∴A＝B或A＋B＝ eq \f(π,2)，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，a＞b⇔A＞B⇔cos A＜cos B，故D正确．故选ABD．11．(2023年承德期中)已知非零向量a，b满足|a－4b|＝2，则下列结论正确的有(　　)A．若a，b共线，则|a|＋4|b|＝2 B．若a⊥b，则a2＋16b2＝4C．若a2＋16b2＝6，则|a＋4b|＝4 D．a·b≥－ eq \f(1,4)【答案】BD【解析】对于A，由4＝|a－4b|2＝a2－8a·b＋16b2，4＝(|a|＋4|b|)2＝|a|2＋8|a|·|b|＋16|b|2，所以当a，b同向时，－8a·b＝－8|a|·|b|，此时|a|＋4|b|≠2，故A错误；对于B，若a⊥b，则a·b＝0，由|a－4b|＝2，两边平方得a2－8a·b＋16b2＝a2＋16b2＝4，故B正确；对于C，由|a－4b|2＋|a＋4b|2＝2(a2＋16a2)＝12，则|a＋4b|2＝8，即|a＋4b|＝2 eq \r(2)，故C错误；对于D，由4＝|a－4b|2＝a2－8a·b＋16b2≥8|a|·|b|－8a·b≥－16a·b，得a·b≥－ eq \f(1,4)，故D正确．故选BD．12．已知e1，e2是两个单位向量，λ∈R时，|e1＋λe2|的最小值为 eq \f(\r(3),2)，则下列结论正确的有(　　)A．e1，e2的夹角是 eq \f(π,3) B．e1，e2的夹角是 eq \f(π,3)或 eq \f(2π,3)C．|e1＋e2|＝1或 eq \r(3) D．|e1＋e2|＝1或 eq \f(\r(3),2)【答案】BC【解析】∵e1，e2是两个单位向量，且|e1＋λe2|的最小值为 eq \f(\r(3),2)，∴(e1＋λe2)2的最小值为 eq \f(3,4)．设e1，e2的夹角为θ，(e1＋λe2)2＝λ2＋2λcos θ＋1＝(λ＋cos θ)2＋1－cos2θ，∴1－cos2θ＝ eq \f(3,4)，则e1与e2的夹角为 eq \f(π,3)或 eq \f(2π,3)．∴|e1＋e2|2＝1或3，则|e1＋e2|＝1或 eq \r(3)．故选BC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2023年河南模拟)已知e1，e2不共线，向量a＝3e1－2e2，b＝ke1＋6e2，且a∥b，则k＝__________．【答案】－9【解析】因为a∥b，所以∃λ∈R，使得b＝λa成立，即ke1＋6e2＝3λe1－2λe2．因为e1，e2不共线，所以k＝3λ，6＝－2λ，解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(λ＝－3，,k＝－9.))14．(2023年宝鸡三模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中c＝4，且满足cos C＝sin C，2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,4)))＝c－2 eq \r(3)cos A，则边a等于__________．【答案】2 eq \r(2)【解析】∵cos C＝sin C，C∈(0，π)，即cos C≠0，∴tan C＝1，解得C＝ eq \f(π,4)．∵2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,4)))＝c－2 eq \r(3)cos A，即2sin (B＋C)＝2sin A＝c－2 eq \r(3)cos A．∵c＝4，∴2sin A＋2 eq \r(3)cos A＝4，即sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,3)))＝1．∵A∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3π,4)))，∴A＋ eq \f(π,3)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(13π,12)))，∴A＋ eq \f(π,3)＝ eq \f(π,2)，解得A＝ eq \f(π,6)．在△ABC中，由正弦定理，得 eq \f(a,sin A)＝ eq \f(c,sin C)，即 eq \f(a,\f(1,2))＝ eq \f(4,\f(\r(2),2))，解得a＝2 eq \r(2)．15．如图，在海岸线上相距2 eq \r(6)千米的A，C两地分别测得小岛B在A的北偏西α方向，在C的北偏西 eq \f(π,2)－α方向，且cos α＝ eq \f(\r(6),3)，则B，C之间的距离是__________千米．【答案】12【解析】依题意，AC＝2 eq \r(6)，sin ∠BAC＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝cos α＝ eq \f(\r(6),3)，sin B＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2α))＝cos 2α＝2cos2α－1＝ eq \f(1,3)．在△ABC中，由正弦定理，得BC＝ eq \f(AC sin∠BAC,sin B)＝ eq \f(2\r(6)×\f(\r(6),3),\f(1,3))＝12，则B与C之间的距离是12千米．16．在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，若AB＝4，且 eq \o(AD,\s\up6(→))＝ eq \f(1,4) eq \o(AC,\s\up6(→))＋λ eq \o(AB,\s\up6(→))(λ∈R)，则λ＝__________，AD的长为__________．【答案】 eq \f(3,4)　3 eq \r(3)【解析】∵B，D，C三点共线，∴ eq \f(1,4)＋λ＝1，解得λ＝ eq \f(3,4)．如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，则 eq \o(AN,\s\up6(→))＝ eq \f(1,4) eq \o(AC,\s\up6(→))， eq \o(AM,\s\up6(→))＝ eq \f(3,4) eq \o(AB,\s\up6(→))．∵在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，∴四边形AMDN是菱形．∵AB＝4，∴AN＝AM＝3，∴AD＝3 eq \r(3)．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知 eq \o(AB,\s\up6(→))＝(－1，3)， eq \o(BC,\s\up6(→))＝(3，m)， eq \o(CD,\s\up6(→))＝(1，n)，且 eq \o(AD,\s\up6(→))∥ eq \o(BC,\s\up6(→))．(1)求实数n的值；(2)若 eq \o(AC,\s\up6(→))⊥ eq \o(BD,\s\up6(→))，求实数m的值．解：因为 eq \o(AB,\s\up6(→))＝(－1，3)， eq \o(BC,\s\up6(→))＝(3，m)， eq \o(CD,\s\up6(→))＝(1，n)，所以 eq \o(AD,\s\up6(→))＝ eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(BC,\s\up6(→))＋ eq \o(CD,\s\up6(→))＝(3，3＋m＋n)．(1)因为 eq \o(AD,\s\up6(→))∥ eq \o(BC,\s\up6(→))，所以 eq \o(AD,\s\up6(→))＝λ eq \o(BC,\s\up6(→))，即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3＝3λ，,3＋m＋n＝λm，))解得n＝－3．(2)因为 eq \o(AC,\s\up6(→))＝ eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(BC,\s\up6(→))＝(2，3＋m)， eq \o(BD,\s\up6(→))＝ eq \o(BC,\s\up6(→))＋ eq \o(CD,\s\up6(→))＝(4，m－3)，又因为 eq \o(AC,\s\up6(→))⊥ eq \o(BD,\s\up6(→))，所以 eq \o(AC,\s\up6(→))· eq \o(BD,\s\up6(→))＝0，即8＋(3＋m)(m－3)＝0，解得m＝±1．18．(12分)(2023年安徽期中)已知向量a＝(－1，－1)，b＝(0，1)，在①(ta＋b)⊥(a＋tb)；②|ta＋b|＝|a＋tb|这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题：(1)若__________，求实数t的值；(2)若向量c＝(x，y)，且c＝－ya＋(1－x)b，求|c|．解：(1)若选择条件①，由ta＋b＝(－t，1－t)，a＋tb＝(－1，t－1)，且(ta＋b)⊥(a＋tb)，得(ta＋b)·(a＋tb)＝t－(t－1)2＝0，解得t＝ eq \f(3±\r(5),2)．若选择条件②，由ta＋b＝(－t，1－t)，a＋tb＝(－1，t－1)，且|ta＋b|＝|a＋tb|，得t2＋(1－t)2＝1＋(t－1)2，解得t＝±1．(2)c＝－ya＋(1－x)b＝(y，y)＋(0，1－x)＝(y，1－x＋y)，且c＝(x，y)，∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝x，,1－x＋y＝y，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))∴c＝(1，1)，∴|c|＝ eq \r(2)．19．(12分)(2023年呼和浩特模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC外接圆的半径为1，且b sin B＋c sin C＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)b sin C＋a))sin A．(1)求角A；(2)若AC＝ eq \r(2)，AD是△ABC的内角平分线，求AD的长度．解：(1)b sin B＋c sin C＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)b sin C＋a))sin A，则b2＋c2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)b sin C＋a))a，即b2＋c2－a2＝ eq \f(2\r(3),3)ab sin C，则由余弦定理可得2bc cos A＝ eq \f(2\r(3),3)ab sin C，所以sin C cos A＝ eq \f(\r(3),3)sin A sin C．因为C∈(0，π)，sin C≠0，所以cos A＝ eq \f(\r(3),3)sin A，即tan A＝ eq \r(3)．又因为A∈(0，π)，所以A＝ eq \f(π,3)．(2)由正弦定理可得 eq \f(a,sin \f(π,3))＝ eq \f(\r(2),sin B)＝2，解得a＝ eq \r(3)，sin B＝ eq \f(\r(2),2)，b＜a，故B为锐角，B＝ eq \f(π,4)．在△ABC中，C＝π－ eq \f(π,3)－ eq \f(π,4)＝ eq \f(5π,12)．由于AD是△ABC的内角平分线，故∠CAD＝ eq \f(π,6)，∠ADC＝π－ eq \f(5π,12)－ eq \f(π,6)＝ eq \f(5π,12)，故AD＝AC＝ eq \r(2)．20．(12分)如图，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点， eq \o(AE,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3) eq \o(AD,\s\up6(→))， eq \o(AB,\s\up6(→))＝a， eq \o(AC,\s\up6(→))＝b．(1)用a，b表示向量 eq \o(AD,\s\up6(→))， eq \o(AE,\s\up6(→))， eq \o(AF,\s\up6(→))， eq \o(BE,\s\up6(→))， eq \o(BF,\s\up6(→))；(2)求证：B，E，F三点共线．(1)解：延长AD到点G，使 eq \o(AD,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \o(AG,\s\up6(→))，连接BG，CG，得到平行四边形ABGC，所以 eq \o(AG,\s\up6(→))＝a＋b， eq \o(AD,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \o(AG,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)a＋ eq \f(1,2)b， eq \o(AE,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3) eq \o(AD,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3)a＋ eq \f(1,3)b， eq \o(AF,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)b， eq \o(BE,\s\up6(→))＝ eq \o(AE,\s\up6(→))－ eq \o(AB,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3)(a＋b)－a＝ eq \f(1,3)b－ eq \f(2,3)a， eq \o(BF,\s\up6(→))＝ eq \o(AF,\s\up6(→))－ eq \o(AB,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)b－a．(2)证明：由(1)可知 eq \o(BE,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3) eq \o(BF,\s\up6(→))，又因为 eq \o(BE,\s\up6(→))， eq \o(BF,\s\up6(→))有公共点B，所以B，E，F三点共线．21．(12分)(2023年永州三模)在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c且c·cos A＋ eq \r(3)c·sin A＝a＋b．(1)求C的值；(2)若AB边上的点M满足 eq \o(BM,\s\up6(→))＝2 eq \o(MA,\s\up6(→))，c＝3，CM＝ eq \r(7)，求△ABC的周长．解：(1)由正弦定理，得sin C cos A＋ eq \r(3)sin C sin A＝sin A＋sin B．在△ABC中，B＝π－(A＋C)，故sin C cos A＋ eq \r(3)sin C sin A＝sin A＋sin (A＋C)，即sin C cos A＋ eq \r(3)sin C sin A＝sin A＋sin A cos C＋cos A sin C．因为A∈(0，π)，sin A≠0，所以 eq \r(3)sin C－cos C＝1，即sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C－\f(π,6)))＝ eq \f(1,2)．而C∈(0，π)，故C－ eq \f(π,6)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))，所以C－ eq \f(π,6)＝ eq \f(π,6)，所以C＝ eq \f(π,3)．(2)因为 eq \o(BM,\s\up6(→))＝2 eq \o(MA,\s\up6(→))，c＝3，所以BM＝2，AM＝1．由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab·cos C，则9＝a2＋b2－ab．①因为CM＝ eq \r(7)，由于 eq \o(CM,\s\up6(→))＝ eq \o(CB,\s\up6(→))＋ eq \o(BM,\s\up6(→))＝ eq \o(CB,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3) eq \o(BA,\s\up6(→))＝ eq \o(CB,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3)( eq \o(CA,\s\up6(→))－ eq \o(CB,\s\up6(→)))＝ eq \f(2,3) eq \o(CA,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \o(CB,\s\up6(→))，故 eq \o(CM,\s\up6(→))2＝ eq \f(4,9) eq \o(CA,\s\up6(→))2＋ eq \f(1,9) eq \o(CB,\s\up6(→))2＋ eq \f(4,9) eq \o(CA,\s\up6(→))· eq \o(CB,\s\up6(→))，则63＝a2＋4b2＋2ab．②①×7＝②，即7a2＋7b2－7ab＝a2＋4b2＋2ab，即2a2－3ab＋b2＝0，亦即(2a－b)(a－b)＝0，则a＝b或a＝ eq \f(b,2)．当a＝b时，代入①得a＝3，b＝3，周长L＝a＋b＋c＝9；当a＝ eq \f(b,2)时，代入①得a＝ eq \r(3)，b＝2 eq \r(3)，周长L＝a＋b＋c＝3＋3 eq \r(3)．22．(12分)已知函数f(x)＝ eq \f(\r(3),2)sin x cos x－ eq \f(1,4)cos 2x－ eq \f(1,4)．(1)求函数f(x)的单调递减区间；(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝ eq \f(8\r(5),5)，D为边AB上一点，CD＝2，B为锐角，且f(B)＝0，求∠BDC的正弦值．解：(1)f(x)＝ eq \f(\r(3),2)sin x cos x－ eq \f(1,4)cos 2x－ eq \f(1,4)＝ eq \f(\r(3),4)sin 2x－ eq \f(1,4)cos 2x－ eq \f(1,4)＝ eq \f(1,2)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))－ eq \f(1,4)，要求函数f(x)的单调递减区间，令2x－ eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))(k∈Z)，得x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,3)，kπ＋\f(5π,6)))(k∈Z)，所以函数的单调递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋kπ，\f(5π,6)＋kπ))(k∈Z)．(2)由于f(B)＝0，即 eq \f(1,2)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2B－\f(π,6)))－ eq \f(1,4)＝0，解得B＝ eq \f(π,6)或B＝ eq \f(π,2)(舍去)．由B＝ eq \f(π,6)，在△BCD中， eq \f(CD,sin \f(π,6))＝ eq \f(BC,sin ∠BDC)，所以sin ∠BDC＝ eq \f(\f(8\r(5),5),2)× eq \f(1,2)＝ eq \f(2\r(5),5)．