高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第七章 复数7.1 复数的概念练习

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第七章 复数7.1 复数的概念练习，共4页。试卷主要包含了故选C，故选A等内容，欢迎下载使用。
A级——基础过关练
1．已知复数z＝a＋a2i(a＜0)，则复数z在复平面内对应的点在( )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【解析】因为a＜0，所以复数z＝a＋a2i对应的点(a，a2)位于第二象限．
2．已知i是虚数单位，在复平面内，复数－2＋i和1－3i对应的点之间的距离是( )
A． eq \r(5)B． eq \r(10)
C．5D．25
【答案】C
【解析】由于复数－2＋i和1－3i对应的点分别为(－2，1)，(1，－3)，因此由两点间的距离公式，得这两点间的距离为 eq \r((－2－1)2＋[1－(－3)]2)＝5．故选C．
3．在复平面内，表示复数z＝5a＋(6－a2)i的点在第二象限，则实数a满足( )
A．－ eq \r(6)＜a＜0B．a＜－ eq \r(6)
C．0＜a＜ eq \r(6)D．－ eq \r(6)＜a＜ eq \r(6)
【答案】A
【解析】∵z＝5a＋(6－a2)i对应的点在第二象限，∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5a＜0，,6－a2＞0，))解得－ eq \r(6)＜a＜0．故选A．
4．复平面内，向量 eq \(OA,\s\up6(→))表示的复数为1＋i，将 eq \(OA,\s\up6(→))向右平移一个单位长度后得到向量 eq \(O′A′,\s\up6(→))，则向量 eq \(O′A′,\s\up6(→))与点A′对应的复数分别为( )
A．1＋i，1＋iB．2＋i，2＋i
C．1＋i，2＋iD．2＋i，1＋i
【答案】C
【解析】向量 eq \(OA,\s\up6(→))向右平移一个单位长度后起点O′(1，0)，∵ eq \(OA′,\s\up6(→))＝ eq \(OO′,\s\up6(→))＋ eq \(O′A′,\s\up6(→))＝ eq \(OO′,\s\up6(→))＋ eq \(OA,\s\up6(→))＝(1，0)＋(1，1)＝(2，1)，∴点A′对应复数2＋i．又∵ eq \(O′A′,\s\up6(→))＝ eq \(OA,\s\up6(→))，∴ eq \(O′A′,\s\up6(→))对应复数为1＋i．故选C．
5．在复平面内，复数z对应的点在第四象限，对应的向量的模为3，且实部为 eq \r(5)，则复数z＝( )
A．3－ eq \r(5)iB． eq \r(5)－3i
C．2－ eq \r(5)iD． eq \r(5)－2i
【答案】D
【解析】由题意可设复数z＝ eq \r(5)＋yi(y∈R，y＜0)，则 eq \r((\r(5))2＋y2)＝3，所以y＝－2，复数z＝ eq \r(5)－2i．故选D．
6．已知实数m，n满足m－2i＝n(2＋i)，则在复平面内，复数z＝m＋ni所对应的点位于( )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【解析】∵m－2i＝n(2＋i)，∴m－2i＝2n＋ni．∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝2n，,n＝－2，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－4，,n＝－2.))∴复数z＝m＋ni＝－4－2i．∴复数z＝m＋ni所对应的点位于第三象限．故选C．
7．(多选)(2022年黄冈期中)设复数z满足z＝－1－2i，i为虚数单位，则下列命题正确的有( )
A．|z|＝ eq \r(5)
B．复数z在复平面内对应的点在第四象限
C．z的共轭复数为－1＋2i
D．复数z在复平面内对应的点在直线y＝－2x上
【答案】AC
【解析】|z|＝ eq \r((－1)2＋(－2)2)＝ eq \r(5)，A正确；复数z在复平面内对应的点的坐标为(－1，－2)，在第三象限，B不正确；z的共轭复数为－1＋2i，C正确；复数z在复平面内对应的点(－1，－2)不在直线y＝－2x上，D不正确．故选AC．
8．若复数z对应的点在直线y＝2x上，且|z|＝ eq \r(5)，则复数z＝__________．
【答案】1＋2i或－1－2i
【解析】依题意可设复数z＝a＋2ai(a∈R)，由|z|＝ eq \r(5)，得 eq \r(a2＋4a2)＝ eq \r(5)，解得a＝±1，故z＝1＋2i或z＝－1－2i．
9．已知复数z＝1－2mi(m∈R)，且|z|≤2，则实数m的取值范围是__________．
【答案】eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，\f(\r(3),2)))
【解析】|z|＝ eq \r(1＋4m2)≤2，解得－ eq \f(\r(3),2)≤m≤ eq \f(\r(3),2)．
10．实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i满足下列条件？
(1)对应点在实轴上方；
(2)对应点在直线y＝－x－5上．
解：(1)由m2－2m－15＞0，得当m＜－3或m＞5时，z的对应点在实轴上方．
(2)由(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋5＝0，得当m＝ eq \f(－3－\r(41),4)或m＝ eq \f(－3＋\r(41),4)时，z的对应点在直线y＝－x－5上．
B级——能力提升练
11．若θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)π，\f(5,4)π))，则复数(cs θ＋sin θ)＋(sin θ－cs θ)i在复平面内所对应的点在( )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【解析】由复数的几何意义知(cs θ＋sin θ)＋(sin θ－cs θ)i在复平面内对应点的坐标为(cs θ＋sin θ，sin θ－cs θ)．因为θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)π，\f(5,4)π))，所以cs θ＋sin θ＝ eq \r(2)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＜0，sin θ－cs θ＝ eq \r(2)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＞0，所以原复数在复平面内对应的点位于第二象限．故选B．
12．(多选)下列命题中，正确的有( )
A．复数的模是非负实数
B．复数等于零的充要条件是它的模等于零
C．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件
D．复数z1＞z2的充要条件是|z1|＞|z2|
【答案】ABC
【解析】①任意复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝ eq \r(a2＋b2)≥0总成立，故A正确；②由复数z＝0⇔ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝0，,b＝0))⇔|z|＝0，故B正确；③设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，b1，a2，b2∈R)，若z1＝z2，则有a1＝a2，b1＝b2，所以|z1|＝|z2|，故C正确；④虚部不全为零的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，故D错．
13．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别是A，B，C，若 eq \(OC,\s\up6(→))＝x eq \(OA,\s\up6(→))＋y eq \(OB,\s\up6(→))(x，y∈R)，则x＋y的值是__________．
【答案】5
【解析】由复数的几何意义可知， eq \(OC,\s\up6(→))＝x eq \(OA,\s\up6(→))＋y eq \(OB,\s\up6(→))，即(3，－2)＝x(－1，2)＋y(1，－1)，∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y－x＝3，,2x－y＝－2，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝4.))∴x＋y＝5．
14．已知复数z＝ln (m2＋2m－14)＋(m2－m－6)i(i为虚数单位)，若复数z是实数，则实数m＝________；若复数z对应的点位于复平面的第二象限，则实数m的取值范围为________．
【答案】3 (－5，－1－ eq \r(15))
【解析】若复数z是实数，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－m－6＝0，,m2＋2m－14＞0，))解得m＝3．若复数z对应的点位于复平面的第二象限，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ln (m2＋2m－14)＜0，,m2－m－6＞0，))即
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0＜m2＋2m－14＜1，,m2－m－6＞0，))即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＋2m－14＞0，,m2＋2m－15＜0，,m2－m－6＞0，))
解得－5＜m＜－1－ eq \r(15)．
15．已知复数z1＝cs θ＋isin 2θ，z2＝ eq \r(3)sin θ＋ics θ，求满足下列条件的θ的取值范围．
(1)z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称；
(2)|z2|＜ eq \r(2)．
解：(1)在复平面内，z1与z2对应的点关于实轴对称，
则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs θ＝\r(3)sin θ，,sin 2θ＝－cs θ，))
即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(θ＝kπ＋\f(π,6)，,θ＝2kπ＋\f(7π,6)或2kπ＋\f(11π,6)或kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)，所以θ＝2kπ＋ eq \f(7π,6)(k∈Z)．
(2)由|z2|＜ eq \r(2)，得 eq \r((\r(3)sin θ)2＋cs2θ)＜ eq \r(2)，即3sin2θ＋cs2θ＜2，
所以sin2θ＜ eq \f(1,2)．
所以kπ－ eq \f(π,4)＜θ＜kπ＋ eq \f(π,4)(k∈Z)．