A级——基础过关练
1．已知球O的表面积为16π，则球O的体积为( )
A． eq \f(4,3)πB． eq \f(8,3)π
C． eq \f(16,3)πD． eq \f(32,3)π
【答案】D
【解析】因为球O的表面积是16π，所以球O的半径为2，所以球O的体积为 eq \f(4π,3)×23＝ eq \f(32,3)π．故选D．
2．球的表面积S1与它的内接正方体的表面积S2的比值是( )
A． eq \f(π,3)B． eq \f(π,4)
C． eq \f(π,2)D．π
【答案】C
【解析】设球的内接正方体的棱长为a，球的半径为R，则3a2＝4R2，所以a2＝ eq \f(4,3)R2，球的表面积S1＝4πR2，正方体的表面积S2＝6a2＝6× eq \f(4,3)R2＝8R2，所以 eq \f(S1,S2)＝ eq \f(π,2)．
3．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为( )
A． eq \f(8π,3)B． eq \f(32π,3)
C．8πD． eq \f(8\r(2)π,3)
【答案】C
【解析】设球的半径为R，则截面圆的半径为 eq \r(R2－1)，∴截面圆的面积为S＝π eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(R2－1))) eq \s\up12(2)＝(R2－1)π＝π．∴R2＝2．∴球的表面积S＝4πR2＝8π．
4．把一个铁制的底面半径为r，高为h的实心圆锥熔化后铸成一个铁球，则这个铁球的半径为( )
A． eq \f(r\r(h),2) B． eq \f(r2h,4)
C． eq \r(3,\f(r2h,4)) D． eq \f(r2h,2)
【答案】C
【解析】设铁球的半径为R，因为 eq \f(1,3)πr2h＝ eq \f(4,3)πR3，所以R＝ eq \r(3,\f(r2h,4))．故选C．
5．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )
A．πB． eq \f(3π,4)
C． eq \f(π,2)D． eq \f(π,4)
【答案】B
【解析】设圆柱的底面半径为r，球的半径为R，且R＝1，由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r，R及圆柱的高的一半构成直角三角形．∴r＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝ eq \f(\r(3),2)．∴圆柱的体积为V＝πr2h＝ eq \f(3,4)π×1＝ eq \f(3π,4)．故选B．
6．(2023年杭州期中)直径为6 cm的一个大金属球，熔化后铸成若干个直径为2 cm的小球，如果不计损耗，可铸成这样的小球的个数为( )
A．3B．6
C．9D．27
【答案】D
【解析】由于大金属球的直径为6 cm，故半径为3 cm，所以V大球＝ eq \f(4,3)·π·33＝36π(cm3)，同理小金属球的直径为2 cm，故半径为1 cm，所以V小球＝ eq \f(4,3)·π·13＝ eq \f(4,3)π(cm3)，故n＝ eq \f(V大球,V小球)＝ eq \f(36π,\f(4π,3))＝27．故选D．
7．(多选)下列说法正确的有( )
A．两个球的半径之比为1∶2，则其表面积之比为1∶4
B．两个球的半径之比为1∶2，则其体积之比为1∶4
C．经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径
D．若一个球的直径是10，则它的体积为 eq \f(500,3)π
【答案】ACD
【解析】两个球的半径之比为1∶2，则其表面积之比为1∶4，体积之比为1∶8，A正确，B错误．C正确．D中，球的半径为R＝ eq \f(10,2)＝5，故其体积为V＝ eq \f(4,3)πR3＝ eq \f(4,3)×π×53＝ eq \f(500,3)π，D正确．
8．已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为__________．
【答案】16π
【解析】设正四棱锥的高为h，底面边长为a．由V＝ eq \f(1,3)a2h＝a2＝6，得a＝ eq \r(6)．由题意知球心在正四棱锥的高上，设球的半径为r，则(3－r)2＋( eq \r(3))2＝r2，解得r＝2，则S球＝4πr2＝16π．
9．如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则 eq \f(V1,V2)的值是__________．
【答案】 eq \f(3,2)
【解析】设球O的半径为R，∵球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，∴圆柱O1O2的高为2R，底面半径为R．∴ eq \f(V1,V2)＝ eq \f(πR2·2R,\f(4,3)πR3)＝ eq \f(3,2)．
10．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱体，左右两端均为半球，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积．
解：该组合体的表面积S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π．
该组合体的体积V＝ eq \f(4,3)πr3＋πr2l＝ eq \f(4,3)π×13＋π×12×3＝ eq \f(13π,3)．
B级——能力提升练
11．(2023年西安月考)已知正四面体S－ABC的外接球表面积为6π，则正四面体S－ABC的棱长为( )
A．1B． eq \r(2)
C． eq \r(3)D．2
【答案】D
【解析】如图，∵正四面体S－ABC的外接球表面积为6π，∴4πR2＝6π，解得R＝ eq \f(\r(6),2)．设正四面体的棱长为a，则S在底面ABC的射影D是底面ABC的重心，则AE＝ eq \f(\r(3),2)a，AD＝ eq \f(2,3)AE＝ eq \f(\r(3),3)a，则SD＝ eq \r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)a))\s\up12(2))＝ eq \r(\f(6a2,9))＝ eq \f(\r(6),3)a，则OD＝SD－SO＝ eq \f(\r(6),3)a－ eq \f(\r(6),2)．在Rt△AOD中，AO2＝AD2＋OD2，即 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2))) eq \s\up12(2)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)a)) eq \s\up12(2)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),3)a－\f(\r(6),2))) eq \s\up12(2)，即 eq \f(6,4)＝ eq \f(3,9)a2＋ eq \f(6,9)a2－2a＋ eq \f(6,4)，得a2－2a＝0，解得a＝0(舍去)或a＝2．故选D．
12．(2023年邢台一模)已知圆台的上、下底面圆的半径之比为 eq \f(1,2)，侧面积为9π，在圆台的内部有一球O，该球与圆台的上、下底面及母线均相切，则球O的表面积为( )
A．3πB．5π
C．8πD．9π
【答案】C
【解析】设圆台的上底面圆半径为r，则底面圆半径为2r，母线长为l，如图所示，作出圆台与球的轴截面．由于球O与圆台的上下底面及母线均相切，故l＝AD＝AH＋DG＝r＋2r＝3r．根据圆台的侧面积公式S＝(πr＋2πr)l＝9π，可得r＝1，所以球的直径为HG＝2 eq \r(2)，故半径为 eq \r(2)，表面积为8π．故选C．
13．若将一个圆锥的侧面沿一条母线展开，其展开图是半径为5，面积为15π的扇形，则与该圆锥等体积的球的半径为__________．
【答案】 eq \r(3,9)
【解析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则扇形的侧面展开图面积S＝ eq \f(1,2)·2πr·5＝15π，解得r＝3．该圆锥的高h＝ eq \r(52－32)＝4，∴V圆锥＝ eq \f(1,3)π·32·4＝12π．设球的半径为R，由题意得 eq \f(4,3)πR3＝12π，解得R＝ eq \r(3,9)．
14．(2023年保定期中)古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现——圆柱容球定理．如图，一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边(即圆柱的底面直径和高都等于球的直径)，则该球与圆柱的体积之比为__________，该球与圆柱的表面积之比为__________．
【答案】2∶3 2∶3
【解析】设球的半径为R，根据题意可得圆柱的底面半径为R，高为2R， eq \f(V球,V圆)＝ eq \f(\f(4,3)πR3,πR2·2R)＝ eq \f(2,3)， eq \f(S球,S圆)＝ eq \f(4πR2,2πR2＋2πR·2R)＝ eq \f(2,3)．
15．已知一倒置圆锥的母线长为10 cm，底面半径为6 cm．
(1)求该圆锥的高；
(2)若有一球刚好放进该圆锥(球与圆锥的底面相切)中，求这个球的半径以及此时圆锥剩余空间的体积．
解：(1)设圆锥的高为h cm，底面半径为R cm，母线长为l cm，则h＝ eq \r(l2－R2)＝ eq \r(102－62)＝8，所以圆锥的高为8 cm．
(2)球放入圆锥后的轴截面如图所示，设球的半径为r cm．
易得△OCD∽△ACO1，则 eq \f(OC,AC)＝ eq \f(OD,AO1)，即 eq \f(8－r,10)＝ eq \f(r,6)，解得r＝3．
圆锥剩余空间的体积为圆锥的体积减去球的体积，即V圆锥－V球＝ eq \f(1,3)×π×62×8－ eq \f(4,3)π×33＝96π－36π＝60π(cm3)，故此时圆锥剩余空间的体积为60π cm3．